第21课时　直角三角形与勾股定理 课件 2025年中考数学一轮总复习

第一部分考点梳理第四章图形的性质第21课时直角三角形与勾股定理知识点1直角三角形的性质与判定性质判定直

角

三

角

形（1）两锐角

⁠

⁠；（2）斜边上的中线等于

⁠

⁠；（3）30°角所对直角边等于

⁠

⁠；（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；（2）勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a，b，c满足：

⁠

⁠，那么这个三角形是直角三

角形；

互余

斜边的一

半

斜边

的一半

a2＋b2＝c2

性质判定直

角

三

角

形（4）勾股定理：

直角三角形两直角

边的平方和等于

⁠，即a2＋b2＝c2（c为斜边）；（5）直角顶点在

以斜边为直径的圆

上（3）如果三角形的一边中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形斜边的平方

知识点2勾股定理内容用途勾

股定

理如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，

斜边长为c，那么

⁠

⁠（1）勾股定理是求线段长的重要工具；（2）利用勾股定理可建立三边关系的方程；（3）勾股定理可用于证明平方关系a2＋

b2＝c2

内容用途勾

股定

理的

逆定

理如果三角形

的三边长

a，b，c满

足

⁠

⁠，那么

这个三角形

是直角三角

形（1）判断某三角形是

否为直角三角形；（2）证明两条线段垂

直；（3）解决生活实际中

的问题，比如最短路径

问题a2＋b2＝

c2

内容用途勾

股数能构成直角三角形的

三条边长的三个正整

数，称为勾股数－

2.

求几何体表面上两点之间的最短距离

时，一般先把立体图形展开成平面图形

后再用勾股定理求解，这体现了数学的

转化思想.3.

关于直角三角形的两个重要定理：（1）含30°角的直角三角形中，30°角

所对的直角边等于斜边的一半，其性质

体现直角三角形与等边三角形之间的联

系，即等边三角形是由两个相同的含

30°角的直角三角形拼接而成的；（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边

的一半，还可以得到有公共斜边的多个

直角三角形，斜边上中点到直角三角形

各顶点的距离相等.直角三角形斜边上的

中线把直角三角形分成两个等腰三角形.考点一

勾股定理及其逆定理例1

（1）在如图1所示的2×4的正方

形网格中，每个小正方形的边长均为1，

△ABC的顶点都在小正方形的格点上，

这样的三角形称为格点三角形，则点A

到BC的距离等于（

C

）CA.

B.

2

C.

D.

图1

（2）（2024·浙江）如图2，正方形

ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和中间一个小正方形EFGH组成，连接DE.

若AE＝4，BE＝3，则DE＝（

C

）A.

5B.

2

C.

D.

4C图2（3）（2024·牡丹江）小明同学手中有一张矩形纸片ABCD，AD＝12cm，CD＝10cm，他进行了如下操作：第一步，如图3，将矩形纸片对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，将纸片展平.第二步，如图4，再一次折叠纸片，把△ADN沿AN折叠得到△AD'N，AD'交折痕MN于点E，则线段EN的长为（

B

）BA.

8cmB.

cmC.

cmD.

cm图3

图4考点二

直角三角形相关性质例2

（1）由下列条件不能判定△ABC

为直角三角形的是（

B

）A.

∠A－∠B＝∠CB.

a＝

，b＝

，c＝

C.

（b＋a）（b－a）＝c2D.

∠A∶∠B∶∠C＝5∶3∶2B（2）（2024·青海）如图1，在Rt△ABC

中，D是AC的中点，∠BDC＝60°，

AC＝6，则BC的长是（

A

）A.

3B.

6C.

D.

3

图1

A（3）（2024·安徽）如图2，在Rt△ABC

中，AC＝BC＝2，点D在AB的延长线

上，且CD＝AB，则BD的长是（

B

）A.

－

B.

－

C.

2

－2D.

2

－

图2B例3在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，

BA＝BC，D为边AC上一动点.（1）如图1，若DC＝6，∠ABD＝15°，求BD的长；图1

（答案图1）（2）如图2，以BD为直角边作

Rt△BDE，使得BD＝BE，连接AE，

点F为AE中点.请猜想BF，AD，DE之

间的数量关系，并说明理由.

图2[答案]

解：（2）猜想：4BF2＋AD2＝DE2.理由如下：如答案图2，连接CE并延长交AB的延长线于点T.

∵∠ABC＝∠DBE＝∠CBT＝90°，∴∠ABD＝∠CBE，∠EBT＝∠DBC.

∵BA＝BC，BD＝BE，∴△ABD≌△CBE（SAS），（答案图2）∴AD＝CE，∠BAD＝∠BCE＝45°，∠ADB＝∠CEB，∴∠BDC＝∠BET，∴△DBC≌△EBT（ASA），∴CD＝ET，BC＝BT，∴AB＝BT.

又∵点F为AE中点，∴ET＝2BF，∴CD＝2BF.

∵∠ACB＝45°，

∴∠DCE＝90°，∴DE2＝CD2＋CE2，∴4BF2＋AD2＝DE2.（答案图2）考点三

勾股定理与最值问题例4

（1）（2024·内江）如图1，在

△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，E

是BC边上一点，且BE＝2，点I是

△ABC的内心，BI的延长线交AC于点

D，P是BD上一动点，连接PE，PC，

则PE＋PC的最小值为

⁠；

图1（2）如图2为一个圆柱形容器，其高为

1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容

器底部0.3m的点B处有一只蚊子.此时，

一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿

0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉

蚊子的最短路程为

m（容器厚度

忽略不计）.1.3

图21.

如图，在直线l上方有正方形①，②，

③.若正方形①，③的面积分别为4和

16，则正方形②的面积为（

B

）A.

24B.

20C.

12D.

22（第1题）B2.

（2024·巴中）“今有方池一丈，葭生

其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸

齐.问：水深几何？”这是我国数学史上

的“葭生池中”问题.即AC＝5，DC＝1，

BD＝BA，则BC＝（

C

）A.

8 B.

10 C.

12 D.

13C（第2题）3.

（2024·巴蜀）如图，圆柱体的底面周

长为6cm，AB是底面圆的直径，在圆柱

表面的高BC上有一点D，BD＝2CD，

BC＝6cm，一只蚂蚁从A点出发，沿圆

柱的表面爬行到点D的最短路程

是

⁠cm.（第3题）5

4.

（2024·大庆）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形.执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所