2025年中考数学复习函数综合压轴题练习（含答案解析）

2025年数学中考复习函数综合压轴题练习

一、单选题

1.（2024・四川广元•中考真题）如图，已知抛物线好办2+/+C过点C（0,-2）与无轴交点的横坐标分别为

%,x2,且-1<为<0,2<x2<3,则下列结论：

①a-6+c<0；

②方程ox?+6x+c+2=0有两个不相等的实数根；

③a+6>0；

三2

④

⑤"4ac>4".其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键；由当x=-1时，

y=a-b+c>Q,可判断①，由函数的最小值><-2,可判断②，由抛物线的对称轴为直线¥=-二，且

2a

11o

-<---<-,可判断③，由％=1时，y=a-b+c>0,当％=3时，y=9a+3b+c>0,可判断④，由根

22a2--

与系数的关系可判断⑤；

【详解】解：①二.抛物线开口向上，一2<X2<3,

・,・当x=—l时，y=a-b+c>0f故①不符合题意；

②,•,抛物线>=a—+乐+°过点C（0,-2）,

・•・函数的最小值歹<-2,

*'-ax2++c=-2有两个不相等的实数根；

・•・方程ax2+bx+c+2=0有两个不相等的实数根；故②符合题意;

1

③•・•一1<再<0,2</<3,

••・抛物线的对称轴为直线x=-3,且!<一3<=,

2a22a2

<3,而Q>0,

a

・••-3a<b<—a,

・•・Q+6V0,故③不符合题意；

④,・,抛物线》="2+fox+c过点。（0,-2）,

•••c=-2,

•••x=l时，y=a-b+c>0,

即3a-3b+3c>0,

当％=3时，y=9a+3b+c>0f

・•・12。+4c>0,

12Q>8,

故④符合题意；

⑤•・•一1<%<0,2<x2<3,

・•・/一再〉2,

bc

由根与系数的关系可得：石+%=-一，%/二—，

aa

.b2-4ac_1(Z)yc

4/4XtaJa

=；（再+%）2一工科2

2

=|[（^+^2）-4^2]

=:（X「X2）2>：X4=1

b2-^ac,

------—>1,

4/

■■b2-4ac>4a2,故⑤符合题意;

故选：C.

2.(2024•内蒙古赤峰•中考真题)如图,正方形/BCD的顶点A,C在抛物线>=-/+4上，点。在V轴

上.若4C两点的横坐标分别为加，n(m>«>0),下列结论正确的是()

2

y/

箕

m

A.m+n=lB.m—n=lC.mn=1D.一=1

n

【答案】B

【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时要熟

练掌握并能灵活运用是关键.依据题意，连接NC、BD交于点、E,过点A作轴于点M,过点3

作3N1九W于点N,先证明AMVB包的颂AAS).可得AM=NB,DM=AN.点、A、C的横坐标分别为

22mw+82

加、"，可得/(机，-机+4),C(M,-M+4).；~~)；M(0,-m+4),设。(0,6),贝|

B(m+n,-m2-n2+8—b),N(m+n,-m2+4),BN=-n2+4-Z?,AM=m，AN=n,DM=病一4+6.再由AM=NB,

DM=4N进而可以求解判断即可.

【详解】解：如图，连接BD交于点、E,过点A作轴于点过点、B作BN1MN于点、N,

四边形/5C。是正方形,

「•/C、5。互相平分，AB=AD,ABAD=90°,

ZBAN+ZDAM=90°,ADAM+ZADM=90°,

/BAN=ZADM.

ABNA=ZAMD=90°,BA=AD,

.△ANB均DMA(AAS).

/.AM=NB,DM=AN.

・・,点A、。的横坐标分别为加、n,

一加2+4),C(〃，—/+4).

+w-m2-n2+8,一八八

..£(2，--------------)9M(0,—m2+4),

3

设£)(0,6),贝5(冽+%一"一〃?+8—6),N(m+n,-m2+4),

：.BN=-n2+4-Z),AM-m,AN=n,DM=m2-4+b.

又AM=NB,DM=AN,

.•.一〃2+4—6=加,n-n^-4+b.

/.b=—n2-m+4.

/.n=m2-4一〃2-m+4.

/.(m+n)(m-ri)=m+n.

•・•点A、。在V轴的同侧，且点A在点C的右侧，

:.m+n^0,

：.m—n=\.

故选：B.

