2025中考数学专项复习：特殊四边形和圆的相关证明和计算100题（含答案）

特殊四边形和圆的相关证明和计算100题

2025中考数学专项复习含答案

特殊旧边形及图的相关证明与计第

目录

题型一矩形的性质与判定................................................................2

题型二菱形的性质与判定................................................................6

题型三正方形的性质与判定..............................................................10

题型四垂径定理........................................................................18

题型五圆周角定理......................................................................22

题型六点、直线、圆的位置关系..........................................................28

题型七正多边形和圆....................................................................37

题型八弧长和扇形面积..................................................................41

题型一矩形的性质与判定

1.（2024•河北•模拟预测）在△ABC中，NABC=90。，。是AC的中点，求证：BO=~AC.

证明：如图，延长80至点。，使OD=BO,连接AD,CD.

：.AC=BD=2OB,

:.BO=^AC.

下面是“……”部分被打乱顺序的证明过程:①.•.四边形ABCD是平行四边形;②•.•乙4BC=90。；③：

OA=OC,OB=OD；④：.四边形ABC©是矩形，则正确的顺序是（）.

A.③①②④B.③②①④C.②③①④D.②①③④

2.（2024・湖北•模拟预测）如图，在四边形ABC©中，BC=5,NACB+乙4DB=90。,连接48,CD,若AB

=AD,/\ABC的面积为3,则CD的长为.

3.（2024•西藏・中考真题）在数学综合实践活动中，次仁和格桑自主设计了“测量家附近的一座小山高度”的

探究作业.如图，次仁在人处测得山顶。的仰角为30。；格桑在B处测得山顶。的仰角为45。.已知两人

所处位置的水平距离MN=210米，A处距地面的垂直高度AM=30米，口处距地面的垂直高度BN=

20米，点F,N在同一条直线上,求小山CF的高度.（结果保留根号）

_____________眇

4.（2024•山东•模拟预测）如图，在口ABCD中，4B=2,BC=5,延长。。至点E,使CE=。。,连接AE,

交于点斤，连接ZAFC=2ZD.

（1）求证：四边形是矩形;

⑵求口ABCD的面积.

5.（2024•河北•模拟预测）如图1,在电△4BC中，乙4cB=90。，47=6,BC=8,延长C4至点。，使40

=8,连接BD,以AD为直径的。。绕点/顺时针旋转.

图3

⑴如图2,旋转。时，。。与AC第一次相切.

（2）在⑴的条件下,判断。O与BD的位置关系并加以证明.

（3）如图3,若。。与相切于点M,与CA相交于点N,设阴影部分的面积为S,求S的值.

6.（2024.安徽.模拟预测）某超市自动扶梯路线如图所示，一楼扶梯CD段坡角为20。，中转平台。E〃口C,

二楼扶梯AE段坡角为30。，已知CD=15m,LE=6m,AE=12m,求水平距离BC的长.（结果精确到

0.1m,参考数据：sin20*0.34,cos20*=0.94,tail20,；：036,73=：1.73）

7.（2024.安徽.三模）如图，4ABC中，AB=30,以AB为直径的OO经过点C,交△4BC的角平分线AD

于点。，。后是。。的切线，交AC延长线于点E.

（1）求证：BC//DE；

（2）延长AB交ED的延长线于点尸，tan"=,，求CE的长.

