2025年中考数学一轮复习-专题03线段问题含答案

2025年中考数学一轮复习-专题03线段问题一、横竖线段1．横线段∵AB//x轴∴AB=|xA-xB|2．竖线段∵AB//y轴∴AB=|yA-yB|二、斜线段（化斜为直）1．勾股转化：2．特殊角转化：∵∠OBC=45°∴3．相似三角形转化：∵DF∥OC，∴△DEP∽△OEC，∴一、横竖线段例1．（2024秋•绥中县期中）1．如图，二次函数的图象与x轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点，与y轴交于点C．(1)求直线的函数表达式及点C的坐标；(2)点P是第四象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线轴于点E，与直线交于点D，设点P的横坐标为m．当时，求m的值．对应练习：2．如图，抛物线与轴交于点，两点，直线与轴交于点，与轴交于点．点是第一象限内抛物线上一动点，过点作轴于点，交直线于点．设点的横坐标为．(1)求抛物线的解析式；(2)写出线段的长（用含有的代数式表示）；(3)若，求的值；（2024•咸丰县模拟）3．综合与探究如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．若点P在线段上运动（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F．设点P的横坐标为m．(1)求点A，B，C的坐标，并直接写出直线的函数解析式．(2)若，求m的值．4．如图，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，是抛物线在第四象限上一个动点，设点的横坐标为，过点作轴的垂线，交轴于点，交于点．(1)用含m的代数式表示线段的长度，并求出其最大值；(2)若，求点P的坐标．（2024秋•西岗区校级月考）5．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点C的坐标为，连接．(1)求该二次函数和直线的解析式；(2)点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，作轴于点Q，交于点H，当的长度最大时，求点P的坐标例2．（2024•重庆模拟）6．如图，抛物线交轴于点、点，交轴于点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，连接，点为线段下方抛物线上一动点，过点作轴交于点，过点作轴交于点，求的最大值以及点的坐标．对应练习：7．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为．(1)求此抛物线的函数解析式．(2)点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时点的坐标；若没有最大值，请说明理由．二、斜线段例3．（2024•江汉区校级模拟）8．已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点D为抛物线在第四象限的一点，连交线段于点E，且，求点D的坐标；对应练习：（2024•绥化三模）9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，B两点，顶点坐标为．(1)求二次函数的解析式；(2)直线与相交于点E，当D为抛物线上第四象限内一点且时，求点D的坐标．（2024•达州模拟）10．如图，抛物线(为常数)与轴交于点（点在点的左侧），，经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，点的坐标为．(1)求抛物线和一次函数的解析式；(2)抛物线上的动点在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点的坐标；(3)若点为轴上任意一点；在(2)的结论下，当的值最小时，请直接写出点的坐标和此时的最小值．参考答案与解析参考答案：1．(1)直线的函数表达式为，点C的坐标为；(2)的值为或2或3．【分析】本题考查了二次函数综合，熟练掌握求二次函数与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，解一元二次方程是解题的关键．（1）先求得点A的坐标，再利用待定系数法求直线的函数表达式，进而可得点C的坐标；（2）由题意得，点P的坐标为，可得，分两种情况：①点P在点D上方时；②点P在点D下方时，结合列出方程求解m的值即可．【详解】（1）解：对于，令，则，解得：，，点A的坐标为，设直线的函数表达式为，代入和得，，解得：，直线的函数表达式为，对于，令，则，解得：，点C的坐标为0,4，综上所述，直线的函数表达式为，点C的坐标为0,4．（2）由题意得，点P的坐标为，直线轴于点E，与直线交于点D，点D的坐标和点P的横坐标相同，即，由（1）得，直线的函数表达式为，，点C的坐标为0,4，，；①当点P在点D上方时，则，，解得：，，，的值为；②当点P在点D下方时，则，，解得：，，的值为2或3；综上所述，的值为或2或3．2．(1)(2)(3)或【分析】（1）利用交点式求抛物线解析式；（2）先根据坐标轴上点的坐标特征确定，，则，设，则，，根据平行线分线段成比例定理，由得到，可得结论；（3）先用表示、得到，，再利用得，然后讨论得到两个关于的一元二次方程，再解方程求出满足条件的的值．【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，两点，∴抛物线解析式为，即；（2）∵直线与轴交于点，与轴交于点，当时，，则，当时，，解得，则，∴，，∴，设，∵轴，∴，，，∴，即，∴；（3）存在．∵，，又∵，∴，当，解得：（舍去），；当，解得：（舍去），，综上所述，的值为或．