2025年中考数学几何模型归纳训练：三角形中的倒角模型之平行线+拐点模型解读与提分训练

专题06三角形中的倒角模型之平行线+拐点模型

近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和

定理、外角定理等）。平行线+拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的

一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线+拐点模型（猪蹄模型（加

型）、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，

这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。

通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化。

目录导航一

例题讲模型

模型L猪蹄模型（M型与锯齿型）............................................................2

模型2.铅笔头模型............................................................................5

模型3.牛角模型..............................................................................7

模型4.羊角模型.............................................................................10

模型5.蛇形模型（“5”字模型）...............................................................12

习题练模型'

.......................................................................................................................................................14

例题讲模型］

模型1.猪蹄模型（V型与锯齿型）

模型解读

先说说这个名字的由来，为什么叫猪蹄模型呢？因为它长得像猪蹄，也有叫M模型或锯齿模型的，都是根

据外形来取的，只要你喜欢，叫什么都无所谓，掌握其中的核心才是关键。。

①注意：拐角为左右依次排列；②若出现不是依次排列的，应进行拆分。

模型证明

条件：如图1,①已知：AM//BN,结论：ZAPB=ZA+ZB-,②条件：ZAPB=ZA+ZB,结论：AM//BN.

证明：如图1,过点尸作

,JPQ//AM,AM//BN,J.PQ//AM//BN,：.ZA=ZAPQ,ZB=ZBPQ,

：.ZA+ZB=ZAPQ+ZBPQ=ZAPB,即：ZAPB=ZA+ZB.

条件：如图2,已知：AM//BN,结论：ZPI+ZP3=ZA+ZB+ZP2.

证明：根据图1中结论可得，ZA+ZB+ZP2=ZPi+ZPj,

条件:如图3,已知：AM//BN,结论：ZP1+ZP3+...+ZP2n+l=ZA+ZB+ZP2+...+ZP2n.

证明：由图2的规律得，ZA+ZB+ZP2+...+P2n=ZPi+ZP3+ZP5+...+ZP2ll+l

模型运用

例1.（2024•山西・二模）如图是一种卫星接收天线的轴截面示意图，卫星波束与DC平行射入接收天线,

经反射聚集到焦点。处，若NABO=38°,/OCO=45。，则NBOC的度数为（）

A.90°B.83°C.76°D.73°

例2.（2024九年级下•辽宁•学业考试）如图，AB〃C。，&石=斯,乙4=25。,/跖。=130。，则/C的度

例3.（2023春・河南驻马店•九年级专题练习）已知A5〃C。，ZEAF=^ZEAB,NECF=；NECD,若

ZE=66°,则4F为（）

A.23°B.33°C.44°D.46°

例4.（2023・广东深圳•校联考模拟预测）北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们

青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进

滑雪场的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺

直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB//CD,当人脚与地面的夹角

NCDE=60。时，求出此时上身A3与水平线的夹角NBAb的度数为（）

A.60°B.45°C.50°D.55°

例5.（23-24七年级下.广东云浮.期末）小明学习了角平分线的定义以及平行线的判定与性质的相关知识后，

对角之间的关系进行了拓展探究.如图，直线AB〃CD,直线AC是直线AB,CD的第三条截线，AK,CK

分别是NA4C,/OC4的平分线，并且相交于点K.

问题解决：（1）ZBAC,NDC4的平分线AK,CK所夹的/K的度数为；

问题探究：（2）如图2,ZBAK,NOCK的平分线相交于点K-请写出/AKC与NA7Q之间的等量关系，

并说明理由；

拓展延伸：（3）在图3中作/BA£,ADCK｛的平分线相交于点K,作NBAK?,ZDCK2的平分线相交于点

K3,依此类推，作/54（必，NOCK2023的平分线相交于点K2024,求出/（。24的度数.

例6.（2024・上海•八年级校考期中）已知,直线（1）如图（1）,点G为A3、CD间的一点,

联结AG、CG.若NA=140。，ZC=150°,则/AGC的度数是多少？

（2）如图（2）,点、G为AB、C。间的一点，联结AG、CG.ZA=x°,ZC=y°,则NAGC的度数是多少？

（3）如图（3）,写出/BAE、ZAEF,/EFG、NFGC、NGCD之间有何关系？直接写出结论.

