2025年吉林春招数学试题及答案

吉林春招数学试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题5分，共20分）

1.若函数$f(x)=x^3-3x+2$在$x=1$处取得极值，则该极值为（）

A.0B.-2C.1D.2

2.已知函数$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$的图像关于点$(1,0)$对称，则该函数的图像不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.若$a>0$，$b>0$，$a+b=1$，则$\sqrt{a}+\sqrt{b}$的最小值为（）

A.1B.$\frac{2}{\sqrt{2}}$C.$\sqrt{2}$D.$\frac{\sqrt{2}}{2}$

4.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_5=10$，$S_9=36$，则$a_5+a_9$的值为（）

A.16B.18C.20D.22

5.若直线$x+y=1$与圆$x^2+y^2=4$相切，则该直线与圆的切点到原点的距离为（）

A.1B.$\sqrt{2}$C.2D.$\sqrt{3}$

二、填空题（每题5分，共25分）

1.若函数$f(x)=x^2-2ax+1$在区间$[1,2]$上单调递减，则实数$a$的取值范围为______。

2.若等差数列$\{a_n\}$的首项为2，公差为3，则第10项$a_{10}$与第15项$a_{15}$之差为______。

3.已知函数$f(x)=\ln(x+1)$的定义域为$x\in(-1,+\infty)$，则该函数的值域为______。

4.若$a>0$，$b>0$，$a^2+b^2=1$，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最大值为______。

5.若直线$y=kx+1$与圆$x^2+y^2=4$相切，则实数$k$的取值范围为______。

三、解答题（每题15分，共45分）

1.已知函数$f(x)=x^3-3x+2$，求$f(x)$的导数$f'(x)$。

2.求等差数列$\{a_n\}$的首项$a_1=1$，公差$d=2$的前$n$项和$S_n$。

3.已知函数$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$，求$f(x)$的图像在区间$[0,1]$上的单调性。

4.已知$a>0$，$b>0$，$a+b=1$，求$\sqrt{a}+\sqrt{b}$的最大值。

5.已知直线$y=kx+1$与圆$x^2+y^2=4$相切，求实数$k$的取值范围。

四、解答题（每题15分，共45分）

1.已知函数$f(x)=x^3-3x+2$，求$f(x)$的导数$f'(x)$。

解：$f'(x)=3x^2-3$。

2.求等差数列$\{a_n\}$的首项$a_1=1$，公差$d=2$的前$n$项和$S_n$。

解：$S_n=\frac{n(2a_1+(n-1)d)}{2}=\frac{n(2+2(n-1))}{2}=n^2$。

3.已知函数$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$，求$f(x)$的图像在区间$[0,1]$上的单调性。

解：$f'(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(x+1)^2}$。由于$f'(x)>0$对所有$x\in[0,1]$成立，所以$f(x)$在区间$[0,1]$上单调递增。

4.已知$a>0$，$b>0$，$a+b=1$，求$\sqrt{a}+\sqrt{b}$的最大值。

解：由柯西不等式得$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2\leq(1^2+1^2)(a+b)=2$，即$\sqrt{a}+\sqrt{b}\leq\sqrt{2}$。等号成立当且仅当$a=b=\frac{1}{2}$，所以$\sqrt{a}+\sqrt{b}$的最大值为$\sqrt{2}$。

5.已知直线$y=kx+1$与圆$x^2+y^2=4$相切，求实数$k$的取值范围。

解：圆心到直线的距离$d=\frac{|k\cdot0-0+1|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}$。由于直线与圆相切，所以$d=2$，解得$k^2=3$，即$k=\pm\sqrt{3}$。

五、证明题（每题15分，共30分）

1.证明：若$a>0$，$b>0$，$a+b=1$，则$\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq2$。

证明：由柯西不等式得$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2\leq(1^2+1^2)(a+b)=2$，即$\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq\sqrt{2}$。等号成立当且仅当$a=b=\frac{1}{2}$，所以$\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq2$。

2.证明：若等差数列$\{a_n\}$的首项$a_1=1$，公差$d=2$，则对任意正整数$n$，$a_n>0$。

证明：由等差数列的通项公式得$a_n=a_1+(n-1)d=1+(n-1)\cdot2=2n-1$。由于$n$为正整数，所以$2n-1>0$，即$a_n>0$。

六、应用题（每题15分，共30分）

1.已知函数$f(x)=x^3-3x+2$，求$f(x)$在区间$[1,2]$上的最大值和最小值。

解：$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$得$x=1$。由于$f'(x)>0$在$x>1$时成立，$f'(x)<0$在$x<1$时成立，所以$f(x)$在$x=1$处取得局部极小值，在$x=2$处取得局部极大值。计算得$f(1)=-2$，$f(2)=0$，所以$f(x)$在区间$[1,2]$上的最大值为0，最小值为-2。

2.已知等差数列$\{a_n\}$的首项$a_1=3$，公差$d=-2$，求该数列的前10项和$S_{10}$。

解：$S_{10}=\frac{10(2a_1+(10-1)d)}{2}=\frac{10(2\cdot3+9\cdot(-2))}{2}=10(-18)=-180$。

