2024-2025学年高中数学 第一章 三角函数 1.5 函数y=Asin（ωx φ）的图象（1）教学教学实录 新人教A版必修4

2024-2025学年高中数学第一章三角函数1.5函数y=Asin（ωxφ）的图象（1）教学教学实录新人教A版必修4授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间设计思路本节课以“函数y=Asin（ωxφ）”为研究对象，通过引导学生探究函数的周期性、振幅和相位等性质，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。课程设计紧密结合新人教A版必修4教材，以实际问题为背景，通过实例分析和课堂互动，使学生深入理解函数图象的变换规律，为后续学习打下坚实基础。核心素养目标1.发展数学抽象：通过函数图象变换，理解函数性质的抽象表达。

2.培养逻辑推理：运用三角恒等变换，推导函数y=Asin（ωxφ）的图象特征。

3.提升数学建模：将实际问题转化为数学模型，解决实际问题。

4.强化直观想象：通过图形变换，提高学生对函数图象的直观感知能力。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

学生在进入本节课之前，已具备初中阶段所学的正弦、余弦、正切等三角函数的基础知识，以及三角恒等变换的基本技能。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

高中生对数学的兴趣参差不齐，部分学生对三角函数的周期性、振幅和相位等概念有较强的探索欲望，喜欢通过图形直观理解数学概念。学生的学习能力上，部分学生能够迅速掌握抽象的数学理论，而另一部分学生可能更倾向于通过实例和具体操作来学习。学习风格上，有学生偏好独立思考，有的则更习惯于合作学习。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

在学习函数y=Asin（ωxφ）时，学生可能会遇到以下困难：一是对周期和相位变化的直观理解；二是如何正确应用三角恒等变换来推导函数的性质；三是如何将理论知识与实际问题相结合。这些困难可能会影响学生对函数图象特征的理解和应用。教学资源准备1.教材：确保每位学生都具备新人教A版必修4教材。

