2025中考数学模拟试卷（南通卷）（全解全析）

2025年中考第一次模拟考试（南通卷）

数学•全解全析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题

目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1.计算-3+5的值为（）

A.-2B.2C.-8D.8

1.B

【分析】直接用有理数加法法则计算.

【详解】解：-3+5=2.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了有理数的加法，掌握有理数的加法运算法则，符号的确定是解题关键.

2.由陈凯歌、张一白、管虎等七位导演执导的电影《我和我的祖国》于2019年9月30日在全国上映，电

影票房便超过299400000元，数299400000用科学记数法表示为（）

A.0.2994XI09B.2.994X108

C.29.94X107D.2994X106

2.B

【分析】科学记数法的表示形式为aX10"的形式，其中lW|a|<10,〃为整数.确定w的值时，要看把

原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值N10时，n

是正数；当原数的绝对值<1时，w是负数.

【详解】解：将299400000用科学记数法表示为2.994X108,

故选:B.

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为"X10〃的形式，其中lW|a|<10,w

为整数，表示时关键要正确确定a的值以及"的值.

3.以下问题.不适合用全面调查的是（）

A.了解全班同学每周体育锻炼的时间

B.学校招聘老师，对应聘者进行面试

C.了解“神舟十五号”载人飞船发射前零部件的状况

D.某批种子的发芽率

3.D

【分析】根据全面调查需要简单易行，便于开展，要求精准，难度不大，无破坏性的特点，抽样调查是

会给调查对象带来损伤破坏，以及经费和时间非常有限等特点，对各个选项的调查进行判断即可.

【详解】解：4；全班学生的数量少，容易调查，.•.适合全面调查，故此选项不符合题意；

弘•••学校招聘的老师一般都是人员有限，数量较少，容易调查，...适合全面调查，故此选项不符合题意；

C.•.•人造飞船必须要精准，确保成功，.•.适合全面调查，故此选项不符合题意；

D.调查种子的发芽率，根据实际情况，不可能都让它们泡发，，适合抽样调查，不适合全面调查，故

此选项符合题意；

故选：D.

【点睛】本题主要考查了全面调查和抽样调查，解题关键是根据调查对象的范围的大小作出判断.

4.如图，点E在AB上，过点E作的垂线与CD相交于点尸，连接CE,若/ECD=40°,

A.40°B.45°C.50°D.55°

4.C

【分析】先利用平行线的性质可得NAEC=NECF=40。，再根据垂直定义可得/AEB=90°,然后利用

角的和差关系进行计算，即可解答.

【详解】W：\'AB//CD

：.ZAEC=ZECF=4Q°，

"：EFLAB,

：.ZAEF=90°，

：.ZCEF=ZAEF-ZAEC=50°,

故选：C.

【点睛】本题考查了垂线，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键.

5.一次函数y=乙+匕小，6为常数）的图象经过点尸（-2,-1）且y随着x的增大而减小，则该图象不

经过的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.A

【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质可得出上<0,b<0,再利用一次函数图象

与系数的关系，即可得出一次函数的图象经过第二、三、四象限，即一次函数>=依+6的图象

不经过第一象限.

【详解】解：•••一次函数的图象经过点P（-2,-1）,

-1—_2k+b,

:,b=2k-1.

随着尤的增大而减小，

.wo,

—VO,BPb<0,

.•.一次函数>=履+》的图象经过第二、三、四象限，

.•.一次函数y=fcc+6的图象不经过第一象限.

故选：A.

【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，

利用一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质，求出左<0,b<0是解题的关键.

6.在我国古代数学著作《九章算术》中记录着这样一个问题：“今有甲乙二人持钱不知钱数，甲得乙半而

钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”译文：“现有甲乙二人，不知其钱包里有多少

2

钱，若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己］的钱给乙，则乙的钱数也能为50.问甲、

乙各有多少钱？”设甲持钱数为x,乙持钱数为y,可列方程组（）

11

-%+y-5o%+-y-5o

A2B2

22

-y+%-5oy+%-5O

33-

1

rl%+y-5oX+-y-5o

c)D2

222

+-%-5oy+-X-5o

ly33

6.D

设甲的钱数为无，人数为y,根据“若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其|的钱给乙，则

乙的钱数也能为50”，即可得出关于尤，y的二元一次方程组，此题得解.

