2024-2025学年高中数学 第一章 三角函数 1.4.3 正切函数的性质与图象（1）教学教学实录 新人教A版必修4

2024-2025学年高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象（1）教学教学实录新人教A版必修4授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间设计意图本节课以正切函数的性质与图象为主题，旨在帮助学生深入理解正切函数的基本性质，掌握其图象的绘制方法。通过结合新人教A版必修4教材，引导学生通过观察、分析、归纳等方法，培养数学思维能力和解决问题的能力。核心素养目标分析培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模和直观想象的核心素养。通过探究正切函数的性质，提升学生运用数学语言描述和表达的能力；通过绘制正切函数图象，锻炼学生的直观想象和数学建模能力；通过分析函数性质与图象的关系，培养学生的逻辑推理和数学抽象思维能力。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识。

学生已具备基本的函数概念，了解函数的图象和性质，以及正弦、余弦函数的基本性质。此外，学生对直角坐标系和坐标变换有一定的了解。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格。

学生对数学学科普遍感兴趣，尤其是对几何和图形相关的内容。学生的数学能力差异较大，部分学生具备较强的逻辑思维和空间想象力，而部分学生可能在抽象思维和几何图形的理解上存在困难。学习风格方面，部分学生偏好通过直观演示和动手操作来学习，而另一部分学生则更倾向于通过理论推导和公式记忆来学习。

3.学生可能遇到的困难和挑战。

学生在学习正切函数的性质与图象时，可能遇到的困难包括：理解正切函数的周期性和奇偶性；掌握正切函数图象的绘制方法；分析函数性质与图象之间的关系。此外，学生在解决实际问题或进行探究性学习时，可能缺乏足够的数学抽象和逻辑推理能力，导致难以将所学知识应用于实际问题中。教学方法与手段1.采用讲授法，结合实例讲解正切函数的基本性质，如周期性、奇偶性等，帮助学生建立清晰的概念框架。

