江苏省盐城市东台市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题（原卷版+解析版）

2024-2025学年度第一学期期末学业水平考试九年级数学（试卷分值150分，考试时间120分钟）注意事项：1．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．2．答题前，务必将自己的学校、班级、姓名、座位号填写在答题卡上相应位置．一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.方程x2=x的解是（）A.x=1 B.x=0 C.x1=1，x2=0 D.x1=﹣1，x2=02.计算的值（）A. B.1 C. D.33.已知ab=mn，改写成比例式错误的是（

）A.a：n=b：m B.m：a=b：n C.b：m=n：a D.a：m=n：b4.《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点在同一水平线上，和均为直角，与相交于点D．测得，，，则树高为（）A. B. C. D.5.下列说法正确的是（）A.调查中央电视台《开学第一课》的收视率，应采用全面调查的方式；B.一组数据的中位数是4；C.一次抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖20次就有1次中奖；D.甲、乙二人练习射击，射击次数和成绩的平均数都相同，方差分别为，，则甲的成绩比乙的稳定．6.若关于的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是（）A. B. C. D.7.如图，点、、、在☉上，，，则点到的距离是()A. B. C.3 D.48.已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，且经过点．下列结论：①；②若点，是抛物线上的两点，则；③；④若，则，其中正确的有（）A.4个 B.3个 C.2个 D.1个二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的相应位置上）9.掷一枚质地均匀正方体骰子，向上点数为2的概率是______．10.已知线段，，如果线段是线段的比例中项，那么线段等于______．11.已知圆锥的母线长13，侧面积是，则此圆锥的底面半径长是______．12.如图，点为线段的黄金分割点，已知，则______．13.如图，，点分别是上的点且，若，时，则的长等于______．14.二次函数的图像向右平移2个单位，再向下平移3个单位后得到新的二次函数图像的顶点坐标是______．15.如图，在中，，，，是斜边上的中线，是的重心，于，则______．16.如图，在正方形中，，为对角线上的一动点，以为斜边向右作等腰，则的最小值为______．三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）17.（1）计算，（2）已知是锐角，且，求．18.用适当的方法解方程（1）（2）19.如图，三个顶点的坐标分别为，以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍得.（1）在图中第一象限内画出符合要求的（不要求写画法）（2）计算的面积．20.某中学语文“阅读节”期间对学校部分学生阅读“中国小说类”名著的情况进行了抽样调查，其中调查涉及篇目有《西游记》、《水浒传》、《骆驼祥子》、《红岩》共4部，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图．请根据以信息，解答下列问题：（1）请将条形统计图补充完整；（2）本次抽取学生阅读名著数量（部）的众数是，中位数是．（3）根据上述抽样调查的结果，请估计该校共950名学生中“中国小说类”名著阅读量（部）不少于3部的学生人数有多少？21.中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》（如图），它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．（1）从这四本著作中小明随机抽到《论语》的概率是______；（2）用树状图法或列表法求出从这四本著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本）恰好是《论语》和《大学》的概率．22.如图，这是玲玲同学在阅读一本数学课外读物时看到的一段内容．已知关于的一元二次方程．其中一次项系数被墨迹污染了．（1）若这个方程的一个根为，请求出一次项系数；（2）玲玲发现不论一次项系数为何值，这个方程总有两个不相等的实数根，请说明理由．23.如图，灯杆AB与墙MN的距离为18米，小丽在离灯杆（底部）9米的D处测得其影长DF为3m，设小丽身高为1.6m．(1)求灯杆AB的高度；(2)小丽再向墙走7米，她的影子能否完全落在地面上？若能，求此时的影长；若不能，求落在墙上的影长．24.红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用6240元购进甲灯笼与用8400元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元．（1）求甲、乙两种灯笼每对的进价；（2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对．销售部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价为x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元．①求出y与x之间的函数解析式；②乙种灯笼销售单价为多少元时，一天获得利润最大？25.如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接平分，过点C作交的延长线于点E．（1）求证：为的切线．（2）求证：．（3）若，求线段的长．26.小明和小亮在做传球训练，某同学借做此情境编了一道数学题．在如图平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m，小明从点处将球传出，其运动路线为抛物线的一部分，小亮在处接住球，然后跳起将球传出，球的运动路线是抛物线的一部分．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的顶点为点，在轴上找一点，求使的值最大的点的坐标；（3）若小明在轴上方2m的高度上，且到点水平距离不超过1m的范围内可以接到球，求符合条件的的整数值．27综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．（1）操作判断操作一：正方形透明纸片，点在边上，如图1，连接，沿经过点的直线折叠，使点的对应点落在上，如图2，把纸片展平，得到折痕，如图3，折痕交于点．根据以上操作，请直接写出图3中与的位置关系：__________，与的数量关系：__________；（2）迁移探究小华将正方形透明纸片换成矩形透明纸片，继续探究，过程如下：将矩形透明纸片按照（1）中的方式操作，得到折痕，折痕交于点，如图4．若，改变点在上的位置，那么的值是否能用含的代数式表示？如果能，请推理的值，如果不能，请说明理由；（3）拓展应用如图5，已知正方形纸片的边长为2，动点E在AD边上由点A向终点D匀速运动，动点F在DC边上由点D向终点C匀速运动，动点E，F同时开始运动，且速度相同，连接AF，BE，交于点G，连接DG，则线段DG长度的最小值为：__________，点G的运动路径长度为：__________（直接写出答案即可）．

