2025年中考数学几何模型归纳训练：三角形中的重要模型之帽子模型、等边截等长与等边内接等边模型解读与提分训练（原卷版）

专题14三角形中的重要模型之帽子模型、等边截等长与等边内接等边模型

等腰（等边）三角形是中学阶段非常重要三角形，具有许多独特的性质和判定定理。中考数学的常客,

并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的相关能力。本专题将把等腰三角形的三类重要模型作系

统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。

例题讲模型

...........................................................................................................................................2

模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（长短手模型）..................................2

模型2.等边截等长模型（定角模型）...................................................5

模型3.等边内接等边..................................................................7

习题练模型］

...........................................................................

例题讲模型I]

模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型(长短手模型)

模型解读

帽子模型，其实是等腰三角形独特性质的应用，因为模型很像帽子，学习知识点的同时也增加了趣味性。

模型证明

条件：如图，已知AB=AC,BD=CE,DG±BC^G,结论：①DF=FE；②BC=2FG。

证明：如图，过点D作。/〃AC交BC于X,则/BHD=/ACH,NDHF=NECF,

'：AB=AC,：.ZB=ZACB,:./B=NBHD,:.BD=DH,'：CE=BD,：.DH=CE,

ZDHF=NECF

在和八ECF中,,NDFH=NEFC,：.^DHFRt^ECF(AAS),DF=EF；

DH=EC

ADHF沿正CF,FH=CF=-CH,VBD=DH,DGLBC,：.BG^GH=-BH,

22

FG=GH+FH=-BH+-CH=-BC,BC=2FG.

222

模型运用

例1.(23-24八年级上•广东中山・期末)如图，44BC中，AB^AC,BC=10,点P从点B出发沿线段

54移动到点A停止，同时点。从点C出发沿AC的延长线移动，并与点P同时停止.已知点P,。移动

的速度相同，连接尸。与线段BC相交于点。(不考虑点尸与点A,8重合时的情况).

(1)求证：AP+AQ=2AB.(2)求证：PD=DQ.(3)如图，过点尸作PEJ_3C于点E,在点P,。移动的过程

中，线段DE的长度是否变化?如果不变，请求出这个长度；如果变化，请说明理由.

AA

例2.（24-25九年级上•山西临汾•阶段练习）综合与探究

问题情境：在VA3c中,AB=AC,在射线A3上截取线段3。，在射线C4上截取线段CE,连结DE,DE

所在直线交直线BC于点M.

猜想判断：（1）当点。在边的延长线上，点E在边AC上时，过点E作防〃A?交2C于点「如图①.若

BD=CE,则线段。欣、9的大小关系为.

深入探究：（2）当点。在边AB的延长线上，点E在边C4的延长线上时，如图②.若BD=CE,判断线段

DM、EM的大小关系，并加以证明.

拓展应用：（3）当点。在边A3上（点。不与A、8重合），点E在边C4的延长线上时，如图③.若3£>=1,

CE=4,DM=0.1,求EM的长.

例3.（2024•贵州铜仁•模拟预测）如图，过边长为6的等边AABC的边AB上一点P,作PEJ_AC于E,。为

延长线上一点，连尸。交AC边于D当以=。。时，的长为（

A.1B.2C.3D.4

例4.（2024・河南•校考一模）问题背景：已知在VABC中，边AB上的动点D由A向B运动（与A,B不重

合），同时点E由点C沿BC的延长线方向运动（E不与C重合），连接DE交AC于点E点H是线段AF上

一点,求赤的值.

（1）初步尝试：如图①，若VABC是等边三角形，DHLAC,且点D、E的运动速度相等，小王同学发现

4c

可以过点D作。G//BC交AC于点G,先证GH=AH,再证Gb=CF,从而求得"的值为

HF

（2）类比探究：如图②，若VA3C中，ZABC=90°,ZADH=ABAC=30°,且点D,E的运动速度之比是

"求落的值;

（3）延伸拓展：如图③，若在VA3C中，AB=AC,ZADH=ABAC=36°,记芸=根，且点D、E的运动

AC

Ar

速度相等’试用含m的代数式表示法的值（直接写出结果’不必写解答过程）.

图②

模型2.等边截等长模型（定角模型）

模型解读

条件：如图，在等边VABC中，点。，E分别在边BC,AC上，且AE=CD,BE与AD相交于点P,BQ±AD

于点。.结论：①AABE丝ACAD；②AD=BE；③NBPD=60°；®BQ=2PQO

模型证明

证明：在等边三角形ABC中，AB=AC,ZBAE=ZC=60°,

AB=AC

在A/WE和ACW中，＜ZBAE=ZC,ACW(SAS),：.AD=BE,ZCAD=ZABE；

AE=CD

ZBPQ=ZABE+ZBAP=ZCAD+ZBAP=ZBAE=60°.

