第5讲　人造卫星　宇宙速度

第5讲人造卫星宇宙速度学习目标1.掌握卫星运动的规律，会分析卫星运行时各物理量之间的关系。2.理解三种宇宙速度，并会求解第一宇宙速度的大小。1.天体(卫星)运行问题分析将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供。2.人造卫星(1)极地卫星：运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。(2)近地卫星：轨道在地球表面附近的卫星，其轨道半径r≈R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度v＝7.9km/s(人造地球卫星的最大运行速度)，周期T＝85min(人造地球卫星的最小周期)。3.宇宙速度1.思考判断(1)同一中心天体的两颗行星，公转半径越大，向心加速度越大。(×)(2)同一中心天体质量不同的两颗行星，若轨道半径相同，速率不一定相等。(×)(3)近地卫星的周期最小。(√)(4)极地卫星通过地球两极，且始终和地球某一经线平面重合。(×)(5)不同的同步卫星的质量不一定相同，但离地面的高度是相同的。(√)(6)月球的第一宇宙速度也是7.9km/s。(×)(7)同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度。(√)2.火星的质量和半径分别约为地球的eq\f(1,10)和eq\f(1,2)，地球的第一宇宙速度为v，则火星的第一宇宙速度约为()A.eq\f(\r(5),5)vB.eq\r(5)v C.eq\r(2)v D.eq\f(\r(2),2)v答案A考点一卫星运动参量的分析1.人造卫星运行轨道卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星的轨道是赤道轨道。如图1所示。图12.物理量随轨道半径变化的规律Geq\f(Mm,r2)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ma→a＝\f(GM,r2)→a∝\f(1,r2),m\f(v2,r)→v＝\r(\f(GM,r))→v∝\f(1,\r(r)),mω2r→ω＝\r(\f(GM,r3))→ω∝\f(1,\r(r3)),m\f(4π2,T2)r→T＝\r(\f(4π2r3,GM))→T∝\r(r3)))⇒eq\a\vs4\al(公式中r指轨道半径，r越大，v、ω、,a越小，T越大（高轨低速大周期）。)角度卫星运动参量与半径的关系例1(2022·广东卷，2)“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍。火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动。下列关于火星、地球公转的说法正确的是()A.火星公转的线速度比地球的大B.火星公转的角速度比地球的大C.火星公转的半径比地球的小D.火星公转的加速度比地球的小答案D解析由题意可知，火星的公转周期大于地球的公转周期，根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，可知火星的公转半径大于地球的公转半径，故C错误；根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，可得v＝eq\r(\f(GM,r))，可知火星公转的线速度小于地球公转的线速度，故A错误；根据ω＝eq\f(2π,T)可知火星公转的角速度小于地球公转的角速度，故B错误；根据Geq\f(Mm,r2)＝ma，可得a＝eq\f(GM,r2)，可知火星公转的加速度小于地球公转的加速度，故D正确。同一中心天体，各行星v、ω、a、T等物理量只与r有关；不同中心天体，各行星v、ω、a、T等物理量与中心天体质量M和r有关。1.(2023·广东卷，7)如图2(a)所示，太阳系外的一颗行星P绕恒星Q做匀速圆周运动。由于P的遮挡，探测器探测到Q的亮度随时间做如图(b)所示的周期性变化，该周期与P的公转周期相同。已知Q的质量为M，引力常量为G。关于P的公转，下列说法正确的是()图2A.周期为2t1－t0B.半径为eq\r(3,\f(GM（t1－t0）2,4π2))C.角速度的大小为eq\f(π,t1－t0)D.