D

D

⑴Q)

(3)

模型2.铅笔头模型（子弹模型）

模型解读

因为它长得像铅笔头或，也有叫子弹模型的，都是根据外形来取的，叫什么都无所谓，掌握其中的核心才

是关键。

①注意拐角朝同一方向②若出现拐角不朝同一方向的，应进行拆分.

模型证明

图1图2图3

条件：如图1,已知：AM//BN,结论：Z7+Z2+Z3=360°；（该结论和条件互换结果任然成立）。

证明：在图2中，过尸作AM的平行线PF,CAB//CD,J.PF//CD,

.*.Z1+ZAPF=18O°,Z3+ZCPF=180°,AZl+Z2+Z3=360°；

条件：如图2,已知：AM//BN,结论：Z1+Z2+Z3+Z4=54Q°

证明：在图2中，过P作AM的平行线BE,过点P2作AM的平行线P2R

'：AB//CD,：.PxE//BN//P2F,/.Zl+ZAPi£=180°,/尸2尸1£+/尸上2尸=180°,ZFP2B+Z4=180°,

Nl+/2+N3+N4=540°；

条件：如图3,已知：AM//BN,结论：Zl+Z2+...+Zn=（«-1）180°.

证明：在图3中，过各角的顶点依次作A8的平行线，

根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：Z1+Z2+Z3+...+ZM=（«-1）180°.

模型运用

例1.（2024・辽宁•模拟预测）如图，平行于主光轴的光线A8和8经过凸透镜的折射后，折射光线BE

和折射光线DP交主光轴于点P,若40E=155。，ZCDF=160°,贝°.

例2.（2024・陕西咸阳•模拟预测）如图，直线4〃/2〃/3，Nl=25°,/ABC=73。，则N2的度数为（）

A.142°B.140°C.138°D.132°

例3.（2023下•江苏南通•七年级统考期末）如图，直线A2〃C。，点E,尸分别是直线上的两点,

点尸在直线AB和C。之间，连接和NPED的平分线交于点。，下列等式正确的是（）

A.ZP+2Z2=360°B,2NP+NQ=360°C,/。=2/尸D.ZP+Z2=180°

例4.（2023上•广东广州•八年级校考开学考试）如图①所示，四边形肱VBD为一张长方形纸片.如图②所

示,将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（NBAE、/AEC、NECD）,则ZBAE+ZAEC+ZECD=（度）；

（1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（NBAE、NAEF、/EF、NFCD），则

ZBAE+ZAEF+ZEFC+ZFCD=（度）；

（2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（NBAE、ZAEF./EFG、NFGC、NGCD）,

贝！I/B4E+/AE尸+，砂G+/FGC+/GCD=（度）；

（3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪〃刀，剪出"+1个角，那么这”+1个角的和是（度）.

---------------------

MD

图①

例5.（2023下•江苏南京•七年级统考期中）从特殊到一般是数学研究的常用方法，有助于我们发现规律,

探索问题的解.

⑴如图1,AB〃CD,点、E为AB、CO之间的一点.求证：Zl+ZMEN+Z2=360°.

(2)如图2,AB//CD,点E、F、G、H为AB、C。之间的四点.则Nl+N2+N3+/4+/5+N6=

⑶如图3,AB//CD,则4+N2+N3+…+4=

模型3.牛角模型

模型解读

因为它长得像犀牛角，故取名牛角模型。

模型证明

条件：如图1,已知：AB//CD,且4ABE=§,/CDE=y,结论：/3=a+y.

证明：如图，延长A2交。£于点R'：AB//CD,:.NBFE=NCDF=y,

,.•/48万=/8尸石+/£(外角定理)，；.NABE=NCDF+NE,.,./?=«+/；

条件：如图2,已知：AB//CD,且ZABE=p,ZCDE=y,结论：/?=a+1800-/.

