高考数学人教A版理科第一轮复习课件第八章立体几何87

8.7

立体几何中的向量方法-2-知识梳理双基自测234151.直线的方向向量与平面的法向量(1)直线l上的非零向量e以及与

的非零向量叫做直线l的方向向量.

(2)如果表示非零向量n的有向线段所在直线

平面α,那么称向量n垂直于平面α,记作

.此时把

叫做平面α的法向量.

e共线

垂直于

n⊥α向量n-3-知识梳理双基自测234152.线面关系的判定设直线l1的方向向量为e1=(a1,b1,c1),直线l2的方向向量为e2=(a2,b2,c2),平面α的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面β的法向量为n2=(x2,y2,z2).(1)如果l1∥l2,那么e1∥e2⇔

⇔

.

(2)如果l1⊥l2,那么e1⊥e2⇔

⇔

.

(3)若l1∥α,则e1⊥n1⇔e1·n1=0⇔

.

(4)若l1⊥α,则e1∥n1⇔e1=μn1⇔

.

(5)若α∥β,则n1∥n2⇔n1=kn2⇔

.

(6)若α⊥β,则n1⊥n2⇔n1·n2=0⇔

.

e2=λe1

a2=λa1,b2=λb1,c2=λc1e1·e2=0

a1a2+b1b2+c1c2=0a1x1+b1y1+c1z1=0a1=μx1,b1=μy1,c1=μz1x1=kx2,y1=ky2,z1=kz2x1x2+y1y2+z1z2=0-4-知识梳理双基自测234153.利用空间向量求空间角(1)两条异面直线所成的角①范围:两条异面直线所成的角θ的取值范围是

.

②向量求法:设异面直线a,b的方向向量为a,b,直线a与b的夹角为θ,a与b的夹角为φ,则有cosθ=

.

(2)直线与平面所成的角①范围:直线和平面所成的角θ的取值范围是

.

②向量求法:设直线l的方向向量为a,平面的法向量为u,直线与平面所成的角为θ,a与u的夹角为φ,则有sinθ=

或cosθ=sinφ.

|cosφ||cosφ|-5-知识梳理双基自测23415(3)二面角①范围:二面角的取值范围是

.

②向量求法:若AB,CD分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的异面直线,则设n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则图②中向量n1与n2的夹角的补角的大小就是二面角的大小;而图③中向量n1与n2的夹角的大小就是二面角的大小.[0,π]-6-知识梳理双基自测23415-7-知识梳理双基自测234152-8-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)直线的方向向量是唯一确定的.(

)(2)平面的单位法向量是唯一确定的.(

)(3)若两条直线的方向向量不平行,则这两条直线不平行.(

)(4)若空间向量a平行于平面α,则a所在直线与平面α平行.(

)(5)两条直线的方向向量的夹角就是这两条直线所成的角.(

)答案答案关闭(1)×

(2)×

(3)√

(4)×

(5)×

-9-知识梳理双基自测234152.(教材习题改编P113T11)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为

(

)答案解析解析关闭答案解析关闭-10-知识梳理双基自测234153.已知直三棱柱ABC-A1B1C1在空间直角坐标系中,如图所示,且CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为(

)答案解析解析关闭答案解析关闭-11-知识梳理双基自测234154.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1,则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为

.

答案答案关闭-12-知识梳理双基自测23415-13-知识梳理双基自测234155.已知P是二面角α-AB-β棱上的一点,分别在平面α,β上引射线PM,PN,如果∠BPM=∠BPN=45°,∠MPN=60°,那么二面角α-AB-β的大小为

.