2.辅助材料：准备与函数y=Asin（ωxφ）相关的函数图象变化过程的动画、实例图表等。

3.教学工具：使用电子白板或投影仪展示函数图象的动态变化，辅助学生理解。

4.教室布置：设置分组讨论区，提供黑板或白板，以便学生进行板书和互动交流。教学过程一、导入新课

1.老师提问：同学们，我们已经学习了正弦、余弦、正切等基本三角函数，它们各自有哪些特点呢？

2.学生回答，老师总结：这些基本三角函数都有周期性、振幅等特性，它们在现实生活中有着广泛的应用。

3.老师引导：今天，我们将要学习一种特殊的三角函数——y=Asin（ωxφ），它有什么特点呢？让我们一起探究吧。

二、探究函数y=Asin（ωxφ）的图象

1.老师提问：同学们，y=Asin（ωxφ）与基本三角函数y=sinx有什么关系？

2.学生回答，老师总结：y=Asin（ωxφ）是y=sinx的变形，其中A、ω、φ分别代表振幅、角频率和初相位。

3.老师讲解：接下来，我们将探究A、ω、φ对函数图象的影响。

（1）探究振幅A的影响

1.老师提问：当A变化时，函数y=Asin（ωxφ）的图象会发生变化吗？

2.学生猜测并回答，老师展示不同振幅A的函数图象，引导学生观察、分析。

3.老师总结：振幅A的大小决定了函数图象的波动幅度，A越大，波动幅度越大。

（2）探究角频率ω的影响

1.老师提问：当ω变化时，函数y=Asin（ωxφ）的图象会发生变化吗？

2.学生猜测并回答，老师展示不同角频率ω的函数图象，引导学生观察、分析。

3.老师总结：角频率ω决定了函数图象的周期性，ω越大，周期越小。

（3）探究初相位φ的影响

1.老师提问：当φ变化时，函数y=Asin（ωxφ）的图象会发生变化吗？

2.学生猜测并回答，老师展示不同初相位φ的函数图象，引导学生观察、分析。

3.老师总结：初相位φ决定了函数图象的起始位置，φ越大，起始位置越靠右。

三、实际应用与拓展

1.老师提问：同学们，我们学习了函数y=Asin（ωxφ）的图象变化规律，它在实际生活中有哪些应用呢？

2.学生举例，老师总结：例如，在物理学中，正弦函数可以描述简谐运动的位移；在工程学中，正弦函数可以用于分析信号的调制和解调。

3.老师拓展：同学们，除了y=Asin（ωxφ），还有哪些函数的图象变化规律值得我们探究呢？

四、课堂小结

1.老师提问：今天，我们学习了哪些内容？

2.学生回答，老师总结：我们学习了函数y=Asin（ωxφ）的图象变化规律，包括振幅、角频率和初相位对图象的影响。

3.老师强调：同学们，掌握函数图象变化规律对于解决实际问题非常重要，希望你们在课后多做练习，巩固所学知识。

五、课后作业

1.老师布置作业：请同学们完成以下习题：

（1）已知函数y=3sin（2x+π/6），求函数的振幅、周期和初相位；

（2）请画出一个振幅为2、周期为π、初相位为-π/2的正弦函数图象。

2.老师强调：请同学们认真完成作业，并按时提交。如有疑问，可在课后向我请教。学生学习效果学生学习效果主要体现在以下几个方面：

1.理解与掌握函数y=Asin（ωxφ）的基本概念：

学生通过本节课的学习，能够清晰理解函数y=Asin（ωxφ）的定义、性质和图象特征，包括振幅、角频率和初相位对函数图象的影响。

2.应用三角恒等变换解决实际问题：

学生学会了如何运用三角恒等变换来推导函数y=Asin（ωxφ）的性质，例如如何通过变换得到函数的周期、相位等，能够将这些知识应用到解决实际问题中。

3.提升数学抽象思维能力：

通过对函数y=Asin（ωxφ）的图象变化规律的分析，学生能够将实际问题转化为数学模型，培养了数学抽象思维能力。

4.增强直观想象能力：

学生通过观察和分析函数图象，提高了对函数性质的直观感知能力，能够更好地理解数学概念和规律。

5.提高逻辑推理能力：

在探究函数y=Asin（ωxφ）的过程中，学生需要运用逻辑推理来推导函数的性质，这有助于提高学生的逻辑推理能力。

6.培养合作学习与交流能力：

在小组讨论和合作探究的过程中，学生学会了如何与他人交流思想，共同解决问题，这有助于培养学生的合作学习与交流能力。

7.提升解决实际问题的能力：

学生通过学习函数y=Asin（ωxφ）的应用实例，能够将所学知识应用于解决实际问题，如简谐运动、信号处理等，提高了解决实际问题的能力。

8.增强学习的主动性与积极性：

通过本节课的学习，学生对三角函数产生了更浓厚的兴趣，激发了学习的主动性和积极性，有助于提高学习效果。

9.形成良好的学习习惯：

学生在完成课后作业和复习过程中，养成了良好的学习习惯，如认真审题、独立思考、及时总结等，这些习惯将对学生的长期学习产生积极影响。

10.增强自我评估与反思能力：

学生在学习过程中，能够对自己的学习效果进行自我评估和反思，找出不足之处并加以改进，这有助于提高学习效果。典型例题讲解例题1：已知函数y=2sin（3x-π/6），求函数的振幅、周期和初相位。

解答：振幅A=2，周期T=2π/ω=2π/3，初相位φ=-π/6。

例题2：函数y=3sin（2x+π/3）的图象向右平移π个单位后，得到的新函数的解析式是什么？

解答：新函数的解析式为y=3sin（2x-π+π/3）=3sin（2x-2π/3）。

例题3：已知函数y=Asin（ωxφ）的图象经过点（π/4，1），且周期为2π/3，求函数的解析式。

解答：由周期T=2π/ω=2π/3，得ω=3。又因为图象经过点（π/4，1），代入得A=1，φ=0。所以函数的解析式为y=sin（3x）。

例题4：若函数y=Asin（ωxφ）的图象的顶点坐标为（0，-2），且图象在x轴上方的部分与x轴所围成的面积是图象在x轴下方的部分与x轴所围成的面积的2倍，求函数的解析式。

解答：由顶点坐标（0，-2），得A=2。又因为面积比为2:1，所以函数图象在x轴上方的部分与x轴所围成的面积是πA/2，在x轴下方的部分是πA/4。由面积公式得πA/2=2πA/4，解得A=2。周期T=2π/ω，由面积比得T=2π。因此ω=π，φ=0。所以函数的解析式为y=2sin（πx）。

例题5：函数y=Asin（ωxφ）的图象与直线y=0相交于点（x1，0）和（x2，0），且x1<x2，若A=3，ω=4，φ=π/6，求x1和x2的值。

解答：由A=3，ω=4，φ=π/6，得函数的解析式为y=3sin（4x+π/6）。令y=0，得3sin（4x+π/6）=0，解得4x+π/6=kπ，其中k为整数。当k=0时，x=-π/24；当k=1时，x=5π/24。因此，x1=-π/24，x2=5π/24。教学评价与反馈1.课堂表现：

在本节课的课堂表现中，学生们积极参与讨论，对函数y=Asin（ωxφ）的性质表现出浓厚的兴趣。大部分学生能够紧跟老师的思路，通过实例分析和课堂互动，对振幅、周期和相位的变化有了更深刻的理解。然而，也有部分学生在理解和应用三角恒等变换时显得有些吃力。

2.小组讨论成果展示：

小组讨论环节中，学生们表现出了良好的合作精神。各小组能够分工明确，共同解决问题。在展示成果时，学生们能够清晰地表达自己的观点，并对其他小组的成果提出建设性的意见和建议。通过小组讨论，学生们不仅加深了对函数图象变换规律的理解，也提升了沟通能力和团队协作能力。

3.随堂测试：

随堂测试旨在检查学生对本节课内容的掌握程度。测试结果显示，大部分学生能够正确回答关于振幅、周期和相位的问题，但对于如何应用三角恒等变换推导函数性质的问题，仍有部分学生感到困难。测试结果显示，学生们的整体成绩较为理想，但仍有提升空间。

4.学生自我评价：

学生们在课后进行了自我评价，认为本节课通过实例分析和课堂互动，使他们对函数y=Asin（ωxφ）的理解更加深入。同时，他们也认识到自己在三角恒等变换方面的不足，表示将在课后加强练习。

5.教师评价与反馈：

针对课堂表现，教师认为学生们在本节课中展现了积极的学习态度和良好的课堂纪律。在小组讨论中，学生的合作精神和沟通能力得到了提升。然而，在随堂测试中，部分学生在应用三角恒等变换解决问题时存在困难。