浙江省杭州市浙里特色联盟2023-2024学年高二学期期中数学试卷（含答案）

姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若集合A={x|-1<x<1}A．{-2,-1,0,1} C．{x|-3<x2．等差数列{an}中，a7+a9=16，a4=2，则a12=（）A．10 B．14 C．15 D．303．已知空间向量a=(-2,-1,1)A．(a+b)//a B．C．2a⊥(5a4．若函数f(x)=A．0 B．12 C．32 5．若点P(-22,y)是角αA．-2 B．2 C．-2 D．6．已知圆x2+y2=4与圆xA．2x+y-3=0 B．x-2y7．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是()A．f(x)=C．f(x)=8．已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，M为线段AB的中点，若|AB|=16，则点M到A．4 B．6 C．7 D．8二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9．已知复数z=1-A．z的实部为1B．z在复平面内对应的点位于第四象限C．z的虚部为-D．z的共轭复数为1+10．袋子中共有大小和质地相同的4个球，其中2个白球和2个黑球，从袋中有放回地依次随机摸出2个球．甲表示事件“第一次摸到白球”，乙表示事件“第二次摸到黑球”，丙表示事件“两次都摸到白球”，则（）A．甲与乙互斥 B．乙与丙互斥 C．甲与乙独立 D．甲与乙对立11．如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则()A．轨道Ⅱ的长轴长为RB．轨道Ⅱ的焦距为RC．若R不变，r越小，轨道Ⅱ的短轴长越大D．若r不变，R越大，轨道Ⅱ的离心率越小三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知向量a=(1,x),b13．已知直线l：y=2x-1.若点(n,an)在直线l14．古希腊数学家阿波罗尼斯(约公元前262～公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆，已知点O(0,0)，A(3,0)，动点P(四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．在△ABC中，sinA=2sinB，b=2.再从条件①条件①：c=4条件②：b2条件③：acosB=（1）求角B的大小；（2）求△ABC16．已知f(x)=ax3-（1）求f(（2）求f(x)（3）若方程f(x)+17．已知数列{an}中，a1=3（1）求数列{an}的通项公式及其前n（2）设bn=n18．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，△DCP是等边三角形，∠DCB=∠PCB=π4，点（1）求证：MN//平面PBC（2）求证：平面PBC⊥平面ABCD（3）求CM与平面PAD所成角的正弦值．19．已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，若以F1为圆心，1为半径的圆与以（1）求椭圆E的方程；（2）点P是直线l：x=4上一动点，过点P作椭圆E的两条切线，切点分别为M，N①求证直线MN恒过定点，并求出此定点；②求△PMN

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：B={x|x∴A∩B={x|−1<x<1}.

故答案为：D.

【分析】求出B，再根据交集运算即可得解.2．【答案】B【解析】【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a7+a9=16，a4=2，∴2a1+14d=16，a1+3d=2．解得a1=﹣52，d=3则a12═﹣52+11×3故选：B．【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．3．【答案】C【解析】【解答】解：A、a+b=(1,3,6)，−21≠B、a与b夹角的余弦值为a⋅C、2a=(−4,−2,2)，5a+6bD、4|a|=46故答案为：C.【分析】根据空间向量的坐标运算，一一判断即可.4．【答案】A【解析】【解答】解：f'(x)=1x−2故答案为：A.

【分析】求导，代入x=15．【答案】D【解析】【解答】解：cos(α+π2故y8+y2=3故答案为：D.【分析】由诱导公式六及三角函数的定义求解即可.6．【答案】C【解析】【解答】解：圆C1:x2+C2:x2+由题意可知，l是圆C1和圆CC1(0,0)，C2(4,−2)，C1C2的中点(2,−1)故l的方程：y+1=2(x−2)，即y=2x−5．故答案为：C．【分析】易知l是圆C1和圆C7．【答案】B【解析】【解答】解：由图知f(x)的定义域为{x|x≠±1}，排除A、D，因为f(0)=1，故C错误.故答案为：B.【分析】由图象知函数的定义域，排除选项AD，再根据f(0)=1排除选项C，即可得正确选项.8．【答案】B【解析】【解答】解：由题设易知p=4，从而准线方程为x=−2.设点A(x1,y1)，点由抛物线的定义知，|AF|+|BF|=x所以有x1+x2=12，所以M故答案为：B【分析】由抛物线的定义和相关性质求解即可得到答案.9．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：z=1−i，z的实部为1，虚部为-1，共轭复数为1+i，故A、D正确，C错误；z=1−i在复平面内对应的点为1，−1，位于第四象限，故B正确；故答案为：ABD.【分析】根据已知条件，结合复数的概念以及复数的几何意义一一判断即可.10．【答案】B,C【解析】【解答】首先抽取方法是有放回，每次摸出1个球，共抽取2次.基本事件为：白白，白黑，黑白，黑黑，共4种情况.事件甲和事件乙可能同时发生：白黑，所以甲与乙不是互斥事件，A不符合题意.事件乙和事件丙不可能同时发生，所以乙与丙互斥，B符合题意.事件甲和事件乙是否发生没有关系，用A表示事件甲，用B表示事件乙，P(A)=12，P(B)=由于事件甲和事件乙是否发生没有关系，所以不是对立事件.故答案为：BC