【详解】解：设甲的钱数为x,乙的钱数为》

1

X+-y5o

2-

依题意得,2

y+-X5O

3-

故选：D.

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解

题的关键.

7.下列说法不正确的是（）

A.一组邻边相等的矩形是正方形

B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形

C.等腰梯形的对角和相等

D.矩形的对角线互相垂直平分

7.D

【分析】根据正方形、菱形、等腰梯形、矩形的性质，即可解答.

【详解】解：A、一组邻边相等的矩形是正方形，正确；

2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确；

C、等腰梯形的对角和相等，正确；

。、矩形的对角线互相平分，故错误.

故选：D.

【点睛】本题考查了正方形、菱形、等腰梯形、矩形的性质，解决本题的关键是熟记正方形、菱形、等

腰梯形、矩形的性质.

8.若关于尤的不等式3祖-2%<9的解集是x>3,则实数的值为（）

11

A.5B.4C.3D.—

3

8.A

【分析】根据解不等式，可得不等式的解集，根据不等式的解集，可得关于初的方程，根据解方程，可

得答案.

【详解】解：解3%-2尤<9,得无>驾2

3??i—9

由不等式的解集，得力一=3.

解得m=5.

故选：A.

【点睛】本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出关于根的方程是解题关键.

一

9.如图，在平面直角坐标系中，OA与％轴相切于点8,C3为。A的直径，点C在函数y=Tk（Z>0,%>0）

7

的图象上，。为y轴上一点，△ACD的面积为5，则上的值是（）

9.B

【分析】根据反比例函数％值的几何意义解答即可.

【详解】解：如图，连接OC,OA,

・・・。4与X轴相切于点3,C3为OA的直径，

CB1.X轴，

・・・8C〃y轴，

._7

:・SAACD=SAOAB=2，

7

•'・Z=2SABOC=2X2S/XOAB=2X2x之=14.

故选：B.

【点睛】本题考查了反比例函数女值的几何意义，熟练掌握女值的几何意义是关键.

2

10.已知二次函数yi=2/+Tn%+几，y2=2nx+mx+1（m,〃为常数，〃#0）的最小值分别为p,q,

（）

A.若P+q=0,贝Ijp=q=0B.若p-q=0,则p=g=0

C.若p+q=l,则p=q=0.5D.若p-q=l,则p=l,q=0

10.A

22

【分析】根据对称轴公式求出yi和yi的对称轴，再依据二次函数yi=2%+mx4-n,y2=2nx+mx+1

Gn,n为常数，九WO）都有最小值可知，两抛物线开口都是向上，进而得出°=即萨="-噂，q=

”等=1—索，结合条件得出p+g=O,列出方程求解即可.

【详解】解：由两函数表达式可知，

函数”的对称轴为尤=-生，

函数券的对称轴为直线x=-券，

2

二•二次函数yi=2/+mx+几，y2=2nx+mx+1（m,〃为常数，几W0）的最小值分别为p,q,（

・・・两函数图象均开口向上，两函数均在对称轴上取到最小值，

而上8n—m2m28n—m21m2

则有片一^—=〃—石，一配，

若77+q=0,则有〃—+1-=0,

解得：8〃=加2或几=-i（舍去），

将加2=8〃代入/?,夕得：p=q=O,

故选：A.

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数

的对称轴及二次函数最大（小）值的求法.

二、填空题（本大题共8小题，第11〜12题每题3分，第13〜18题每题4分，共30分.不需写出解答过

程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

11.分解因式：rrr-2m+1=（=-1）.

11.m2-2m+l=-1）2

【分析】符合完全平方公式的结构形式，直接利用完全平方公式分解因式即可.完全平方公式:c^+lab+b2

-（。±6）2,

【详解】解：m2-2m+l=（m-1）2.

【点睛】本题主要考查完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键.

12.因为近VV^V遮，即所以褥的整数部分为1,小数部分为褥-1，类比以上推理，怖的

小数部分为_怖-3_.

12.V30-3.

【分析】利用无理数的估算即可求得答案.

【详解】解：：33=27,43=64,

A3<730<4,

/.狗的小数部分为愉-3；

故答案为：V30-3.