试卷答案如下：

一、选择题

1.答案：C

解析思路：求函数$f(x)=x^3-3x+2$在$x=1$处的导数，得$f'(1)=3-3=0$，说明在$x=1$处可能有极值。再求二阶导数$f''(x)=6x$，得$f''(1)=6>0$，说明在$x=1$处取得极小值，极小值为$f(1)=1^3-3\cdot1+2=0$。

2.答案：C

解析思路：由于函数$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$的图像关于点$(1,0)$对称，可知该函数在$x=1$处有奇点。当$x$从左侧趋近于1时，$f(x)$的值趋近于负无穷；当$x$从右侧趋近于1时，$f(x)$的值趋近于正无穷。因此，函数的图像不经过第三象限。

3.答案：B

解析思路：由均值不等式得$\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq2\sqrt{\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}}$，即$\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq2\sqrt{ab}$。由于$a+b=1$，代入得$\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq2\sqrt{1-a}$。当$a=b=\frac{1}{2}$时，等号成立，此时$\sqrt{a}+\sqrt{b}=2$。

4.答案：C

解析思路：等差数列的前$n$项和公式为$S_n=\frac{n(2a_1+(n-1)d)}{2}$，代入$a_1=1$，$d=2$得$S_n=\frac{n(2+2(n-1))}{2}=n^2$。由$S_5=10$得$5^2=10$，解得$n=5$。由$S_9=36$得$9^2=36$，解得$n=9$。因此，$a_5+a_9=S_9-S_5=36-10=26$。

5.答案：C

解析思路：直线$x+y=1$与圆$x^2+y^2=4$相切，说明圆心到直线的距离等于圆的半径。圆心坐标为$(0,0)$，半径为$2$。直线到原点的距离公式为$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$，代入得$d=\frac{|0+0-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$。由于$d=2$，解得$\sqrt{2}=2$，所以$d=2$。

二、填空题

1.答案：$a\leq1$

解析思路：由于函数$f(x)=x^2-2ax+1$在区间$[1,2]$上单调递减，所以$f'(x)=2x-2a\leq0$。解得$a\geqx$，由于$x\in[1,2]$，所以$a\leq1$。

2.答案：8

解析思路：等差数列的第$n$项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，代入$a_1=1$，$d=2$得$a_n=1+(n-1)\cdot2=2n-1$。因此，$a_{10}=2\cdot10-1=19$，$a_{15}=2\cdot15-1=29$，$a_{10}+a_{15}=19+29=48$。

3.答案：$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$

解析思路：函数$f(x)=\ln(x+1)$的定义域为$x\in(-1,+\infty)$，当$x\rightarrow-1^+$时，$f(x)\rightarrow-\infty$；当$x\rightarrow+\infty$时，$f(x)\rightarrow+\infty$。因此，函数的值域为$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$。

4.答案：$\frac{\sqrt{2}}{2}$

解析思路：由均值不等式得$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq2\sqrt{\frac{1}{ab}}$。由于$a^2+b^2=1$，代入得$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq2\sqrt{\frac{1}{1}}=2$。等号成立当且仅当$a=b=\frac{1}{2}$，此时$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

5.答案：$(-\infty,-\frac{\sqrt{3}}{3})\cup(\frac{\sqrt{3}}{3},+\infty)$

解析思路：直线$y=kx+1$与圆$x^2+y^2=4$相切，说明圆心到直线的距离等于圆的半径。圆心坐标为$(0,0)$，半径为$2$。直线到原点的距离公式为$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$，代入得$d=\frac{|k\cdot0+1\cdot0+1|}{\sqrt{k^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}$。由于$d=2$，解得$k^2=3$，即$k=\pm\sqrt{3}$。

三、解答题

1.答案：$f'(x)=3x^2-3$

解析思路：求导公式得$f'(x)=3x^2-3$。

2.答案：$S_n=n^2$

解析思路：代入等差数列的前$n$项和公式得$S_n=n^2$。

3.答案：单调递增

解析思路：求导得$f'(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(x+1)^2}$，由于$f'(x)>0$对所有$x\in[0,1]$成立，所以$f(x)$在区间$[0,1]$上单调递增。

4.答案：$\sqrt{2}$

解析思路：由柯西不等式得$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2\leq(1^2+1^2)(a+b)=2$，即$\sqrt{a}+\sqrt{b}\leq\sqrt{2}$。等号成立当且仅当$a=b=\frac{1}{2}$，所以$\sqrt{a}+\sqrt{b}$的最大值为$\sqrt{2}$。

5.答案：$k=\pm\sqrt{3}$

解析思路：由圆心到直线的距离等于圆的半径得$k^2=3$，即$k=\pm\sqrt{3}$。

四、证明题

1.答案：证明见解析思路

解析思路：由柯西不等式得$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2\leq(1^2+1^2)(a+b)=2$，即$\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq\sqrt{2}$。等号成立当且仅当$a=b=\frac{1}{2}$，所以$\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq2$。

2.答案：证明见解析思路

解析思路：由等差数列的通项公式得$a_n=2n-1$。由于$n$为正整数，所以$2n-1>0$，即$a_n>0$。

五、应用题

1.答案：最大值为0，最小值为-2

解析思路：求导得$f'(x)=3x^2