【分析】利用已知条件结合互斥事件、对立事件的定义，从而找出正确的选项。11．【答案】A,B【解析】【解答】解：设椭圆长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，A、由椭圆的性质可知，轨道Ⅱ的长轴长为2a=|PQ|=|QF|+|FP|=R+r，故A正确；B、|QF|=a−c=r，又因为2a=R+r，所以2c=R−r，故B正确；C、2b=2a若R不变，r越小，2b越小，轨道Ⅱ的短轴长越小，故C错误；D、e=ca=R−r2R+r2故答案为：AB.【分析】根据椭圆中长轴两端点之间的距离2a，以及一个焦点与长轴两顶点的距离分别为a+c,a−c，结合圆的半径R和r以及椭圆的性质一一分析判断即可.12．【答案】±2【解析】【解答】解：因为a∥b，所以1×4−x故答案为：±2.

【分析】根据向量平行的坐标运算公式即可得到结果.13．【答案】n【解析】【解答】解：因为点(n,an)在直线l所以{an}是以2为公差，以1为首项的等差数列，所以Sn=n+nn−12×2=n214．【答案】2【解析】【解答】解：设P(x,y)，易知|PA|2=4|PO|整理得P的轨迹方程为(x+1)2+y圆(x−1)2+y圆心距为2，大于2−1=1，小于2+1=3，所以动点P的轨迹与圆(x−1)2故公切线的条数为2.故答案为：2【分析】利用阿波罗尼斯圆定义可得点P的轨迹方程为(x+1)215．【答案】（1）解：因为sinA=2sinB由正弦定理得，a=若选条件①：c=4，此时a若选条件②：b2由余弦定理得，cosB=由B为三角形内角，得B=45°若选条件③：acosB=则sinAcosB=又sinA>0所以cosB=sinB，即所以B=45°（2）解：由（1）B=45°，a=2由正弦定理得，asinA所以sinA=所以A=90°，则B=C△ABC的面积S故△ABC的面积为1【解析】【分析】（1）根据正弦定理化简已知条件，根据所选条件进行分析即可；（2）利用三角形的面积公式即可得解.16．【答案】（1）解：由题意知f'(因为f(x)在x则f(2)=8a-2b+4=-所以a=13所以f(（2）解：由题意知f(x)=所以f(3)=1，f'所以切点坐标为(3,1)，斜率所以切线方程为y-1=5(x-3)（3）解：令f'(x)=0解得x当x<-2时，f'(x)>0，f(x)单调递增，当-2<x<2则f(-2)=283x→+∞时，f(x)→+方程f(x)+等价于函数y=-k与y=f(解得k<-283所以k的范围为(-∞【解析】【分析】（1）求出f'(x)，由题意可得（2）求出f(3)，f'（3）将问题转化为y=−k与y=f(x)的图象有且只有一个交点，求出y=f(x)的单调性与极值，即可求出k的范围.17．【答案】（1）解：因为点(an，an+1)在直线故数列{an}是以3为公比，3为首项的等比数列，所以an=（2）解：由题可知bn=n所以Tn①×13，得①-②，得23故Tn=34−【解析】【分析】(1)由题意an+1an=3，a1=3，可得数列{an}是以3为公比，3为首项的等比数列，再由等比数列的前n项和公式求解出前n项的和S18．【答案】（1）证明：取PC中点E，连接ME，BE，如图所示：

∵M为DP中点，N为AB∴ME//1又∵BN//1∴ME//BN∴四边形BEMN为平行四边形，∴MN∵MN⊄平面PBC，BE⊂∴MN//平面（2）证明：∵∠DCB∴△BCD≌△BCP，过P作PQ⊥BC于点∴PQ=DQ∴PQ⊥平面∵PQ⊂平面PBC，∴平面PBC⊥（3）解：如图建系，则C(∴CM设平面PAD的一个法向量n=(∴2设CM与平面PAD所成角为θ，∴sinθ【解析】【分析】（1）取PC中点E，由已知条件，结合线面平行的判定定理即可得证；（2）过P作PQ⊥BC于点Q，利用三角形全等结合线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理即可得证；（3）以Q为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.19．【答案】（1）解：因为圆F1：(x+c所以2a解得a=2因为直线AA1，AA所以kA解得b2则椭圆E的方程为x2（2）解：证明：①由（1）得椭圆右焦点F2不妨设M(x1,y可得切线PM的方程为xx即3x因为点P在直线PM上，所以3x因为kM所以kM因为3x所以ty此时kM则MF同理得NF故直线MN恒过定点F2②由（1）知直线MN恒过定点F2不妨设直线