加速度的大小为eq\r(3,\f(2πGM,t1－t0))答案B解析由题图(b)可知探测器探测到Q的亮度随时间变化的周期为T＝t1－t0，则P的公转周期为t1－t0，故A错误；P绕恒星Q做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，可得eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，解得半径为r＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))＝eq\r(3,\f(GM（t1－t0）2,4π2))，故B正确；P的角速度为ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,t1－t0)，故C错误；P的加速度大小为a＝ω2r＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,t1－t0)))eq\s\up12(2)·eq\r(3,\f(GM（t1－t0）2,4π2))＝eq\f(2π,t1－t0)·eq\r(3,\f(2πGM,t1－t0))，故D错误。角度同步卫星、近地卫星和赤道上物体的运行问题例2如图3所示，a为静止在地球赤道上的物体，b为近地卫星，c为同步卫星，d为高空探测卫星，a向为他们的向心加速度，r为它们到地心的距离，T为它们的运动周期，l、θ分别为相同时间内转过的弧长和转过的圆心角，则下列图像正确的是()图3答案C解析因c为同步卫星，a为静止在赤道上的物体，则Ta＝Tc，ωa＝ωc，由a向＝ω2r可知aa<ac<g，A、B错误；由v＝ωr可知，va<vc，由l＝vt，可知经过相同时间la<lc，D错误；对b、c、d三颗卫星，根据Geq\f(Mm,r2)＝mω2r，可得ω＝eq\r(\f(GM,r3))，所以ωb>ωc＝ωa>ωd，由θ＝ωt，可知经历相同时间θb>θc＝θa>θd，C正确。规律总结近地卫星、同步卫星与地球赤道上物体的比较项目近地卫星同步卫星地球赤道上物体图示向心力万有引力万有引力万有引力的一个分力轨道半径r同＞r物＝r近角速度ω近＝eq\r(\f(GM,R3))，ω同＝ω物＝eq\r(\f(GM,（R＋h）3))，有ω近＞ω同＝ω物线速度v近＝eq\r(\f(GM,R))，v同＝ω同(R＋h)＝eq\r(\f(GM,R＋h))，v物＝ω物R，有v近＞v同＞v物向心加速度a近＝ωeq\o\al(2,近)R＝eq\f(GM,R2)，a同＝ωeq\o\al(2,同)(R＋h)＝eq\f(GM,（R＋h）2)，a物＝ωeq\o\al(2,物)R，有a近＞a同＞a物2.(多选)卫星A在地球的赤道平面内绕地球做匀速圆周运动，轨道半径为r，运行的周期与地球的自转周期T0相同；卫星B绕地球的表面附近做匀速圆周运动；物体C位于地球的赤道上，相对地面静止，地球的半径为R。则有()A.卫星A与卫星B的线速度之比是eq\f(R,r)B.卫星A与物体C的向心加速度之比是eq\f(r,R)C.卫星B与物体C的向心加速度之比是1D.地球表面的重力加速度是eq\f(4π2r3,Teq\o\al(2,0)R2)答案BD解析卫星绕地球做匀速圆周运动，根据eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)，解得v＝eq\r(\f(GM,r))，则卫星A与卫星B的线速度之比为eq\f(vA,vB)＝eq\r(\f(R,r))，故A错误；根据eq\f(GMm,r2)＝ma，解得a＝eq\f(GM,r2)，卫星A与卫星B的向心加速度之比为eq\f(aA,aB)＝eq\f(R2,r2)，由于卫星A的周期等于地球自转周期，则卫星A的角速度等于地球自转角速度，根据a＝ω2r，可知卫星A与物体C的向心加速度之比eq\f(aA,aC)＝eq\f(r,R)，卫星B与物体C的向心加速度之比eq\f(aB,aC)＝eq\f(aB,aA)·eq\f(aA,aC)＝eq\f(r2,R2)·eq\f(r,R)＝eq\f(r3,R3)，故B正确，C错误；对于卫星A，有eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,Teq\o\al(2,0))r，根据eq\f(GMm,R2)＝mg，联立解得地球表面的重力加速度是g＝eq\f(4π2r3,Teq\o\al(2,0)R2)，故D正确。考点二宇宙速度1.第一宇宙速度的推导方法一：由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(veq\o\al(2,1),R)，得v1＝eq\r(\f(GM,R))＝eq\r(\f(6.67×10－11×5.98×1024,6.4×106))m/s≈7.9×103m/s。方法二：由mg＝meq\f(veq\o\al(2,1),R)得v1＝eq\r(gR)＝eq\r(9.8×6.4×106)m/s≈7.9×103m/s。