3.(2024•山东济南•中考真题)如图1,△4BC是等边三角形，点。在边上，BD=2,动点尸以每秒1

个单位长度的速度从点8出发，沿折线3C-C4匀速运动，到达点A后停止，连接。尸.设点P的运动时

间为[s),DP?为丫.当动点P沿3c匀速运动到点C时，了与/的函数图象如图2所示.有以下四个结论:

①48=3；

②当/=5时，y=l；

③当4W"6时，1"43；

④动点P沿8C-C4匀速运动时，两个时刻4，(2((!<4)分另U对应必和%，若4+/2=6,贝!].%>%.其中

正确结论的序号是()

D.①②④

【答案】D

【分析】由图知当动点尸沿3c匀速运动到点C时，DP2=7,作。于点£,利用解直角三角形和

勾股定理，即可得到BC,即可判断①，当"5时,证明△的是等边三角形，即可判断②，当4VAV6

4

时，且小，/C时，公六最小，求出最小值即可判断③，利用勾股定理分别表示出必和力进行比较，即可

判断④.

【详解】解：由图知当动点尸沿3c匀速运动到点C时，DP2=1,

作DELBC于点E,

.-.£)£,=sin60°=A/3,BE=BD-cos60°=1,

EP=yiDP--DE-=2，

AB=BC=BE+EP=3,

故①正确；

当，=5时，PC=5-3=2,AP=\=AD,

.1△AD尸是等边二角形，

DP=AP=AD=1,

：.y=DP2=1,

故②正确；

当4V/V6时，且。尸_L/C时，八？2最小,

5

A

1,N/=60。，

:.DP=AD-sm60°=—

2

33

“产最小为"即能取到“

故③错误;

动点、P沿BC-CA匀速运动时，

vtx+t2=6,tx<t29

4<3,%2>3,t2=6—11,

当OWaWl时，5<Z2<6,

%=

53

当。尸J_4C时，CP=—,DP=一,

24

2

1i+2=i2

%=I+一一4

21I161116

1351

/.V,-v=44-----=—>0M,

121616

同理，当1<4<3时，3<4<5,

乂二I="2_4+4,

22

6-39213

%=I+H......-t,—t,H-----,

161116

,1351

y,~-4-----二—〉0,

121616

故④正确；

综上所述，正确的有①②④,

6

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数综合，等边三角形性质，解直角三角形，勾股定理，涉及到动点问题、读懂

函数图象、正确理解题意，利用数形结合求解是解本题的关键.

二、填空题

4.（2024•湖北武汉•中考真题）抛物线y="2+6x+c（a,b,c是常数，a<0）经过（-覃），（私1）两点,

且0<a<1.下列四个结论：

①6>0;

②若0<%<1,贝！］a（x-l）"+6（x-l）+c>1；

③若。=-1,则关于x的一元二次方程办2+瓜+0=2无实数解；

④点4（项，M），3（工2，%）在抛物线上，若%>马，总有%<%,则。<加4）.

其中正确的是（填写序号）.

【答案】②③④

【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意可得抛物线对称轴-15<—11+3yyi<0,即可判断①，根据

（—1,1）,（%,1）两点之间的距离大于1,即可判断②，根据抛物线经过（一1,1）得出c=b+2,代入顶点纵坐

标，求得纵坐标的最大值即可判断③，根据④可得抛物线的对称轴-5<一解不等式，即可求

解.

【详解】解：:了=ox?+6x+c（a,b,c是常数，a<0）经过（一1,1）,（加/）两点，_@.O<m<1.

4工4户,生土〃4b—1+m1—1+加

•••对称轴为直线x=—=—-—，――<--—<0,

2a222

,*'x-----<0,a<0

2a

.・.Z?<0,故①错误，

0<m<1

即（一1,1）,（九1）两点之间的距离大于1

又4<0

••・x二加一1时，V>1

・••若0cxe1,贝!|〃（%-1）2+6（%-1）+0〉1,故②正确；

7

③由①可得一；<苫^<0,

—<—<0,即一1<6<0,

22

当。=-1时，抛物线解析式为y=-%2+乐+。

设顶点纵坐标为t=4"°一〃=-4c

4。-4

,•・抛物线》=一一+bx+c（Q,b,。是常数，a<0）经过（—1,1）,

••・一1-6+。=1

：,c=b+2

—4。—b?/J?+4。1-2127c1/,_\21

t---------------=-b+c——h7+6+2=—（b+2）+1

-44444V7

v-I<Z><0,!〉0,对称轴为直线b=-2,

4

.•.当6=0时，，取得最大值为2,而6<0,

・•・关于x的一元二次方程"+bx+c=2无解，故③正确；

④•・,”（），抛物线开口向下，点8（%2）2）在抛物线上，演+工2>-；，%>%2，总有为<%，

V7石+工2I

又1=_4"^>一:，

24

・,•点离X=-;较远，

.占1—1+加1

・•・对称轴_1<-T—<--

224

解得：o<加工J,故④正确.