8.（2024•全国•二模）高楼AB和斜坡CD的纵截面如图所示，斜坡CD的底部点。与高楼的水平距离

CB为30米，斜坡CD的坡度（坡比）i12.4，坡顶。到8C的垂直距离Z®=10米，在点。处测得高楼

楼顶点人的仰角为50°,求楼的高度（结果精确到0.1米）.（参考数据：sin508^0,766,

cos5『=0.643,tan5THi192）

___________F

9.（2024•山西•模拟预测）图1是某路口临时设置的一个太阳能移动交通信号灯，图2是信号灯的几何图形,

信号灯由太阳能板、支架、指示灯、灯杆、底座构成，该信号灯是轴对称图形.灯杆4。高15m,太阳能板

MM=W=102cm,且。，后是靠近N,Q的三等分点，支架从D=HE=80cm.经过调研发现，当太阳能

板MN与支架AD所成的ZA4D2=104°,且支架AD与灯杆AC所成的乙以。=135°时，太阳能板接收的

光能最充足，信号灯的续航时间最长，求此时点M到底座上底面的距离.（结果精确到1cm）

（参考数据:331・0.52,co»31*0.86,tan31*s0.（50,72si414）

图1图2

10.（2024•江西•模拟预测）如图1是某小区门口的门禁自动识别系统，主要由可旋转高清摄像机和其下方固

定的显示屏构成.图2是其结构示意图，摄像机长AB=20an，点。为摄像机旋转轴心，。为的中

点，显示屏的上沿CD与4B平行，CD=15cm,力3与CD连接，杆OE_L48,OE=10cm,CE=2ED，点

C到地面的距离为60cm.若AB与水平地面所成的角的度数为35°.

3

D

地面

图I

（1）求显示屏所在部分的宽度CM；

（2）求镜头人到地面的距离.

（参考数据：sin35°x0.574,cos35°*0.819,tan350=0.700，结果保留一位小数）

口__________

题型二

IL(2024.辽宁・模拟预测)如图，已知-八。8,以点。为圆心，适当长为半径画弧，弧与角的两边分别交于点

C,D.再分别以点为圆心，大于/CD的长为半径画弧,两弧在_HOB内交于点p,连接OP,过点

P分别作PE//OA,交OB于点、E,PF//OB,交OA于点、F.若40B=60°,OP=6cm,则四边形

A.12V3cm;B.sV3an;c.6"an：D.4/an：

12.(2024•上海•模拟预测)如图1两张等宽的矩形纸片，矩形纸片班不动，将矩形纸片ABCD按如图2

方式缠绕:先将点B与点E重合,再依次沿FG、H对折，点A、。所在的相邻两边不重叠、无空隙，最后

AD边刚好经过点G.

图1图2

若即=5,则G。长为

13.(2024.浙江.模拟预测)【综合探究】如图所示，四边形ABCD为菱形，A8=6cm,ZDAB=60。，点p从点A

向点。运动，速度为1cm/s,运动时间为，秒(0V<6).过点p作月。的垂线交直线乂B于点为

建'的外接圆，交菱形对角线力。于点G,连接PG.BG.

(1)求证:PG=AP.

(2)当，为何值时，BG与。。相切？

(3)当t为何值时，ACBG为等腰三角形？

___________F

14.（2024・云南•模拟预测）如图，在电^ACD中，44CD=90。,R是边月。上的一点，连接,E是外

一点且满足：月，丝.刘，力。平分J&IE,连接EE交4D于点。.

（1）求证：四边形月BDE是菱形;

OC.

⑵连接OC,若04=2而，。8.，求CD的长.

15.（2024.黑龙江.模拟预测）如图,在平面直角坐标系中，矩形的边OC与X轴重合，。力与『轴重合,

BC・2,D是。。上一点，且8,。。的长是一元二次方程r-51+4=0的两个根（OD>DC\

⑴求线段0°，℃，血的长；

（2）在射线月8上有一动点p（不与点4B重合），点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线

月B方向匀速运动，到终点R停止，设运动的时间为，秒，过点P作郎.,即交射线4D于点E,

PF月。交射线于点尸，求四边形。曲歹的面积s与时间，的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，在点F运动的过程中，平面内是否存在点。，使以4DHQ为顶点的四边形是菱

形？若存在，请直接写出点。的坐标;若不存在,请说明理由.

16.（2024.广东广州.三模）如图，&须。中，力Q9，颐-3.0）,48绕点8顺时针旋转与BC重合，点C在①轴

.）n

上,连接力。，若反比例函数,.三与直线力。仅有一个公共点E.

⑴求直线力。和反比例函数1=三的解析式；

⑵已知A47。与一4BC关于直线乂。对称.

①尺规作图:作二月C。；（保留作图痕迹，不写作法.）

②若月。与反比例函数交于点F,连接"，求ARCD的面积.

17.（2024.河南关B州.三模）如图，平行四边形H5CD中，ZXDB-90°,点M为的中点，连接DM.

⑴过点B作成DM,交CD于点、N（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）;

⑵求证：四边形DMBN为菱形;

（3）若平行四边形月BCD的周长为18,50=3，求四边形的面积.

