高考备考资料之数学人教A版全国用课件94直线与圆圆与圆的位置关系

§9.4

直线与圆、圆与圆的位置关系第九章平面解析几何基础知识

自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系.

⇔相交；

⇔相切；

⇔相离.知识梳理d<rd>rd＝r相交相离相切2.圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝

(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝

(r2>0).

方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况外离________________外切______________________相交__________________________________内切_____________________________内含__________________________d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|(r1≠r2)0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)无解一组实数解两组不同的实数解一组实数解无解1.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.2.圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条.(2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程.【知识拓展】题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.(

)(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.(

)(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.(

)(4)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.(

)基础自测×××√123456(5)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(

)(6)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切.(

)√√123456题组二教材改编2.[P128T4]若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是A.[－3，－1]

B.[－1,3]C.[－3,1]

D.(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案√解析123456几何画板展示3.[P133A组T9]圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为____.答案得两圆公共弦所在直线为x－y＋2＝0.解析123456题组三易错自纠4.若直线l：x－y＋m＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0恒有公共点，则m的取值范围是解析圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为(2,1)，半径为2，圆心到直线的距离d＝

，解析答案√1234565.(2018·石家庄模拟)设圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于A.4 B.4

C.8

D.8解析因为圆C1，C2和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，所以两圆都在第一象限内，设圆心坐标为(a，a)，解析答案√1234566.过点A(3,5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为________________________.解析5x－12y＋45＝0或x－3＝0答案123456123456解析化圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0为标准方程得(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(1,2)，显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0.题型分类深度剖析1.已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是A.相切 B.相交

C.相离

D.不确定题型一直线与圆的位置关系自主演练答案√解析因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2>1，解析所以直线与圆相交.2.圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为A.相离

B.相切C.相交

D.以上都有可能答案√解析直线2tx－y－2－2t＝0恒过点(1，－2)，∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0，∴点(1，－2)在圆x2＋y2－2x＋4y＝0内，直线2tx－y－2－2t＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相交，故选C.解析判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系.(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.思维升华典例

已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1外切，则ab的最大值为题型二圆与圆的位置关系师生共研解析由圆C1与圆C2外切，解析答案√1.若将本典例中的“外切”变为“内切”，求ab的最大值.引申探究解答2.若将本典例条件“外切”变为“相交”，求公共弦所在的直线方程.解答解由题意把圆C1，圆C2的方程都化为一般方程，得圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2＝0，

①圆C2：x2＋y2＋2bx＋4y＋b2＋3＝0，

②由②－①得(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0，即(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0为所求公共弦所在直线方程.判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是(1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1＋r2，|r1－r2|；(3)比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论.思维升华解析跟踪训练(2017·重庆调研)如果圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O：x2＋y2＝4总相交，那么实数a的取值范围是____________________.答案解析圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝4，圆心坐标为(a，a)，半径为2.命题点1求弦长问题典例(2016·全国Ⅲ)已知直线l：mx＋y＋3m－

＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|＝2，则|CD|＝___.题型三直线与圆的综合问题多维探究解析4答案解析设AB的中点为M，解得C(－2,0)，D(2,0)，所以|CD|＝4.命题点2直线与圆相交求参数范围典例

已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点.(1)求k的取值范围；解答解由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1，解答解设M(x1，y1)，N(x2，y2).将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.所以l的方程为y＝x＋1.故圆心C在l上，所以|MN|＝2.命题点3直线与圆相切的问题典例

已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程.(1)与直线l1：x＋y－4＝0平行；解答解设切线方程为x＋y＋b＝0，(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；解答解设切线方程为2x＋y＋m＝0，(3)过切点A(4，－1).解答∴过切点A(4，－1)的切线斜率为－3，∴过切点A(4，－1)的切线方程为y＋1＝－3(x－4)，即3x＋y－11＝0.直线与圆综合问题的常见类型及解题策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形.(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题.思维升华跟踪训练(1)过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________.解析答案由题意知最短的弦过P(3,1)且与PC垂直，(2)过点P(2,4)引圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为___________________.答案解析x＝2或4x－3y＋4＝0解析当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即4x－3y＋4＝0.综上，切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.高考中与圆交汇问题的求解高频小考点与圆有关的最值问题及直线与圆相结合的题目是近年来高考高频小考点.与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面.解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化；直线与圆的综合问题主要包括弦长问题，切线问题及组成图形面积问题，解决方法主要依据圆的几何性质.考点分析一、与圆有关的最值问题典例1

