2025中考数学模拟试卷（南京卷）（全解全析）

2025年中考第一次模拟考试（南京卷01）

数学•全解全析

一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题

目要求的，请将正确的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1.6的算术平方根是（）

A.2B.6C.V6D.2+V2

1.C

【分析】根据算术平方根的定义进行计算即可.

【详解】解：6的算术平方根为历，

故选：C.

【点睛】本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确解答的前提.

2.若（q+3）（o+2Z?）—a2-2a-15,则6等于（）

A.5B.-|C.2D.-2

2.B

【分析】把（a+3）（a+2b）变成/+（3+26）a+6b,再根据（。+3）（a+2b）=/-2。-15即可求解.

【详解】解：（a+3）（a+2b）=a2+3a+2ab+6b=a2+（3+2b）a+6b,

（a+3）（a+26）=a2-2a-15,

：.3+2b=-2或6b=-15,

解得：b=-|,

故选：B.

【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，掌握运算法则是解题的关键.

3.截至10月30日，某市累计新冠疫苗接种共完成1015000人次，将1015000用科学记数法表示应为（）

A.10.15X106B.1.015X106

C.0.1015X107D.1.015X107

3.B

【分析】科学记数法的表示形式为。义10"的形式，其中lW|a|<10,"为整数.确定〃的值时，要看把

原数变成a时，小数点移动了多少位，w的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值210时，"

是正整数；当原数的绝对值<1时，”是负整数.

【详解】解：1015000=1.015X1（）6.

故选：B.

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为〃义10〃的形式，其中1W|〃|V1O,n

为整数，表示时关键要确定。的值以及"的值.

4.若xi,X2是一元二次方程--13x-14=0的两根，贝!Jxi+x2的值是（）

A.13B.-13C.14D.-14

4.A

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系解答即可.

【详解】解：•二％2-13x-14=0,

=

Xi1+XoN=—Q--11—=13.

故选：A.

【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知若羽，X2为方程—+法+。=0（〃W0）的两个

根，则尤1,X2与系数的关系式：/+亚=—1,X1“2=（是解题的关键.

5.用一个平面截下列几何体，截面形状不可能出现三角形的是（）

5.B

【分析】利用截一个几何体的截面形状进行判断即可.

【详解】解：4、用平行于三棱柱的底面的平面截三棱柱时，截面的形状是三角形，故A不符合题意;

3、圆柱从哪个方向截，截面不可能是三角形，故8符合题意；

C、沿着圆锥中心轴去截圆锥，截面的形状为三角形，故C不符合题意；

。、过四棱锥的顶点竖直截四棱锥，截面的形状为三角形，故。不符合题意；

所以，用一个平面截上列几何体，截面形状不可能出现三角形的是圆柱，

故选：B.

【点睛】本题考查了截一个几何体，熟练掌握每一个几何体的截面形状是解题的关键.

6.如图，在水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向的坐标系中标记了4个格点，已知网格的单位

长度为1,若二次函数y=o?+法+c的图象经过其中的3个格点，则〃的最大值为（)

343

A.B.1C.D.

432

6.D

【分析】根据开口向上，开口越小〃越大，进而建立坐标系，求解析式求得4的值，即可求解.

【详解】解：如图所示,建立平面直角坐标系,

依题意，经过点A,B,。时，抛物线开口向上，〃的值最大,

VA(-1,0),B(2,0),C(1,-3),

设抛物线解析式为(x+1)(x-2),将。(1,-3)代入得,

-3--2a,

解得：a=2，

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数图象的性质，不共线三点确定抛物线解析式，解题

的关键是掌握相关知识的灵活运用.

二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

7.-vn的绝对值是_vn_,通一3的相反数是_3-b

7.V11;3-V5.

【分析】根据绝对值的意义可得出-VTT的绝对值，根据相反数的定义可得出近-3的相反数.

【详解】解：-VIT的绝对值是：|一=VTL

...而一3的相反数是：一(遥一3)=3-有，

故答案为：Vil；3-V5.

