2025年中考数学一轮复习-专题专题8二次函数真题汇编含答案

2025年中考数学一轮复习-专题专题8二次函数1.一般地，如果y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫作x的二次函数.其中，是二次项，是一次项，是常数项.2.二次函数的图象的性质：二次函数的图象是，对称轴是.(1)若a>0，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；当时，函数有最小值，为.(2)若a<0,当时,y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；当时，函数有最大值，为.3.二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)中,a,b,c的含义:a的符号与有关，时抛物线开口向上，时抛物线开口向下；b的符号与对称轴有关，对称轴为x=−b2a,先根据开口方向确定a的符号，再根据对称轴的确定b的符号；c的符号与抛物线和的交点有关，抛物线和y轴的交点坐标为，当抛物线和y轴正半轴相交时，4.二次函数与一元二次方程的关系：一元二次方程的解是其对应的的图象与x轴的交点坐标的；一元二次方程中的可以判定二次函数的图象与x轴是否有交点，当时，图象与x轴有；当时，图象与x轴有;当时,图象与x轴.5.二次函数的平移法则:、.6.二次函数的解析式有三种形式：(1)一般式:;(2)顶点式:;(3)交点式：.若已知抛物线上任意三点，通常选择，利用待定系数法列来解；当已知抛物线的或时，常设其解析式为顶点式来解；结合题设的具体情况，亦可选择顶点式的为所求函数的解析式；当已知抛物线与x轴有时，则选择设函数解析式为来解.7.用二次函数解决实际问题(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的值.(2)二次函数的应用包括以下几个方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的值. 实战演练1.抛物线.y=2x+9A.(9,-3)B.(-9,-3)C.(9,3)D.(-9,3)2.点A(m-1,y1),B(m,y2)都在二次函数y=x−1²+n的图象上.若y1<yA.m>2B.m>C.m<1D.3.已知抛物线y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,0<a<c)经过点(1,0),有下列结论：①2a+b<0;②当x>1时，y随x的增大而增大；③关于x的方程ax²+bx+b+c其中，正确结论的个数是()A.0B.1C.2D.3如图,二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴相交于A(--1,0),B两点，对称轴是直线x=1，下列说法正确的是()A.a>0B.当x>-1时，y的值随x值的增大而增大C.点B的坐标为(4,0)D.4a+2b+c>05.抛物线的函数表达式为y=3x−2A.y=3B.y=3C.y=3D.y=36.下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：x-2013y6-4-6-4下列各选项中，正确的是()A.这个函数的图象开口向下B.这个函数的图象与x轴无交点C.这个函数的最小值小于--6D.当x>1时，y的值随x值的增大而增大7.二次函数y=ax²−2ax+c(a>0)的图象过A(-3,y1),B(-1,y2),C(2,y3),D(4,y4)四个点，下列说法一定正确的是()A.若y₁y₂>0,则y1y2>0B.若y₁y₄>0,则y₂y₃>0C.若y₂y₄<0,则y₁y₃<0D.若y₃y₄<0,则y₁y₂<08.“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃.臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，“可食用率”p与加工煎炸时间t(单位：分钟)近似满足的函数关系为：p=at²+bt+c(a≠0,a,b,c是常数)，如图记录了三次实验的数据.根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为()A.3.50分钟B.4.05分钟C.3.75分钟D.4.25分钟9.设抛物线y=x²+a+1(1)若抛物线经过点(-1,m),则m=;(2)将抛物线y=x²+a+1x+a向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是10.单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y=ax−ℎ某运动员进行了两次训练.(1)第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m02581114竖直高度y/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y=a(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=−0.04x−9²+23.24.记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为d2，则d1d11.如图,在平面直角坐标系中，抛物线y=−3(1)求抛物线的函数表达式；(2)点P为直线AB上方抛物线上一动点,过点P作PQ⊥x轴于点Q,交AB于点M,求PM+6 12.在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A处开始减速，此时白球在黑球前面70cm处.