证明：如图，延长A8交。E于点孔

'：AB//CD,：.ZBFD=ZCDF=/,ZBFE=180°-ZBFr>=180°-7,

•.•/485=/£+/8陛（外角定理），AZABE=ZE+1SO°-ZBFD,.\/?=（z+180°-/；

模型运用

例1.（2024・山西.模拟预测）抖空竹是一种传统杂技节目，是国家级非物质文化遗产之一.如图1是某同

学“抖空竹”的一个瞬间，若将其抽象成图2的数学问题：在平面内，已知AB〃CD,ZEBA=80°,ZE=25°,

C.105°D.95°

例2.（2023•安徽滁州•校联考二模）如图，若AB“CD,则（）

A.Z1=Z2+Z3B.Zl+/3=/2C.Zl+Z2+Z3=180°D.Zl-Z2+Z3=180°

例3.（2022・湖北洪山•七年级期中）如图，已知4B〃C。，尸为直线48,CD外一点，8尸平分/ABP,DE

平分/CDP,8尸的反向延长线交。E于点E,若试用。表示NP为.

例4.（2023春・广东深圳•九年级校校考期中）已知直线AB〃C£>,点尸为直线AB,所确定的平面内

的一点，（1）问题提出：如图1,ZA=120°,ZC=130°.求/APC的度数：

（2）问题迁移：如图2,写出/"C,24,/C之间的数量关系，并说明理由：

（3）问题应用：如图3,ZEAH:ZHAB=1:3,ZECH=20°,ZDCH=60°,求空的值.

E

H

图3

例5.（2023下•辽宁大连•七年级统考期末）如图，AABE+ABED=ZCDE.

（1）如图1,求证AB〃CD；（2）如图2,点尸在AB上，NCDP=/EDP,3/平分/WE,交PD于点、F,探

究4EP,NBED的数量关系，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，如图3,尸。交ED延长线于点

Q，NDPQ=2NAPQ,ZPQD=8O°,求NCDE的度数.

模型4.羊角模型

模型解读

因长像酷似山羊角，故取名羊角模型。

模型证明

条件：如图1,已知：AB//DE,且/C=a,ZB=/3,/D=y,结论：/=«+/7.

证明：\'AB//DE,：.AAFC=AD=y,

•.,/AFC=/B+/C(外角定理)，；./D=/B+NC,：./=a+j3；

条件：如图2,已知：AB//DE,且NC=a,ZB=/3,/£>=7,结论：180。一7=々+尸.

证明：'：AB//CD,：.ZBFZ)+ZZ)=180°AZBFD=180°-ZD=180°-7,

,.,/8F£)=NB+NC(外角定理)，.,.180o-Z£)=ZB+ZC,/.180°-/=«+/?；

模型运用

例1.（2024.重庆江津.模拟预测）如图，已知NCDE=110。，如果AC〃。石，AC=BC,那么25的度数

为一

，2

ED

例2.（2024•山东济南・中考真题）如图，已知VABC是等腰直角三角形，N54c=90。，顶点分

别在4,4上，当/1=70。时，Z2=.

例3.（2023・河南・统考三模）如图，已知ZA5C=150°,NCDE=75。，则/BCD的度数为（）

C

A.55°B.60°C.45°D.50°

例4.（23-24七年级下•湖北武汉・期末）如图，AB//CD,的角平分线交N//CD的角平分线的反

向延长线于点P,直线PB交CD于点N,若NHCD—2NBNC=24°,贝|/尸+"=°

D

例5.（2023七年级下•江苏・专题练习）已知AB〃MV.

（1）如图1,求证：ZN+ZE=ZB-,

⑵若尸为直线MN、A3之间的一点，ZE=^ZEFB,BG平分ZABF交MN于点、G,EF交MN于点、C.

①如图2,若NN=57。，且BG〃EN,求々的度数；②如图3,若点K在射线BG上，且满足

NKNM=±NENM,若ZNKB=NEFB,NE=NFBD,直接写出IE的度数.

4

模型5.蛇形模型（“5”字模型）

模型解读

因模型像一条弯曲的水蛇，故取名蛇形模型。

模型证明

图1图2

条件：如图1,已知：AB//DE,NC=a,/B=(3,/D=y,结论：。+7=万+180°.

