2025年新高考数学重难点专练：指数函数常考题型十五大题型（原卷版）

重难点12指数函数常考题型十五大题型汇总

题型解读

满分技巧

技巧一.指数函数比较大小

指数幕比较大小

①同底幕比较，构造指数函数，用单调性比较;

②同指数幕比较，构造幕函数，用单调性比较;

③不同底也不同指幕比较，借助媒介“1".

技巧二指数函数图像性质

y=ax

0<a<1a>1

\斗叫1/

a

图象

<：

1卜Q。)1

1%Q1X

①定义域R，值域(。，+8)

②a。=1,即时％=0fy=1,图象都经过(0,1)点

③a*=a,即％=1时，y等于底数a

④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数

⑤％<0时，a%>1；%>0时，0<a%V1x<0时，0Va%V1；%>。时，#>1

⑥既不是奇函数，也不是偶函数

技巧三.指数函数与参数

数函数常用技巧：

(1)当底数大小不定时，必须分"a>1"和"0<a<1"两种情形讨论.

(2)当0<a<1时，久T+8,y0;a的值越小,图象越靠近y轴，递减的速度越快.

当a>1时x-+8,y-0;a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快.

(3)指数函数y=户与y=《尸的图象关于y轴对称.

技巧四.单调性问题

1.单调性的运算关系：

①一般认为，-/（久）和六均与函数f⑺的单调性d1反;②同区间,T+t=_t_,!+!=.!_,t-l=_t_,l-T=

L;

2.单调性的定义的等价形式：设Xi,xzW［a，句，那么有：

①迎Z3>0Q［M是［a,句上的增函数；②/―日出）<0。大M是［a,6］上的—减函数—;

%1一X?%］一工2

3.复合函数单调性结论：同增异减.

技巧五.指数型复合函数的值域

求解形如/（久）=心⑴①>0,a力1）的指数型函数值域的思路：

1.分析g（x）的单调性以及值域；

2.分析y=谈的单调性；

3.根据复合函数单调性的判断方法，分析出外支）=心⑺的单调性并计算出值域.

技巧六.一元二次函数与指数函数的复合问题

2

求解形如/㈤=m（ax）+n（a*）+t（a〉0,a力1）的指数型函数值域的思路：

L换元法，令谈=乙构造关于1的一元二次函数,分类讨论求值域。

2

2.直接配方法。配凑为/（©=（谟+p）+q,结合定义域用"包装法"求值域。

技巧七.指数函数与反比例型函数的复合问题

1.指数函数一次反比例型，可以通过分离常数求值域

2.指数型反比例函数，可以通过指数换元后，转化为反比例函数求解值域，反比例函数图像性质。

形如：、=竺1。对称中为。（久。~。），其中

CX—CL

（1）cx0—d=0；

(3)-三或者二、四象限，通过x=0,1计算判断

技巧八.高斯函数

取整函数y=团,团表示不超过%的最大整数，又叫做"高斯函数"

取小数函数

/(X)=[X+1]-X,,

可画出函数图像，如图：

指数型取整函数，多可以通过分离变量，分离出整数后讨论底数与定义域，进行"取整”运算

技巧九.复杂函数图像的选取

判断函数图像1.定义域判断。

2.函数奇偶性判断。

3.函数简单性判断。

4.函数值正负判断

5利用极限，判断无穷远处的值与"比值"

6利用"断点处判断，如0+与0-

A3*题型提分练

题型1指数函数定点问题

【例题1]（2022上•安徽宿州•高一校联考期末）函数y=a*-3（a>0,且a力1）的图象过定点A,

则点A的坐标是

【变式1-1]1.（2023下・江西南昌•高二南昌二中校考期末）已知函娄好（x）=ax+5+4（a〉0,a力1）

恒过定点,则函数g（x）=m+n*的图像不经过第象限.

【变式1-1J2.（2022下・北京•高二汇文中学校考期末）已知对不同的a值，函数/（%）=2+ax-^a>0,a力

1）的图象恒过定点P,贝*点的坐标是

【变式1-1]3.（2022上•黑龙江大兴安岭地•高一校考期末）已知函数/⑺=loga（%+3）-式a>0,a力1）

的图象恒过定点A.若点A也在函数。（久）=3,+b的图象上，则g（log32）=

【变式1-U4.（2023上•云南昭通・高一校联考阶段练习）已知函数y=2a^3-l（a>0,Ha1）恒过

定点4（久o，yo）,且满足mxo+ny0=l,其中犯建是正实数，则'+:的最小值是（）

A.16B.6C.2V3D.V3

题型2指数函数比较大小问题

21

【例题2】2023上•四川凉山•高一校联考期末搭a=（9,b=（|）\c=logg贝圾6,g勺大小关系为（）

.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.c>a>b

.z-i\—0.9

【变式2-1]1.（2022上•北京东城•高一校考期中）已知a=3、6=1.2°,c=g）,贝必也c的大小关

系是（）

.a<c<bB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a

【变式2-1]2.（2023上•吉林•高一吉林一中校考期末）设/（%）是定义域为R的偶函数，且在（-8,0）单调

递减，设a=3。3,6=9"，c=log泻，则()

A./(c)>/(a)>f(b)B./(h)>f(a)>/(c)

C./(c)>f(b)>/(a)D.f(a)>f(b)>f(c)

2

【变式2-1]3.(2022上•黑龙江鸡西•高一校考期末)若a=2。"b=log0,32,c=0.3，则a,6,c的大

小关系为()

.c<a<bB.b<c<aC.c<b<aD.b<a<c

【变式2-1]4.(2022上•吉林四平•高一校考期末)若6>九，则()

7nn

A.0.2<0.2B.log0,3m>logo”

C.2m<2nD.m2>n2

02

【变式2-1]5.(2022上•贵州黔东南•高二校考期末)已知a=l.lfb=log^O,2^=0.2]】，贝")

/\.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>a>b

题型3指数不等式问题

【例题3](2023上•四川凉山•高一校联考期末)不等式Q广2t4331的解集为

【变式3-1]1.(2022上•上海徐汇•高一上海市第二中学校考期末)不等式*-2>3<《广-3的与不等式

x2+ax+b<0是同解不等式，则a=,b=.