2.通过小组讨论法，引导学生探究正切函数图象的绘制方法，促进学生之间的合作与交流。

3.利用实验法，通过计算机软件或物理实验，让学生直观感受正切函数图象的变化规律，增强学生的动手操作能力。

2.利用多媒体课件展示正切函数的图象，提高教学直观性。

3.运用动态数学软件，实时演示函数性质的变化，增强学生的理解与记忆。

4.结合网络资源，拓展学生的知识面，激发学生的学习兴趣。教学过程一、导入新课

1.老师首先回顾上节课学习的正弦、余弦函数的性质，引导学生思考如何将这些性质应用于正切函数。

2.学生分享自己的想法，老师总结并引出本节课的主题：正切函数的性质与图象。

二、新课讲授

1.老师讲解正切函数的定义和性质，如周期性、奇偶性、对称性等，并举例说明。

2.学生跟随老师的讲解，记录正切函数的性质，并尝试自己总结。

3.老师引导学生分析正切函数的周期性，通过公式推导和实例讲解，使学生理解周期性的概念。

4.学生通过观察正切函数的图象，发现周期性规律，并尝试自己推导周期公式。

5.老师讲解正切函数的奇偶性，通过实例演示和图象分析，帮助学生理解奇偶性的概念。

6.学生分析正切函数图象，发现奇偶性规律，并尝试自己证明奇偶性。

7.老师讲解正切函数的对称性，通过实例演示和图象分析，帮助学生理解对称性的概念。

8.学生观察正切函数图象，发现对称性规律，并尝试自己证明对称性。

9.老师引导学生分析正切函数的性质与图象之间的关系，通过实例讲解，使学生理解函数性质对图象的影响。

10.学生尝试根据正切函数的性质，绘制函数图象，并与其他函数图象进行比较。

三、课堂练习

1.老师布置练习题，要求学生运用所学知识解决实际问题。

2.学生独立完成练习题，老师巡视指导。

3.学生展示解题过程，老师点评并纠正错误。

四、课堂小结

1.老师引导学生回顾本节课所学内容，总结正切函数的性质与图象。

2.学生分享自己的学习心得，老师点评并补充。

3.老师强调本节课的重点和难点，提醒学生在课后复习时加以注意。

五、课后作业

1.老师布置课后作业，要求学生巩固所学知识。

2.学生完成作业，老师批改并反馈。

六、教学反思

1.老师对本节课的教学效果进行反思，总结教学过程中的优点和不足。

2.老师针对学生的反馈，调整教学策略，提高教学质量。教学资源拓展1.拓展资源：

-正切函数的应用实例：介绍正切函数在物理、工程、经济学等领域的应用，如测量角度、分析振动、预测市场趋势等。

-正切函数的历史背景：探讨正切函数的发展历程，从古代数学家的研究到现代数学的完善，以及其在科学进步中的作用。

-正切函数的极限与导数：介绍正切函数的极限概念和导数计算方法，为后续学习微积分打下基础。

-正切函数与三角恒等变换：探讨正切函数与其他三角函数之间的关系，如正弦、余弦、余切等，以及三角恒等变换的应用。

2.拓展建议：

-学生可以通过阅读相关的科普书籍或学术论文，了解正切函数在现实世界中的应用。

-建议学生利用在线教育资源，如数学论坛、教育视频平台等，观看正切函数的讲解视频，加深对概念的理解。

-鼓励学生参与数学竞赛或研究项目，通过解决实际问题来提高对正切函数的应用能力。

-建议学生制作正切函数的图象，通过实验或计算机软件来观察函数性质的变化，增强直观感受。

-学生可以尝试编写程序，利用计算机模拟正切函数的图象和性质，提高编程能力和数学思维。

-鼓励学生参与小组讨论，分享各自对正切函数的理解和发现，通过交流提升学习效果。

-建议学生阅读相关的数学史书籍，了解正切函数的发展历程，激发对数学学习的兴趣和好奇心。

-学生可以通过在线数学社区，与其他学习者交流正切函数的学习心得，拓宽知识视野。反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.案例教学法的应用：在讲解正切函数的性质与图象时，我尝试引入实际案例，如机械设计中的角度计算，这样不仅让学生理解了抽象的数学概念，还提高了他们对数学应用的认识。

2.多媒体辅助教学：利用多媒体课件展示正切函数的动态变化，让学生直观感受函数性质的变化过程，这种创新的教学手段激发了学生的学习兴趣。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生参与度不足：在小组讨论环节，我发现部分学生参与度不高，可能是由于对正切函数的性质理解不够深入，或者缺乏表达自己观点的勇气。

2.教学节奏把握不当：在讲解周期性和奇偶性时，我发现部分学生跟不上教学节奏，这可能是因为我没有根据学生的接受能力调整讲解速度。

3.评价方式单一：目前的评价方式主要是课堂练习和课后作业，缺乏对学生综合能力的全面评价。

反思改进措施（三）改进措施

1.提高学生参与度：为了提高学生的参与度，我计划在课堂上设置更多互动环节，如小组竞赛、角色扮演等，鼓励学生积极参与讨论和表达自己的观点。

2.调整教学节奏：在今后的教学中，我会更加关注学生的反应，适时调整教学节奏，确保每个学生都能跟上教学进度。

3.丰富评价方式：我将尝试引入多元化的评价方式，如课堂表现、小组合作、项目报告等，全面评价学生的学习成果和能力发展。

4.加强个别辅导：对于学习有困难的学生，我会提供个别辅导，帮助他们克服学习中的障碍，提高整体学习效果。

5.结合实际应用：在讲解正切函数的性质时，我会更多地结合实际应用案例，让学生在实际问题中感受数学的价值，增强他们的学习动力。课堂1.课堂评价：

-提问环节：通过提问学生关于正切函数的性质和图象的问题，我可以了解他们对知识点的掌握程度。我会设计不同难度的问题，从基础知识到应用问题，以此来评估学生的理解深度。