【点睛】此题主要考查了绝对值与相反数，理解绝对值与相反数的意义是解决问题的关键.

8.若每把在实数范围内有意义，则X的取值范围是且尤力2.

X-2-2--------

1

8.12—2且x#2.

【分析】根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式计算即可得解.

【详解】解：根据题意，得：

C2x+1>0

1%-2Ho'

1

解得%>一2且xr2.

故答案为：x>—•且xW2.

【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0;二次根式的被开方数是非负数.

9.把多项式3〃/-3。/分解因式的结果是3〃(x+y)(工-y).

9.3a(x+y)(x-y).

【分析】先提公因式，然后利用平方差公式分解因式即可.

【详解】解：3〃--3ay2

=3〃(x2-y2)

=3〃(x+y)(x-y),

故答案为：3a(x+y)(%-y).

【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法分解因式是解题的关键.

10.设a、0是方程/+元-3=0的两个实数根，则a+B-aB=2.

10.2.

【分析】先根据根与系数的关系得。+0=-1,邓=-3,然后利用整体代入的方法计算.

【详解】解：根据根与系数的关系得。+0=-1,邓=-3,

所以a+p-邓=-1-(-3)=2.

故答案为：2.

【点睛】本题考查了根与系数的关系：若XI,X2是一元二次方程/+6x+c=0QW0）的两根，川+我=-1

C

X1X2=

11.已知线段点P是线段AB上的一点，A8长8厘米且Bp2=Ap.A8,那么AP的长是_12-4西_厘米.

11.12-4V5.

【分析】根据黄金分割点的定义，知8尸是较长线段，得出8。=亨48,再根据可得出

AP=（与与&B,再将的值代入计算即可.

【详解】解：根据尸为线段A3的黄金分割点，且BP是较长线段可得：

：.BP

：.AP=（与与血

'：AB=8厘米，

：.AP=6—乎X8=12-4V5（厘米），

故答案为：12-4V5.

【点睛】本题考查了黄金分割的概念，正确根据公式进行计算是解题关键.

12.如图，在回A8CZ）中，AB=6,BC=8,ZABC=120°，点£是AD上一动点，将△ABE沿BE折叠得

到BE,当点A'恰好落在EC上时，OE的长为—后一3_.

12.V37-3

【分析】解法一：过点C作CF_LAO,交A。的延长线于点R由平行四边形的性质可得OC=A8=6,

ZABC=ZADC=120°,AD//BC,由平角的定义/CDF=60°,利用含30度角的直角三角形性质得

£)F=1DC=3,CF=V3DF=3V3,由平行线的性质得NA=60°,ZDEC=ZA'CB,由折叠可知48

=A'8=6,ZA=ZBA'£=60°,于是可通过AAS证明△&'BC空丛DCE,得到BC=CE=8,再利用

勾股定理求得EF=V37，则DE=EF-DF.

解法二：过点8作于点F过点C作CGLBE于点G,由题意易得乙4=60°,在中，

AF=A8・cosA=3,BF=AB-sinA=3V3,由折叠可知/AEB=/A'EB,由平行线的性质可得/AE8=N

CBE,进而得到NC2E=/A'EB,于是△CBE为直角三角形，BC=CE=8,EG=BG/BE,易证△BE尸

s丛CEG,由相似三角形的性质得到8£2=2E＞CE,设EP=x（0＜尤＜8）,则BE2=2X・8=16X,在Rt

△BEP中，利用勾股定理建立方程，求解即可.

【详解】解：解法一：如图，过点C作CFJ_AO,交AO的延长线于点孔

,四边形ABCD为平行四边形，42=6,

：.DC=AB=6,ZABC=ZADC=120°,AD//BC,

：.ZCDF=180°-ZADC=60°,

CFLAD,

：.ZCFD=90°,NDCF=90°-ZCDF=30°,

:.DF=|£)C=3,CF=y/3DF=3V3,

'：AD//BC,

：.ZA=180°-ZABC=60°,ZDEC=ZA'CB,

根据折叠的性质可得，AB=A'B=6,ZA=ZBA'E=60°,

.*.A,B=DC=6,ZBA'C=180°-ZBA'E=120°=ZCDE,

在BC和△DCE中，

\LA'CB=乙DEC

Z-BA'C=乙CDE，

.A'B=DC

:.匕NBgADCE(A4S),

：.BC=CE=S,

在RtACEF中，EF=VCE2-CF2=82-(3V3)2=V37，

DE=EF-DF=V37-3.