【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键.

13.一个多边形的内角和与外角和相等，则它是四边形.

13.四

【分析】设多边形的边数为m则根据多边形的内角和公式与多边形的外角和为360°,列方程解答.

【详解】解：设多边形的边数为小

根据题意列方程得，（巩-2）・180°=360°,

n~2=2,

〃=4.

故答案为四.

【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，解题的关键是利用多边形的内角和公式并熟悉多边形的外角

和为360°.

14.如图，建筑物8c上有一旗杆AB,从与BC相距40m的。处，观测旗杆顶部A的仰角为50°,观测旗

杆底部B的仰角为45°,则旗杆AB的高度为（结果保留整数，参考数据：sin500心0.77,cos50°

^0.64,tan50°F.19).

14.8.

【分析】由锐角三角函数定义求出AC的长，再证3C=CO=40m,即可求解.

【详解】解：由题意得：

ZACD=90°,ZADC=50°,ZBDC=45Q,CD=40m,

AT

在RtZWCD中，tan/ADC=窃=tan50°,

：.AC=CD'tan50°^40X1.19=47.6G"),

在RtZxBCD中，ZBDC=45°,

：./\BCD是等腰直角三角形，

.'.BC=CD=40m,

：.AB=AC-BC=47.6-40-8(M,

即旗杆的高度AB约为8m，

故答案为：8.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握仰角的定义和锐角三角函数定义是

解题的关键.

15.设a是方程/+2x-2=0的一个实数根，则2a2+4a+2020=2024.

15.2024.

【分析】首先由已知可得/+2a-2=0,即/+2°=2.然后化简代数式，整体代入，从而求得代数式的

值.

【详解】解：把x=a代入得至!J/+2。-2=0,

则/+2。=2,

X\-2a2+4a+2020=2(a2+2a)+2020,

把/+2。=2代入2/+4。+2020=2(a2+2a)+2020=2X2+2020=2024,

故答案为：2024.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，整体代入思想的应用是解题的关键.

16.如图，已知半圆。的直径为MN,点A在半径上，B为环V的中点，点C在弧BN上，以AB、BC

BC

为邻边作矩形ABCZ),边CD父MN于点、E,连接。0,并延长。。父于点P,若则丁的

值为f

-3-

【分析】先证明为3c的垂直平分线，OG是的垂直平分线，。尸为A尸的垂直平分线，设人尸=

FP=2x,BP=2AP=4x,再利用射影定理得＞84,故30=频x,OF=V5x,再计算即可.

【详解】解：过。作〃。延长线交A0于G,

过。作。尸_LAB,尸。延长线交CO于尸，连03、0C.

•：OB=OC,

・•・OH为BC的垂直平分线.

•・,矩形ABC。，

・・・OG是A0的垂直平分线，

：.OA=OD.

：.ZOAD=ZODA.

*.*ZOAD+ZPAO=ZODA+APO=90°.

：.ZOAP=ZOPAf

：,OA=OP,

二。/为AP的垂直平分线,

设AF=fP=2x,

：.BP=2AP=4x.

为奇的中点，

J.BOLAO,

VZABO=ZABO,ZOFB=ZBOA=90°,

4BF0〜LBOA,

:.BO2=BF-BA,

：.BO=VBF-BA=J(BP+PF)・(BP+4P)=同x,

：.OF=yJOB2-BF2=0,

BC=2BH=2OF=2底，

.BC2^5xV5

**AB6x3

故答案为：弓.

【点睛】本题考查了圆周角定理，矩形的性质，圆心角、弧、弦的关系，相似三角形的判定与性质，综

合运用这些知识是解题关键.

17.如图，△AOB的边AB〃尤轴，点C在。8上，反比例函数y=g(%>0)的图象经过A,C两点.若4

A02的面积为5,>0C=2BC,则k的值为8.

17.8.

k33k.27n3k

【分析】作CELx轴，BFLx轴，设点C(m,—利用相似可得BC-m,—),A(—,——)，利

m22m32m

用△AOB的面积为5,建立方程求出左值即可.

【详解】解：如图，作CELc轴，BFLc轴，

"：CE//BF,

:.△OECs^OFB,

,:OC=2BC,

325

*.AB=（———）m=-7-J

236

•••△A03的面积为5,

15m3k

x—x—=5,

262m

解得：k=8.