-观察学生参与度：在课堂讨论和练习环节，我会注意观察学生的参与情况，包括他们的表情、肢体语言和回答问题的积极性。这些观察可以帮助我发现哪些学生可能需要额外的帮助。

-课堂练习测试：在课堂上进行小测验或练习题，可以即时评估学生对正切函数性质的理解和应用能力。这些练习题设计得既有基础性，也有一定的挑战性，以确保不同层次的学生都能得到锻炼。

-反馈与讨论：在学生完成练习后，我会及时给出反馈，讨论正确答案和错误答案的原因，这样可以帮助学生纠正错误，加深理解。

2.作业评价：

-详细批改：对学生的课后作业进行认真批改，不仅指出答案的正确与否，还要详细解释解题思路和过程，帮助学生理解为什么某个答案是正确的，另一个答案是错误的。

-个性化反馈：针对每个学生的作业，我会给出个性化的反馈，对于表现优秀的学生，我会给予表扬和鼓励；对于需要改进的学生，我会提出具体的改进建议。

-定期回顾：定期回顾学生的作业情况，通过比较不同作业的表现，我可以发现教学中的薄弱环节，并及时调整教学策略。

-家长沟通：与家长保持沟通，将学生的作业表现和进步情况告知家长，共同关注学生的学习情况，形成家校合力。

3.综合评价：

-结合课堂表现和作业反馈，我会对学生进行综合评价，这包括对知识的掌握程度、解决问题的能力、学习态度和团队合作能力。

-为了更全面地评价学生，我还将考虑学生的自评和互评，让学生在评价过程中学会自我反思和同伴评价。

-定期组织学生进行自我评估，让他们回顾自己的学习过程，设定个人学习目标，并跟踪自己的进步。板书设计①正切函数的定义

-正切函数y=tan(x)在定义域内

-定义域：所有实数除去kπ+π/2，k为整数

-对应的角：与实数x对应的角α

-正切值：直角三角形中对边与邻边的比值

②正切函数的性质

①周期性

-周期T=π

-函数图象每隔π重复

②奇偶性

-奇函数：f(-x)=-f(x)

-函数图象关于原点对称

③单调性

-在每个区间(kπ-π/2,kπ+π/2)，函数单调递增

④有界性

-函数值域：(-∞,∞)

③正切函数的图象

①基本图象

-在坐标轴上绘制关键点：原点(0,0)，(π/2,1)，(3π/2,-1)，(2π,0)等

-连接这些点，形成基本图象

②特殊点

-x=kπ+π/2时，函数值为无穷大或无穷小

-x=kπ时，函数值为0

③图象变换

-平移：将图象沿x轴或y轴平移

-垂直拉伸或压缩：改变函数值的大小

-水平拉伸或压缩：改变周期的大小典型例题讲解1.例题：求函数y=tan(x+π/4)的周期。

解答：正切函数的周期为π，因此函数y=tan(x+π/4)的周期也是π。这是因为正切函数的周期性不受相位移动的影响。

2.例题：证明正切函数y=tan(x)在区间(kπ-π/2,kπ+π/2)内是增函数。

解答：设x1,x2属于区间(kπ-π/2,kπ+π/2)，且x1<x2。由于tan(x)在区间(kπ-π/2,kπ+π/2)内是连续的，我们可以使用中值定理。存在一个c在x1和x2之间，使得：

tan(x2)-tan(x1)=sec^2(c)(x2-x1)

由于x1,x2属于同一个周期内的区间，sec^2(c)>0，因此tan(x2)-tan(x1)>0，即tan(x)在区间(kπ-π/2,kπ+π/2)内是增函数。

3.例题：求函数y=2tan(x)的图象。

解答：函数y=2tan(x)是y=tan(x)的垂直拉伸，拉伸因子为2。因此，其周期仍然是π，但振幅变为原来的2倍。图象在y轴的正负两侧都会达到±2。

4.例题：求函数y=tan(3x)的周期。

解答：正切函数的周期为π，因此函数y=tan(3x)的周期为π/3。这是因为