故答案为：②③④.

5.（2024・江苏宿迁•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点/在直线〉上，且点4的横坐标为4,

直角三角板的直角顶点。落在x轴上，一条直角边经过点4另一条直角边与直线04交于点5,当点C

在入轴上移动时，线段43的最小值为.

8

【分析】利用一次函数求出点/的坐标，利用勾股定理求出04,当点C在x轴上移动时，作与关

于NC对称，且/夕交x轴于点。，由对称性质可知，AB'=AB,ABAC=ADAC,当NQ_Lx轴于点。

时，AB=AB'=AD+B'D^,记此时点C所在位置为C',作C'EL/2于点E,有DC'=EC',设

DC'=EC'=m,则。C'=0O-DC'=4-加，利用锐角三角函数sin//。。=/方'建立等式求出

m,证明AC'DB'SAADC',再利用相似三角形性质求出夕。，最后根据AB=力夕=AD+8N＞求解，即可解

题.

3

【详解】解：•・•点4在直线上，且点4的横坐标为4,

4

，点/的坐标为（4,3）,

0A=5,

当点。在x轴上移动时，作45与Z9关于4。对称，且交工轴于点。,

由对称性质可知，AB'=AB,

当轴于点。时，AB=4B'=AD+B'D最短,记此时点。所在位置为C',

由对称性质可知，ABAC=ADAC,

作于点£,有DC'=EC',

设DC=EC'=m,则0C'=。。一。。'=4—加，

FC1'AD_3

sinZAOD=-

OCOA~5

m3

/.------=:

4-m5

3

解得W7=万，

3

经检验机=5是方程的解,

■1-ZAC'D+NDCB'=90°,ADAC+ZAC'D=90°,

ZDC'B'=ZDAC,

■：ZC'DB'=ZADC=90°,

:.AC'DB'SAADC',

9

5

。

3

-

独2

-

3-3

2-

3

解得=

4

315

AB=AB'=3H—=—.

44

故答案为：—.

4

【点睛】本题考查了轴对称性质，勾股定理，锐角三角函数，相似三角形性质和判定，角平分线性质，垂

线段最短，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据轴对称性质和垂线段最短找出最短的情况.

6.（2024•黑龙江大庆•中考真题）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称

为“倍值函数”，该点称为“倍值点”.例如：“倍值函数”＞=3尤+1,其“倍值点”为（-1，-2）.下列说法不正

确的序号为.

①函数V=2x+4是“倍值函数”；

Q

②函数V=：的图象上的“倍值点”是（2,4）和（-2,-4）；

14

③若关于x的函数＞=（冽-1）%2+mx+-m的图象上有两个“倍值点”，则m的取值范围是加＜§；

④若关于尤的函数了=/+（优-4+2卜+；-：的图象上存在唯一的“倍值点”，且当-1W机W3时，”的最

小值为左，则左的值为上5.

2

【答案】①③④

【分析】本题考查了新定义问题，二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函

数的性质，二次函数的最值问题.根据“倍值函数”的定义，逐一判断即可.

【详解】解：①函数y=2x+4中，令y=2x,贝l]2x=2x+4,无解，故函数y=2x+4不是“倍值函数”，故①

说法错误；

OQ

②函数y=—中，令了=2x,则2x=—，

解得x=2或％=-2,

经检验X=2或X=-2都是原方程的解，

故函数＞的图象上的“倍值点”是（2,4）和（-2,-4）,故②说法正确；

10

③在y=（〃?T）x2+mx+-m中，

4

令y=2x,贝12x=（加一I）/+机x+［加，

整理得（加一1），+（加一2）%+；冽=0,

•・・关于x的函数》=（冽-1）/+加x+；次的图象上有两个“倍值点”,

21

△=（m-2）-4（加一1）X］加>0且加一1w0,

4

解得加<1且加71,故③说法错误;