证明：在图2中，过C作的平行线CF,

,JAB//DE,J.CF//DE,：.ZFCD+180°,：.ZBCF+ZFCD+ZD=ZB+18Q0,

：.ZBCD+ZD=ZB+18Q0,.*.«+/=/7+18O°.

条件：如图2,已知：AB//DE,NC=a,/B=/3,/D=y,结论：a=7+180°-尸.

证明：在图2中，过C作A2的平行线CP,.\ZB+ZBCF=180°,

'：AB//DE,J.CF//DE,：.ZFCD=ZD,：.ZB+ZBCF+ZFCD=ZD+1800,

AZBCD+ZD=ZB+18Q0,.*.«+/=/7+18O°.

模型运用

例1.（2023・四川广元•统考三模）珠江流域某江段江水流向经过3、C、。三点，拐弯后与原来方向相同,

如图，若NABC=120。，ZBCD=80°,则NCDE等于（）

A.50°B.40°C.30°D.20°

例2.（23-24七年级下•辽宁葫芦岛•期末）如图，AB//CD,/DCE的角平分线CG的反向延长线和

的角平分线跖交于点RNE-NF=66°,则/E=

例3.（23-24七年级下•湖北鄂州•期中）如图，已知点A,C,8不在同一条直线上，AD//BE.

（1）求证/3+/。—乙4=180。；（2）如图2,A",BQ分别为三等分/ZMC'/EBC所在直线，ZDAH=^ZDAC,

NEBQ=|NEBC,试探究/c与/AQB的数量关系；（3）如图3,在（2）的前提下，且有AC〃。当直线A。、

3c交于点P,ZAPC=60°,请直接写出"AC:NACB:NCBE=.

例4.（23-24七年级下•广东广州・期末）如图1,ZACB=90°,MA//BN.

（1）①如果/MAC=30。，求/CBN的度数；②设NMAC=。，NCBN=/3,直接写出a、夕之间的数量关

系：；（2）如图2,NM4C、NCBN的角平分线交于点尸，当4c的度数发生变化时，^APB

的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出/AP3的度数；

⑶在（2）的条件下，若/M4c=40°,点E为射线BN上的一个动点，过点E作砂〃3c交直线AP于点厂,

连接EP.已知NEE尸=10。，求NBPE的度数.

习题练模型

1.（2023・湖南长沙•九年级校联考期中）如图，若AB〃CD,Na=65。，々=25。，则4的度数是（）

A.115°B.130°C.140°D.150°

2.（2023・山西吕梁•校联考模拟预测）如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行•若

)

C.150°D.162°

直线AB〃CD.若/EDC=2NE,NABC=60。，则N£=()

A.10°B.15°C.20°D.30°

4.（2024.广东深圳.模拟预测）抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一.明代《帝京

景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的

历史至少在600年以上.如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：AB//CD,

ZBAE=94°,ZDCE=122°,则/£1的度数为（）

A

A.28°B.38°C.18°D.25°

5.（2023・广东佛山•模拟预测）如图，若AB〃CD,CD//EF,Nl=30。，N2=130。，那么NBCE的度数为

()

A.160°B.100°C.90°D.80°

6.（24-25九年级上•湖北•课后作业）①如图①，AB//CD,则NA+NC=N上;

②如图②，AB//CD,则NP=NA—NC；③如图③，AB//CD,则4=NA+N1；

④如图④，直线AB〃CD〃£F,点0在直线斯上，则为-"+々=180。.以上结论正确的是（）

图①图②图③图④

A.①②③④B.③④C.①②④D.②③④

7.（2024•江苏徐州•模拟预测）如图，是某款婴儿车的几何示意图，若AT）〃3C,Zl=125°,Z3=40°,

则/2的度数是'

8.（23-24七年级下•浙江杭州•期中）如图，AB//CD,NQCE的角平分线CG的反向延长线和—ABE的角

平分线即交于点尸，NE-NF=6竽,则NE=.

9.（23-24七年级下•江苏无锡・期中）如图，AB//CD,尸为A3上方一点，E、尸分别为A3、CD上的点,

NPEB、NPFD的角平分线交于点。，/PFC的角平分线与QE的延长线交于点G,若NPFD=76。，

NG=68。，则NGEP的度数等于.