解法二：当点A'恰好落在EC上时，如图，过点3作于点尸，过点C作CGLBE于点G,

AFED

BC

丁四边形ABC。为平行四边形，3C=8,

J.AD//BC,AO=3C=8,

VZABC=120°,

AZA=60°,

在R£A3尸中，AF=AB*cosA=6x^=3,BF=AB^inA=6x^=3A/3,

根据折叠的性质可得，ZAEB=ZA'EB,

9：AE//BC,

：.NAEB=NCBE,

：.ZCBE=ZArEB,即/CBE=/CEB,

•••△CBE为等腰三角形，BC=CE=8,

VCGXBE,

1

:・EG=BG=^BE,

•:/BEF=NCEG,ZBFE=ZCGE=90°,

:.ABEFsACEG,

EFBE幡EFBE

/.—=—,BPT—=—,

EGCE-BECE

2

:.B#=2EF・CE,

设£P=x(0<x<8),

.".BE1=2x,S=16x,

在Rt/YBEF中，EF1+BF2=BE1,

.'.x2+(3V3)2=16x,

整理得：x2-16x+27=0,

解得：*i=8+内(舍去)，％2=8—后，

：.EF=8-^37,

；.DE=AD-AF-EF=8-3-(8-V37)=A/37-3.

故答案为：V37-3.

【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、解直角三角形、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等

腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是根据题意正确画出图形，再

添加合适的辅助线，构造直角三角形和全等三角形解决问题.

47r

13.若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为圆心角为12。。扇形'则该圆锥的侧面面积为一3

471

13.—

3

【分析】利用扇形面积公式计算即可.

【详解】解：措1X22=粤(.2),

47r

该圆锥的侧面面积为三°m2.

4兀

故答案为一

【点睛】本题考查圆锥的计算，掌握扇形的面积计算公式是解题的关键.

14.如图，正八边形ABCDEFGH内接于OO,对角线AE为。0的直径，连接HE,贝ijNAEH的度数为

【分析】根据正八边形的性质求出其中心角的度数，再根据圆周角定理求出NAE”即可.

【详解】解：如图，连接。打,

正八边形ABCDEFGH内接于(DO,

ZAOH==45°,

.对角线AE为。。的直径,

1

ZAEH=-ZAOH=22.5°.

故答案为：22.5°.

【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正八边形的性质以及圆周角定理是正确解答的关键.

15.如图，反比例函数y=］的图象经过△AB。的顶点A,点。是0A的中点，若反比例函数y=：的图象经

过点。，则上的值为-.

-2-

v

【分析】设A（。，-）,由点。是0A的中点可知。（~,乙），代入反比例函数y=£求出左的值即可.

a2ax

【详解】解：..•反比例函数y=1的图象经过△AB。的顶点4点。是0A的中点，

2a1

・••设A（〃，—），则。（一，一），

CL2CL

•反比例函数y=［的图象经过点D,

d11

k=xy=

故答案为：

【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此

函数的解析式是解题的关键.

16.如图，在矩形ABC。中，AB=6,BC=8,E是边BC上的动点，连接AE,过点E作EJLLAE,与CD

边交于点F,连接AF,则的最小值为—.

-3-

AD

BEC

26

16.—.

3

【分析】根据垂直的定义得到乙4g=/4）=/。制=90°,再根据等角的余角相等得到/A=NCEF

根据三角形相似的判定得到RtAABE-RtAECF,利用相似比得到y与x之间的函数关系式，由关系顶

点式即可求得.