答案答案关闭90°

-14-知识梳理双基自测23415-15-考点1考点2考点3例1如图所示,平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点.求证:PB∥平面EFG.思考用向量法证明平行和垂直的关键是什么?-16-考点1考点2考点3证明

∵平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,△PAD是直角三角形,∴AB,AP,AD两两垂直.以点A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0).-17-考点1考点2考点3-18-考点1考点2考点3解题心得1.恰当建立空间直角坐标系,准确表示各点与相关向量的坐标,这是运用向量法证明平行和垂直的关键.2.证明直线与平面平行,只需要证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零,或证直线的方向向量与平面内不共线的两个向量共面,然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算问题.3.证明直线与直线垂直,只需要证明两条直线的方向向量垂直,而直线与平面垂直、平面与平面垂直可转化为直线与直线垂直.-19-考点1考点2考点3对点训练1如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)证明:AP⊥BC;(2)若点M是线段AP上一点,且AM=3.试证明平面AMC⊥平面BMC.-20-考点1考点2考点3证明

(1)如图所示,以点O为坐标原点,分别以射线OD,OP为y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz.则O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4).-21-考点1考点2考点3-22-考点1考点2考点3例2如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点.(1)求证:B1E⊥AD1.(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.思考立体几何开放性问题的求解方法有哪些?-23-考点1考点2考点3-24-考点1考点2考点3-25-考点1考点2考点3解题心得立体几何开放性问题的求解方法有以下两种:(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想,找出点或线的位置,然后加以证明,得出结论;(2)假设所求的点或线存在,并设定参数表达已知条件,根据题目要求进行求解,若能求出参数的值且符合已知限定的范围,则存在这样的点或线,否则不存在.本题是设出点P的坐标,借助向量运算,判定关于z0的方程是否有解.-26-考点1考点2考点3对点训练2如图所示,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的

倍,P为侧棱SD上的点.(1)求证:AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC?若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由.-27-考点1考点2考点3-28-考点1考点2考点3-29-考点1考点2考点3考向一

利用空间向量求异面直线所成的角例3如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC.(1)证明:平面AEC⊥平面AFC;(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.思考如何利用向量法求异面直线所成的角?-30-考点1考点2考点3-31-考点1考点2考点3从而EG2+FG2=EF2,所以EG⊥FG.又AC∩FG=G,可得EG⊥平面AFC.因为EG⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面AFC.-32-考点1考点2考点3-33-考点1考点2考点3考向二

利用空间向量求直线与平面所成的角例4在平面四边形ABCD中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD.将△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如图.(1)求证:AB⊥CD;(2)若M为AD中点,求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.思考如何利用向量法求线面角?-34-考点1考点2考点3

(1)证明

∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AB⊂平面ABD,AB⊥BD,∴AB⊥平面BCD.又CD⊂平面BCD,∴AB⊥CD.(2)解

过点B在平面BCD内作BE⊥BD,如图.由(1)知AB⊥平面BCD,BE⊂平面BCD,BD⊂平面BCD,∴AB⊥BE,AB⊥BD.-35-考点1考点2考点3-36-考点1考点2考点3-37-考点1考点2考点3考向三

利用空间向量求二面角的大小例5(2017全国Ⅰ,理18)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值.思考如何利用向量法求二面角?-38-考点1考点2考点3(1)证明:由已知∠BAP=∠CDP=90°,得AB⊥AP,CD⊥PD.由于AB∥CD,故AB⊥PD,从而AB⊥平面PAD.又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.-39-考点1考点2考点3(2)解:在平面PAD内作PF⊥AD,垂足为F.由(1)可知,AB⊥平面PAD,故AB⊥PF,可得PF⊥平面ABCD.-40-考点1考点2考点3设m=(x,y,z)是平面PAB的法向量,-41-考点1考点2考点32.利用向量法求线面角的方法:(1)分别求出斜线和它在平面内的射影的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角);(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(或钝角的补角),取其余角就是斜线和平面所成的角.-42-考点1考点2考点33.利用向量法求二面角的方法:(1)分别在二面角的两个半平面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小;(2)通过平面的法向量来求:设二面角的两个半平面的法向量分别为n1和n2,则二面角的大小等于<n1,n2>(或π-<n1,n2>).应注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角.-43-考点1考点2考点3对点训练3(1)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,E是PC的中点.已知AB=2,AD=2,PA=2.求:①△PCD的面积;②异面直线BC与AE所成的角的大小.

-44-考点1考点2考点3-45-考点1考点2考点3-46-考点1考点2考点3-47-考点1考点2考点3(2)(2017江苏,22)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=,∠BAD=120°.①求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值;②求二面角B

-A1D

-A的正