18.（2024•吉林长春•模拟预测）在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，抛物线J-/+枚（》是常数）经过

°）,点A在抛物线上，横坐标为加，点8的坐标为（％…L4）,过点B作BD垂直该抛物线的对称轴于

点D

（1）求该抛物线对应的函数表达式及对称轴；

（2）当点A落在直线BD上时，求点B的坐标；

（3）连结BA并延长交抛物线对称轴于点C,作点/关于抛物线对称轴对称点4,连结4D、CA'和DA'.

A'D

①求正的值；

5

②当A在对称轴左侧时，若四边形C4DT的周长与一加。周长之比为彳，直接写出所有满足条件的加

的值.

19.（2024.云南昆明.模拟预测）如图，在矩形月反少中（月8>8。），对角线幺U8。相交于点O,延长5C到

点瓦使得CE-，连接DE,点斤是DE的中点，连接CF.

⑴求证：四边形DOCF是菱形；

（2）若矩形月BCD的周长为20,月。=S，求四边形。OCb的面积.

20.（2024•吉林长春•一模）如图，矩形AEBO的对角线交于点斤，延长AO到点。，使。。=。4,延

长BO到点。，使OD=OB,连接AD.DC、BC.

⑴求证：四边形4BCD是菱形.

（2）若OE=20,」BCD-60°,则菱形乂5CD的面积为

题型三正方形的性质与判定

21.（2024.四川成都.模拟预测）如图，在RIAABC中，乂。=BC-2®,ZACB=90。，。是的中点，以点0

为圆心，作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰好在全上（点E,尸不与点C重合），半径DE,。尸分别与

AC,相交于点G,H,则阴影部分的面积为.

22.（2024.陕西西安.一模）如图，在矩形48。。中，43=4，BC=S，点E是边CD的中点，点F是边BC上的

一个动点，UkE与△氏；£关于即对称，连接4G.当点G恰好落在矩形物D的对称轴上时，CF

的长为

23.(2024•贵州・模拟预测)综合与探究：在四边形48CD中，p为对角线BD上的动点，点E,歹分别在A。,

(1)【动手操作】

如图①，若四边形月5CD为正方形，P为对角线47,8。的交点，*，歹分别为的中点时，连接

PE，PF，根据题意在图①中画出PE,P尸，则ZEPF为度；

(2)【问题探究】

如图②，四边形力BCD为菱形,4。。・120°,P为对角线的交点，且一用*=60•，探究线段DE,

DF之间的数量关系,并说明理由；

(3)【问题解决】

如图③，在⑵的条件下，若点P在对角线上，菱形的边长为8,切・7,,求/)£的长.

24.（2024•广东•模拟预测）如图，在等腰直角一月BC中，AB=AC,/a4c=90°，点E为月。的中点，

EF=EC,将线段EF绕点E顺时针旋转90°,连接FG、FC；点。为BC中点，连接GQ,直线GD与直线

C尸交于点N.

⑴如图1,若4r4・30・，DC•而，求”的长；

⑵连接BG并延长至点V,使SG・A/G,连接卯.

①如图2,若求证--亏3；

4FG

②如图3,当点G、尸、8共线时，N5Cff=90。，连接Cff，请直接写出面的值.

___________F

25.(2024・广东•模拟预测)如图，在等腰直角一月BC中，月8=幺。，/坳。=90°,点E为幺C的中点，

EF=EC,将线段E尸绕点E顺时针旋转90•，连接所、FC；点。为BC中点，连接GD,直线GD与直

线“交于点

⑴如图1,若/也1・3(F,DC♦而，求CF1的长；

(2)连接BG并延长至点M,使BG・MG,连接5/.

_如

①如图2,若求证：公=亏，”；

_4FG

②如图3,当点G、尸、a共线时，4BCH=90。，连接5，8=产。，请直接写出两的值.

26.（2024・吉林•模拟预测）如图，在RtLABC中，乙4。8=90。，乂。=3,50=4,动点。从点4出发，以每秒1

个单位长度的速度向终点口运动，将线段X?绕点尸顺时针旋转90°得到线段也，连接力。，以4R4。

为邻边作nAPDQ.设。月尸。。与一月BC重叠部分图形的面积为S,点P的运动时间为t秒#>°）.

⑴直接写出D。的长（用含t的代数式表示）；

⑵当点。落在_力50的边上时，求t的值；

⑶当。月与一45。重叠部分图形为四边形时，求S与力之间的函数关系式，并写出土的取值范围.