第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2πeq\r(\f(R,g))＝2πeq\r(\f(6.4×106,9.8))s≈5075s≈85min。2.宇宙速度与运动轨迹的关系(1)v发＝7.9km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动。(2)7.9km/s＜v发＜11.2km/s时，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。(3)11.2km/s≤v发＜16.7km/s时，卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆。(4)v发≥16.7km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。例3中国火星探测器“天问一号”成功发射后，沿地火转移轨道飞行七个多月，于2021年2月到达火星附近，要通过制动减速被火星引力俘获，才能进入环绕火星的轨道飞行。已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球半径约为火星半径的2倍，下列说法正确的是()A.若在火星上发射一颗绕火星运动的近地卫星，其速度至少需要7.9km/sB.“天问一号”探测器的发射速度一定大于7.9km/s，小于11.2km/sC.火星与地球的第一宇宙速度之比为1∶eq\r(5)D.火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度答案C解析卫星在行星表面附近绕行的速度等于该行星的第一宇宙速度，由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)可得v＝eq\r(\f(GM,R))，则v火∶v地＝1∶eq\r(5)，在火星上发射一颗绕火星运动的近地卫星，其速度至少需要v火＝eq\f(7.9,\r(5))km/s，故A错误，C正确；“天问一号”探测器挣脱了地球引力束缚，则它的发射速度大于等于11.2km/s，故B错误；g地＝Geq\f(M地,R2)，g火＝Geq\f(M火,Req\o\al(2,火))，联立可得g地>g火，故D错误。3.经典的“黑洞”理论认为，当恒星收缩到一定程度时，会变成密度非常大的天体，这种天体的逃逸速度非常大，大到光从旁边经过时都不能逃逸，也就是其第二宇宙速度大于等于光速，此时该天体就变成了一个黑洞。若太阳演变成一个黑洞后的密度为ρ、半径为R，设光速为c，第二宇宙速度是第一宇宙速度的eq\r(2)倍，引力常量为G，则ρR2的最小值是()A.eq\f(3c2,4πG) B.eq\f(3c2,8πG) C.eq\f(4πG,3c2) D.eq\f(8πG,3c2)答案B解析设太阳演变成一个黑洞后的质量为M，对于太阳表面一个质量为m的物体，根据万有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，可得太阳的第一宇宙速度为v＝eq\r(\f(GM,R))，第二宇宙速度大于等于光速，又第二宇宙速度是第一宇宙速度的eq\r(2)倍，则c≤eq\r(2)v，又根据太阳演变成一个黑洞后的质量M＝ρ·eq\f(4,3)πR3，联立解得ρR2≥eq\f(3c2,8πG)，故B正确。A级基础对点练对点练1卫星运动参量的分析1.(2023·天津卷，1)运行周期为24h的北斗卫星比运行周期为12h的()A.加速度大 B.角速度大C.周期小 D.线速度小答案D解析根据万有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r＝ma，可得v＝eq\r(\f(GM,r))，ω＝eq\r(\f(GM,r3))，T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，a＝eq\f(GM,r2)，因为北斗卫星周期大，故运行轨道半径大，则线速度小，角速度小，加速度小，故D正确。2.(2023·江苏卷，4)设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道。该卫星与月球相比，一定相等的是()A.质量B.向心力大小C.向心加速度大小D.受到地球的万有引力大小答案C解析3.如图1所示，a、b、c三颗卫星在各自的轨道上绕地球做匀速圆周运动，轨道半径ra<rb<rc，但三颗卫星受到地球的万有引力大小相等，下列说法正确的是()图1A.三颗卫星的加速度大小aa<ab<acB.三颗卫星的质量ma<mb<mcC.