2025年中考数学几何模型归纳训练：最值模型之瓜豆模型（原理）直线解读与提分训练（解析版）

专题37最值模型之瓜豆模型（原理）直线

动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该

压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型

的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原

理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

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模型1.瓜豆原理（模型）（直线轨迹）1

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11

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模型1.瓜豆原理（模型）（直线轨迹）

模型解读

瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件,跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨

迹相同。

只要满足:

则两动点的运动轨迹是相似的，运动轨迹

1、两“动”，一“定”

长度的比和它们到定点的距离比相同。

2、两动点与定点的连线夹角是定角

3、两动点到定点的距离比值是定值

动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，主动点叫瓜（豆），从动点叫瓜（豆），瓜在直线上运动，豆也在直

线一上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。

模型证明

模型1）如图，P是直线BC上一动点，A是直线2C外一定点，连接AP,取AP中点。，当点尸在直线上

运动时，则。点轨迹也是一条直线。

证明：分别过A、。向BC作垂线，垂足分别为〃、N,在运动过程中，

因为AP=2AQ,所以QN始终为AM的一半，即。点到8C的距离是定值，故。点轨迹是一条直线.

模型2）如图，在AAP。中AP=A。，4R4Q=a为定值，当点尸在直线上运动时，则。点轨迹也是一条

直线。

AP=AQ,AQi=APi，XP[AQi=XPAQ=a,/.AAPP}~AAQQ,AAPP\=XAQQ\,

•：ZAMP=ZNMQf：.ZMNQ=ZPAQ=a,即Q点所在直线与BC的夹角为定值，故Q点轨迹是一条直线.

模型运用

当动点轨迹为一条直线时，常用“垂线段最短”求最值。

1）当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值；

2）当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。

3）确定动点轨迹的方法（重点）

①当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线，即模型1）；

②当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线，即模型2）；

③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线;

④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑；

注意：若动点轨迹用上述方法不好确定，则也可以将所求线段转化（常用中位线、全等、相似、对角线）

为其他已知轨迹的线段求最值。

例1.（2024.山东泰安•校考一模）如图，矩形A5CD的边A8=5，BC=3,E为A8上一点，且AE=1,F

为边上的一个动点，连接E尸，若以所为边向右侧作等腰直角三角形跳G,E〃=EG,连接CG,则CG

D.20

【分析】过点G作GH_L4B于过点G作由“44S”可证AGEH丝△£17%可得GH=AE=1,可

得点G在平行且到AB距离为1的直线上运动，则当产与。重合时，CG有最小值，即可求解.

【详解】解：如图，过点G作于X,过点G作

,四边形ABC。是矩形，AB=—,BC=3,：.ZB^90°,CD=—,AD=3,

22

9

VAE=1,:.BE=—,VZGHE=ZA=ZGEF=90°,

2

AZGEH+ZEGH=90°,NGEH+NFEA=90。,:・/EGH=/FEA,

又,：GE=EF,AAGEH^AEM（AAS）,：.GH=AE=\,

・••点G在平行A5且到A3距离为1的直线MN上运动，

・•・当尸与。重合时，CG有最小值，此时AF=即=3,

・・・CG的最小值=+22=—?故选B.

2

【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G的运动轨迹是本题的关键.

例2.(2024•河北邢台・模拟预测)如图，VABC是边长为2的等边三角形，点E为中线BD上的动点.连接CE,

将CE绕点C顺时针旋转60。得到CF.连接A/，则/C4F=,连接。「，则VC。/周长的最小值是.

【答案】30°1+6

【分析】证明△CBE也(SAS)可得NC4F=NCBE=3O。，得到点尸在射线AF上运动，如图所示，作

点C关于■的对称点C',连接。C,可得当D,F,C'三点共线时，”+歹。取最小值，即

FC+FD=F'C+F'D=CD,由/4。0=90。一/。40=60。得到/。=30。，即得CO=1cC'=l,进而由勾

2

股定理得C'D=Jccn-cU=5据此即可求解.