故答案为：8.

o|EFx

【点睛】本题主要考查了反比例函数上值几何意义，熟练掌握人值几何意义是关键.

18.如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD交于O,M是AO的中点，线段EF（点E在点尸的左边）

在直线上运动，连结AF、ME,若AB=6,EF=|V2,贝IJAP+ME的最小值是3右.

乙——

42

BC

18.3V5.

【分析】取AO的中点P,连接FP,MP,CP,且CP交BD于点H,证明四边形为平行四边形,

得出ME=PF,由正方形的性质得出AF=CF,则可得出C尸由勾股定理求出尸C的长，则可

得出答案.

【详解】解：：正方形A3CZ）中，A2=6,

：.BD=6^2,

：.OD=3y[2,

取A。的中点P,连接尸尸，MP,CP,且CP交BD于点H,

为AO的中点，

：.MP//OD,MP=1OD=

••S3V2

•EF=->

：.EF=MP,

...四边形MEFP为平行四边形，

：.ME=PF,

•..四边形ABC。是正方形，

.,.A,C关于80对称，

：.AF=CF,

"：AF+ME=CF+FP^CP,

即F与H重合时，AF+ME最小，最小值为PC的长，

'：PD=3,CD=6,

：.PC=VP£>2+CD2=V32+62=3V5,

：.AF+ME的最小值为3遍.

故答案为：3遍.

【点睛】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，两点之间线段最

短，勾股定理，能够将两线段和的最小值用一条线段的长表示是解题的关键.

三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程

或演算步骤）

19.(10分)(1)计算：3tan300-(-1)-2+|V12-4|-(7T-2024)0；

2CL—2CL^~i~d1

（2）化简代数式-一7+（丁？+—；），并请你取一个合适的〃值，代入化简后的代数式求值.

a2-2a+la2-la-1

19.（1）-6-V3；

2?

（2）,〃=3时，原式=

a+13

【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，整数指数新的性质计算即可；

（2）先计算括号，再计算乘除，最后代入计算.

【详解】解：（1）原式=3x—9+4-2V5—1

-—6—V3；

⑵原式=等修瑞匕+土

2a-1

u—1a+1

2

a+1

当〃=2时，原式=亍

【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则.

20.（10分）某校九（1）班学生成立了一个“关于新冠肺炎45个知识点”的防疫科普宣传小组，其中男生

2人，女生3人，现从小组中选人进社区宣传.

3

（1）若选1人，则恰好选中女生的概率是-;

—5—

（2）若选2人，求恰好选中一男一女的概率.

3

20.（1）

5

3

（2）—.

5

【分析】（1）根据概率公式计算即可.

（2）画树状图计算即可.

【详解】解（1）・・•男生2人，女生3人，

3

・•・选1人，则恰好选中女生的概率是J

故答案为：|.

（2）根据题意，画树状图如下:

共有20种等可能的结果，其中符合题意的有12种,

男2女1女2女：男1女1女2女3男1男2女2女3男1男2女1女3男1男2女1女2

【点睛】本题考查了概率公式计算，用画树状图法或列表法求概率，熟练掌握画树状图计算概率是解题

的关键.

21.(12分)如图，13ABe£＞的对角线AC、BD相交于点O,AB±AC,AB=3,ZACB=30°,点尸从点A

出发，沿以每秒1个单位的速度向终点。运动.连接尸。并延长交于点Q.设点尸的运动时间

为/秒.

(1)求证：AP=CQ；

(2)当四边形A8Q尸是平行四边形时，求f的值；

(3)在尸点运动过程中，当f为何值时，44。尸是等腰三角形.(直接写出答案即可)

(2)当四边形A3。尸是平行四边形时，/的值是3；

3V393

(3)当/为丁或:;或二时，△AOP是等腰三角形.