___________F

27.(2024•广东•模拟预测)综合运用

如图1,在平面直角坐标系中，点A为(0.4),点B为例，°),连接4B.

提出问题：

(1)如图2,以月R为边在月B右侧构成正方形nBCD,且正方形的边与J轴相交于点后，用含力的

代数式表示此时点E的坐标；

问题探究：

(2)如图3,以nB为对角线构成正方形且正方形4CSQ的边与J轴相交于点E,当时，求

线段段:方的值；

问题深化：

(3)若以48为边在AB右侧构成正方形ABCD,过点。作DFlx轴于点尸，连接，令^CDF的面积

为S，求S关于”的函数关系式.

图1图2图3

28.（2024•湖南长沙•中考真题）对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四

条边都与同一个圆相切），

可分为四种类型，我们不妨约定：

既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形；

只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形；

只有内接圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形；

既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形.

请你根据该约定,解答下列问题：

（1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“V”,错误的打“X”，

①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形；（）

②内角不等于90°的菱形一定是“内切型单圆”四边形；（）

③若''完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R,内切圆半径为r,则有

R=/.（）

（2）如图1,已知四边形HBCD内接于。。，四条边长满足：+

①该四边形/BCD是“"四边形（从约定的四种类型中选一种填入）；

②若4BAD的平分线4E交。。于点E,NBCD的平分线CF交。。于点尸，连接酊.求证：即是。。

的直径.

（3）已知四边形月BCD是“完美型双圆”四边形，它的内切圆O。与48,BC,CD,力。分别相切于点E,

F,G,H.

①如图2.连接欧?，FH交于点p.求证：EGLFH.

②如图3,连接OB.OC,若。4・：!，08=6,。。=3,求内切圆。。的半径「及。0的长.

__________W

29.（2024•吉林・中考真题）图①、图②均是4x4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.点4B,C,

均在格点上.图①中已画出四边形图②中已画出以为半径的。。，只用无刻度的

直尺，在给定的网格中按要求画图.

⑴在图①中，面出四边形幺灰7）的一条对称轴.

（2）在图②中，画出经过点E的。。的切线.

30.（2024・贵州・中考真题）综合与探究:如图，乙1OB=90°,点P在乙4OB的平分线上，以1于点4

（1）【操作判断】

如图①，过点？作81。8于点C,根据题意在图①中画出汽:图中一APC的度数为度；

（2）【问题探究】

如图②，点河在线段火。上，连接小，过点尸作小J.PM交射线于点N,求证：OM+ON-：!P4；

（3）【拓展延伸】

点M在射线月。上，连接4九过点P作肘_L血交射线OB于点、N,射线A”与射线R?相交于点尸,

OP

若ON=3OM,求彳的值.

・.里也,桑径定理

31.（2024•陕西西安・模拟预测）唐代李皋发明了“桨轮船”，他设计的桨轮船在船的舷侧或尾部装有带有桨叶

的桨轮，通过人力踩动桨轮轴来推动船体前进.这种船的桨轮下半部浸入水中上半部露出水面，因其推

进方式类似车轮，故又被称为“桨轮船”或“轮船”.如图，该桨轮船的轮子的横截面为。。，轮子被水面

截得线段A8长为12m，轮子的吃水深度CD长为2m，则该桨轮船轮子半径为（）

A.8mB.6mC.10mD.12m

32.（2024•吉林长春•一模）如图，简车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全

书》中描绘了简车的工作原理，简车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方,

且圆的半径以长为6米，NQ45-42。.则简车盛水桶到达的最高点。到水面乂B的距离是（）

A.6sin4TB.6+6sin4TC.6+6cos42°D.6+6tan42,

33.（2024・湖北•一模）一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺,测量一次性纸杯杯口的直径.小

明同学所在的学习小组设计了如下方法:如图,将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相

交于A、B、。四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为7cm,AB-3cm,CD-6cm.请你根据上述

数据计算纸杯的直径是（）

D.10.2cm

34.（2024•江苏南京•一模）圆在中式建筑中有着广泛的应用.如图，某园林中圆弧形门洞的顶端到地面的高1

度为23m,地面入口的宽度为1m，门枕的高度为03m，则该圆弧所在圆的半径为m.

_________亩

35.（2024•浙江杭州•模拟预测）江南水乡杭州有很多小河和石拱桥，石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之

一，它的主桥拱是圆弧形.如图，已知曲院风荷的一座石拱桥的跨度6米，拱高CD=有米,那么桥

拱所在圆的半径。力=米，弧的长度为米.