/7Hk,

④在y=x2+（加-左+2）］+1一'中，

=

y2x;贝”2%=12+（加一+2^x+~一~

nk

整理得f+（加-左）x-\-----=0,

42

,•・该函数的图象上存在唯一的“倍值点”,

nk

△:=（加一女）2-4x=0,

4-2

整理得〃=（加一左『+2左，

・・・对称轴为冽=k,此时n的最小值为2k,

根据题意分类讨论，

-1<A;<3

解得k=0；

"min=2k=k

k>3

无解;

"mm=（3H+2A=上

k<-l

2解得k二（舍去）,

n=（-l-后）+2后=后三

1m0u"

综上」的值为°或¥'故④说法错误;

故答案为：①③④.

7.（2024・四川巴中・中考真题）若二次函数歹="2+瓜+。（〃〉（））的图象向右平移1个单位长度后关于歹轴

对称.则下列说法正确的序号为.（少选得1分，错选得0分，选全得满分）

①2=2

a

11

35

②当］WaV；时，代数式力+/一56+8的最小值为3

③对于任意实数加，不等式a加2+Zw?-a+b20一定成立

④PQ：i,yi),QQ：2,y2)为该二次函数图象上任意两点，且再<龙2.当西+尤2+2>。时，一定有必<为

【答案】①③④

【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，抛物线的平移，抛物线的增减性的应用，利用的应用二次

函数的性质是解本题的关键.

由二次函数了=ax2+6x+c(a>0)的图象向右平移1个单位长度后关于y轴对称.可得-3+1=0,可得①

2a-

35

符合题意；由6=2a,可得/+/_5方+8=5(。-1r9+3,^-<a<-,可得②不符合题意；由对称轴为

直线x=_l,结合。>0,可得③符合题意；分三种情况分析④当为<-1<%时，当-1<再<工2时，满足

Xj+x2+2>0,当再<乙<-1时，不满足占+工2+2>0,不符合题意，舍去，可得④符合题意；

【详解】解：••・二次函数了="2+6x+c(a>0)的图象的对称轴为直线x=-《，

而二次函数V=ax1+6x+c(a>0)的图象向右平移1个单位长度后关于了轴对称.

--—+1=0,

2a

••--=2,故①符合题意；

a

•*,b—2cl,

•••a2+b2-56+8

=5。2_10。+8,

=5(a-l)2+3,

22

・•・当。3、时，17q2+b2_5b+8取最小值?，故②不符合题意；

■,---+1=0,

2a

・•・对称轴为直线x=-l,

<2>0,

当x=—l时，函数取最小值。一6+。,

当％=加时，函数值为Q加2+6加+。，

•••am2+bm+c>a—b+c，

12

・•・对于任意实数加，不等式a/+6加一a+620一定成立，故③符合题意；

当再<一1<%2时，

v%1+x2+2>0,

%2+1〉—1一再，

・•・%<%，

当_]<再<%时，满足%+%+2〉0,

Xj+1<x2+1,

・,・%<%,

当王</<-1时，不满足国+了2+2>0,不符合题意，舍去，故④符合题意;

综上：符合题意的有①③④；

故答案为：①③④.

三、解答题

8.(2024•江苏常州•中考真题)将边长均为6cm的等边三角形纸片48C、DE尸叠放在一起，使点£、8分

别在边/C、。尸上(端点除外)，MB、E尸相交于点G,边BC、相交于点

(1)如图1,当E是边NC的中点时，两张纸片重叠部分的形状是；

(2)如图2,若EF〃:BC,求两张纸片重叠部分的面积的最大值；

(3)如图3,当AE>EC,时，4E与必有怎样的数量关系？试说明理由.