222

【分析】(1)由四边形A3C。是平行四边形，可证△AP。丝△C。。(A4S),即得AP=C。；

(2)根据AB_LAC,AB=3,ZACB=30°,得BC=2AB=6,而AP=CQ=f,知BQ=BC-CQ=6-f,

若四边形ABQP是平行四边形，则f=6-3可得f=3；

(3)分三种情况：①当AP=AO时，△AOP是等腰三角形，由ABLAC,AB=3,ZACB=3Q°,可得

AP=AO=竽，仁华=苧；②当AO=PO时，△AOP是等腰三角形，过。作于H,在Rt

△AOH中，OH=[AO=季，AH=WOH=：,即得AP=2AH=^,u半=£；③当AP=OP时，△AOP

Z44L1Z

是等腰三角形，过P作PKLAO于K,由AK=/。=季,在RtAAP^中，可得AP==|,/=竽=|.

乙4COSaU乙1L

【详解】(1)证明：・・•四边形A8CO是平行四边形，

:.AD//BC9OA=OC,

/.ZPAO=ZQCO,ZAPO=ZCQO,

在△APO和△CQO中，

乙APO=Z.CQO

Z.PAO=(QCO,

OA=OC

：.AAPO^ACQO(A4S),

：.AP=CQ；

(2)解：如图：

：.BC=2AB=6,

由(1)知，AP=CQ=t,

：.BQ=BC-CQ=6-t,

由A尸〃3Q可知，A尸=3Q时，四边形A3QP是平行四边形,

；.f=6-t,

解得t=3,

答：当四边形ABQP是平行四边形时，f的值是3；

(3)解：①当AP=AO时，△AOP是等腰三角形，如图：

：.AC=例8=3次,

"/四边形ABCO是平行四边形,

②当AO=P。时，△AOP是等腰三角形，过。作O”_LA。于"，如图:

'JAD//BC,

：.ZHAO^ZACB=30°,

在RtZvlOH中,

。“=夕。=芋，AH=y/3OH=I，

'：AO=PO,OHLAD,

9

：.AP=2AH=全

AP9

=2;

③当AP=OP时，ZVIOP是等腰三角形，过P作PK_LAO于K,如图:

在RtAAPK中,

AK

AP^cos30°

AP3

t=—=2'

综上所述，当，为手或遥时，小。尸是等腰三角形.

【点睛】本题考查四边形的综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质及应用，等腰

三角形性质及应用等，解题的关键是分类讨论思想的应用.

22.(10分)为全面深入学习宣传贯彻全国“两会”精神，学深悟透习近平总书记在“两会”期间的系列重

要讲话精神，培养学生的爱国情怀，某校组织全校学生参加了“聚焦全国两会•凝聚奋进力量”主题知识

竞赛，为了解竞赛成绩，随机抽样调查了七、八年级各15名学生的成绩x(单位：分)，过程如下：

【收集数据工

八年级15名学生竞赛成绩分别为：77,84,88,98,97,88,100,92,88,91,94,91,97,95,100；

七年级15名学生竞赛成绩中90Wx<95的成绩如下：91,92,94,90.

【整理数据工

年级75Wx<8080Wx<8585Wx<9090Wx<9595WxW100

八年级11m46

七年级12345

【分析数据工

年级平均数众数中位数方差

八年级92a9237.7

七年级9087b50.2

根据以上提供的信息，回答下列问题：

(1)填空：m=3,a=88,b=91；

(2)该校八年级学生有600人，假设全部参加此次竞赛，请估计八年级成绩超过平均分的人数;

(3)请你根据以上信息，推断哪个年级的成绩更好，并说明理由.(写出一条理由即可)

22.(1)3,88,91；

(2)280人；

(3)八年级成绩更好，理由见解答.

【分析】(1)根据题干所列数据及中位数和众数的概念求解即可；

(2)总人数乘以样本中八年级成绩超过平均分的人数所占比例即可；

(3)根据平均数、中位数及方差的意义求解即可.

【详解】解：(1)由题意知m=3,八年级成绩的众数。=88,

七年级成绩的中位数是第8个数，即91,

所以b=91,

故答案为：3,88,91；

7

（2）600x^=280（人）,

答：八年级成绩超过平均分的人数为280人；

（3）八年级成绩更好.

从平均数看，八年级成绩的平均数大于七年级，所以八年级成绩更好.

【点睛】本题考查频数分布表，样本估计总体，掌握中位数、众数、方差及平均数的定义和意义是正确

解答的关键.