小聪测量黑球减速后的运动速度v(单位：cm/s)、运动距离y(单位:cm)随运动时间t(单位：s)变化的数据，整理得下表.运动时间t/s01234运动速度v/cm/s109.598.58运动距离y/cm09.751927.7536小聪探究发现，黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系，运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系.(1)直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；(2)当黑球减速后运动距离为64cm时，求它此时的运动速度；(3)若白球一直以2cm/s的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球?请说明理由.13.已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过(-2,1),(2,-3)两点.(1)求b的值;(2)当c>-1时，该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是；(3)设(m，0)是该函数的图象与x轴的一个公共点.当--1<m<3时，结合函数的图象，直接写出a的取值范围. 14.在平面直角坐标系中，抛物线y=x²+2mx+2m²−m的顶点为A.(1)求顶点A的坐标(用含有字母m的代数式表示)；(2)若点B(2,yB),C(5,yc)在抛物线上，且yB>yc,则m的取值范围是；(直接写出结果即可)(3)当1≤x≤3时,函数y的最小值等于6,求m的值.15.某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件.(1)如图,设第x(0<x≤20)个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示.求z关于x的函数解析式(写出x的范围)；(2)设第x个生产周期生产并销售的设备为y件,y与x满足关系式y=5x+40(0<x≤20).在(1)的条件下,工厂第几个生产周期创造的利润最大?最大为多少万元?(利润=收入-成本)压轴预测1.若点A(-1,m),B(3,m)在同一个函数图象上，这个函数可能为()A.y=x−1²+9C.y=x+3²−92.已知二次函数y=−x²+2x+3,当自变量x的值满足a<x≤2时，函数y的最大值与最小值的差为1，则a的值可以为()A.−12B.13.已知二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于(x₁,0),(x₂,0)两点,且满足−1<x₁<0,1<x₂<2,则下列说法正确的个数是()①a+b+c<0;②b<0;③abc>0;④若ax32A.1B.2C.3D.44.运动场上，小明投球时，发现篮球轨迹最高点距离地面3米，小明距离最高点的水平距离为1米，篮球落地处距离小明3米，那么你能计算出小明投篮的最高点距离地面为多少米吗?5.如图已知二次函数y=ax²图象与直线y=-x+2交于点A(-2,m),点B.(1)求m,a的值;(2)求点B坐标;(3)连接OA,OB,求△AOB的面积.参考答案1.ax²bxc2.抛物线x=−1x>−b23.开口方向a>0a<0位置y轴(0,c)c>0c<04.二次函数横坐标△=b²−4ac△>0两个交点△=0一个交点△<0没有交点5.左加右减上加下减6.1(2)y=a(x-h)²+k(a,h,k是常数,a≠0)3y=a7.(1)最大(小)(2)二次函数最大(小)1.B【解析】本题考查抛物线的顶点坐标.抛物线y=2x+92.B【解析】本题考查二次函数的性质、解不等式.∵点A(m-1,y₁)和点B(m,y₂)都在二次函数y=(x-1)²+n的图象上,∴y₁=m−1−1²+n=n,即(m−2²−m−1²<0,,整理得-2m+3<0,∴m>3.C【解析】本题考查二次函数的图象与性质、一元二次方程根的判别式.对于①，∵抛物线经过点((1,0),∴a+b+c=0.∵0<a<c,∴2a+b<0,故①正确;对于②,若点(1，0)在抛物线的对称轴的左边时，在点(1，0)到顶点这段抛物线上，y随x的增大而减小，故②错误；对于③，∵a+b+c=0,∴b+c=-a,∴原方程可化为(ax²+bx−a=0.∵△=b²+4a²>0,∴方程(ax²+bx+b+c4.D【解析】本题考查二次函数的图象与性质.选项逐项分析正误A∵抛物线开口向下，∴a<0B由图象可知，当x>-1时，在对称轴的右边，y随x的增大而减小C∵点A(-1,0)和点B关于直线x=1对称,∴点B的坐标为(3,0)×D由题可知,当x=2时,y=4a+2b+c>0✔故选D.5.C【解析】本题考查二次函数的图象与性质、函数图象的平移变换.由题意可知，将x轴向上平移2个单位长度，即将函数图象向下平移2个单位长度；同理，将y轴向左平移3个单位长度，即将函数图象向右平移3个单位长度.∵抛物线的表达式为y=3x−2²+1,∴平移后的函数表达式为.y=3x−2−3²+1−2,6.C【解析】本题考查二次函数的图象和性质.∵当x=0和x=3时，函数值y相等，∴二次函数的图象关于直线x=32对称，∴对称轴为x=327.C【解析】本题考查二次函数的图象和性质.∵y=ax²−2ax+c=ax−1²−a²+c,:抛物线的对称轴为.x=1，∴四点中距离对称轴远近关系为A>D>B>C，∵a>0,∴抛物线开口向上,∴y₁>y₁>y₂>y₃,当y₁>8.C【解析】本题考查二次函数的应用.