D~7^8

6

36.（2024•山东济南•模拟预测）《九章算术》中有这样一道题:“今有圆材埋于壁中，不知大小.以锯锯之，深

一寸，锯道长一尺.问径几何?”其大意为:今有一圆柱形木材埋在墙壁中，不知其大小.设其横截面为

。。，用锯子去锯这个木材,锯口深为1寸,锯道长CD为1尺.由此可得这块圆柱形木材横截面的

直径是尺.（注：1尺=10寸）

37.（2024•云南昆明•一模）往一个圆柱形管道内注入一些水以后，发现其横截面如图所示，若水面宽A8为

24an，水的最大深度CD为8cm，求圆柱形管道横截面的直径.

C

38.(2024•广东广州•模拟预测)定义:三角形一边上的点将该边分为两条线段,且这两条线段的乘积等于这

个点到这边所对顶点连线段的平方，则称这个点为这个三角形该边的“好点”.如图1,在一月BC中，点

。是BC边上的一点，连接功，若8,则称点。是一月质？中边的“好点”.

⑴如图1,在_®中，BC=4,若点。是边BC的“好点”，且%)=1，则线段切的长是；

⑵如图2,0。是一月BC的外接圆，点E在边上，连接CE并延长，交。。于点。，连接。后、2D、

4),若点E是一8co中边CD的“好点”，。后〃初，求证炉+E。2；

(3)在(2)的条件下，点P是。。上一点,连接。尸交4。于点Q,连接。尸、。。，若。3=6,一朝为等

腰直角三角形，。。1。尸，求月。的长.

眇

39.（2024•陕西西安・模拟预测）【问题提出】

如图1,在中，4。=丝,式'=4,作①）//5,垂足为月，且也）・48,连接8,求一88的面积.

【问题解决】

某市着力打造宜居宜业现代化生态城市，为了呈现出园在城中秀，湖在园中美的迷人画卷，如图2所示,

现在一处空地上规划一个五边形湖景公园ABCDE.按设计要求,要在五边形湖景公园ABCDE内挖个四

边形人工湖即GH，使点尸，G分别在边CD即上，且&=*=网=100屈1,加6=90°,

N盟7G・60・.已知五边形阳皿中，4=NB=NC=90°,BC=60（hn,DC=500m.为满足人工湖的造

景需要，想让人工湖面积尽可能大.请问，是否存在符合设计要求的画积最大的四边形人工湖即'GH?

若存在，求四边形即G目面积的最大值;若不存在，请说明理由（结果保留根号）.

图1图2

40.(2024.辽宁.一模)如图，乂B是。。的直径，CD是的弦，481CD,垂足是点过点。作直线分别

与AB,nD的延长线交于点E,尸，且ZECD=2Z.BAD.

(1)求证：C尸是。。的切线.

(2)如果46=10,CD・6

①求月后的长.

②求一曲的面积.

题型五

41.(2024.安徽合肥.一模)如图，乂B为0。的直径，弦CD1>15,垂足为点以连接。C,若。。的半径为4,

zL4BD=30°,^ijCD-()

B

A.V3+4B.2>/3+2C.4史D.4"

42.（2024・湖南•模拟预测）如图，乂M是半圆。的直径,6,点4靠近点M）是半圆O的三等分点，点B

是弧AN上一动点，乂Cl48交BM于点。，当点B从人运动至点N时，点。运动的路径长是.

43.（2024•甘肃・模拟预测）鸳鸯玉是指产于甘肃武山县鸳鸯镇一带的超基性岩石,又名蛇纹石玉，因其结构

细密,质地细腻坚韧，抗压、抗折、抗风化性好，可琢性强，光泽晶莹，而成为玉雕工艺品、高档农具的配套

镶嵌和高级饰面之理想材料.如图，是一个半径为3cm的半圆形的鸳鸯玉石是半圆O的直径，C,

。是弧上两点，乙1DC=13O°.张师傅在这块玉石上切割了一块扇形玉石（阴影部分）做吊坠，则这块扇

形玉石的面积是.

44.（2024.江苏南京.二模）如图，幺B、CD是。。的两条弦，力。与80相交于点E,48・CD.