三颗卫星的运行速度大小va<vb<vcD.三颗卫星的运行周期Ta>Tb>Tc答案B解析对卫星，有Geq\f(Mm,r2)＝ma＝meq\f(v2,r)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r，因为ra<rb<rc，加速度a＝eq\f(GM,r2)，所以三颗卫星的加速度大小aa>ab>ac，故A错误；速度v＝eq\r(\f(GM,r))，所以三颗卫星的运行速度大小va>vb>vc，故C错误；周期T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，所以三颗卫星的运行周期Ta<Tb<Tc，故D错误；由F＝eq\f(GMm,r2)知，因为三颗卫星受到的万有引力大小相等，所以三颗卫星的质量ma<mb<mc，故B正确。4.(多选)(2024·广东梅州模拟)2022年11月3日，中国空间站梦天实验舱顺利完成转位，标志着中国空间站“T”字基本构型在轨组装完成。已知中国空间站在距地面高度为h的圆形轨道运行。若地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，梦天实验舱转位过程的时间为t，不考虑地球的自转。则()图2A.中国空间站做圆周运动的周期为2πeq\r(\f(R＋h,g))B.中国空间站做圆周运动的周期为eq\f(2π（R＋h）,R)eq\r(\f(R＋h,g))C.中国空间站在转位时间内通过的路程为tReq\r(\f(g,R＋h))D.中国空间站在转位时间内通过的路程为t(R＋h)eq\r(\f(g,R))答案BC解析设中国空间站的质量为m，地球的质量为M，中国空间站绕地球运动的周期为T，则Geq\f(Mm,（R＋h）2)＝meq\f(4π2,T2)(R＋h)，设地球表面物体的质量为m′，则有Geq\f(Mm′,R2)＝m′g，联立解得T＝eq\f(2π（R＋h）,R)eq\r(\f(R＋h,g))，故A错误，B正确；设中国空间站运行速度的大小为v，则有v＝eq\r(\f(GM,R＋h))＝Req\r(\f(g,R＋h))，中国空间站在t时间内运行的路程s＝vt＝tReq\r(\f(g,R＋h))，故C正确，D错误。5.地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a1，地球的同步卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为r，向心加速度为a2。已知引力常量为G，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，且地球近地卫星轨道处的重力加速度为g0，下列说法正确的是()A.地球质量M＝eq\f(gr2,G)B.地球质量M＝eq\f(a1r2,G)C.a1、a2、g、g0的关系是g0＝g>a2>a1D.加速度之比eq\f(a1,a2)＝eq\f(r2,R2)答案C解析在地球表面，有Geq\f(Mm,R2)＝mg，地球质量为M＝eq\f(gR2,G)，故A、B错误；由题意知g0＝g＝eq\f(GM,R2)，设地球自转的角速度为ω，赤道上物体的加速度a1＝ω2R，地球同步卫星的向心加速度a2＝ω2r＝eq\f(GM,r2)，由于r>R，所以g0＝g>a2>a1，故C正确；加速度之比eq\f(a1,a2)＝eq\f(R,r)，故D错误。对点练2宇宙速度6.星球上的物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度。星球的第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2＝eq\r(2)v1。已知某星球的半径为r，它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的eq\f(1,6)。不计其他星球的影响。则该星球的第二宇宙速度为()A.eq\r(\f(gr,3)) B.eq\r(\f(gr,6)) C.eq\f(gr,3) D.eq\r(gr)答案A解析该星球的第一宇宙速度满足Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(veq\o\al(2,1),r)，在该星球表面处万有引力等于重力，有Geq\f(Mm,r2)＝m·eq\f(g,6)，由以上两式得该星球的第一宇宙速度v1＝eq\r(\f(gr,6))，则第二宇宙速度v2＝eq\r(2)×eq\r(\f(gr,6))＝eq\r(\f(gr,3))，故A正确。7.