【详解】解：:VABC为等边三角形，E为高3。上的动点，.•.NCBE=；/ABC=30。，BC=AC,

•.,将CE绕点C顺时针旋转60。得到CP,:.CE=CF,/ECF=/BC4=60。，

:.ZBCE=ZACF,.7圆片/VC4F(SAS),.•.NC4F=NCBE=30。，.•.点尸在射线AF上运动，

如图所示，作点C关于AF的对称点C，，连接。C',

设CC交AF于点0,则/AOC=90°,在中，ZCAO=30°,则CO=gAC=l,

当D,F,C'三点共线时，/C+FD取最小值，即产C+ED=尸'。'+尸£>=CZ>,

---ZACO=90°-ZCAO=60°,：.ZC=90°-Z.DCO=90°-60°=30°,

-：CC'=AC=2,：.CD=^CC'^1,：.c'D=^CC'2-CD2=-

.•.VC£)/周长的最小值为1+百，故答案为：30°；1+73.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，两点之

间线段最短，直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键.

例3.（2023・四川成都•模拟预测）如图，四边形ABCD为矩形，对角线AC与8。相交于点。，点E在边。C

上，连接AE,过。做，AE,垂足为尸，连接OF,若ZDAE=30°,DE=10,则OF的最小值为.

BC

【答案】更

2

【分析】本题考查了矩形的判定和性质，含30。直角三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，先根据

面积法可计算的长为5-，根据三角形的三边关系可得：歹是一个定点，。的轨迹为AO中垂线上的一

部分，所以垂线段最短，可知F7V的长是。尸的最小值，最后由等边三角形三线合一的性质可得结论.

【详解】解：,•・四边形ABCD是矩形，

.-.ZAZ）E=90o,AC=BD,OA=-AC,OD=-BD,:.OA=OD,

22

­.•ZDAE=30°,DE=10,：.AE=2DE=20,AD=^AE2-DE2=7202-102=10>/3.

DF±AE,S=-X10X10A/3--X20X£）JF,:.DF=^~

A222

•・♦•F是一个定点，。的轨迹为AD中垂线上的一部分，如下图所示，过点尸作FPJLAD于尸，过点。作

仞于知,过点/作于N,所以垂线段最短，则OP的最小值为PN的值，

-：FP//DE,:.ZDFP=/EDF=30°,:.PD=-DF=—,Rt^ADE中，40=1073,

22

OM1.AD,OA=OD,■-AM=DM=5^/3,FN=PM=5^--=—,

22

即OP的最小值为挛.故答案为：挛.

22

例4.（2023•安徽•合肥三模）如图，在放445。纸片中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,点D,E分别在5C,

A8边上，连接。E,将△BOE沿。E翻折，使点8落在点E的位置，连接AF,若四边形是菱形，则

AF的长的最小值为（）

LL53

A.y/5B.6C.-D.一

22

【答案】A

【分析】连接BF交ED于点0,设EF与AC交于点G.根据菱形的性质可得点尸在NABC的平分线上运动,

从而得到当时，AF的长最小.再证明xBEOs/\BAF,可得BE=-AB=AE,再证明xAGEsAACB,

2

£G=1BC=1.5,AG=1AC=2,从而得到G尸=1,再由勾股定理，即可求解.

【详解】解：如图，连接2尸交于点。，设所与AC交于点G.

;四边形2E7叫是菱形，...BF平分NABC,...点/在NABC的平分线上运动,

...当尸时，AF的长最小.在菱形8£7切中，BFLED,OB=OF,EF//BC,

B-E--OEBO1*R卜,1…K—

:.EO〃AF,：.ABE0S^BAF,：.ABAFBF2,2,

在Rt^ABC中，AC=4,8C=3,；.A8=5,：.BE=AE=2.5,

\'AF±BF,：.EF=2.5,,:EF//BC,：./\AGE^/\ACB,

=—=—=ZAGE=ZACB=90°,：.EG=-BC=1.5,AG=-AC=2,:.GF=EF-EG=1,

BCACAB222

122

,/ZAGF=ZAGE=90°,：.AF=AG+GF-=^2+l=75.故选：A

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角

形的判定和性质，直角三角形的性质，菱形的性质，准确得到点尸在NABC的平分线上运动是解题的关键.