2024-2025学年度第一学期期末学业水平考试九年级数学（试卷分值150分，考试时间120分钟）注意事项：1．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．2．答题前，务必将自己的学校、班级、姓名、座位号填写在答题卡上相应位置．一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.方程x2=x的解是（）A.x=1 B.x=0 C.x1=1，x2=0 D.x1=﹣1，x2=0【答案】C【解析】【详解】解：x2-x=0，x（x-1）=0，x=0或x-1=0，∴x1=0，x2=1．故选：C．【点睛】考点：解一元二次方程-因式分解法．2.计算的值（）A. B.1 C. D.3【答案】B【解析】【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角形函数值即可求解，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．【详解】解：，，故选：B．3.已知ab=mn，改写成比例式错误的是（

）A.a：n=b：m B.m：a=b：n C.b：m=n：a D.a：m=n：b【答案】A【解析】【分析】根据等式的性质，可得答案．【详解】A、a：n=b：m⇒am=bn，故A错误；

B、m：a=b：n⇒ab=mn，故B正确；

C、b：m=n：a⇒ab=mn，故C正确；

D、a：m=n：b⇒ab=mn，故D正确．

故选A．【点睛】本题考查了比例的性质，利用了比例的性质：分子分母交叉相乘，乘积相等．4.《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点在同一水平线上，和均为直角，与相交于点D．测得，，，则树高为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．根据题意可得，然后相似三角形的性质，即可求解．【详解】解：∵和均为直角∴，∴，∴∵，∴，故选D．5.下列说法正确的是（）A.调查中央电视台《开学第一课》的收视率，应采用全面调查的方式；B.一组数据的中位数是4；C.一次抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖20次就有1次中奖；D.甲、乙二人练习射击，射击次数和成绩的平均数都相同，方差分别为，，则甲的成绩比乙的稳定．【答案】D【解析】【分析】本题考查了数据的调查方式，中位数，概率的意义，方差的性质，解题的关键是掌握各类统计概念的核心要点．依次分析各选项，根据调查方式的适用范围，中位数计算方法，概率的意义，方差与稳定性的关系判断对错．【详解】A、调查中央电视台《开学第一课》的收视率，由于观众数量庞大，全面调查耗时耗力，应采用抽样调查，而非全面调查，故A错误；B、将数据排序，数据个数为5（奇数），中位数是最中间的数3，不是4，故B错误；C、中奖概率为，表示抽奖20次可能有1次中奖，但不是“就有1次中奖“，概率是可能性描述，非必然结果，故C错误；D、方差反映数据的稳定性，方差越小越稳定．甲的方差，乙的方差，所以甲的成绩比乙稳定，故D正确．故选：D．6.若关于的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程没有实数根，得到判别式小于，即可求解，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．【详解】解：∵关于的一元二次方程没有实数根，∴，∴，∴，∴，故选：C．7.如图，点、、、在☉上，，，则点到的距离是()A. B. C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】根据内接四边形得出，进而得出是等边三角形，进而即可求解．【详解】解：∵点、、、在上，，∴，∵，∴是等边三角形，连接，，过点作于点，∴，，∴∴点到的距离是，故选：A．【点睛】本题考查了内接四边形对角互补，等边三角形的性质与判定，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．8.已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，且经过点．