地球的近地卫星线速度大小约为8km/s，已知月球质量约为地球质量的eq\f(1,81)，地球半径约为月球半径的4倍，下列说法正确的是()A.在月球上发射卫星的最小速度约为8km/sB.月球卫星的环绕速度可能达到4km/sC.月球的第一宇宙速度约为1.8km/sD.“近月卫星”的线速度比“近地卫星”的线速度大答案C解析根据第一宇宙速度v＝eq\r(\f(GM,R))，可得月球与地球的第一宇宙速度之比为eq\f(v月,v地)＝eq\r(\f(M月R地,M地R月))＝eq\r(\f(4,81))＝eq\f(2,9)，月球的第一宇宙速度约为v月＝eq\f(2,9)v地＝eq\f(2,9)×8km/s≈1.8km/s，在月球上发射卫星的最小速度约为1.8km/s，月球卫星的环绕速度小于或等于1.8km/s，“近月卫星”的线速度为1.8km/s，小于“近地卫星”的线速度，故C正确。8.(多选)已知地球的质量为M、半径为R、自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为G。有关同步卫星，下列结论正确的是()A.卫星距离地球表面的高度为eq\r(3,\f(GMT2,4π2))B.卫星的运行速度小于第一宇宙速度C.卫星运行时受到地球引力的大小为Geq\f(Mm,R2)D.卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度答案BD解析由万有引力提供向心力Geq\f(Mm,（R＋h）2)＝meq\f(4π2,T2)(R＋h)，得卫星距离地面高度为h＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))－R，故A错误；卫星运行时受到地球引力的大小为F引＝Geq\f(Mm,（R＋h）2)，故C错误；第一宇宙速度为v1＝eq\r(\f(GM,R))，卫星的运行速度v＝eq\r(\f(Gm,R＋h))<v1，故B正确；地表重力加速度为g＝eq\f(GM,R2)，卫星运行的向心加速度a＝eq\f(GM,（R＋h）2)<g，故D正确。B级综合提升练9.(2024·河北衡水高三月考)已知北斗导航卫星在预定轨道距离地心的间距为r、运行周期为T、地球表面的重力加速度为g、地球的半径为R、引力常量为G。则下列说法正确的是()A.地球的质量为eq\f(4π2r3,GT2)B.地球的第一宇宙速度为eq\r(gr)C.北斗导航卫星的运行速度为eq\f(2πR,T)D.由于北斗导航卫星正常运行时完全失重，则北斗导航卫星的重力为零答案A解析北斗导航卫星在环绕地球运行时，由万有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，则地球的质量M＝eq\f(4π2r3,GT2)，A正确；在地球表面，由mg＝meq\f(v2,R)，则地球的第一宇宙速度为v＝eq\r(gR)，B错误；北斗导航卫星在轨道上正常运行时，环绕速度为v0＝eq\f(2πr,T)，C错误；北斗导航卫星环绕地球做圆周运动时，处于完全失重状态，但仍受重力的作用，D错误。10.(多选)(2024·广东清远模拟)如图3所示，天问一号探测器沿椭圆形的停泊轨道绕火星飞行，周期为T。已知火星的半径为R，火星的第一宇宙速度为v，引力常量为G，则()图3A.火星的质量为eq\f(veq\o\al(2,1),GR)B.火星的密度为eq\f(3veq\o\al(2,1),4πGR2)C.火星表面的重力加速度为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v1,R)))eq\s\up12(2)D.停泊轨道的半长轴为eq\r(3,\f(veq\o\al(2,1)T2R,4π2))答案BD解析设火星的质量为M，天问一号的质量为m，当天问一号绕火星表面运行时，有Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(veq\o\al(2,1),R)，可得M＝eq\f(veq\o\al(2,1)R,G)，A错误；又因为ρ＝eq\f(M,V)，V＝eq\f(4πR3,3)，解得火星的密度ρ＝eq\f(3veq\o\al(2,1),4πGR2)，B正确；根据火星表面物体的重力等于万有引力，有mg＝eq\f(GM,R2)，火星表面的重力加速度g＝eq\f(veq\o\al(2,1),R)，C错误；设停泊轨道的半长轴为a，由开普勒第三定律有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,R)))eq\s\up12(3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T,T′)))eq\