例5.（2024・四川达州•一模）如图，在矩形A3CD中，AB=4,8c=5有，点尸在线段8c上运动（含8,

C两点），连接AP,以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60。到AQ，连接DQ,则线段DQ的最小值为.

71

【答案】-/3-/3.5

22

【分析】如图，以A8为边向右作等边△ABE,作射线网2交AD于点E,过点。作于和利用全

等三角形的性质证明乙4/。=90。，推出ZAEF=60。，推出点。在射线所上运动，求出,可得结论.

【详解】解：如图，以48为边向右作等边△AB/，作射线尸。交AO于点E,过点。作。于

四边形ABCD是矩形，ZABP=ZBAD=90°,:△•^△4尸。都是等边三角形,

/.ZBAF=ZPAQ=60°,BA=FA,PA=QA,：.ZBAP=ZFAQ,

BA=FA

在ABAP和△E4。中，＜NBAP=ZFAQ,：.△BAP丝△E4Q(SAS),；.ZABP=ZAFQ=90°,

PA=QA

'：ZfAE=90°-60°=30°,ZAEF=90°-30°=60°,

VAB=AF^4,:.AE=^—=^~,...点。在射线FE上运动,

cos3003

,:AD=BC=55：.D£=AD-AE=—,VDH±EF,ZDEH=ZAEF=60°,：

3

DH=DEsin600=坦=L.据垂线段最短可知，当点。与H重合时，的值最小，最小值为二.

3222

7

故答案为：-

【点睛】本题考查矩形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形

等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点。的在射

线FE上运动.

例6.（2024.重庆模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线>=白+2上的一个动点,将Q绕点P（-1,O）

逆时针旋转90。，得到点Q',连接OQ',则OQ'最小值为.

【答案】a

【分析】设0（t,工力+2）,作ABIx轴，作AQLAB,作QTJLAB,根据A4s可证明V4R三由此

2

可求-3"+1）,令x=-3,y=t+l,可得Q'在直线y=-2x-5上运动，当0Q'±制时，

。。'的值最小，再由tan/COO=［得tanN磔'=1，进而得出OE=5,即可得出答案.

【详解】设+2）,过点P作轴，过点。作AQLAS交于A点，过点0作。右，A8交于B点,

,/AQPQ'=90°,AQPA+AQ'PB=90°.

,/AQPA+NAQP=90°,AQ'PB=AAQP.

'：QP=Q'P,/.AAPQ^MP(AAS),：.QA=PB,AP=Q'B.

,/尸(T,0),：.QA=-t-1,AP-t+2,,：.0'(—-t-3,t+1),

22

令x=——t_39y=/+l,**•y——2x—5,

...点Q'在直线y=-2x-5上运动，当。0'，时，。。的值最小.

在y=^x+2中，令x=o,则y=2,令y=0,贝丘=-4,。（。,2）,。《0）,AtanZCDO=-.

22

,/ACDO=NOEQ',：.tanNOEQ'=g,：.Q'E=20Q',

在y=-2x-5中，令x=0,则y=-5,£（0,-5）,：.OE=5.

•••（O0，）2+（£0）2=0E2,即50/）2=25,解得07=加,所以。。的最小值为石.故答案为：卮

【点睛】本题主要考查了一次函数的图象及性质，旋转的性质，三角形全等的判定及性质，确定点。的运

动轨迹是解题的关键.

例7.（2024・广东•九年级校考期中）如图，RtAASC中，ZACB=90°,ZA=30°,BC=5,点E是边AC上

一点，将BE绕点B顺时针旋转60。到连接CF,则CP长的最小值是（）

A.2B.2.5C.乖D.@

2

【答案】B

【分析】取的中点为点。，连接DE,过点。作。“LAC,垂足为“，在RSABC中，利用含30度角

的直角三角形的性质可求出A3的长，NA3C的度数，再根据线段的中点定义可得==从

而可得=2.5,然后利用旋转的性质可得：BE=BF,NEBF=60°,从而利用等式的性质可得

ZABE=ZCBF,进而利用SAS证明ABN宏/△BCF,最后利用全等三角形的性质可得DE=CF,再根据

垂线段最短，即可解答.