【答案】⑴菱形

力班2

(2)-----cm

2

⑶AE=BF,理由见解析

13

【分析】（1）连接BE,CD,由等边三角形的性质可得//C5=/EDE=60。，则3、D、C、E四点共圆,

由三线合一定理得到/8EC=90。，则2C为过反D、C、E的圆的直径，再由。£=8C=6cm,得到OE

为过5、D、C、E的圆的直径，则点H为圆心，据此可证明NG£5=NE8"=NG2E=N8E//=3O。，推

出四边形3HEG是平行四边形，进而可证明四边形8HEG是菱形，即两张纸片重叠部分的形状是菱形；

（2）由等边三角形的性质得到N4BC=/D跖=/C=60。，AC=BC=6cm,则由平行线的性质可推出

ZABC=ZCHE,进而可证明四边形5HEG是平行四边形，再证明△£〃（？是等边三角形，则可设

EH=CH=2xcm,贝i]8〃=（6-2x）cm,HT=^CH=xcm,由勾股定理得到

22

ET=VEH—HT=VSxcm>可得S重叠=S四边形H■—>则当》=万■时，StA

有最大值，最大值为生8cm°；

2

（3）过点3作于过点£作及V_L。尸于N,连接BE,则4W=FN=尸=工/C=3cm,

22

EF=AB=6cm,BE=BE,证明EN=8Af,进而可证明电RtA〃E2（HL）,得至=则

FN+BN=AM+ME,BPAE=BF.

【详解】（1）解：如图所示，连接BE,CD

■:AABC,△£）£「都是等边三角形，

ZACB=NEDF=60°,

：.B、D、C、E四点共圆，

・点£是NC的中点，

："BEC=90°,

・•.BC为过B、D、C、£的圆的直径，

又DE=BC=6cm,

・•.DE为过B、D、。、E的圆的直径，

・••点H为圆心，

・•.EH=BH,

・・.NHBE=ZHEB=30°,

:・NGEB=ZEBH=/GBE=NBEH=30°,

：.BG//EH,BH//EG,

・•・四边形BHEG是平行四边形，

又♦:EH=BH,

14

••・四边形是菱形，

•••两张纸片重叠部分的形状是菱形;

图1

(2)解：•・・△/8C,ADE尸都是等边三角形，

NABC=ZDEF=ZC=60°,AC=BC=6cm,

•••EF//BC,

ACHE=ZDEF=60°,

:./ABC=NCHE,

BG//EH,

••・四边形BHEG是平行四边形，

■：ZC=ZCHE=60°,

・•.△EHC是等边三角形，

过点E作ET1HC,

.,.设£7/=CH=2xcm,则3〃=(6-2x)cm,HT==xcm,

ET=ylEH2-HT2=V3xcm，

S重叠=S*形BHEG=BH-ET=6x(6-2x)

-2>/3<0,

二当x时，S重叠有最大值，最大值为蛀c/;

22

15

A

图2

(3)解：AE=BF,理由如下：

如图所示，过点8作8Ml4c于M,过点£作EN_LDF于N,连接BE,

•・•△48C,ADEF都是边长为6cm的等边三角形，

AM=FN=-DF=-AC=3cm,EF=AB=6cm,BE=BE

22

由勾股定理可得NE=y)EF2-FN2=36cm，BM=AB2-AM1=36cm，

EN=BM,

又：BE=BE,

之RtAAffiB(HL),

：.NB=ME,

:.FN+BN=AM+ME,AE=BF.

图3

【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，等边三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，全等三

角形的性质与判定，勾股定理，四点共圆，正确作出辅助线是解题的关键.

9.(2024・四川资阳•中考真题)已知二次函数与一反的图像均过点4(4,0)和坐标原

点。，这两个函数在04x44时形成的封闭图像如图所示，P为线段。/的中点，过点尸且与x轴不重合的

直线与封闭图像交于8,C两点.给出下列结论：

16

①6=2；

@PB=PC；

③以0,A,B,C为顶点的四边形可以为正方形；

④若点5的横坐标为1，点。在V轴上（。，B,C三点不共线），则△BC。周长的最小值为5+JW.

其中，所有正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】根据题意可得两个函数的对称轴均为直线x=2,根据对称轴公式即可求出6,可判断①正确；

过点8作ADLx交x轴于点。，过点C作CE,尤交x轴于点E,证明也可得PB=PC,可

判断②正确；当点3、C分别在两个函数的顶点上时，BCL0A,点、B、C的横坐标均为2,求出8c的

长度，得到3c=04,可判断③正确；作点8关于y轴的对称点夕，连接be交了轴于点。，此时△BC。

周长的最小，小值为夕C+5C,即可判断④.