【详解】解：的长为x,则C£=2C-2E=8-X,CP的长为y,

"JABLBC,EFLAE,DCLBC,

：.NABE=NECF=ZA£F=90°,

AZBAE+ZAEB=90°,ZAEB+ZCEF=90°,

：.ZBAE=ZCEF,

：.RtAABE^RtAECF,

ABBE6%

/.—=—,Bp--=一,

CECF8-xy

1c41rH

；.y=尤+X=（尤-4）+w，（0<x<8）

8

大

y最--

3

当。尸=如寸，。尸=6—「孚此时A尸为最小,

AF-\lAD2+DC2=J82+祗产==竽

故答案为：y.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质和二次函数的最大值，关键在于数形结合的熟练应用.

三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过

程或演算步骤）

M9

17.(4分)计算：(---+----)二一十3

Q—33—(1•a

17.a

【分析】首先计算括号内的分式，把除法转化为乘法，然后进行约分即可.

【详解】解：原式=泞_Q.六a

_(a+3)(a—3).旦

a—3a+3

—a.

【点睛】本题考查了分式的混合运算，正确对分式的分子和分母进行分解因式是关键.

18.(10分)(1)解方程：/-4x-1=0；

-(x-1)>1,

(2)解不等式:件<2.

18.(1)XI=2+V5,X2=2一麻；

(2)0W无＜5.

【分析】(1)利用配方法得到(x-2)2=5,然后利用直接开平方法解方程；

(2)分别解两个不等式得到x20和尤＜5,然后根据大小小大中间找确定不等式组的解集.

【详解】解：(l)f-4x-l=0,

x2-4x=1,

x2-4x+4=5,

(x-2)2=5,

x-2=+V5；

所以xi=2+\/^,X2=2—V5；

2x-(%—1)＞1①

(2)li+x-，

［号＜2②

解不等式①得尤20，

解不等式②得尤＜5,

所以不等式组的解集为0Wx＜5.

【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问

题的关键.也考查了解一元一次不等式组.

19.(8分)计划用若干天生产一批零件，若甲单独做则恰好如期完成,若乙单独做则要超期10天才能完成.实

际生产中，先由甲、乙合作10天，剩余的零件由乙单独做，结果比计划提前了5天完成.求原计划完成

的天数.

19.原计划完成的天数为20天.

【分析】设原计划完成的天数为x天，则甲单独做需要x天完成，乙单独做需要(x+10)天完成，根据

先由甲、乙合作10天，剩余的零件由乙单独做，结果比计划提前了5天完成.列出分式方程，解方程即

可.

【详解】解：设原计划完成的天数为x天，则甲单独做需要尤天完成，乙单独做需要(x+10)天完成，

解得：尤=20,

经检验，尤=20是原方程的解，且符合题意，

答：原计划完成的天数为20天.

【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

20.(8分)某校甲、乙两个班级各有23名学生进行校运动会入场式的队列训练，为了解这两个班级参加队

列训练的学生的身高情况，测量并获取了这些学生的身高(单位：cm),数据整理如下：

a.甲班23名学生的身高：

163,163,164,165,165,166,166,165,166,167,167,168,169,169,170,171,171,172,

173,173,174,179,180.

b.两班学生身高的平均数、中位数、众数如表所示:

班级平均数中位数众数

甲169mn

乙169170167

(1)写出表中机，力的值；

(2)在甲班的23名学生中，高于平均身高的人数为pi,在乙班的23名学生中，高于平均身高的人数为

P2,则m<m(填“〈"或“=")；

(3)若每班只能有20人参加入场式队列表演，首先要求这20人与原来23人的身高平均数相同，其次

要求这20人身高的方差尽可能小，则甲班未入选的3名学生的身高分别为163、164、180cm.

20.(1)加=168；w=165或“二166；

(2)<；

(3)163、164、180.

【分析】（1）分别根据中位数和众数的定义解答即可；

（2）根据中位数的意义解答即可；

（3）根据平均数和方差的定义解答即可.