【详解】解：取的中点为点。，连接DE,过点。作垂足为“，NAM）=90。，

A

VZACB=90°,ZA=30°,BC=5,：.AB=2BC=10,ZABC=90°-ZA=60°,

11

:点。是AB的中点，—AB=5,；.£>"=—AO=2.5,

22

由旋转得：BE=BF,NEB尸=60。，/.ZEBF=ZABC=60°,

NEBF-NEBC=ZABC-ZEBC,：.ZABE=ZCBF,

,?BD=BC=5,：.ABDERBCF(SAS),：.DE=CF,

当。ElAC时，即当点E和点H重合时，DE有最小值，且最小值为2.5,

.•.CF长的最小值是2.5,故选：B.

【点睛】本题考查了旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图

形添加适当的辅助线是解题的关键.

习题练模型］

1.（2024・河南周口•一模）如图，平行四边形ABCD中，AB=\6,4）=12,ZA=6O°,E是边上一点，

且AE=8,尸是边AB上的一个动点，将线段EF绕点、E逆时针旋转60°,得到EG,连接BG、CG,则BG+CG

的最小值是（）.

A.4B.4>/15C.4>/21D.历

【答案】C

【分析】本题考查旋转变换，轨迹，菱形的性质，勾股定理解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知

识.取的中点N.连接EN,EC,GN,作e"，。。交^）的延长线于".利用全等三角形的性质证明

ZGVB=60°,点G的运动轨迹是射线NG,由“SAS”可证乡/出加，可得G3=GE,推出

GB+GC=GE+GC>EC,求出EC即可解决问题.

【详解】解：如图，取A3的中点N.连接EN,EC,GN,作EHL8交CZ>的延长线于H,

•••AE=8,AD=12,:.DE=4,:点N是48的中点，:.AN=NB=8,:.AE=AN,

■.■ZA=60°,.・△AEN是等边三角形，:.ZAEN=ZFEG=60°,:.ZAEF=ZNEG,

■.■EA=EN,EF=EG,：.^AEF^NEG（SAS）,ZENG=ZA=60°,

■.■ZANE=60°,Z.GNB=180°-60°-60°=60°,.,.点G的运动轨迹是射线NG,

-：BN=EN,ZBNG=ZENG=60°,NG=NG,：.^EGN^BGN（SAS）,:.GB^GE,:.GB+GC=GE+GC>EC,

在RtADE"中，ZH=90°,DE=4,ZEDH=：60°,:.DH=^DE=2,EH=2日

在RtAEC"中，EC=yjEH2+CH2=V12+182=4721-.•.G3+GC22,.1Gb+GC的最小值为4阴，故选：C.

2.（2024•湖南长沙.一模）如图，矩形ABCD中，AB=6,8C=8,尸是上一点，E为BC上一点，且3E=2,

连接斯，将灰绕着点E顺时针旋转45。到EG的位置，则CG的最小值为.

【答案】3&+2/2+30

【分析】将线段砥绕点E顺时针旋转45。得到线段ET,连接GT,ED,设ED交CG于J.证明

△班「丝AETGISAS）,根据垂线段最短计算即可.

【详解】解：如图，将线段BE绕点E顺时针旋转45。得到线段ET,连接GT,ED,设交CG于■

•..四边形ABCD是矩形，AB=6,BC=8,BE=2,

：.AB=CD=6,BC=8,EC=CD=6,ZB=ZBCD=90°,：.ZCED=ZCDE=45°,

ABET=NFEG=45°,/.ZBEF=ZTEG,

EB=ET

在△£»/和AETG中，；＜NBEF=NTEG,；.AEBF当ETG（SAS）；.NB=NETG=90。,

EF=EG

.•.点G的在射线TG上运动，，当CGLTG时，CG的值最小，

,/ZCED=ZCDE=45°,ABET=ZFEG=45°ZTEJ=90°=ZETG=ZJGT=90°,

.••四边形£7GJ是矩形，ADE//GT,GJ=TE=BE=2：.CJIDE,

/.ZECJ=ZDCJ=45°,；.CJ=ECsin45°=3忘，•*-CG=GJ+CJ=3y/2+2,

CG的最小值为3a+2,故答案为：30+2.