【详解】解：①•••二次函数y=-gx2+乐与了二3/一乐的图像均过点/（4,0）和坐标原点。，p为线段04

的中点，

P（2,0）,两个函数的对称轴均为直线x=2,

解得：b=2,故①正确；

②如图，过点3作班），x交无轴于点。，过点C作CELx交无轴于点E,

17

NCEP=NBDP=9G0,

由函数的对称性可知尸E=DP,

在和△BOP中,

NCEP=NBDP

<EP=DP

/EPC=ZDPB

ACE尸父ABO尸(ASA),

：.PB=PC,故正确②；

③当点8、C分别在两个函数的顶点上时，BC1OA,点、B、C的横坐标均为2,

由①可知两个函数的解析式分别为V=-：/+2x,y=^x2-2x,

.•.8(2,2),C(2-2),

5C=2-(-2)=4,

・••点1(4,0),

1.OA=4,

BC=OA,

由•••BC10Af

.,.此时以O,A,B,C为顶点的四边形为正方形，故③正确；

④作点3关于V轴的对称点夕，连接EC交V轴于点。，此时△5C0周长的最小，最小值为

BQ+CQ+BC=B,Q+CQ+BC=B,C+BC,

点3的横坐标为1,

2

33

=V13,fi'C=(-1-3)2+—+—=5，

22

△BC。周长的最小值为3'C+3C=5+Vn,故正确④；

故选：D.

【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及二次函数的图像与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判

定，对称中的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用这些知识.

10.（2024•江苏常州•中考真题）在平面直角坐标系芯帆中，二次函数了=-2+加+3的图像与x轴相交

于点/、B,与y轴相交于点C

备用国

（1）OC=；

（2）如图，已知点/的坐标是（T,。）.

①当IWXWM,且加＞1时，y的最大值和最小值分别是s、t,s-t=2,求m的值;

②连接NC,尸是该二次函数的图像上位于y轴右侧的一点（点3除外），过点尸作轴，垂足为

D.作/DPQ=/4C0,射线PQ交y轴于点0,连接。0、PC.若DQ=PC,求点P的横坐标.

19

【答案】（1）3

⑵①亚+1;②1或支产

【分析】（1）当％=0时，V=3,即。。=3；

（2）①先求出解析式为、=-炉+2%+3,可知对称轴为直线：x=l,当14x0加，且加＞1时，y随着x的

增大而减小，故当x=l,s=4,当工=机时，t=-m2+2m+3,由s-/=2得，4+m2-2m-3=2,解得

_AC）1

m=l+V2;②在RM4C。中，可求tan/ZCO=而=§,由题意得，DP//CQ,DQ=PC,四边形。尸C。

为平行四边形或等腰梯形，当点P在x轴上方，四边形。P。。为平行四边形时，则尸。=。。，则

tanZ.DPQ-tanZ.ACO=tanZ1=,设FD=k,OF=n,贝|PZ）=3左,00=3〃，贝！J3左=3+3〃，故〃二女+1,

则尸（2k+1,3左），将点尸（2左+1,3左）代入y=--+2%+3,得一（2左+1）2+2（2左+1）+3=3左，解得左=；,故

13

4=1*2+1=；；当四边形。PC。为等腰梯形时，则PC=。。，过点。作尸£，y轴于点E,则C£=0O,

PE1

由QC+C£=℃+QO,得0£=OC=3,则后=彳，设PE=p,则QE=3p,故3p=3,解得〃=1,即

QE3

Xp=l；当点P在x轴下方抛物线上时，此时四边形。PC。为平行四边形，则黑=第=；，设

OG=e,DG=g,则OQ=3e,DP=3g=QC,而O0-OC=CQ,故3e-3=3g,即g=e-l,可得

P（2e-1,3-3e）,将点尸代入尸+2x+3,^-（2e-l）2+2（2e-l）+3=3-3e,解得e="+"或

8

e="一后（舍），因此「=2e-l=7+4,综上：点尸的横坐标为1或;或2±运.

【详解】（1）解：当x=0时，y=3,即0c=3；

（2）解：①将点A代入y=—x2+Z）x+3

得，-1-6+3=0,

解得：b=2,

••・解析式为：y=-x2+2x+3,

而y——+2x+3=—（%—1）~+4,

・•・对称轴为直线：％=1,

当14x4加，且加＞1时，

.,少随着%的增大而减小，

二当％=1,s=—l+2+3=4,当％=用时,t=—m2+2m+3,

由s—%=2得，4+机2—2加一3=2,

zu

解得：加=1+a或加=1-血（舍）

•••加=1+V2;

A01

②在RM4C0中，tanZACO=-=-f

由题意得，DP//CQ,DQ=PC,

・•・四边形DPCQ为平行四边形或等腰梯形，

当点尸在工轴上方，四边形。尸。。为平行四边形时，则尸。二。。,

・•.Nl=ZDPQ,

v/DPQ=/ACO,

：.tanZDPQ=tan/ACO=tanZ1=j,

•O•-F...F.D.—1

•O0PD3'