【点睛】本题是一次函数与二次函数的综合题，考查了待定系数法求抛物线解析式，坐标与图形，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，平行线分线段成比例定理，函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的应用等知识点．利用方程的思想和分类讨论的思想解决问题是解题的关键．3．(1)，，，直线的解析式为(2)【分析】本题考查二次函数的图象及性质．（1）根据函数图象的特点求A、B、C的坐标，用待定系数法求直线的解析式即可；（2）由题可知，则，，再由，得到方程，求出m的值即可．【详解】（1）解：当时，，解得或，∴，，当时，，∴，设直线的解析式为，将点代入可得，解得，∴直线的解析式为；（2）解：∵点P的横坐标为m，∴，则，，∴，，∵，∴，解得或，∵，∴，∴．4．(1)PF＝﹣m2+3m（0＜m＜3），取最大值(2)点P的坐标为【分析】（1）由抛物线的解析式结合二次函数图象上点的坐标特征得出点、、的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，根据点的横坐标，找出点、的坐标，由此即可得出关于的函数关系式，利用配方法即可得出最值；（2）根据、的坐标即可得出、的长度，结合即可得出的值，将其代入点的坐标中即可得出结论．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）找出点、的坐标；（2）根据求出的值．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数图象上点的坐标特征找出点的坐标是关键．【详解】（1）解：依题意，当时，，；当时，有，解得：，，，．设直线的解析式为，，解得：，直线的解析式为．点的横坐标为，．当时，，．．，，，当时，取最大值．（2）解：，轴，，，，此时点的坐标为．5．(1)二次函数的解析式为，直线BC的解析式为(2)【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与图形的面积，掌握待定系数法是解题的关键．（1）直接利用待定系数法求函数解析式即可；（2）由（1）知直线的解析式，设，得到，利用二次函数的性质求解即可得【详解】（1）解：将，代入中得：，解得：，二次函数的解析式；令，则，解得：，，∴点B的坐标为，设直线的解析式为，代入得：，解得，∴直线的解析式为，（2）由（1）知直线的解析式为，设点，轴于点Q交于点H，，，，当时，的长度最大，将代入得．6．(1)(2)最大值为，点的坐标为【分析】（）利用待定系数法解答即可；（）求出点坐标，即可得直线的解析式为，直线的解析式为，设，则，，进而可得，利用二次函数的性质解答即可求解；本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【详解】（1）解：∵抛物线交轴于点、点，∴，解得，∴抛物线的解析式为；（2）解：∵抛物线交轴于点，∴C0,−3设直线的解析式为，把、C0,−3代入得，解得，∴直线的解析式为，同理可得直线的解析式为，设，∵轴，∴，∴，∵轴，∴点的纵坐标为，代入得，，解得，∴，∴，∴，∵，∴当时，取最大值，此时，点的坐标为．7．(1)(2)最大值，【分析】本题考查二次函数的综合应用，主要考查利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的性质，正方形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．（1）直接利用抛物线的交点式可得抛物线的解析式；（2）先求解，及直线为，设，可得，再建立二次函数求解即可．【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为，；（2）解：当时，，，设直线为，，解得，直线为，设，，，，当时，有最大值，此时．8．(1)(2)点D的坐标为或【分析】（1）令，用含m的式子表示出A、B两点坐标，根据求出m的值，即可求解；（2）过点D作轴交直线于点F，根据（1）中结论求出抛物线与坐标轴的交点坐标，进而求出直线的解析式，设，和含t的式子表示出，再根据，推出，根据相似三角形对应边长度成比例列式求出t的值，即可得出点D的坐标．【详解】（1）解：令，化简得：，解得：，，∴，，∴，解得：，∴，∴抛物线的解析式为；（2）解：如图1，过点D作轴交直线于点F，在中，令，得，∴，令，得，解得：，，∴，，∴，设直线的解析式为，将B、C的坐标代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为，设，∵轴，∴点F的纵坐标为，则，解得：，∴，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，∴，即，解得：，，当时，，当时，，∴点D的坐标为或．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，相似三角形的判定的性质，正确作出辅助线，综合应用上述知识点是解题的关键．9．(1)二次函数的解析式为(2)或【分析】本题考查二次函数与几何综合，涉及待定系数求解析式，相似的判定和性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键．（1）利用待定系数法求解即可；（2）过点作轴,垂足为,交CB于点，设表示出点坐标，再利用列式求解．【详解】（1）把代入得，解得，∴二次函数的解析式为；（2）解：如图,过点作轴,垂足为,交CB于点，当时，解得∴,当x=0时，得，设直线解析式为：y=mx+n，代入,得，解得∴直线解析式为设则，∵,，即解得或或．10．(1)，；(2)最大面积为：，；(3)，最小值为：．【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）利用图形面积和差，转化为二次函数求最值即可；（3）先过点作垂线段，当三点共线时，再根据垂线段最短，最后用等面积法求解即可．【详解】（1）∵，∴∵抛物线和一次函数的图象都经过点、∴，，解得：，，∴抛物线解析式为：，一次函数解析式为：，（2）如图，过作轴，交轴于点，交AD于点，设，则，