下列结论：①；②若点，是抛物线上的两点，则；③；④若，则，其中正确的有（）A4个 B.3个 C.2个 D.1个【答案】B【解析】【分析】根据对称轴可判断①不正确；根据二次函数的增减性可判断②正确；由抛物线经过点和对称轴可得，结合可判断③正确；求出点的对称点为，结合图象可判断④正确．【详解】解：∵对称轴，∴，∴，故①不正确；∵抛物线开口向上，点到对称轴的距离小于点的距离，∴，故②正确；∵抛物线经过点，∴，∵，∴，∵抛物线开口向上，∴，∴，故③正确；∵对称轴为直线，∴点的对称点为，∵开口向上，∴，，故④正确．故选B．【点睛】本题考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的相应位置上）9.掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上点数为2的概率是______．【答案】【解析】【分析】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．根据概率公式直接求解即可．【详解】解：投掷一枚质地均匀的正方体骰子共有6种等可能结果，其中向上一面的点数是2的只有1种结果，所以向上一面的点数是2的概率为．故答案为：．10.已知线段，，如果线段是线段的比例中项，那么线段等于______．【答案】4【解析】【分析】本题主要考查了成比例线段，根据成比例线段的定义得到，据此可得答案．【详解】解：∵线段是线段的比例中项，线段，，∴，∴或（舍去），故答案为：4．11.已知圆锥的母线长13，侧面积是，则此圆锥的底面半径长是______．【答案】5【解析】【分析】本题考查了扇形面积公式，解题的关键是掌握扇形的面积公式．根据圆锥的侧面积底面周长母线长，把相应的数值代入求出半径即可．【详解】解：设底面半径为R，则底面周长，∴侧面积为：，∴，故答案为：5．12.如图，点为线段的黄金分割点，已知，则______．【答案】##【解析】【分析】根据黄金分割的定义即可求出．【详解】解：∵，点为线段的黄金分割点，，∴，故答案是：．【点睛】本题主要考查了黄金分割点，熟记黄金分割比是解题关键．13.如图，，点分别是上的点且，若，时，则的长等于______．【答案】6【解析】【分析】本题主要考查的就是三角形相似的性质和判定．解决本题的关键就是根据题意得出三角形相似．相似三角形的边长之比等于相似比，相似三角形的面积之比等于相似比的平方，各边对应的中线、高线以及角平分线的比值等于相似比．在证明三角形相似的时候，利用两个角对应相等来证明是用的最多的一种方法．根据可得，根据可得，最后根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：∵∴∵，∴，∴，∵，∴，∴．故答案为：6．14.二次函数的图像向右平移2个单位，再向下平移3个单位后得到新的二次函数图像的顶点坐标是______．【答案】【解析】【分析】主要考查了函数图像的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．首先得到，然后按照“左加右减，上加下减”的规律即可得到函数解析式，求得其顶点坐标即可．【详解】∵，∴二次函数的图像向右平移2个单位，再向下平移3个单位后得到新的二次函数的表达式为∴新的二次函数图像的顶点坐标是．故答案为：．15.如图，在中，，，，是斜边上的中线，是的重心，于，则______．【答案】【解析】【分析】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．过C点作于E，如图，先利用勾股定理计算出，再利用面积法求出，接着根据G是的重心得到，然后证明，利用相似比可求出的长度．【详解】解：过C点作于E，如图，∵，，，∴，∵，∴，∵G是的重心，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．故答案为：．16.如图，在正方形中，，为对角线上的一动点，以为斜边向右作等腰，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半，准确找到点的运动轨迹，证明是解题的关键．延长到点M，使，连接，，,利用正方形性质和旋转全等模型证明，从而可得和是直角三角形，从而由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得，再由．即可得出结论．