.,.设FZ）=k,OF=n,则PD=3k,OQ=3n,

*'-3左=3+3〃,

・•・〃=女+1,

.•.尸（2无+1,3无）,

将点P（2上+1,3后）代入.V=T2+2X+3,

得：一（2左+17+2（2左+1）+3=3左，

解得：k=;或k=—l（舍），

1.3

x=-x2+1——；

尸p42

当四边形。尸。。为等腰梯形时，则PC=8,过点尸作尸轴于点£,

21

PE=DO,

・•・Rt△尸CE之RtZS。。。，

；.CE=QO,

：.QC+CE=QC+QO9

:.QE=OC=3,

八

•・•tanZ1=—1,

3

PE

：，QE=39

.•.设PE=p,则。E=3p,

：.3p=3,

・•・p=1,

即马=1；

当点。在X轴下方抛物线上时，此时四边形。尸。。为平行四边形，则。P=OC,

22

••丽一记一§,

设OG=e,DG=g,

.-.OQ=3e,DP=3g=QCf

OQ-OC=CQf

3e—3=3g,

.•・g=e-l,

・・・P(2e-1,3-3e),

将点P代入y=--+2x+3,

得：-(2e-lY+2(2e-l)+3=3-3e,

解得：e=或e=3,

88

而当e="一4时,g=e-l<0,故舍，

8

,,7+773

,,Xp—2e-1=----------,

「4

综上：点p的横坐标为1或I■或

24

【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求函数解析式，二次函数的图像与性质，图像与坐

23

标轴的交点，平行四边形的性质，等腰梯形的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键.

11.（2024・北京・中考真题）小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯），在科技活动中，小云用所学数学知识

和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来，新水杯（记为2号杯）示意图如下，

当1号杯和2号杯中都有，mL水时，小云分别记录了1号杯的水面高度4（单位：cm）和2号杯的水面

高度饱（单位：cm）,部分数据如下:

K/mL040100200300400500

4/cm02.55.07.510.012.5

力2/cm02.84.87.28.910.511.8

（1）补全表格（结果保留小数点后一位）;

（2）通过分析数据，发现可以用函数刻画用与修，色与厂之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，画出这

两个函数的图象;

Ah/cm

13—广丁

1-2—4

MT

10-

9-

6---r--T

—!—t

⑹-1

—T-T

；4—!——：

：2—

:]---!--t

OLWOJ3Q0L400J5QO：FTmL

（3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：

①当1号杯和2号杯中都有320mL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为cm

（结果保留小数点后一位）；

24

②在①的条件下，将2号杯中的一都分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约

为cm(结果保留小数点后一位).

【答案】(1)1.0

(2)见详解

(3)1.2,8.5

【分析】本题考查了函数的图像与性质，描点法画函数图像，求一次函数解析式，已知函数值求自变量,

正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键.

(1)设忆与用的函数关系式为：厂=协(左*0),由表格数据得：100=2.5左，则可求忆=40%,代入忆=40

即可求解；

(2)画色与厂之间的关系图象时，描点，连线即可，画用与，的关系图像时，由于厂=40%是正比例函

数，故只需描出两点即可；

320

(3)①当/=320ml时，hx=—=8cm,由图象可知高度差CDa1.2cm；②在忆=320ml左右两侧找到等

距的体积所对应的高度相同，大致为8.5cm.

【详解】⑴解：由题意得，设厂与4的函数关系式为：/=俏(入0),

由表格数据得：100=2.54，

解得：上=40,

展40%,

.•.当忆=40时，404=40,

hi=1.0cm；

(2)解：如图所示，即为所画图像，

25

(3)解：①当V=320ml时，h}=—=8cm,由图象可知高度差CDa1.2cm,

故答案为：1.2；

②由图象可知当两个水杯的水面高度相同时，估算高度约为8.5cm,

故答案为：8.5.

12.(2024•吉林・中考真题)小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图

(1)所示，输入x的值为-2时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出了的值为3；输入x的值为3

时，输出y的值为6.

26

开始

(ffil)(图2)

(1)直接写出左，a,b的值.

⑵小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图像，如图(2).

I.当y随尤的增大而增大时，求x的取值范围.

H.若关于x的方程g?+6