将图象中的三个点(3,0.8),(4,0.9),(5,0.6)代入函数关系.p=at²+bt+c中得9a+3b+c=0.8,16a+4b+c=0.9,25a+5b+c=0.6,解得a=−0.2,b=1.5,c=−1.9,所以函数关系式为p=−0.2t²+1.5t−1.9.9.(1)0；(2)2【解析】本题考查二次函数的性质、函数图象的平移.(1)将(-1,m)代入y=x²+a+1x+a,得m=1--(a+1)+a=0;(2)原抛物线顶点的纵坐标为4a−a+124=10.(1)23.20,y=−0.05x−8(1)由表格中的数据确定抛物线的顶点坐标，从而可得h，k的值，k的值即为运动员竖直高度的最大值，再将(0，20.00)代入函数关系式即可求出a的值，据此可得函数关系式；(2)设着陆点的纵坐标为t，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的水平距离，比较大小即可作出判断.解:(1)由题知,抛物线的顶点坐标为(8,23.20),所以h=8,k=23.20,即该运动员竖直高度的最大值为23.20m.根据表格中的数据可知,当x=0时,y=20.00,代入y=ax−8所以函数关系式为y=−0.05(2)<.由题意，设着陆点的纵坐标为t(t<20.00)，则第一次训练时，t=−0.05解得x=8±由图知，第一次训练着陆点的水平距离d第二次训练时,t=-0.04(x-9)²+23.24,解得x=9±由图知，第二次训练着陆点的水平距离d因为20(23.20-t)<25(23.24-t),所以d₁<d₂.11.(1)将点A，B的坐标分别代入抛物线解析式，解出b，c的值即可求解；(2)根据待定系数法求出直线AB的解析式，设出P点的坐标(t为待定系数)，进而得出点M的坐标，用含t的式子表示出PM，MQ的长，利用勾股定理及锐角三角函数的定义用含t的式子表示出AM的长，进而表示出PM+6解:(1)∵抛物线y=−3∴−12+4b+c=0,c=3.解得∴抛物线的函数表达式为y=−(2)∵直线AB经过点A(4,0),B(0,3),∴直线AB的函数表达式为y=−设P则Mt∴PM=−34∵AO=4,BO=3,∴AB=3²+4²=5.∵∴AM=∴PM+65∵0<t<4,−∴t=1时,PM+65AM1取得最大值，最大值为27412.(2)6cm/s(3)不会,理由略(1)根据表中数据由待定系数法即可求得两函数解析式；(2)把y=64代入函数解析式求得时间t，再由t的值即可求解；(3)根据题意建立两球距离与时间的函数关系式，再根据函数的性质即可求解.解：1(2)依题意，得64.−∴t²−40t+256=0.解得.t₁=8,t₂=32.当t₁=8时,v=6;当t₂=32时,v=-6(舍).答:黑球减速后运动64cm时的速度为6cm/s.(3)设黑白两球的距离为wcm.w=70+2t−y=∵1∴黑、白两球的最小距离为6cm，大于0，黑球不会碰到白球.另解1:当ω=0时,14另解2：当黑球的速度减小到2cm/s时，如果黑球没有碰到白球，此后，速度低于白球速度，不会碰到白球.先确定黑球速度为2cm/s时，其运动时间为16s，再判断黑白两球的运动距离之差小于70cm.13.(1)b=-1(2)1(3)a<0或a>(1)将已知点的坐标代入二次函数，列出三元一次方程组，两式相减，可直接求出b的值；(2)根据(1)中结论得到a与c的等量关系，代入顶点坐标公式，构造关于顶点纵坐标的不等式，即可求解；(3)根据题意得x=-1和x=3时函数值一正一负，即可求解.解:(1)把点(-2,1),(2,-3)代入y=ax²+bx+c,得1=4a−2b+c,两式相减,得4=-4b,解得b=-1.(2)1.把b=-1代入4a-2b+c=1,得4a+2+c=1,∴a=∴顶点纵坐标为4ac−∵c>-1,∴c+1>0.下证对于任意的正数a，b，都有a+b≥2∵∴a+b≥2ab即c+1+∴顶点纵坐标的最小值为1.(3)a<0或a>由4a-2+c=-3得c=-4a-1.当x=-1和x=3时函数值一正一负，∴(a+1-4a-1)(9a-3-4a-1)<0,∴-3a(5a-4)<0,∴a(5a-4)>0,∴a>414.(1)(-m,m²-m)(2)m<-3.5(3)m=-2或m=(1)根据配方法或顶点公式法即可求得顶点坐标；(2)根据开口方向、函数的增减性确定对称轴位置，从而求出m的取值范围;(3)分-m≤1,1<-m≤3,-m>3三种情况讨论x取何值时，y有最小值6，代入 函数y中，解方程即可求值.解:(1)解法一:y=x²+2mx+2m²−m=x+m²−m²+2m²−m=∴顶点A解法二：∵x=−y=∴顶点A的坐标为(−m(2)m<-3.5.(3)分三种情况讨论：①-m≤1,即m≥-1.当x=1时,y=6.1+2m+2m²−m=6.解方程，得m1∴m=②1<-m≤3即-3≤m<-1.当x=-m时,y=6.∴m²−m=6.解方程，得m₁=−2,m₂=3(不符合题意，舍去).∴m=-2.③-m>3即m<-3.当x=3时,y=6.∴9+6m+2m²−m=6.解方程，得m1综上所述：m=-2或m=15.(2)工厂在第14个生产周期创造的利润最大，最大是605万元.(1)分0<x≤12,12<x≤20两种情况求z关于x的函数解析式；(2)根据自变量取值范围确定利润W的函数关系式，结合一次函数与二次函数的图象与性质即可求得最大利润.解:(1)由图可知,当0<x≤12时,z=16.当12<x≤20时,z是关于x的一次函数,设z=kx+b,则12k+b=16,20k+b=14,得即z=−∴z关于x的函数解析式为(2)设第x个生产周期工厂创造的利润为W万元.①0<x≤12时,W=(16-10)×(5x+40)=30x+240,当x=12时,W最大值=30×12+240=600(万元).②12<x≤20时,W==−=−当x=14时,W最综上所述，工厂在第14个生产周期创造的利润最大，最大是605万元.压轴预测1.A【解析