⑴求证:乂0=肛

（2）连接BC，作直线瓦），求证：EO.

45.（2024.湖南.模拟预测）综合与实践

“乐思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论:对角互补的四边形四个顶点共圆.该小组继续

利用上述结论进行探究.

提出问题：

如图1,在线段/C同侧有两点连接4DM5BUCD,如果NB=/D,那么0,0四点在同一

个圆上.

探究展不：

如图2,作经过点A,C,。的O，在劣弧力。上取一点E（不与A,。重合），连接月E,CE，则

乙耽+/。-180。（依据1）

；NB=ZD，

Z2JC+ZB-180*.

.••点A,B,c,E四点在同一个圆上.（对角互补的四边形四个顶点共圆）

.•.点在点所确定的,。上.（依据2）

.•.点A,B,C,D四点在同一个圆上.

反思归纳：

（1）上述探究过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？

依据1：.

依据2：.

如图3,在四边形ABCD中，Nl=Z2.Z3=45。，则N4的度数为.

（2）拓展探究：

⑶如图4,已知一月BC是等腰三角形，［8=幺。，点。在BC上（不与BC的中点重合），连接⑷）.作点

。关于4D的对称点E,连接踮并延长交加）的延长线于点尸，连接力£DE.求证：4,。，B,E四点共

圆.

46.（2024.贵州.模拟预测）如图，0。是_45。的外接圆，乂B是。。的直径，切线CD交乂B的延长线于点

。，施1CD,垂足为点瓦延长即交。。于点尸，连接

屏

⑴若/CKB=20°,则NCB4=度；

⑵求证：FC平分ZBF。；

RR4

（3）若。。的半径为4，■，求taM的值.

47.（2024・陕西•模拟预测）如图，一的内接于。。，。是0。的直径的延长线上一点，

ZPCff-一以。，过圆心。作BC的平行线交DC的延长线于点E.

⑴求证：CD是。。的切线；

⑵若AB~CE~4，求CD的长.

48.(2024.西藏・中考真题)如图，是。。的直径，C,。是。。上两点，连接力。，BC,。。平分4CD,

CE工DB,交D8延长线于点E.

C

(1)求证：Cff是。。的切线；

_3

sinD・一

⑵若。。的半径为5,5，求应)的长.

49.(2024・广东•模拟预测)如图，乂B是O。的直径，点C是半圆的中点，点。是O。上一点，连接CD交

于E,点斤是延长线上一点，且呼=D尸.

(1)求证：*'是。。的切线；

(2)连接BCBD,愈，若3°=，，。月・3,求0。的半径.

50.(2024•吉林长春•模拟预测)【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容.

通过该问题的证明，得出了直角三角形的一条性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

请根据教材内容.结合图①，写出完整的证明过程.

(1)如图②，已知4B是半圆。的直径.点。在半圆上，点。为RtA4BD的直角顶点，若CD平分

N4c5,则乙.

(2)如图③,在RtZUBC中，2C・90°,4。-4,・3,点。为边CB上的定点，点p为射线加上的动

点，连结CP.当线段BP的长度最短时，若。2,则点。到射线功的距离为

题型六点、直线、圄的位置关系

51.（2024・浙江•模拟预测）如图，X,匕2是某社区的三栋楼，打-401】】，W=30血，月-5011].若在XZ中

点河处建一个5G网络基站，该基站的覆盖半径为26m,则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是

（）

52.（2024.湖北.模拟预测）一月BC的三边,从「，氏的长度分别是3,4,5,以顶点A为圆心，2.4为半径

作圆，则该圆与直线比的位置关系是（）

A.相交B.相离C.相切D.以上都不是

53.（2024・上海•模拟预测）如图，在梯形人反'D中，AD//BC,^8-9^,CD-\6,BC-22）+6,如果以CD

为直径的圆与梯形4BCD各边共有3个公共点（。，。两点除外），那么人。长的取值范围是（）

A.5<AD<i6B.5<>1D<8C.5<AD<iD.Q<AD<5

54.（2024・河南•模拟预测）如图，。。是㈤J的外接圆，点M是&HIJ的内心，若・7。°,则乙M的度数

55.（2024.河北.模拟预测）如图，一月50内接于。OH。为。。的直径，点。，后分别为。。上的动点（不与点

4点B,点。重合），且方=无，b为DE的中点，连接8.若月8=6金。=8,对于结论/,II,下列判断

正确的是（）

结论人连接BD,CD,CE,EB必得到等腰梯形；

结论II：连接力尸/尸的最大值为8.