【详解】解：（1）把甲班23名学生的身高从小到大排列，排在中间的数是168,故中位数m=168；

甲班23名学生的身高中165和166出现的次数最多，故众数n=165或“=166；

（2）由题意得，pi=9,p2—12,

:0<p2.

故答案为：<；

...甲班未入选的3名学生的身高分别为163、164、180si.

故答案为：163、164、180.

【点睛】本题考查了平均数，中位数，众数，方差，掌握统计量的确定方法或计算公式是解题的关键.

21.（8分）如图，四边形中，AB//CD,AC与相交于点。，AO^CO.

（1）求证：四边形A8C。是平行四边形；

（2）若AC_LB£»,AB^IO,求的长.

21.⑴见试题解答内容（2）10

【分析】（1）根据平行线的性质得出NDCO=NB4。，根据全等三角形的判定得出△DC。四△2A。，根

据全等三角形的性质得出DO=BO,根据平行四边形的判定得出即可；

（2）根据线段垂直平分线的性质得出AB=BC,代入求出即可.

【详解】（1）证明：

：.ZDCO=ZBAO,

在△OCO和△BAO中

NDC0=乙BAO

CO=AO

/DOC=Z-BOA

：.ADCO^ABAO(ASA),

：.DO=BO,

"：AO=CO,

，四边形ABCD是平行四边形;

（2）解：：由勾股定理得：BC2=CO2+OB2,AB2=AO2+OB2,

又；AO=C。，

：.AB2=BC2,

：.AB=BC,

"：AB=W,

：.BC=AB=10.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，能综合运用定

理进行推理是解此题的关键.

22.（8分）某省运动会如期举行，其中第二个比赛日包含排球、足球、体操以及艺术体操4个项目.现有

四张关于运动项目的门票，门票的正面分别印有的图案为A.“排球”、艮“足球”、C.“体操”和D“艺

术体操”.将这四张卡片背面朝上（这四种门票的背面完全相同，A8C。作为代号），洗匀：

（1）从中抽取一张后放回再抽取一张，两张门票分别是A和。的概率为-；

一8一

（2）从中随机抽取两张，请你用合适的方法，求两张门票是8和。的概率.

1

22.（1）

8

1

（2）一・

6

【分析】（1）列表可得出所有等可能的结果数以及两张门票分别是A和。的结果数，再利用概率公式可

得出答案.

（2）列表可得出所有等可能的结果数以及两张门票是5和。的结果数，再利用概率公式可得出答案.

【详解】解：⑴列表如下:

ABcD

A(A,A)(A,B)(A,C)(A,£))

B(B,A)(B,B)(B,C)(B,£))

C(C,A)(C,B)(C,C)(C,D)

D(D,A)(D,B)(D,C)CD,D)

共有16种等可能的结果，其中两张门票分别是A和。的结果有2种，

21

从中抽取一张后放回再抽取一张，两张门票是A和。的概率为一=

168

1

故答案为：—.

8

(2)列表如下：

ABcD

A(A,B)(A,C)(A,D)

B(B,A)(B,C)(B,D)

C(C,A)(C,B)(C,D)

DCD,A)CD,B)(D,C)

共有12种等可能的结果，其中两张门票是8和。的结果有2种，

21

，两张门票是8和。的概率为不=

126

【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题

的关键.

23.(8分)小明家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小明利用相关数学知识测量

了这个路灯的高.如图1所示，路灯顶部A处发光，光线透过窗子QC照亮地面的长度为EF,小明测得

窗户距离地面高度。窗高C£)=1.5"z,某一时刻，OE=lm,EF—4m,其中2、。、E、尸四点在

同一条直线上，C、D、。三点在同一条直线上，且COLOE.

(2)现在小明想让光线透过窗子。C照亮地面的最远端位置离右墙角点厂的距离为2m，如图2所示,

需将路灯AB的高度升高多少米？此时光线照亮地面的最近端位置离。点的距离是多少？(画出图形并

解答)

23.(1)路灯的高度A2为4血；

3

(2)需将路灯A3的高度升高1米，此时光线照亮地面的最近端位置离。点的距离是7n.

