2025年行列式测试题及答案

行列式测试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题5分，共30分）

1.下列哪个是三阶行列式？

A.$\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}$

B.$\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$

C.$\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e\\g&h\end{bmatrix}$

D.$\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\e&f\end{bmatrix}$

2.行列式$\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}$的值为：

A.-5

B.5

C.8

D.-8

3.如果行列式$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=0$，则：

A.a=c

B.b=d

C.a=-c

D.b=-d

4.若行列式$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=5$，则：

A.$\begin{vmatrix}a+1&b\\c&d+1\end{vmatrix}=5$

B.$\begin{vmatrix}a-1&b\\c&d-1\end{vmatrix}=5$

C.$\begin{vmatrix}a&b+1\\c&d+1\end{vmatrix}=5$

D.$\begin{vmatrix}a-1&b+1\\c-1&d-1\end{vmatrix}=5$

5.行列式$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}$与$\begin{vmatrix}a+b&b\\c+d&d\end{vmatrix}$的关系是：

A.等于

B.差5

C.差10

D.无关系

二、填空题（每题5分，共20分）

6.三阶行列式$\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}$展开后第一项的符号是_________。

7.行列式$\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}$展开后，按第1行展开的第三项是_________。

8.行列式$\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}$按第2列展开，若$a\neq0$，则其值是_________。

9.行列式$\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}$按第3行展开，若$a\neq0$，则其值是_________。

10.若行列式$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=0$，则下列结论中正确的是_________。

三、计算题（每题15分，共45分）

11.计算行列式$\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}$。

12.计算行列式$\begin{vmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\\13&14&15&16\end{vmatrix}$。

13.计算行列式$\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}$，其中$a=2,b=3,c=4,d=5,e=6,f=7,g=8,h=9,i=10$。

四、证明题（每题20分，共40分）

14.证明：对于任意n阶方阵$A$，如果$A$的任意两行（或两列）成比例，则$|A|=0$。

15.证明：对于任意n阶方阵$A$，如果$A$的行（或列）向量线性无关，则$|A|\neq0$。

五、应用题（每题20分，共40分）

16.已知三阶方阵$A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}$，求$A$的逆矩阵$A^{-1}$。

17.已知四阶方阵$A=\begin{bmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\\13&14&15&16\end{bmatrix}$，求$A$的伴随矩阵$A^*$。

六、综合题（每题20分，共40分）

18.已知方阵$A=\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}$，证明$|A|=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh$。

19.设方阵$A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$，证明$A^2=\begin{bmatrix}a^2+bc&ab+bd\\ac+cd&bc+d^2\end{bmatrix}$。

试卷答案如下：

一、选择题答案及解析：

1.A（行列式定义要求方阵，只有A是三阶方阵）

2.A（计算行列式的值，1×4-2×3=4-6=-2）

3.D（行列式值为0时，两行（列）成比例，故a=-c）

4.B（行列式值不变，只需保持原行列式）

5.D（行列式值不变，只需保持原行列式）

二、填空题答案及解析：

6.正号（三阶行列式按第一行展开，第一个元素的符号为正）

7.cdf（按第一行展开，第三项为c×e×i）

8.-ce（按第二行展开，第一项为-1×a×i）

9.-bf（按第三行展开，第一项为-1×a×d）

10.a=c或b=d或a=-c或b=-d（行列式值为0时，两行（列）成比例）

三、计算题答案及解析：

11.0（按第一行展开，1×(5×9-6×8)-2×(4×9-6×7)+3×(4×8-5×7)=0）

12.0（按第一列展开，1×(6×9-8×8)-2×(6×7-8×6)+3×(6×6-7×7)=0）

13.|A|=2×10×8+3×5×7-4×2×5-5×10×9+7×3×2-8×5×7=160-400+105-450+42-280=-523

四、证明题答案及解析：

14.解析：假设A的任意两行（或两列）成比例，设比例系数为k，则存在不全为0的常数k1,k2，使得k1a1+k2a2=0（行比例）或k1b1+k2b2=0（列比例）。这意味着行列式的展开式中至少有一个项为0，所以|A|=0。

15.解析：假设A的行（或列）向量线性无关，那么按行（或列）展开行列式时，每个项都至少包含一个非零元素，所以行列式的值不为0。

五、应用题答案及解析：

16.解析：根据公式$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$，首先计算|A|，然后计算伴随矩阵A^*，最后求逆矩阵。

$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*=\frac{1}{9}\begin{bmatrix}10&-6&2\\-5&5&-5\\5&-5&5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{10}{9}&-\frac{6}{9}&\frac{2}{9}\\-\frac{5}{9}&\frac{5}{9}&-\frac{5}{9}\\\frac{5}{9}&-\frac{5}{9}&\frac{5}{9}\end{bmatrix}$

17.解析：根据公式$A^*=|A|A^{-1}$，首先计算|A|，然后求逆矩阵A^{-1}，最后计算伴随矩阵A^*。

$A^*=|A|A^{-1}=1\begin{bmatrix}8&-8&8&-8\\-8&8&-8&8\\8&-8&8&-8\\-8&8&-8&8\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}8&-8&8&-8\\-8&8&-8&8\\8&-8&8&-8\\-8&8&-8&8\end{bmatrix}$

六、综合