A.1,11都对B.1,11都不对c./对n不对D./不对II对

56.（2024・上海冲考真题）在_女中，4。・3,»7・4,"・5”1^^在一月及？内，分别以4B、P为圆心

画，圆A半径为1，圆B半径为2,圆P半径为3,圆A与圆F内切，圆P与圆E的关系是（）

A.内含B.相交C.外切D.相离

57.（2024.湖北.模拟预测）如图，四边形是矩形，后为AB上一点，尸为CD上一点.AB-3，且

AB_BE

反7=而=，过点。作DG1,垂足为G,连接的，则BG的最小值为.

AD

BC

昌

58.（2024•山东•模拟预测）如图，在直线r一了,上取一点力，使0月・1.过点其作48L',交宓轴于点

,也.

瓦；在直线=丁'上找一点4,使48=04，过点儿作4月1/,交力轴于点耳；在直线,：

73

'~~上找一点A,使4B……以此类推.若心耳㉓］的内切圆圆心为0,二&8：的内切圆圆

心为q,_4OS,的内切圆圆心为Q……以此类推，二4OE的内切圆圆心「的坐标为

59.（2024.北京.模拟预测）平面中有四个点43,。,。［3交8于点〃使得41/*可・也*。”.三角形

乂5c的外接圆为。0.表示ZD。。和-24。的关系

60.（2024・上海•模拟预测）若相交两圆的半径分别为4和5,公共弦长为6,两圆圆心距长为.

61.（2024.天津.三模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点4b。均为格点，以A为圆心，幺。

长为半径的圆交乂B于点E.

（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P（点P,C在人B的两侧），使其满足

PA=BA,PE=BC.并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）.

62.（2024・上海・三模）在△ABC中，5C-6,$…-1S，正方形DEFG的边FG在BC上，顶点。，E分别在

AB,AC±..

⑴如图1,过点A作乂H1BC于点H,交〃于点K,求:正方形DEFG的边长；

(2)如图］，在BE上取点M,作MM1E0于点N,〃DE交48于点。，7，BC于点p,求证：四边

形MNP0是正方形；

tan』EBF~

(3)如图3,在BE上取点R,使成-尸E,连接及？，即，若4试判断点R与以GP为直径的

圆的位置关系并说明理由

63.(2024.北京.模拟预测)A和B为圆。上两定点，。为圆。上不与43重合的动点._月50的垂心为

H,M点为BC中点，连期交OK于。.连MCH.

⑴直接写出月H与。M的位置关系；

(2)探究AD和DM的数量关系，并证明；

(3)直接写出点。和点H在运动过程中所经过距离的比；

【思考题】以一48c为例证明:三角形的内心、外心、重心共线.

64.(2024・四川成都•模拟预测)如图，在中，BCJ■期，点/在BE上，以幺B为直径的。。交。。的延

长线于点G,过点E作即，CG于点F,ZFEB=ZECG.

(1)求证：Cff是。。的切线；

BC_4

(2)若丽=4,求tan/BC。的值.

65.(2024.上海.模拟预测)已知一4BC的内心为。VI.

(1)如果二月50的外心也为O,求证:一月BC为等边三角形,并尺规作线段4。；

ABAC

⑵延长40交边BC于E,求证：或=~CE.

66.（2024.上海.模拟预测）如图，是圆O直径，弦CE上AB,垂足为。，圆O周长为4万，乂。・2旧

（1）AE，求，，的内切圆的面积;

⑵BC,。£,求证：

67.（2024.湖南.模拟预测）如图，幺B为9的直径，C为。上一点，连接C5,过C作。）_LX5于点。，过

C作NDCE，使NDCE=2NBCD,其中CS交48的延长线于点E.

（1）求证:。%是G；。的切线.

⑵如图2,点F是。上一点，且满足4c£=?乙15C,连接行并延长交E。的延长线于点G.

①试探究线段”与CD之间满足的数量关系；

②若CD-4,回让"。*=：,求线段4r的长.

68.（2024.贵州.模拟预测）如图，四边形月BCD内接于。。，43=月。，ZABD=2CBE,BE交。。于点F,

三点共线.