10.（2023・江苏•八年级假期作业）如图，两直线A3、8平行，则/l+/2+N3+/4+N5+N6=.

11.（2023•内蒙古鄂尔多斯•七年级校考期中）问题探究：如下面四个图形中，AB//CD.

（1）分别说出图1、图2、图3、图4中，/I与N2、/3三者之间的关系.

（2）请你从中佳选下个加以说明理由.

解决问题：（3）如图5所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于。点的灯泡发出两束光线02、0c经灯碗

反射后平行射出.如果NABO=57。，/。。。=44。，那么NBOC=°.

12.（2023春•湖北黄冈•七年级校考期中）如图，己知：点A、C、B不在同一条直线，AD//BE

图①图②图③

（1）求证：ZB+ZC-ZA=18O°：（2）如图②，AQ.BQ分别为NR4C、NEBC的平分线所在直线，试探究NC

与/4Q8的数量关系；（3）如图③，在（2）的前提下，且有AC〃QB,直线A。、BC交于点P,QP1PB,

直接写出NA4C：ZACB：NCBE=.

13.（24-25七年级上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）已知：AB〃CD,点E在CD上，点G、歹在48上，点H

在48、C。之间，连接fE、EH、HG,ZAGH=ZFED,FEI.HE,垂足为点E.

⑴如图1,求N£HG的度数；（2）如图2,GM平分NHGB,EM平分ZHED,GM、EM交于点、M,求NM

的度数；（3）如图3,在（2）的条件下，FK平分/AFE交CD于点、K,若NKFE：ZMGH=23:13,FK与ME

所在直线交于点2,若射线。尸从射线Q尸的位置开始绕着点2逆时针以每秒5。的速度进行旋转，射线。尸交

直线8于点P,旋转时间为t秒，当/为何值时，。尸第一次与G”平行？并求此时NFQE的度数.

图1图2图3

14.（24-25八年级上•四川泸州•开学考试）（1）如图1,已知AB〃CD,ZBAP=40°,ZPCD=30°,则

求—APC的度数；（2）如图2,在（1）的条件下，A〃平分44P,CM平分/PCD,则NAWC的度数.

（3）如图2,已知AB〃CD,AM平分ZBAP,CN平分NPCD,•当点尸、M在直线AC同侧时，直接

写出NAPC与/40C的数量关系：_

（4）如图3,已知"〃CD,AM平分NfiAP,CM平分/PCD.当点尸、M在直线AC异侧时，直接写

出NAPC与/4WC的数量关系：_

图1图2图3

15.（23-24七年级下•河北邯郸•期中）已知,直线AB〃CD,点P为平面上一点，连接收与CP.

（1）如图1,点尸在直线45、CD之间，当NBAP=60。，N£>CP=20。时，求NAPC的度数.

（2）如图2,点P在直线AB、CD之间，44P与/DCP的角平分线相交于点K,写出NAKC与1APC之间

的数量关系，并说明理由.（3）如图3,点P落在CD下方，N&LP与/QCP的角平分线相交于点K,请直接

写出ZAKC与ZAPC的数量关系.

16.（23-24七年级下•湖北武汉•期中）AB〃CD,点、E、尸分别在A3、CD上；点。在直线AB、C。之间,

且NEO尸=80。（1）如图1,①若NOPC=20。，求ZAEO的度数；

②若ZOFC=a,请你直接写出ZOFC+ZAEO=；

（2）如图2,直线MN分别交/BE。、NOPC的角平分线于点M、N,求NEW-/RW0的值

（3）如图3,EG在AAEO内，ZAEG=m/OEG；FH在NDFO内，ZDFH=mAOFH，直线跖V分别交EG、

FH分别于点M、N,且ZFMN-ZENM=80°,直接写出m的值

17.（23-24七年级下•辽宁大连・期末）【问题初探】（1）数学活动课上，李老师和同学们共同探究平行线

的作用.李老师给出如下问题：AB〃CD,点、P为CD下方一点,连接PAPC,得到-APC,试探究-APC

与/PAS,/PCD的数量关系.（1）小红的做法是：如图2,过点尸作〃0〃AB.