【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，解直角三角形，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，

熟练掌握相应的知识是解题的关键.

3.（2023•江苏宿迁•三模）如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=8如，点E为矩形对角线50上一动点,

连接CE,以CE为边向上作正方形CEFG,对角线CREG交于点、H,连接则线段的最小值为

G

BC

【答案】272

【分析】作CTLBD于点/，则NE/C=90。,由正方形的性质得NE"C=90。,。”=团，所以

NHCE=ZHEC=45。,取CE的中点0,连接OH、。/,以点。为圆心0E为半径作。0,则点打、点/都在。。

上，所以/H/E=/HCE=45。,可知点H在过点/且与直线3。所交成的锐角为45。的直线上运动，则当

DHL旧时,线段的值最小，此时。由矩形的性质得/3CD=90。，CD=AB=8,则

2

__________TJJmcri1B

BD=ylCD2+BC2=16,由次===cosNBOC得")=士幺=4,所以£)»=%x4=20,于是得到问题的

CDDDBD2

答案.

【详解】如图1,作于点/,则NE/C=90。,•.•四边形CEFG是正方形，

图2

CF±EG,CH=FH=-CF,EH=GH,EG,且CF=EG,

22

NEHC=90°,CH=EH,NHCE=NHEC=45°,

取CE的中点O,连接OH、”,以点。为圆心OE为半径作。。，

OH=OI=OE=2,；.点、H、点/都在。。上，..NH/E=N"CE=45。，

2

点H在过点/且与直线8。所交成的锐角为45。的直线上运动，

.•.当DHL阳时，线段的值最小，如图2,DHLIH,^\ZDHI=90°,

:点H、点/都在以CE为直径的圆上，，/印。=180。一/〃7E=/〃CE=45。，.•.。//=/。与1145。=也〃),

2

:四边形A5c。是矩形，AB=8,BC=8超,^BCD=90°,CD=AB=8,

22

.­.BD=y]CD+BC=〃+(8A/3)2=16ACID=90°,=cosZBDC,

CDBD

：.ID=—=—=4,£>H=x4=2^,?.DH的最小值为2近,故答案为：2a.

BD162

【点睛】此题重点考查矩形的性质、正方形的性质、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角

形、垂线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.

4.（2023上•湖北武汉•九年级校联考期中）如图，已知/MON=30。，B为上一点，于A,四

边形ABCD为正方形，尸为射线8M上一动点，连接CP,将CP绕点C顺时针方向旋转90。得CE,连接8E,

【答案】l+^/V3+l

【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及垂线段最短的性质的综合

应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等以及垂线段最短进行解

答.连接尸£）,依据SAS构造全等三角形，即ABCE丝ADCP,将BE的长转化为尸。的长，再依据垂线段最

短得到当尸。最短时，BE亦最短，根据NMON=30。，00=2+26，即可求得尸。的长的最小值.

【详解】解：如图，连接尸

M

由题意可得，PC=EC,/PCE=90°=ZDCB,BC=DC,：.NDCP=NBCE,

DC=BC

在AOC尸和ABCE中，*NDCP=NBCE,ADCP港ABCE(SAS),：.PD=BE,

CP=CE

当DPLOW时，PD最短,此时BE也最短,

VZAOB=30P,AB=2=AD,.,.03=2x2=4,AQ4=A/42-22=2.y/3OD=OA+AD=2^/3+2,

.•.当DPLO暇时，勿,00=2+26=1+5.•.BE的最小值为1+6.故答案为：\+6

22

5.（2023上•陕西渭南•九年级统考期中）如图，在矩形ABCO中，AD=6,点E为边AD的中点，连接CE.点

产是边CE上一动点，点G为边郎的中点，连接DG.当AB=4时，0G的最小值是.