4

,DOOECOOF

【分析】(1)证△DOEs△ABE,ACOFsAABF,得一二—，—=—，即可解决问题;

ABBEABBF

COONDOOMA,、

(2)证△CONs△"BN,△DOMs^HBM,得z一=—，—=—，即可解决问题.

HBBNHBBM

【详解】解：(1)U：AB±BE,COLOE,

：.AB//CO,

：.ADOEsAABE,△CO/sAABF,

.DOOECOOF

99AB~BE'AB~BF'

111.5+11+4

即--=---,-----=------，

ABBEABBE+4

解得：AB=BE=4(m),

答：路灯的高度AB为4如

(2)由(1)得：AB=4m,BE=4m,

：.BF=BE+EF=4+4=8(m),

：.BO=BF-OE-EF=8-1-4=3(m),

如图2,将路灯AB的高度升高至3",

图2

由题意得：NF=2m,

：.BN=BF-NF=S-2=6(m),

：.ON=BN-BO=6-3=3(m),

同(1)得BH〃CO,

:•△CONS^HBN,LDOMs^HBM,

・COONDOOM

,・HB~BN'HB~BM'

.1.5+131OM

、HB~6HB~OM+3'

解得：HB=5(.m),OM=^(m),

4

：.AH=BH-AB=5-4=1Gn),

3

答：需将路灯AB的高度升高1米，此时光线照亮地面的最近端位置离O点的距离是一;%

4

【点睛】本题考查了相似三角形的应用、平行线的判定等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解

题的关键.

24.（8分）如图，在△ABC中，AB>AC,

（1）请用尺规作图法在边上求作一点£）,使S/^ABD：SAACD=AB：AC；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）的条件下，连接AD尸是的反向延长线上一点，过点尸作EFLBC交线段8C于点E.若

ZB=35°,NC=60°,求NAFE的度数.

（2）12.5°.

【分析】（1）利用基本作图，作/BAC的平分线交于3点，则根据角平分线的性质得到点。到

和AC的距离相等，然后根据三角形面积公式可得到SAABD：SAACD—AB：AC；

（2）先根据题意画出几何图形，再利用三角形内角和计算出/BAC=85°,则利用角平分线的定义得到

ZBAD=^ZBAC^42.5°,接着根据三角形外角性质求出NADC=77.5°,然后利用互余计算出/AEE

的度数.

【详解】解：（1）如图，点。为所作；

（2）如图,

.*.ZBAC=180°-ZB-ZC=85°,

,.ND平分NR4C,

ZBAD=^ZBAC=42.5°,

AZADC=ZB+ZBAZ>=35°+42.5°=77.5°,

"：FE±BC,

；.NFED=90°,

Z.ZAFE=90°-ZAZ）E=90°-77.5°=12.5°.

【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形

的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了三角形的面积.

25.（8分）如图，在。。中，4B是弦，AC与。。相切于点A,AB=AC,连接8C,点。是8c的中点，

连接交O。于点E,连接OE交A8于点尸.

（1）求证：0E_LA3；

25.见试题解答内容

【分析】（1）连接。4、OB,根据切线的性质可得出/。4c=90°,设NEAC=a,则/OAE=90°-a,

由OA=OE可得出/OE4=/OAE=90°-a,利用三角形内角和定理可得出NAOE=2a,由AB=AC

利用等腰三角形的三线合一可得出/BAE=/E4C=a,进而可得出/BOE=2/BAE=2a,即NAOE=N

BOE,再利用等腰三角形的三线合一可证出0EL42；

ACV3i

(2)由一=一可设AC=VIx,BC=2x,则CD=5BC=X,由勾股定理结合AD=4可求出x的值，进

BC22

而可得出AB、AC、B。、CD、AF的值，由/E私=/BZM=90°、/FAE=/DAB可得出△FAEsADAB,

利用相似三角形的性质可求出EF的长度，设。。的半径为广，则。4=r,0F=0E-EF=r-V3,利用勾

股定理可求出厂的长度，此题得解.