（2）小明的做法是：如图3,设交CD于点E,过点E作〃尸C.

请你选择一名同学的做法，写出证明过程.

AV------B-------B-----------B

pM------p、PF

图1图2图3

【归纳总结】（2）李老师和同学们发现，在解决题目的过程中，都运用了作平行线的方法，平行线起到了

构造等角的作用.为了帮助学生更好的体会平行线的作用，李老师提出了下面问题，请你解答.

如图4,直线AB〃CD,点E在AB,CO之间，点P在CD下方，连PM,PN.延长PN至£/即必和/RVO

的角平分线相交于点E.探究/MEN与Z7WPN的数量关系；

【学以致用】（3）如图5,和/印五）的角平分线相交于点E.作MP平分^AMH,NQ//MP交ME1的

延长线于点。，若NH=130。，求NENQ的度数.

,M八

A------------------------BM

w

图4图5

18.（22-23七年级下•湖北武汉•阶段练习）【问题背景】如图1,AB//CD,点P,。位于AC两侧，连接

AP,CP,AQ,CQ,直接写出①ZBAP,ZAPC,NPCD的数量关系为；@ZBAQ,ZAQC,ZQCD

的数量关系为

【尝试应用】如图2,在（1）的条件下，作NQAP,NQC尸的角平分线交于点加，若立尸与NQ互补，试

写出/。与N4WC的数量关系，并证明：（【问题背景】中相关结论可以直接使用）

【拓展创新】如图3,/山〃口），点加,双位于4（7左侧,作/90,NNCD的角平分线交于点P,PC〃AM；

若ZAMN+ZMNC=280°，直接写出NAPC的度数是

图2图3

19.（23-24七年级下•重庆•期中）已知点A,B,C不在同一条直线上，AD//BE.

图②图③

（1）如图①，求证:ZACB=ZA+180°-ZB；（2）如图②，AQ,2。分别为—DAC,/EBC的角平分线所在

的直线，NAQB=29。，求-ACS的度数.（3）如图③，AQ,8。分别为NZMC,NEBC的角平分线所在的

直线，延长BC交直线A。于点P,且AC〃Q8,QP1PB,直接写出NAC3:NZMP的值为

20.（23-24七年级下•湖北武汉•期中）【问题原型】如图①和②，AB〃CZ）,点M在如图所在位置，请分

别写出图①和②中41、/B、ZO之间的关系并选择一个结论进行证明；

【推广应用】（1）如图，AB//CD,邻补角的平分线BN与NCDM的角平分线相交于点N,试探究

ZM./N的数量关系并写出证明过程;

(2)如图，AB//CD,N4BG和NCDE的三等分角线交于点M,ZG=64°,ZF=64°,ZE=78°,求NM

的度数.

AB

G

MF

E

CD

专题06三角形中的倒角模型之平行线+拐点模型

近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和

定理、外角定理等）。平行线+拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的

一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线+拐点模型（猪蹄模型（加

型）、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，

这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。

通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化。

目录导航一

例题讲模型

模型L猪蹄模型（M型与锯齿型）............................................................2

模型2.铅笔头模型............................................................................5

模型3.牛角模型..............................................................................7

模型4.羊角模型.............................................................................10

模型5.蛇形模型（“5”字模型）...............................................................12

习题练模型'

.......................................................................................................................................................14

例题讲模型］

模型1.猪蹄模型（V型与锯齿型）

模型解读

先说说这个名字的由来，为什么叫猪蹄模型呢？因为它长得像猪蹄，也有叫M模型或锯齿模型的，都是根

据外形来取的，只要你喜欢，叫什么都无所谓，掌握其中的核心才是关键。。

①注意：拐角为左右依次排列；②若出现不是依次排列的，应进行拆分。

模型证明

条件：如图1,①已知：AM//BN,结论：ZAPB=ZA+ZB-,②条件：ZAPB=ZA+ZB,结论：AM//BN.