23.（12分）亳州市某超市经销某种特色水果的成本为每千克20元，在一段时间内，销售单价P（元/千克）

与时间f（天）的函数图象如图，且其日销售量y（千克）与时间f（天）的关系是：-2/+120（其中

天数/为整数）.

（1）当0W/W40天，求销售单价p（元伙g）与时间/（天）之间的函数关系式；

（2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？

（3）在前20天中，超市决定每销售1依水果就捐赠w元利润（«<9）给“精准扶贫”对象.而且每天

扣除捐赠后的日销售利润随时间f的增大而增大，求n的取值范围.

23.（1）当0W/W40天，销售单价p（元/依）与时间f（天）之间的函数关系式为p=3+30；

（2）第10天的销售利润最大，最大日销售利润为1250元；

（3）5W〃<9.

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；

（2）设日销售利润为w元，分两种情况：当0W/W40天时及当，>40时，分段求得w的最大值，则可

得答案；

（3）先求出每天扣除捐赠后的日销售利润后的销售利润与时间/的关系，由二次函数的性质列出不等式

组，求解即可.

【详解】解：（1）当0W/W40天，设销售单价p（元/依）与时间f（天）之间的函数关系式为2=公+30,

,・.40=40什30,

解得t=i,

.•.当0WW40天，销售单价。(元伙g)与时间/(天)之间的函数关系式为p=3+30；

(2)设日销售利润为w元，

当0WW40天时，

vv=(夕-20)y

1

=(-Z+10)(-2/+120)

4

=Ct-10)2+1250,

...当t=10时,w有最大值为1250；

当》40时，

w=(p-20)y

=20(-2/+120)

=-40?+2400<800,

.•.第10天的销售利润最大，最大日销售利润为1250元；

(3)Vw=5-20-〃)(-2r+120)

=-1r+(2M+10)r+1200-120M,

；.a=对称轴为直线t=2n+10,

•••每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，

.(2n+10>20

.•.5Ww<9.

【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式和二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、

熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

24.(10分)如图，AB是半圆。的直径，C是半圆上一点，作射线AC,以点A为圆心，适当长为半径作

1

弧，与AC,A3分别交于点M,N,再分别以点M,N为圆心，大于#W的长为半径作弧，两弧交于点

P,作射线AP交半圆。于点。，过点。画半圆。的切线，分别交射线AB,AC于点E,F.

(1)求/AED的度数；

(2)若AF=3,ZADF=60°,求8。的长.

24.（1）见解析；

（2）2.

【分析】（1）连接由AD平分NBAC,即又OA=OD,^ZBAD=ZADOi^Z

CAD=ZADO,得AC〃OD,又所与半圆。相切于点。，可得结论；

（2）由含30度直角三角形的性质和勾股含定理求出。凡证明根据相似三角形的性质

即可求出BD.

【详解】（1）证明：如图，连接OO,

与半圆O相切于点。，

ODLDF,

由题意知，AD平分/BAC,

即N5W=NCAD

'：OA=OD,

：.ZBAD=ZADO,

：.ZCAD=ZADO,

：.AC//OD,

又ODLD尸,

：.DF±AC,

：.ZAFD=90°；

（2）解：由（1）知，ZAFD=90°,ZBAD=ZCAD,

在RtZWDB中，ZADF=60°,AF=3,AF2+DF2=AD2,

ZDAF=30°,

：.AD=2DF,

：.AF=3,

A32+£)F2=(2DF)2,

：.DF=V3,

：.AD=2-^3,

：AB是半圆。的直径，

：.ZADB=ZAFD=90°,

：.AADF^AABD,

.DFAF

,,BD~AD'

.V33

,•BD_2后

解得2D=2.

【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与

性质，熟练掌握各知识点是解题的关键.

25.（13分）（1）【活动背景】在鹿鸣成长课程中，同学们探究了一类“三等分线段、角”的问题.如图1,

在矩形ABCD的边AD和BC上分别取点E、F,且CF=2DE,连接CE、DF交于点O,将边AD沿着过

点。的直线折叠，使得点A、。分别落在和CD上，试说明：点。是边CD的三等分点.