（1）图中与月。相等的是；

⑵求证：私〃4）；

cos£*--

⑶若40=6,3，求（7E的长.

69.（2024.湖北.模拟预测）如图，点A，8，。，。都在。。上,4。。・120°，3是弧乂。的中点.

⑴求证：四边形乂BC。是菱形；

⑵若CD=4"D=5,求00的半径.

70.（2024・安徽・模拟预测）如图1,在平面直角坐标系中，二次函数『=\：+公+，的图象交汇轴于4（-1°）②

两点，月3=4，。为抛物线顶点.

（1）求b,C的值；

（2）点p为直线AC下方抛物线上一点，过点F作出11轴，垂足为点。，交4C于点M，是否存在

QM=3PM?若存在，求出此时p点坐标;若不存在,请说明理由；

CN+-AN

（3）如图2,以B为圆心，2为半径作圆，N为圆B上任一点，求2的最小值.

题型七正多边形和Bl

71.（2024•山西•模拟预测）《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法

来近似估算圆的面积，指出“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失

矣”.这部著作的作者是（）

A.祖冲之B.刘徽C.赵爽D.张衡

72.（2024.河北.模拟预测）如图，正六边形4BCD即和正六边形GHUKL均以点O为中心，连接

AG,BH,CI,EJ,EK,以（A,G,H三点共线），若二〃=3,则正六边形人优少射的边长为

（）

C.晒D.19

73.（2024.内蒙古.中考真题）如图，正四边形月BCD和正五边形。瓯汨内接于。。，4。和肝相交于点

则乙防的度数为（）

B.27,C.28,D.30-

74.（2024.浙江.一模）如图，正方形的边长为2，以八〃边上的动点。为圆心，08为半径作圆，将

-月。。沿翻折至若。。过—'3一边上的中点，则0。的半径为

75.（2024・湖南•模拟预测）如图,有一个亭子地基是半径为8米的正六边形,则地基的面积为平方米.

76.（2024•广东•模拟预测）《墨子・天志》记载:“轮匠执其规、矩，以度天下之方圆.”知圆度方，感悟数学之美.

如图，以正方形月BCD的对角线交点为位似中心，作它的位似图形,若四边形乂'8'。'。'的外接圆

半径为4,48:月3=2:1,则正方形月BCD的周长为.

77.（2024.广东.模拟预测）如图，已知正六边形4BCD*的边长为2,分别以顶点为圆心，正六边形边

长为半径画班.0b，两弧的交点为O,则图中阴影部分的面积为.

78.（2024・河北•模拟预测）某厂家要设计一个装彩铅的纸盒，已知每支笔形状、大小相同，底面均为正六边

形，六边形的边长为1cm,目前厂家提供了圆形和等边三角形两种作为底面的设计方案,我们以6支彩铅

为例，可以设计如图收纳方案一和收纳方案二，你认为底面积更小的是方案，两种方案底面积差

为（结果保留根号）

79.（2024•山西・中考真题）阅读与思考

____________回

下面是博学小组研究性学习报告的部分内容,请认真阅读，并完成相应任务.

关于"等边半正多边形”的研究报告

博学小组

研究对象:等边半正多边形

研究思路:类比三角形、四边形，按"概念-性质-判定”的路径，由一般到特殊进行研究.

研究方法:观察（测量、实验）-猜想-推理证明

研究内容：

【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等,且相间的角相等、相邻的角不相等,我

们称这个凸多边形为等边半正多边形.如图1,我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边

形，类似地,还有等边半正六边形、等边半正八边形…

【特例研究】根据等边半正多边形的定义,对等边半正六边形研究如下：

概念理解：如图2,如果六边形乂BCD呼'是等边半正六边形，那么月B=BC=CD=DE=M=班，

N4=NC=NE,,且〃.ZB.

性质探索:根据定义,探索等边半正六边形的性质,得到如下结论：

内角:等边半正六边形相邻两个内角的和为

对角线：

任务：

⑴直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容:.

（2）如图3,六边形4BCD即是等边半正六边形.连接对角线月D,猜想上刚。与AFAD的数量关系，并

说明理由；

（3）如图4,已知△40E是正三角形，。。是它的外接圆.请在图4中作一个等边半正六边形乂麻

（要求：尺规作图，保留作图痕迹,不写作法）.

80.(2024.上海.三模)新定义1：多边形顶点之间最长距离与