BQVAD,：,ZPBQ=30°,：.BQ=2PQ.

模型运用

例1.（2024・四川宜宾・中考真题）如图，点。、E分别是等边三角形ABC边8C、AC上的点，且3。=宜,

BE与AD交于点F.求证：AD=BE.

A

E

F

C

BD

例2.（2024八年级•重庆・培优）如图，AABC为等边三角形，且=与相交于点P,则NAPN

().

A.等于70。B.等于60。C.等于50°D,大小不确定

例3.（23-24八年级•广东中山•期中）如图，在等边VABC中，点。、E分别在边3C、AC上，且AE=CD,

的与AD相交于点P,于点。.⑴求证：BE=AD；（2）若尸。=4,求3尸的长.

例4.（2023•浙江杭州•模拟预测）如图，在等边三角形A3C的AC,3C边上各取一点P,Q（均不与端点

重合），且AP=C。，AQ,3P相交于点。，下列结论不正确的是（）

A.ZAOB=120°B.AP2=POPB

C.若4B=8,BP=1,则E4=3D.若PC=mAP,BO=nOP,则〃=加+加

模型3.等边内接等边

模型解读

模型证明

1）等边内接等边（截取型）

条件：如图1,等边三角形A8C中，点。，E,尸分别在边AB,BC,CA上运动，且满足

结论：三角形。E尸也是等边三角形。

证明：：A4BC是等边三角形，.•./A=/3=/C=60。，AB^BC=AC.

VAD=BE=CF,AAF=BD=CE.

AF=BD,

在AADF和&BED中，＜ZA=ZB,：.^ADF^BED（SAS）,

AD=BE,

：.DF=DE.同理ZZF=£F,:.DF=DE=EF,ADEF是等边三角形.

2）等边内接等边（垂线型）

条件：如图，点尸、M、N分别在等边VABC的各边上，且MP_LAB于点尸，MW_L3c于点M,PNLAC

于点N,结论：三角形OEF也是等边三角形。

证明：AABC是等边三角形，.•.//1=ZB=NC=60。，

-.-MP1AB,NM1.BC,PN±AC,ZMPB=ZNMC=ZPNA=90°,

ZPMB=ZMNC=ZAPN=30°,ZNPM=APMN=ZMNP=60°,.•.△PMN是等边三角形，

模型运用

例1.（2024七年级下•成都•专题练习）如图，过等边三角形AABC的顶点A、B、C依次作A3、BC、AC

的垂线MG、MN、NG,三条垂线围成△脑VG,若AM=2,则AMNG的周长为（）

A.12B.18C.20D.24

例2.（24-25九年级上•四川成都•阶段练习）如图，已知等边三角形ABC,点，，P2,E分别为边ARBC,CA

上的黄金分割点（A片<3片，BP2<CP2,CPi<AP｝）,连接4G，P2P3,片鸟，我们称鸟鸟为VABC的“内

含黄金三角形”,若在VA3C中任意取点，则该点落在“内含黄金三角形”中的概率是.

例3.（23-24八年级下.广东云浮.期中）如图，点、P,M,N分别在等边三角形ABC的各边上，且

于点尸，NM1BC于袅M,尸NLAC于点N.⑴求证：APAW是等边三角形；（2）若AB=15cm,求3P的

长.

例4.（2023广西中考真题）如图，AABC是边长为4的等边三角形，点DE,尸分别在边A3,BC,CA

上运动，满足AD=3E=CF.（1）求证：AAD尸与力ED；（2）设AD的长为x,ADEF的面积为》求y关于

尤的函数解析式；（3）结合（2）所得的函数，描述ADE尸的面积随AD的增大如何变化.

c

E

A

习题练模型

1.（23-24九年级上•山西晋中•阶段练习）如图，VABC是等边三角形，点，£分别在BC,AC上，且

BD:DC=2:1,CE;AE=2;1,BE与AD相交于点R则下列结论：①NAFE=60。，®CE2=DFDA,

③AQ3E=AE-AC.其中正确的有（）

A.3个B.2个C.1个D.0个

2.（2024广东九年级二模）如图，在等边三角形A2C中，点P,Q分别是AC,BC边上的动点（都不与线

段端点重合），MAP=CQ,A。、8尸相交于点。.下列四个结论：①若PC=2AP,贝。8。=60尸；②若BC=8,

BP”则PC=5；®AP2=OPAQ；④若AB=3,则OC的最小值为石，其中正确的是（）

A.①③④B.①②④C.②③④D.①②③

3.（2024・广西・一模）如图，在等边AABC中，钻=3,点。，E分别在边8C,AC上，S.BD=CE,连接

AD,BE交于点F,在点。从点B运动到点C的过程中，图中阴影部分的面积的最小值为（）

A

1

D.