(1)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0)，则

的最大值为A.6 B.7

C.8 D.9解析答案√解析∵A，B，C在圆x2＋y2＝1上，且AB⊥BC，∴AC为圆的直径，解析答案√二、直线与圆的综合问题典例2

(1)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于解析答案解析由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，∴圆心C(2,1)在直线x＋ay－1＝0上，∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，∴A(－4，－1).∴|AC|2＝36＋4＝40.又r＝2，∴|AB|2＝40－4＝36.∴|AB|＝6.√(2)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为解析答案√解析∵∠AOB＝90°，∴点O在圆C上.设直线2x＋y－4＝0与圆C相切于点D，则点C与点O间的距离等于它到直线2x＋y－4＝0的距离，∴点C在以O为焦点，以直线2x＋y－4＝0为准线的抛物线上，∴当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为|OD|.课时作业1.已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得的弦的长度为4，则实数a的值是A.－2 B.－4 C.－6 D.－8基础保分练12345678910111213141516解析答案√解析将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，故r2－d2＝4，即2－a－2＝4，所以a＝－4，故选B.2.圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为

的点共有A.1个

B.2个

C.3个

D.4个解析圆的方程可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线的距离

，半径是2

，结合图形可知有3个符合条件的点.解析答案√123456789101112131415163.(2018·福州模拟)过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为答案12345678910111213141516√解析圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1,0)，半径为1，以|PC|＝＝2为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－

.解析4.(2017·广州调研)若点A(1,0)和点B(4,0)到直线l的距离依次为1和2，则这样的直线有A.1条

B.2条

C.3条

D.4条答案√12345678910111213141516解析

如图，分别以A，B为圆心，1,2为半径作圆.由题意得，直线l是圆A的切线，A到l的距离为1，直线l也是圆B的切线，B到l的距离为2，所以直线l是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线).解析5.(2017·福建漳州八校联考)已知点P(a，b)(ab≠0)是圆x2＋y2＝r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，直线l的方程为ax＋by＝r2，那么A.m∥l，且l与圆相交

B.m⊥l，且l与圆相切C.m∥l，且l与圆相离

D.m⊥l，且l与圆相离解析答案√12345678910111213141516解析∵点P(a，b)(ab≠0)在圆内，∴a2＋b2<r2.∵圆x2＋y2＝r2的圆心为O(0,0)，故由题意得OP⊥m，12345678910111213141516∴m∥l，l与圆相离.故选C.6.(2018·洛阳二模)已知圆C的方程为x2＋y2＝1，直线l的方程为x＋y＝2，过圆C上任意一点P作与l夹角为45°的直线交l于点A，则|PA|的最小值为解析答案12345678910111213141516√解析方法一由题意可知，直线PA与坐标轴平行或重合，不妨设直线PA与y轴平行或重合，设P(cosα，sinα)，则A(cosα，2－cosα)，123456789101112131415167.(2016·全国Ⅲ)已知直线l：x－

y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝___.解析123456789101112131415164答案令y＝0，则xC＝－2，xD＝2，∴|CD|＝2－(－2)＝4.8.(2017·兰州调研)点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是________.12345678910111213141516解析把圆C1、圆C2的方程都化成标准形式，得(x－4)2＋(y－2)2＝9，(x＋2)2＋(y＋1)2＝4.圆C1的圆心坐标是(4,2)，半径是3；圆C2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2.解析答案9.过点P(1，

)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则

＝_____.解析由题意，得圆心为O(0,0)，半径为1.如图所示，解析答案12345678910111213141516则|OP|＝2，∴∠OPA＝30°，∴∠APB＝60°.10.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是_____.解析圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心为(4,0).由题意知(4,0)到kx－y－2＝0的距离应不大于2，解析12345678910111213141516答案11.已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M.(1)若点P运动到(1,3)处，求此时切线l的方程；解答12345678910111213141516解把圆C的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圆心为C(－1,2)，半径r＝2.当l的斜率不存在时，此时l的方程为x＝1，C到l的距离d＝2＝r，满足条件.当l的斜率存在时，设斜率为k，得l的方程为y－3＝k(x－1)，即kx－y＋3－k＝0，12345678910111213141516即3x＋4y－15＝0.综上，满足条件的切线l的方程为x＝1或3x＋4y－15＝0.12345678910111213141516(2)求满足条件|PM|＝|PO|的点P的轨迹方程.解答12345678910111213141516解设P(x，y)，则|PM|2＝|PC|2－|MC|2＝(x＋1)2＋(y－2)2－4，|PO|2＝x2＋y2，∵|PM|＝|PO|，∴(x＋1)2＋(y－2)2－4＝x2＋y2，整理，得2x－4y＋1＝0，∴点P的轨迹方程为2x－4y＋1＝0.12.已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方.(1)求圆C的方程；解答12345678910111213141516所以圆C的方程为x2＋y2＝4.(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.解答12345678910111213141516解当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，12345678910111213141516即2x1x2－(t＋1)(x1＋x