详解】解：延长到点M，使，连接，，，如图，∵四边形是正方形，∴，，，∵是以为斜边作等腰直角三角形，∴，，，∴，∵，∴，，∴，∴，即，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴的最小值为．故答案为：．三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）17.（1）计算，（2）已知是锐角，且，求．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，已知三角函数值求解锐角的大小，熟记特殊角的三角函数值是解本题的关键．（1）把特殊角的三角函数值代入代数式进行计算即可；（2）利用锐角的正弦求解即可．【详解】（1）解：；（2）解：∵是锐角，且，，∴，∴．18.用适当的方法解方程（1）（2）【答案】（1），（2），【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键．（1）利用直接开平方法求解；（2）利用因式分解法求解．小问1详解】解：或，；【小问2详解】解：，19.如图，三个顶点的坐标分别为，以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍得.（1）在图中第一象限内画出符合要求的（不要求写画法）（2）计算的面积．【答案】（1）见解析（2）6【解析】【分析】（1）利用位似图形的性质，结合对应点坐标同乘以2，进而得出答案；（2）利用经过点的矩形的面积减去3个直角三角形的面积即可求得的面积．【小问1详解】解：三个顶点的坐标分别为，以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍得，∴，顺次连接，如图所示：即为所求；【小问2详解】的面积为：．【点睛】本题主要考查了位似变换，利用位似图形的性质得出对应点坐标是解题关键．20.某中学语文“阅读节”期间对学校部分学生阅读“中国小说类”名著的情况进行了抽样调查，其中调查涉及篇目有《西游记》、《水浒传》、《骆驼祥子》、《红岩》共4部，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图．请根据以信息，解答下列问题：（1）请将条形统计图补充完整；（2）本次抽取学生阅读名著数量（部）的众数是，中位数是．（3）根据上述抽样调查的结果，请估计该校共950名学生中“中国小说类”名著阅读量（部）不少于3部的学生人数有多少？【答案】（1）见解析；（2）1部，2部；（3）380人【解析】【分析】（1）先由阅读名著3部的人数及其所占百分比求出被调查的总人数，再根据各数量之和等于总人数求出2部人数，从而补全图形；（2）根据众数和中位数的概念求解可得；（3）用总人数乘以样本中阅读3部、4部人数和所占比例即可得．【详解】（1）被调查的人数为5÷25%＝20（人），读2本的人数为20﹣(2+7+5+3)＝3（人），补全图形如下：（2）本次抽取学生阅读名著数量（部）的众数是1部，中位数是＝2（部）；（3）950×＝380（人）．∴该校共950名学生中“中国小说类”名著阅读量（部）不少于3部的学生有380人．【点睛】本题主要考查条形统计图相关知识，关键在于人数与所占比例之间的关系以及众数、中位数概念的熟记．21.中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》（如图），它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．（1）从这四本著作中小明随机抽到《论语》的概率是______；（2）用树状图法或列表法求出从这四本著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本）恰好是《论语》和《大学》的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】此题考查了用树状图或列表法求概率，解题的关键是熟悉树状图或列表法，并掌握概率计算公式．（1）根据概率公式求解即可；（2）用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出抽取的两本恰好是《孟子》和《大学》的可能结果，再利用概率公式求出即可．【小问1详解】解：∵共有4本书，∴从这四部著作中随机抽取一本，则抽取的恰好是《论语》的概率是；【小问2详解】根据题意，列表如下：第一本第二本《论语》《孟子》《大学》《中庸》《论语》