【答案】y

【分析】取BC的中点连接AH,作DGUAH于点G',根据四边形A3CD为矩形，AD=6^AD=BC=6,

根据点E为边AD的中点，点H为5c的中点，得AE=DE=3,9=CH=3,可得AE=CH,根据AE〃CE

得四边形A/7CE为平行四边形，则AFZ〃CE,根据a7=CH得与的交点为M的中点，根据G为8尸

的中点，得过点G,即点G在线段上随点尸运动而运动，当。G,4/时有最小值，则ZX7即为所

求，根据勾股定理得AH=5,根据"（"3C得=根据NASH=/DG'A=90。得

AnAH

AABH^ADG'A,则­=不，进行计算即可得.

DGDA

【详解】解：如图所示，取BC的中点连接AH,作。G'LAH于点G',

:四边形ABCD为矩形，AD=6,ADuBCuG,：点E为边AD的中点，点”为2C的中点,

AAE=DE=-AD=-x6=3,BH=CH=-BC=-x6=3,：.AE^CH,

2222

VAE//CE,四边形AHCE为平行四边形，：.AH//CE,

=AW与所的交点为跖的中点，：G为8尸的中点，

过点G,即点G在线段上随点e运动而运动，当时有最小值，则£>G即为所求,

2222

^ABH=9Q°,AB=4,BH=3,：.AH=^AB+BH=A/4+3=5-

VAD//BC,:・ZAHB=/DAG,9：ZABH=ZDGfA=90o,：.AABH^ADG'A,

.ABAH.•・加=甘=亨==，故答案为：=

…而"""BIAH555

【点睛】本题考查了线段最小值，矩形的性质，垂线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行

四边形的性质，解题的关键是掌握这些知识点，添加辅助线.

6.（2023上•湖南长沙•九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点4（1,0）,点C是y轴上

一动点，设其坐标为（0,闻，线段C4绕点C逆时针旋转90。至线段CB,则点8的坐标为,连接20,

【答案】（孙加+1）县

2

【分析】本题考查坐标与图形变化一旋转，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是

正确寻找点3的运动轨迹，属于中考常考题型.

设C（0,m,过点B作轴，垂足为点H,证明AAOC丝推出HC==OC,可得

点B的坐标为（加，加+1）,推出点B的运动轨迹是直线y=x+l,根据垂线段最短解决问题即可.

【详解】设C（0,根），过点B作即轴，垂足为点H,.•.NBHC=9O；.NHCB+N3=9O。，

线段CA绕着点C按逆时针方向旋转90°至线段CB,

ABAC=90°,CB=CA,ZHCB+ZACO=90°,:"B=ZACO,

Q?AOC90?,:.^AOC^CHB（AAS）,HC=OA,HB=OC,

,点C（0,7%），点A（l,o）,.,.点B的坐标为（m,加+1）,.,.点B的运动轨迹是直线y=x+l,

:直线y=x+l交X轴于颐-1,。），交y轴于P（0,l）,，OE=O尸=1,所=0,

过点。作所于T.则OT=，EF=«^,

22

根据垂线段最短可知，当点8与点T重合时，的值最小，最小值为正，故答案为：（加，加+1）；叵.

22

7.（2024•山东校考一模）如图，正方形A5CD中，AB=4,点E为边2C上一动点，将点A绕点E顺时针

旋转90°得到点F,则DF的最小值为.

【答案】20

【分析】A3上截取AG=£C,过点。作交C/的延长线于点证明八40£四△ECF,ADCH是

等腰直角三角形，进而根据垂线段最短即可求解.

【详解】如图，48上截取AG=EC,过点。作交Cf的延长线于点

,•・正方形A8CD中，AB=4,将点A绕点E顺时针旋转90。得到点兄

BG=BEZ\BEG是等腰直角三角形；.ZAEF=90°,ZABE=NC=90°,

ZBAE+ZAEB^ZAEB+ZFEC=90°:.NGAE=NBAE=NCEF

:aAGE当正CFZAGE=ZECF=135°ZDCF=45°二F在射线CF上运动,

则是等腰直角三角形，，厂与H点重合时，。厂取得最小值，等于DH=叵DC

2

・；DC=4：.DH=2五即D尸的最小值为20故答案为：20

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，垂线段最短，求得尸的轨迹是解题的关键.