cI3

4.（23-24八年级上.黑龙江哈尔滨•阶段练习）如图，在VABC中，NACB=90。,AC=,点P在边AB上,

点。在边AC上，连接。尸并延长。尸交CB的延长线于点E,连接CF,且b=ED,过点A作AGLCV于

点G,AG交£«于点K,过点B作交CP的延长线于点〃，以下四个结论中:

®AG=CH-②AD=BE；③当NBG"=45。时，2BH-EF=FG-®ZCAG=ZCEF.正确的有（）

个.

C.3D.4

5.（2023•福建莆田•一模）如图，AABC和ABDE都是等边三角形，将先向右平移得到AG/H,再绕

顶点G逆时针旋转使得点“分别在边A8和AC上.现给出以下两个结论：①仅已知AABC的周长，就

可求五边形DECHF的周长；②仅已知AAM的面积，就可求五边形的面积.下列说法正确的是（）

A.①正确，②错误B.①错误，②正确C.①②均正确D.①②均错误

6.（23-24九年级上•北京昌平・期末）如图，VABC是等边三角形分别是AC,2C边上的点，且AD=CE,

连接8。，AE相交于点E则下列说法正确的是（）

A

D

BEC

AT）1AF1

①乌△C4E；②N3FE=60°；③AAFBsAADF；④若一=—，则——=-

AC3BF2

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

7.（23-24九年级上.四川达州.期末）如图，A4BC是等边三角形，点RE分别在边BC,AC上，且5D=CE,AD

与班相交于点尸.若AF=7,DF=1,贝的边长等于（）

A.回一垃B.758-72C.屈+^D.757+72

8.（23-24八年级上•湖南长沙•阶段练习）如图所示，过等边VA3C的顶点A,B,C依次作AB,BC,C4的

垂线MGMN,NG,三条垂线围成AAWG,已知CG=4cm,贝履MNG的周长是cm.

9.（23-24天津九年级上期中）如图，点。,E,厂分别在正三角形ABC的三边上，且ADEF也是正三角形.若

AA3C的边长为。，ADEF的边长为6，则AAEF的内切圆半径为.

A

10.（2024・甘肃金昌•模拟预测）如图，在等腰直角VABC中，NA=9（T,A8=AC=4&,E为A3的中点，F

为AC上一点，连接跖并延长,交品的延长线于点。’若"=卜3’则小的长为一

11.（23-24八年级上.江苏扬州.阶段练习）如图，过边长为。的等边VABC的边上一点P,作尸ELAC于

E,。为BC延长线上一点，当尸A=C。时，连PQ交AC边于。，则。E的长为.

12.（2023浙江中考一模）如图，在等边三角形ABC的AC,BC边上各取一点P,Q,使AP=CQ,AQ,BP

相交于点。.若BO=6,PO=2,则AP的长，A。的长分别为.

13.（23-24八年级上.上海浦东新•期末）如图，在等边VA3C的AC,BC上各取一点。，E,使AD=CE,

AE,3。相交于点过点B作直线AE的垂线垂足为"若BE=2EC=4,则MX的长为.

A

14.（2023•辽宁鞍山•一模）如图，在三角形ABC中，AB=AC,/BAC=60。，AD=CE,AE与8。相交

于点F,若防=4,则E到防的距离为.

15.（23-24九年级下•河南商丘•阶段练习）【问题提出】

数学课上，老师给出了这样一道题目：如图1,在等边三角形ABC中，点。，E分别在AC,3c边上，AE,

BD交于点、F,且AD=CE.

（1）线段AE,8。的数量关系为,N3FE的度数为.

【类比探究】老师继续提出问题，若改变VABC的形状，（1）中的结论是否仍然成立呢？

同学们根据老师的提问画出图形，如图2,VABC是等腰直角三角形，ZABC=90°,点、D,E分别在AC,

BC边上，AE,BD交于点F,同学们发现，想要类比（1）中的探究过程得出结论，还需要确定线段AD,

CE的数量关系.