（《孟子》，《论语》）（《大学》，《论语》）（《中庸》，《论语》）《孟子》（《论语》，《孟子》）

（《大学》，《孟子》）（《中庸》，《孟子》）《大学》（《论语》，《大学》）（《孟子》，《大学》）

（《中庸》，《大学》）《中庸》（《论语》，《中庸》）（《孟子》，《中庸》）（《大学》，《中庸》）

由列表可知，从4本书中随机抽取2本（不放回），共有12种结果，并且每种结果出现的可能性相等，其中抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的结果有2种，所以抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率．22.如图，这是玲玲同学在阅读一本数学课外读物时看到的一段内容．已知关于的一元二次方程．其中一次项系数被墨迹污染了．（1）若这个方程的一个根为，请求出一次项系数；（2）玲玲发现不论一次项系数为何值，这个方程总有两个不相等的实数根，请说明理由．【答案】（1）一次项系数为（2）见解析【解析】【分析】本题主要考查了根的判别式以及一元二次方程的解，掌握当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键．（1）把代入方程即可求解；（2）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，由此可证出：不论一次项系数为何值，这个方程总有两个不相等的实数根．【小问1详解】解：设一次项系数为b，则方程为，把代入方程得，，解得：，所以一次项系数为．【小问2详解】解：∵方程，∴．∴不论一次项系数为何值，这个方程总有两个不相等的实数根．23.如图，灯杆AB与墙MN的距离为18米，小丽在离灯杆（底部）9米的D处测得其影长DF为3m，设小丽身高为1.6m．(1)求灯杆AB的高度；(2)小丽再向墙走7米，她的影子能否完全落在地面上？若能，求此时的影长；若不能，求落在墙上的影长．【答案】（1）6.4米；（2）不能完全落在地面上；墙上的影长为1米．【解析】【分析】（1）由相似三角形对应成比例即可求出AB的长．（2）假设全部在地上，设影长为x，同样求出影长x，而9+7+影长＞18．故有部分影子落在墙上．超过的影长，相当于墙上影长在地上的投影，设落在墙上的影长为y，则有y：6.4=：(+18)，求出y的值即可．【详解】解：（1）∵AB∥CD，∴△CDF∽△ABF，∴CD：AB=DF：BF，∴1.6：AB=3：12，解得：AB=6.4．答：灯杆AB的高度为6.4米．（2）假设全部在地上，设影长为x，则CD：AB=DF：BF，∴1.6：6.4=x：(9+7+x)，解得：x=，而9+7+-18=＞0．故有部分影子落在墙上．因为超过的影长为，相当于墙上影长在地上的投影，故设落在墙上的影长为y，则有y：6.4=：(+18)，解得：y=1．故落在墙上的影子长为1米．24.红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用6240元购进甲灯笼与用8400元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元．（1）求甲、乙两种灯笼每对的进价；（2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对．销售部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价为x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元．①求出y与x之间的函数解析式；②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？【答案】（1）甲种灯笼26元，乙种灯笼35元（2）①；②乙种灯笼的销售单价为65元时，一天获得利润最大【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的实际应用：（1）设设每对甲种灯笼的进价x元，每对乙种灯笼的进价元，根据用6240元购进甲灯笼与用8400元购进乙灯笼的数量相同，列分式方程可解；（2）①利用总利润等于每对灯笼的利润乘以卖出的灯笼的实际数量，可以列出函数的解析式；②由函数为开口向下的二次函数，可知有最大值，结合问题的实际意义，可得答案．【小问1详解】解：设每对甲种灯笼的进价x元，每对乙种灯笼的进价元，两边同乘得：，解得：，经检验：为该分式方程的解，且符合题意．答：甲种灯笼26元，乙种灯笼35元；【小问2详解】解：①，故y与x的函数解析式为②，∴函数在对称轴时有最大值．∵销售部门规定其销售单价不高于每对65元，∴乙种灯笼的销售单价为65元时，一天获得利润最大．25.如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接平分，过点C作交的延长线于点E．（1）求证：为的切线．（2）求证：．（3）若，求线段的长．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】【分析】本题主要考查了圆切线的判定、圆周角定理、圆的内接四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．（1）如图：连接，先说明，再说明，进而说明，再根据可得，即可证明结论；（2）先根据平行线的性质和等量代换可得，再根据圆的内接四边形的性质可得，从而得到；（3）由直径所对的圆周角为直角和角平分线的意义可得出是等腰直角三角形，由勾股定理可求出，再由三角形相似求出．【小问1详解】证明：如图：连接．∵平分，∴，∴；∵为直径，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴与相切，即为的切线；【小问2详解】证明：∵，∴，∵，∴；∵四边形为内接四边形，∴，∴，【小问3详解】解：在中，在中，，∵，∴，∴，∴．26.小明和小亮在做传球训练，某同学借做此情境编了一道数学题．在如图的平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m，小明从点处将球传出，其运动路线为抛物线的一部分，小亮在处接住球，然后跳起将球传出，球的运动路线是抛物线的一部分．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的顶点为点，在轴上找一点，求使的值最大的点的坐标；（3）若小明在轴上方2m的高度上，且到点水平距离不超过1m的范围内可以接到球，求符合条件的的整数值．【答案】（1）（2）坐标为（3）符合条件的的整数值为7，8【解析】【分析】（1）利用待定系数法确定函数即可得到答案；（2）根据题意，可得直线与轴的交点就是所求的点，如图所示，求出直线的解析式，得到直线与轴的交点即可得到答案；（3）根据题意，设接球点为点，点坐标为，如图所示，得到，将和代入，得到即可确定答案．【小问1详解】解：点在抛物线上，，解得，抛物线的表达式为；【小问2详解】解