8.（2023•江苏连云港•统考一模）如图，在矩形A3CD中，AB=4,AD=6,点E为边BC上的动点，连接

AE,过点E作£F_LM,且EF=AE,连接则线段C/长度的最小值为.

【答案】72

【分析】如图：在54取一点T使得3T=3E,连接ET,在EC上取一点K,使得

NFKC=45。,连接五K,利用全等二角形的性质证明3K=AB=4,由矩形的性可得CD=AB=4、

BC=AD=6,进而推出点尸在射线KF上运动，当CFLKF时C产值最小.

【详解】解：如图：在54取一点T使得37=3E,连接ET,在EC上取一点K,使得

/FKC=45°,连接五K

,?NB=90°,BT=BE：.NBTE=ABET=45°,：,ZATE=ZEKF=135°,

VZBAE+ZAEB=90°,ZAEB+NFEK=90°,：.ZTAE=ZEFK,

'：AE=EF,：.VATE=VE^F（AAS）/.AT^EK,

;矩形ABC。中，AB=4,AD=6：.CD=AB=4,BC=AD=6

,：BT=BE,：.AB=BK=4,：.CK=BC—BK=2,

点尸在射线KF上运动，当CFLKF时，CF的值最小，最小值为sin45O-CK=W^x2=®.

2

故答案为血.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，正确作出辅助

线、构造全等三角形并确定是解答本题的关键.

9.（23-24八年级下.辽宁丹东•期中）如图，点B在直线/上，于点8,钻=7,点C在直线/上运动，

以AC为边作等边AACD,连接8。，则8。的最小值为.

A

【答案】|7

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短，以四

为边作等边AABE,连接CE,证明ArHB均C4E（SAS）,由全等三角形的性质得出CE,过点E作EF11

于点尸，则CE的最小值为跳再直角三角形的性质求出所即可求解，正确作出辅助线是解题的关键.

【详解】解：如图，以A3为边作等边AME,连接CE,AB=AE=BE=7,NABE=/&LE=60。，

：AACD为等边三角形，AD=AC,ZDAC=60°,：.ZDAB=ZCAE,丝AC4E（SAS）,

BD=CE,...CE最小时，有最小值，：C为直线/上的动点，过点E作成，/于点尸，

17

的最小值为跖，VABll,：.ZABC=90°,：.AEBF=3Q°,：.EF=-BE=-,

22

77

80的最小值为：，故答案为：

10.（2024・四川达州•三模）如图，在等腰Rt^ABC中，/班C=90。，AB=AC=30，点M是BC边上一

动点,将线段AM绕点A顺时针旋转60°,得到线段AN,连接"N,CN,则AN+QV的最小值是

【答案】3A/3+3/3+3A/3

【分析】在BC上取一点O,连接A£>,使/&W=60。,在AB上截取A/=AD,连接。/,作直线W,因为

ZR4C=90°,A2=AC=3A/L所以/C4D=30。，ZACB=ZABC=45°,BC=y[2AC=6,ZADM=75°,

可证明A"N丝A/M",得NAIN=NADM=75。，可知点N在经过AB上的定点/且与A3相交成的锐角等

于75。的直线W上运动，作点A关于直线W的对称点尸，连接AF交W于点L,连接RV、77、DI,则

FN=AN,FI=AI=DI,则=产=15。，NBID=120。,可证明NZDF=ZTO3=15。，所以点尸在

CB的延长线上，ZAFD=30°,作AE_L8c于点E,贝l|AE=CE=BE=-BC=3,AF=2AE,所以

2

EF=1AF2_AE2=6AE=3坦'求得CP=3/+3，由FN+CN2CF得AN+CN23布+3,贝U/W+OV

的最小值3&+3,于是得到问题的答案.