（2）请先将条件补充完整：线段AD,CE的数量关系为；再根据图2写出线段AE,8。的数量关

系和®E的度数，并说明理由.

【拓展探究】（3）如图3,VABC是等腰直角三角形，AB=4,若点。沿AC边上一动点，点E是射线CB上

一动点，直线AE,BD交于点F,在（2）的条件下，当动点。沿AC边从点A移动到点C（与点C重合）

时，请直接写出运动过程中CP长的最大值和最小值.

16.(2023•浙江杭州•二模)如图，在等边三角形ABC中，点。，E分别是边BC,C4上的点，且比＞=CE,

连结AD,BE交于点P.(1)求证：AABE%CAD；(2)连接CP,若CPLAP时，①求的值；

②设VABC的面积为跖，四边形CDPE的面积为S?,求包的值.

51

17.(23-24九年级下•上海宝山•阶段练习)如图(1),已知AABC是等边三角形，点。、E、尸分别在边AB、

BC、C4上，且N1=N2=N3.(1)试说明zXDEb是等边三角形的理由.

(2)分别连接跳；DC,3尸与。C相交于。点(如图(2)),求/5OD的大小.

⑶将△。口绕E点顺时针方向旋转60。得到图(3),”与BC平行吗？说明理由.

图⑴图⑵图⑶

18.（23-24八年级下•辽宁沈阳•开学考试）VABC中（AB>AC）,点。是BC边中点，过点。的直线交边

于点M,交AC边的延长线于点M且AM=4V.（1）如图①，当ZBAC=60。时，求证：DN—DM=CN；

（2）如图②，当NB4C=90。时，请直接写出线段DN,DM,CN的数量关系.

19.（2024•广西南宁•模拟预测）如图，"LBC是边长为2的等边三角形，点、D,E,P分别在边AB,BC,CA

上运动，满足AD=3E=b.（1）求证：尸珏3£E）;（2）设AO的长为x,ADE产的面积为》求y关于

尤的函数解析式；（3）结合（2）所得的函数，描述△/）环的面积随AD的增大如何变化.

20.（23-24山东八年级上期中）问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题:

(4)

①如图(1),在正44BC中，M、N分别是AC、4B上的点，3M与CN相交于点。，若NBON=60。，则

=CN；②如图(2),在正方形ABC。中，M、N分别是C。、上的点，与CN相交于点。，若NB0N

=90°,则创/=CN.

然后运用类似的思想提出了如下命题：③如图(3),在正五边形A8CDE中，M、N分别是DE上的点，

与CN相交于点O,若/BON=108。，则BM=CN.

任务要求：(1)请你从①②③三个命题中选择一个进行证明；(2)请你继续完成下面的探索；

①在正〃(n>3)边形ABCDEK..中，M、N分别是CZA上的点，与CN相交于点O,试问当NBON

等于多少度时，结论BM=CN成立(不要求证明)；

②如图(4),在正五边形A2CDE中，M.N分别是AE上的点，与CN相交于点O,/BON=108°

时，试问结论BM=CN是否成立.若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.

21.(23-24九年级•四川绵阳•期末)小明在学习过程中，对教材的一个习题做如下探究:

【习题回顾】：如图，在等边三角形A3c的AC、3C边上各取一点P,。使AP=CQ,AQ,BP相交于点O,

求N3OQ的度数.请你解答该习题.

【拓展延伸】：（1）如图1,在等腰Rt^ABC的AC,3c边上各取一点尸，Q,使AP=CQ,3尸平分/ABC,

AQ=①,ZBAC=90°,求解的长.小明的思路：过点A作AG/BC交延长线于点G,证明

XAQC0XGPA,…

Afi1

(2)如图2,在RtaABC的AC,3c边上各取一点P、Q,使CQ=2AP,BP平分/ABC,—

ACL

ABAC^90°,求AQ,8P的数量关系，请你解答小明提出的问题.

22.（23-24八年级上•福建福州•阶段练习）如图：VABC是边长为6的等边三角形，尸是AC边上一动点，

由点A向点C运动（尸与点A、C不重合），点。同时以点尸相同的速度，由点B向CB延长线方向运动（点

。不与点B重合），过点尸作尸ELAB于点E,连接尸。交A3于点。.

A

（1）若设AP的长为x,则PC=,QC=；

（2）当/3QD=30。时，求AP的长；（3）点尸，。在运动过程中，线段即的长是否发生变化？请说明理由.

23.（2023•河南开封•一模）教材呈现：如下为华师版八年