证明：如图1,过点尸作

,JPQ//AM,AM//BN,J.PQ//AM//BN,：.ZA=ZAPQ,ZB=ZBPQ,

：.ZA+ZB=ZAPQ+ZBPQ=ZAPB,即：ZAPB=ZA+ZB.

条件：如图2,已知：AM//BN,结论：ZPI+ZP3=ZA+ZB+ZP2.

证明：根据图1中结论可得，ZA+ZB+ZP2=ZPi+ZPj,

条件:如图3,已知：AM//BN,结论：ZP1+ZP3+...+ZP2n+l=ZA+ZB+ZP2+...+ZP2n.

证明：由图2的规律得，ZA+ZB+ZP2+...+P2n=ZPi+ZP3+ZP5+...+ZP2ll+l

模型运用

例1.（2024•山西・二模）如图是一种卫星接收天线的轴截面示意图，卫星波束与DC平行射入接收天线,

经反射聚集到焦点。处，若NABO=38°,/DCO=45。,则NBOC的度数为（）

A.90°B.83°C.76°D.73°

【答案】B

【分析】本题考查了利用平行线的性质求角的度数，作OE4/6,则NBOE=NABO=38。，结合得出

AB//CD,推出NCOE=/DCO=45。，最后由=,即可得解.

【详解】解：如图，作OE〃四，则4QE=NABO=38。，

•••AB//CD,OE\\CD,Z.COE=NDCO=45°,

ZBOC=ABOE+ZCOE=38°+45°=83°,故选：B.

例2.（2024九年级下•辽宁•学业考试）如图，AB〃CD,4石=所,44=25。,/£79=130。，则/C的度

【答案】80。/80度

【分析】本题考查了平行线的性质、等边对等角等知识点，作G尸〃CD可得钻〃G尸〃CD；根据

ZAFC=ZAFG+2CFG=ZA+NC即可求解.

【详解】解：作■GF〃CD,如图所示：，AB〃G歹〃CD

AE=EF,：.ZEFA=ZA=25°：.ZAFC=ZEFC-ZEFA=130°-25°=105°

ZAFC=ZAFG+ZCFG=ZA+ZC：.ZC=ZAFC-ZA=800故答案为：80°

例3.（2023春・河南驻马店•九年级专题练习）已知AB〃CE>,ZEAF=^ZEAB,NECF=QECD,若

NE=66。,则4F为（）

AB

A'

CD

A.23。B.33°C.44°D.46°

【答案】C

【分析】如图（见解析），先根据平行线的性质、角的和差可得?EAB1ECD1AEC660,同样的方法

2。

可得NF=NFAB+NFCD,再根据角的倍分可得NFAB=《NEAB,ZFCD=个NECD,由此即可得出答案.

【详解】如图，过点E作EG〃AB,贝

1AEG彳CEG=?ECD,\?EAB?ECD?AEG?CEG?AEC66°,

同理可得：NF=NFAB+NFCD,■：ZEAF=|ZEAB,ZECF=|ZECD,

22

：./FAB=-NEAB,ZFCD=-/ECD,

2222

\?F1FABIFCD一？EAB-1ECD-REAB?ECD）一？66鞍44,故选：C.

3333

【点睛】本题考查了平行线的性质、角的和差倍分，熟练掌握平行线的性质是解题关键.

例4.（2023・广东深圳•校联考模拟预测）北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们

青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进

滑雪场的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺

直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB//CD,当人脚与地面的夹角

NCDE=60。时，求出此时上身48与水平线的夹角N助厂的度数为（）

【答案】A

【分析】延长AB交直线即于点利用平行线的性质得出/CDE=/O〃4=60。，再由两直线平行，内错

角相等即可得出结果.

【详解】解：延长AB交直线即于点H,CD,.•.NCDE==60。，

,•・根据题意得.,.NE4S=ZDH4=60。，故选：A.

【点睛】题目考查平行线的性质，理解题意，熟练掌握运用平行线的性质是解题关键.

例5.（23-24七年级下•广东云浮.期末）小明学习了角平分线的定义以及平行线的判定与性质的相关知识后，

对角之间的关系进行了拓展探究.如图，直线AB〃CD,直线AC是直线AB,CO的第三条截线，AK,CK

分别是“班C,/OC4的平分线，并且相交于点K.