【详解】解：在BC上取一点。，连接A。，使/54。=60。，在48上截取4=AD,连接作直线W,

VABAC=90°,AB=AC=3叵,ZCAD=90°-ZBAD=30°,ZACB=ZABC=45°,

BC=ylAB2+AC2=A/2AC=V2X3>/2=6'ZADM=ZCAD+ZACB=15°,

•.•由旋转得=ZMAN=60°,：.ZIANZDAM60°-ZBAM,

'AN=AM

在AWV和△fiAM中，\^IAN=ZDAM,：.^lAN^DAM（SAS）,ZAIN=ZADM=75°,

AIAD

二点N在经过AB上的定点I且与AB相交成的锐角等于75°的直线W上运动，

作点A关于直线W的对称点尸，连接m交W于点乙连接BN、77、“，

垂直平分AF,AAD/是等边三角形，；.ZA£/=90。，FN=AN,FI=AI=DI,ZAID=ZADI=60°,

：.ZIFA=ZIAF=90°-ZAIN=15°,Z.BID=180°-AMD=120°,；.ABIF=ZIFA+ZIAF=30°,

/.Z.DIF=ZBID+ZBIF=150°,连接。/，则N/£>尸=/3D=:义（180°-/£）3）=15°,

•.,Z7D8=ZADM-ZAD/=15°,.•.点F在CB的延长线上，ZAFD=N/E4+N/FD=30°,

作AE_LBC于点E,则ZAEF=90。，AE=CE=BE=工BC=3,：.AF=2AE,

2

，EF=-AE==不（2AE）2一AE」=4iAE=道义3=3百，，CF=CE+EF=3^3+3,

VFN+CN>CF,4V+CN234+3,二㈤V+QV的最小值是30+3,故答案为：3石+3.

【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、轴对称的性质、全等

三角形的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅

助线是解题的关键.

11.（2024・四川成都•一模）如图，在矩形ABCD中，BC=2AB,点M,N为直线AD上的两个动点，且

NMBN=30°,将线段关于翻折得线段5AT,连接CAT.当线段CW的长度最小时，N肱VTC的度

［分析】将线段BA绕点2顺时针旋转60。后点A落在点E,连接BE,得到VABMAEBWC,再由当CM'，砂

时，有最小值，可得AEBG与JW'CG均为30。、60。、90。直角三角形，再证明为等腰直角三角形，

△MBAT是等边三角形，进而得到=60。，最后当_LE尸于H时，有最小值，由此

可以求出ZMM'C=ZEM'C-ZEM'M=90°-15°=75°.

【详解】解：将线段54绕点8顺时针旋转60。后点A落在点E,连接BE,设EM'交BC于G点、,如下图所

示：在矩形ABCD中，NA=/ABC=90。，AD=BC,根据折叠可知，/MBM'=60。，BM=BM',

：.ZABM=ZABE-ZMBE=60°-NMBE,/EBM，=ZMBM'-ZMBE=60°-ZMBE,：.ZABM=Z.EBM',

,:BA=BE,BM=BM',:.AABM均EBM，（SAS）,：.AM=EM',ZE=ZA=90°,

VZ£BG=90°-60°=30°,ZBGM'=ZEBG+ZBEG=90°+30°=120°,ZEGC=120°,

NCGM'=NEGB=180°-120°=60°,：.点AT在E尸上，

:垂线段最短，，当CM'，EF时，CAT有最小值，.\AEBG与AM'CG均为30。、60。、90。直角三角形，

F

设EG=x,BC=2y,则3G=2EG=2x,CG=BC-BG=2y-2x,GM'=；CG=y—x,

EM'=EG+GM'=x+(y-x)=y=^BC,,:BC=2AB,：.AB=^BC,：.EM'=AB,

：.AM=EM',：.AB=AM,，为等腰直角三角形，AZEM'B=ZAMB=45°,

VZMBM'=60°,BM=M'B,；.AMBAT是等边三角形，/.ZBM'M=60°,

ZEM'M=ZBM'M-ZEM'B=60°—45°=15°,：.ZMM'C=ZEM'C-NEMM=90。—15°=75°,

故答案为：75.

【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法、矩形的性质、旋转的性质、轴对称的性质，等边三角形的判

定和性质，属于四边形的综合题，难度较大，熟练掌握各图形的性质是解题的关键.

12.(23-24八年级下.辽宁沈阳•期中)如图，Rt^MC中，ZACB=90°,ZABC=30°,AC=6,。是线段

AB上一个动点,以BD为边在AABC外作等边LBDE.若尸是DE的中点，连接