四川省眉山市眉山第一中学2024-2025学年高三下学期二模测试数学试题（含答案）

2025年四川省眉山市第一中学校高2022级高三二模测试卷数学本试卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项:1．答卷前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。3．考试结束后，只将答题卡交回。第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知全集，，，则（

）A． B． C． D．2．某中学有初中生600名，高中生200名，为保障学生的身心健康，学校举办“校园安全知识”了竞赛.现按比例分配的分层随机抽样的方法，分别抽取初中生名，高中生名，经统计：名学生的平均成饽为74分，其中名初中生的平均成绩为72分，名高中生的平均成绩为分，则（

）A．74 B．76 C．78 D．803．若向量，且，则（

）A． B．8 C． D．24．已知，，则的值为A． B． C． D．5．把函数的图象向左平移个单位，再将得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象.若函数在上恰有3个零点，则正数的取值范围是（

）A． B． C． D．6．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通､安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量C、放电时间t和放电电流I之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该蓄电池的Peukert常数约为（

）（参考数据：，）A．0.82 B．1.15 C．3.87 D．5.57．已知抛物线的焦点为F，动点M在C上，圆M的半径为1，过点F的直线与圆M相切于点N，则的最小值为（

）A．5 B．6 C．7 D．88．如图，在直三棱柱中，分别为线段的中点，，平面平面，则四面体的外接球的体积为（

）A． B． C． D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．设为复数，且，下列命题中正确的是（

）A．若，则B．若，则最大值为3C．若，则D．若，则在复平面对应的点在一条直线上10．我们把平面内到两个定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．在平面直角坐标系中，设定点为，，动点满足，化简可得卡西尼卵形线，则（

）A．曲线C既是中心对称图形也是轴对称图形B．曲线C关于直线对称C．曲线C都在圆内D．曲线C与椭圆没有公共点11．已知函数，，则下列说法正确的是（

）A．当时，有唯一零点B．当时，是减函数C．若只有一个极值点，则或D．当时，对任意实数，总存在实数，使得第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．若变量满足，目标函数取得最大值的是，则的最小值为．13．一道单项选择题有4个答案，要求学生将正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为，在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是.14．若关于的方程有解，则实数m的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（本题13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．(1)求的值；(2)若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求△ABC的面积．条件①：；条件②：；条件③：△ABC的周长为9．16．（本题15分）已知函数．(1)当时，求在处的切线方程；(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围．17．（本题15分）如图，在三棱锥中，，，分别是侧棱，，的中点，，平面.(1)求证：平面平面；(2)如果，，求二面角的余弦值.18．（本题17分）已知椭圆的离心率为，左右两顶点分别为，过点作斜率为的动直线与椭圆相交于两点.当时，点到直线的距离为.

(1)求椭圆的标准方程；(2)设点关于原点的对称点为，设直线与直线相交于点，设直线的斜率为，试探究是否为定值，若为定值，求出定值并说明理由.19．（本题17分）已知是定义在上的函数，若对任意，恒成立，则称为上的非负函数.(1)判断是否为上的非负函数，并说明理由.(2)已知为正整数，为上的非负函数，记的最大值为，证明：为等差数列.(3)已知且，函数，若为上的非负函数，证明：.参考答案题号12345678910答案BDBBBBDABDACD题号11答案ABD12．13．14．15．（1）∵，则，∴.（2）由（1）可得，由正弦定理可得，若选条件①：由余弦定理，即，注意到，解得，则，由三角形的性质可知此时△ABC存在且唯一确定，∵，则，可得，∴△ABC的面积.若选条件②：∵，可得，则有：若为锐角，则，由余弦定理，即，整理得：，且，解得，则；若为钝角，则，由余弦定理，即，整理得：，且，解得，则；综上所述：此时△ABC存在但不唯一确定，不合题意.若条件③：由题意可得：，即，解得，则，由三角形的性质可知此时△ABC存在且唯一确定，由余弦定理可得，则，可得，∴△ABC的面积.16．（1）当时，．故切线的斜率，又切点为切线方程为，化简得．（2）法1：当时，恒成立，故，也就是，即，由得，令，则，令，则，可知在单调递增，则，即在恒成立，．故在单调递增，所以，故在恒成立．所以在单调递增，而，所以，故．法2：因为当时，恒成立，故，由，令，得或，①当，即时，在上恒成立，在上单调递减，，不合题意，合题意．②当，即时，当时，当时，故在上单调递增，在上单调递减，，设，则恒成立，在上单调递减，故即，合题意．综上，．法3：因为当时，恒成立，也就是，即恒成立，令，令，恒成立，在上单调递增．．①当，即时，在上单调递增，，合题意；②当，即时，，因为，，存在，使得，即．在上单调递减，在上单调递增．，不合题意．综上，．17．（1）因为，，分别是侧棱，，的中点，所以，因为，所以，因为平面，平面，所以，又平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面；（2）因为平面，平面，所以，因为，所以，所以，因为平面，，所以平面，又平面，所以，所以两两垂直，如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，则，故，设平面的法向量为，则有，可取，因为平面，所以即为平面的一条法向量，故，所以二面角的余弦值.18．（1）依题意可知，由于，则直线的方程为，因为点到直线的距离为.所以，解得，所以，则，所以椭圆的标准方程.（2）设，直线的方程为.此时.联立直线与椭圆方程消去得，则有不妨设，因为三点共线，则，所以则有，因为三点共线，则则有，所以，所以，所以，所以，所以.19．（1）是上的非负函数.理由如下：因为，，所以.当时，，单调递减，当时，，单调递增，则，故是上的非负函数.（2）由，，得.当时，，单调递减，