2024-2025学年四川省内江市资中县球溪高级中学火箭班高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年四川省内江市资中县球溪高级中学火箭班高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.抛物线x2=4y的准线方程为(

)A.y=−2 B.x=−2 C.y=−1 D.x=−12.过A(2,0)、B(0,3)两点的直线方程是(

)A.x2+y3=1 B.x33.已知直线l1：ax+y+a+1=0，直线l2：2x+(a−1)y+3=0平行，则实数a=(

)A.−1 B.2 C.−1或2 D.不存在4.已知m=(12,k,3)，n=(−4,1,1)分别是平面α，β的法向量，若α⊥βA.−2 B.−1 C.12 D.5.点(0,−1)到直线λx−y+λ=0(λ为任意实数)距离的最大值为(

)A.22 B.1 C.26.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为线段AA.312 B.66 C.7.某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为(    )(参考数据21≈4.9，A.2.5米 B.2.7米 C.2.9米 D.3.1米8.法国数学家加斯帕尔⋅蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的蒙日圆方程C：x2+y2=a2+b2，F1，F2分别为椭圆Γ的左、右焦点，离心率为33，A.10 B.210 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.记方程x26−t+y2t−2A.曲线C可能为圆

B.曲线C可能为等轴双曲线

C.若t<2，则C为焦点在x轴上的双曲线

D.若5<t<6，则C为焦点在y轴上的椭圆10.将25个数排成5行5列：

a11a12a13a14a15a21a22a23a24a25a31a32a33a34a35a41a42a43aA.a44=5a42 B.q=±2 C.11.已知过抛物线y2=4x焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，则下列结论正确的是(

)A.若点M(5,2)，则|AF|+|AM|的最小值为6

B.若点N为线段AB中点，则点N的坐标可以是(6,4)

C.若直线l的倾斜角为π6，则S△AOB=4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知a=(−1,2,0)，b=(3,1,2)，则a−2b13.已知两直线l1：3x+4y+6=0，l2：(a+1)x+2ay+1=0互相平行，则a=______．14.已知P是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上一点，过点P分别作C的两条渐近线的垂线，垂足为A四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

已知圆C的方程为x2+y2−6x−2y+9=0．

(1)求圆C关于直线l：x−y=0对称的圆的方程；

(2)若点P(x,y)在圆16.(本小题15分)

已知等差数列{an}的公差d≠0，a3+a9=22，且a1，a2，a5成等比数列；数列{bn}的前n项和Sn，且满足2Sn=3bn17.(本小题15分)

已知F1，F2是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点，且两顶点间的距离是4，虚轴长是实轴长的12．

(1)求双曲线C的离心率；

(2)直线y=kx(k≠0)与双曲线交于18.(本小题15分)

如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=3，∠B=60°，且AE⊥BC于E，将△BAE沿AE翻折至△PAE，使得PD=5.(1)证明：AE⊥PC；

(2)求PC与平面PAD所成角的正弦值；

(3)求平面PCD与平面PAD19.(本小题17分)

动点P(x,y)与定点F(−1,0)的距离和P到定直线l：x=−2的距离的比是常数22．

(1)求动点P的轨迹方程E．

(2)过F作斜率不为0的直线l与E交于A，B两点，

①过原点O作l的平行线与E交于Q点，证明：|AF|⋅|BF||OQ|2为定值．

②设点G(1,0)，直线AG与E交于点C，BG与CF交于点D参考答案1.C

2.A

3.A

4.B

5.C

6.B

7.C

8.D

9.ACD

10.BD

11.ACD

12.(−7,0,−4)．

13.2

14.[15.解：(1)圆C的标准方程为(x−3)2+(y−1)2=1，所以其圆心为(3,1)，半径为1，

因为圆心(3,1)关于x−y=0对称的点为(1,3)，

所以圆C关于直线l：x−y=0对称的圆的方程为(x−1)2+(y−3)2=1；

(2)x2+y16.解：(1)由a3+a9=22，且a1，a2，a5成等比数列，

得2a1+10d=22(a1+d)2=a1(a1+4d)，解得a1=1d=2，

∴an=a1+(n−1)d=1+2(n−1)=2n−1．

在2Sn=3bn−3中，①

令n=1，得2b1=3b1−3，解得b1=3，

当n≥2时，2Sn−1=3bn−1−3，17.解：(1)因为双曲线的两顶点间的距离是4，虚轴长是实轴长的12，

所以2a=42b=12×2aa2+b2=c2，

解得a=2，b=1，c=5，

则双曲线的离心率e=ca=52；

(2)因为直线y=kx(k≠0)与双曲线交于A，B两点，

所以A，B两点关于原点为O对称，

设A(x0,y0)，

可得B(−x0,−18.解：(1)证明：∵AE⊥BC，∴∠AEC=∠AEB=90°，

又∵△BAE沿AE翻折至△PAE，∴∠AEP=90°，即AE⊥PE，

∵PE⊂平面PEC，EC⊂平面PEC，PE∩EC=E，

∴AE⊥平面PEC．

又∵PC⊂平面PEC，

∴AE⊥PC．

(2)连接ED，过D作DF⊥BC于F，

∵AE⊥BC，∴AE/​/DF，

又∵四边形ABCD为等腰梯形，且AD=1，BC=3，

∴BE=EF=FC=1，

又∵∠B=60°，∴AE=BE⋅tan60°=3，

∴DE=AD2+AE2=2，

又∵PD=5，且PE=BE=1，

∴PD2=PE2+DE2，即PE⊥ED，

又∵PE⊥AE，AE∩ED=E，AE⊂平面AECD，ED⊂平面AECD，

∴PE⊥平面AECD，

以E为坐标原点，分别以直线EC，EA，EP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则P(0,0,1)，C(2,0,0)，A(0,3,0)，D(1,3,0)，

∴PC=(2,0,−1)，PA=(0,3,−1)，PD=(1,3,−1)，

设平面PAD的法向量为n1=(x1,y1,z1)，

则n1⋅PA=0n1⋅PD=0，即3y1−z1=0x1+3y1−z1=0，19.解：(1)因为动点P(x,y)与定点F(−1,0)的距离和P到定直线l：x=−2的距离的比是常数22，

所以(x+1)2+y2|x+2|=22，

整理得x22+y2=1，

则轨迹方程为x22+y2=1；

(2)①证明：设直线l的方程为x=my−1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

可得直线OQ的方程为x=my，