如图2,已知线段BC,

点£是BC的中点，请用无刻度直尺和圆规作平行四边形ABCZ）,使得AEL8D（不写作法保留作图痕

迹）

（3）【活动证明】同学们通过查阅资料发现，不能通过圆规直接三等分角，但可以通过圆规和带刻度的

直尺得出三等分角，如图3,点C是OA上一点，用尺规作出C。1.08,CF〃OB后,将直尺一端放在点

。处，不断转动直尺与CD、CF交于点M、N,当与CO满足某种数量关系时，即可得到/MOD=*40B,

试猜想MN与CO的数量关系并证明.

(4)【活动思考】在上面的活动操作中所探究的平行四边形ABCD,若BC=kAB,请直接写出左的取值

范围.

25.(1)证明见解析过程；

(2)作图见解析过程；

(3)CO=^MN,理由见解答过程；

(4)l<k<2.

ODDE1

【分析】(1)在矩形ABCD中，AD//BC,可得宝=而=］，由折叠可得PQ//AD,进而PQ//BC,

可得偿=铝="所以仅2=/8,得证点。是边C。的三等分点；

CQOF23

(2)以BE为直径画圆O,在圆O上取点N,连接BN,EN,延长BN至A,使ND=2BN,延长硒至

A,使AN=2NE,连接AD,AB,CD,则四边形ABCQ为所求四边形；

1

⑶取MN的中点H,连接CH,CH=MH=NH=^MN,由等边对等角与三角形的外角可得/C"M=2

1

ZCNH,由CP〃。与可得NC0N=2NCN0,故NCHM=NC0N,所以CO=CH=

\frac{l}{2}$MN；

(4)作CMLBD交BD于M,首先推导出MD=NM=BN,在RtAABN和Rt/XBNE中，BN2-^AB2-AN2

=BE2-NE2,得至U0<%<2；在Rt/XBCM和RtZkDCM中，CD2-DM1=BC2-BM2,推导出左>1,进而

得解.

【详解】(1)证明：在矩形ABCD中，AD//BC,

.ODDE_1

"OFCF2

将边AD沿着过点O的直线折叠，使得点4、D分别落在AB和CD上，

：.ZAPB=ZBPQ=90°,NDQP=/CQP=90°,

在矩形ABCQ中，ZA=90",

四边形APQD是矩形，

J.AD//PQ,

.DQ_OD_1

"CQOF2

1

：.DQ=-CD,即Q是边CD的三等分点；

(2)解：如图2,以BE为直径画圆O,在圆。上取点N,连接BN,EN,延长BN至A,梗ND=2BN,

延长硒至4使AN=2NE,连接AD,AB,CD,则四边形ABC。为所求四边形；

图2

证明：'：AN=2NE,DN=2BN,

'：NAND=NBNE,

：.AANDs^ENB,

AD

：.ZNBE=ZADN,—=2,

BE

：.AD//BE,AD=2BE,

又为BC的中点，

：.2BE=BC,

：.AD//BC,AD=BC,

四边形ABCD是平行四边形,

；BE为圆。的直径，

：.ZBNE=90°,

：.AELBD-,

平行四边形ABC。符合条件;

(3)解：取的中点H,连接CH,如图3,

A

AC£)±CF,

1

：.CH=-MN,

2

・・•点H是"N的中点，

1

：・MH=NH=-MN,

2

：.CH=NH,

：.NHCN=/CNH,

：.ZOHC=ZHCN+ZCNH=2ZCNH,

1

ZMOD=-ZAOB,

3

：.ZC0H=2ZM0D,

■:CF〃OB,

：.ZNOB=ZCNH,

•：/OHC=2/CNH,ZCOH=2ZNOB=2ZCNO,

：.ZOHC=ZCOH,

1

CO=CH=-MN；

2

(4)解：作CM_L80交8。于M,

•：BE=EC,

:.BN=NM,

,:DN=2BN,

：.MD=NM=BN,

在RtAABN和RSNE中，BN2=AB2-AN2=BE2-NR

：.AB2-BEl=AN1-N必=3N铲>0,

°BCo

：.AB2-(—)2>0,

2

：.AB2-—AB2>0,

4

.,.1——>0,

4

.,.必〈4,

又：左>0,

：.Q<k<2；

在RtABCM和RtADCM中，CD2-DM2=BC2-BM2,

：.