（1）ZBAC,NOC4的平分线AK,CK所夹的—K的度数为

问题探究：（2）如图2,ZBAK,NDCK的平分线相交于点号,请写出/A&C与NAKC之间的等量关系，

并说明理由；

拓展延伸：（3）在图3中作/3A&,ND%的平分线相交于点K,作/曲£,ZDCK2的平分线相交于点

依此类推，作/胡（必，期的平分线相交于点（必，求出/a。24的度数.

【答案】（1）90°；（2）/A&C=；/AKC,理由见解析；（3）=（;/期x90。

【分析】本题考查利用平行线的性质和平行公理的推论探究角的关系（拐点问题），角平分线的相关计算等知

识，掌握平行线的性质是解题的关键.（1）证明过点K作则KM〃A3〃C»,利用平行线的性

质推出N9C+ZACD=180。，继而推出NBAK+NOCK=+；4。。=3（/班0+ZAC£＞）=90。，从

而得到N/W=N/WVf+NCKM=N54K+NOCK=90。；（2）与（1）同理可得：

ZAKtC-ZBAK{+ZDCK1-（ABAC+ZDCA）=45°,继而得解；（3）由（2）得N&=；NK,同理得

4Kz=：/£=",ZK3=^ZK2=（；）3/K,继而总结规律得ZK"=（g）”NK,从而得解.

【详解】解：（1）如图，过点K作用W〃AB,则KM〃/

...ZAKM=NBAK/CKM=ZCDK,ZBAC+ZACD=180°

AK,CK分别是ZBAC,NZJC4的平分线，并且相交于点K,N54K=LN54C,ZDCK=1NAC。,

22

NBAK+NDCK=|ABAC+|zACD=1(ABAC+ZACD)=90°,

ZAKC=ZAKM+Z.CKM=ABAK+Z.DCK=90°,故答案为：90°.

(2)ZA^C=1ZA/CC.理由：如图，过点&作KJ〃A8.

•.•AB\\CD,KJ〃AB,K{J//CD,r.NAKJ=ZBAKt,ZJK,C=ZDCK、.

11

QZBAK,NDCK的平分线相交于点K-.・./BAK】./BAK,ZDCK^-ZDCK,

AAKXC=/BAK】+NDCK[=；(/BAK+ZDCK)=：(ZBAC+ZDCA)=1x180°=45°.

由(1),知ZA7CC=90。，:.ZAKtC=^ZAKC.

(3)由(2),可知同理，可得NK2=g/&=：NK,

NK3=W)3/K,……NK'=(”K.

20242024

当”=2024时，ZK2024=(-)ZK=(-)x90°.

例6.（2024・上海•八年级校考期中）已知，直线A8〃C£＞。（1）如图（1）,点G为A8、CD间的一点,

联结AG、CG.若/A=140。，ZC=150°,则/AGC的度数是多少？

（2）如图（2）,点G为48、。间的一点，联结AG、CG.ZA=x°,ZC=y°,则/AGC的度数是多少？

（3）如图（3）,写出/BAE、ZAEF,NEFG、/FGC、/GCD之间有何关系？直接写出结论.

【分析】（1）过点G作利用平行线的性质即可进行转化求解.（2）过点G作利用

平行线的性质即可进行转化求解.（3）过点E作过点尸作过点G作GQ〃C。，利用

平行线的性质即可进行转化找到角的关系.

【详解】解：（1）如图，过点G作GE/幺2,

VZA=140°,AZAGE=40°.,：AB/7GE,AB//CD,：.GE//CD.

.../C+NCGE=180°(两直线平行，同旁内角互补).

VZC=150°,AZCGE=30°./AGC=/AGE+NCGE=400+30°=70°.

(2)如图，过点G作

•.,A2〃GK(两直线平行，内错角相等).

'：AB/7GF,AB〃CD,:.GF〃CD.：.ZC=ZCGF.

：.ZAGC=ZAGF+ZCGF=ZA+ZC.'：ZA=x°,ZC=y°,：.ZAGC=(x+y)0.

（3）如图所示，过点E