【详解】(1)证明：连接。4、OB,如图所示.

•.FC与。。相切于点A,

：.ZOAC=90°.

设/EAC=a，则/OA£=90°-a.

"：OA=OE,

：.ZOEA=ZOAE=90°-a,

ZAO£=180°-ZOEA-ZOAE=2a.

'：AB=AC,。是8C的中点，

：.ZBAE=ZEAC=a,

ZBOE=2ZBAE=2a,

：.ZAOE=ZBOE.

又「。4=05,

：.OE±AB.

—ACV3

(2)解：V—=—,

BC2

J可设AC=Bx,BC=2x.

•：AB=ACf。是BC的中点，

1

:・CD=]BC=x,AD±BC,

：.Ab1+Cb1=AC2.

VAZ)=4,

.*.42+^2=(V3x)2,解得：X=2A/2,

：.AB=AC=V3x=2V6,BD=CD=x=242.

•：OE1AB,

：.AF=^AB=V6.

9：ZEFA=ZBDA=90°,ZFAE=ZDAB,

EFAF„EFV6

--=---,即--p——

BDAD2V24

:.EF=V3.

设。。的半径为r,则OA=r,OF=OE-EF=r-^,

'JOFLAB,

：.OA2=OF2+AF2,即J=(r-V3)2+(V6)2,

解得：厂=苧，

...o。的半径为3十V3.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、圆周角定理以及切

线的性质，解题的关键是：(1)通过角的计算找出NAOE=NBOE；(2)利用勾股定理求出。。的半径.

26.(9分)已知二次函数y=--2(〃-1)%+〃+1：

(1)如果直线y=x+l经过二次函数)=/-2(〃-1)x+a+1图象的顶点尸，求此时。的值；

(2)随着〃的变化，该二次函数图象的顶点尸是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数

表达式；如果不是，请说明理由；

(3)将该二次函数以x=3为对称轴翻折后的图象过(〃，b)(〃未知，匕为常数)，求原函数与y轴的交

点纵坐标.

26.(1)a=0或2.

(2)y=-/+兀+2.

9

(3)一.

2

【分析】(1)由题意得丁=?-2(4-l)x+〃+l=(x-4+1)2-〃2+3〃，得顶点坐标为p(a-1,-a2+3a),又

点尸在直线y=x+l图象上，故-/+3〃=〃-1+1.再计算即可.

(2)由顶点尸的坐标为(〃-1,-〃2+3〃)，可设x—a-1,故y=-〃2+3〃=-Ca-1)(tz-1)+2.得

y=-/+x+2,

(3)由原抛物线的顶点坐标为尸(〃-1,-“2+3〃),又％=3为对称轴翻折后的图象过故一--=3,

再计算即可.

【详解】解：(1)由题意，•.•y=x2-2(〃-1)x+〃+l=(x-〃+1)之-〃2+3〃，

•二尸(〃-1,-。2+3〃).

又・・•点尸在直线y=x+l图象上，

-a2+3〃=〃-1+1.

.•.4=0或2.

(2)顶点尸是在抛物线y=-/+%+2图象上，理由如下：

••,顶点尸的坐标为(。-1,-/+3〃)，

又令x=a-1,

**»y=~〃2+3〃=-(tz-l)(a~1)+2.

；・y=-/+x+2,

・・・二次函数图象的顶点尸是在抛物线y=-f+x+2图象上，

(3),・•原抛物线的顶点坐标为尸(。-1,-〃2+3〃)，

又％=3为对称轴翻折后的图象过(〃，。)，

------=3,

2

,_7

••ci—a,

.,.原函数与y轴的交点纵坐标为a+l=f.

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，一次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标

特征，二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数解析式，掌握这些知识是解题关键.

27.(9分)将图形特殊化是发现结论和探索方法的重要途径.

如图，在△ABC中，是中线，E是AC边上一点，ZBAD=ZDEC=45°,作AD的垂直平分线分别

交A。、DE于点、O