【变式3-1J2.(2022上•青海玉树•高一校联考期末)已知函数f⑺=ax-\a>0且a丰1)的图象过点(3,4).

(1)求实数a的值；

(2)求关于x的不等式/(无)>的解集.

【变式3-1】3(2020上•山东临沂・高一统考期末圮知/(久)是定义在R上的奇函数当x>0时/(X)=1-

(1)求当x<。时，时"⑺的解析式；

(2)求不等式f(x)<1的解集.

【变式3-1]4.(2023下•辽宁铁岭・高二昌图县第一高级中学校考期末)已知函娄好(x)=2,-2r

(1)求/(2)的值，判断f(久)的奇偶性并证明；

(2)求不等式|f(久)|>|的解集.

【变式3-1]5.(2022上•新疆乌鲁木齐•高一新疆农业大学附属中学校考期末)已知函数f(久)=ax2+x+

l(a>0).

(1)若关于X的不等式/(久)<0的解集为(-4,6),求a,6的值；

(2)已知g(x)=#+】-2,+2,当xe[-1,1]时，f(2，)Sg。)恒成立,求实数a的取值范围.

【变式3-1]6.(2022上•江西上饶•高三校考期末)设函数f(久)=〃-(k-l)a-x(a>0且a41)，是

定义域为R的奇函数.

(1)求k的值；

(2)若/(I)<0,试判断函数单调性,并求使不等式f(/+垃)+/(4-x)<。恒成立的珀勺取值范围.

题型4指数函数图像性质

【例题412023上•浙江台州高一统考期末圮知指数函数y=0”的图象如图所示，则一次函数y=ax+b

的图象可能是()

【变式4-1J1.（2023上•四川凉山•高一统考期末周数f0）=x2-ax+1有两个不同的零点，则y=ax-a

（a〉0且a41）的图象可能为（）

【变式4-1】2.（2022上•四川宜宾•高一统考阶段练习）已知函数f（x）=（%-a）（%-6）满足f（1）<0（其

中。<a<b）,则函数g（x）=ax+b-1的图象可能为（）

【变式4-1]3.（2021上•陕西榆林•高一陕西省神木中学校考阶段练习）函数f（久）=3,-3的图像不经过

（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【变式4-1]4.（多选）（2022上•广西百色•高一统考期末）函数/（%）=|谟一1|（a>0,且a芋1）与g（x）=

a-比在同一坐标系中的图像可能是（）

题型5指数函数求参数问题

【例题5]（2021上•浙江温州・高一乐清市知临中学校考期中）函娄好（%）=a的图象如图所示，其中a,

b为常数，则下列结论正确的是（）

A.a>l,b<0B.a>1,h>0

C.0<a<lfb>0D.0<a<l,b<0

【变式（多选）（2023•全国•高三专题练习）（多选）已知函数丫=ax-b（a>0且a丰1）的图

A.a6>1B.Gt+b>lC.faa>lD.2b^a<1

【变式5-1]2.(2023上•陕西安康•高一校联考期末)指数函数y=〃与y=/的图象如图所示，则()

A.a<0,/)>0B.0<a<l,0<Z)<l

C.0<a<l,/)>lD.a>1,0<&<1

【变式5-1]3.(多选)(2023上・安徽・高一安徽省颍上第一中学校联考期末)若函数f⑶=ax-b(a>0

且a丰1)的图像经过第一、二、三象限，则()

A.0<<1B.0<<1C.ab>1D.ba>1

【变式5-1J4.(2021上•陕西咸阳•高一咸阳市实验中学校考阶段练习)已知函数/(久)=|3工-l|,a<b<c

且f(a)>/(c)>f(b),则下列结论中,一定成立的是()

A.a<0,b<0,c<0B.a<0,b>O,c>0

C.a<0,b=—c,c>0D.38+3c>2

题型6指数型复合函数的定义域

【例题6】(2021上•广西河池•高一校联考阶段练习)设函数"%)=字，则函数/Q的定义域为()

A.(—00,4]B.(—00,1]C.(0,4]D.(0,1]

【变式6-1]1.(2021上•山东枣庄•高一枣庄市第三中学校联考期中)已知函数y=/(%)的定义域为(0,1),

则函数FQ)=/(|2、-1|)的定义域为()

A.(—co,1)B.(—co,0)U(0,1)C.(0,+8)D.[0,1)

【变式6-1]2.(2021下•陕西渭南•高二统考期末)函数f(久)=JO1++的定义域为.

【变式6-1]3.(2021下•江苏•高二阶段练习)函数f⑺=V32x-i-1的定义域是()

A.[l,+oo)B.C.(-oo,-i)D.(-00,-2)

【变式6-1]4.(2018上•江西宜春•高一期末)已知集合4=｛久|y=江FxeN｝,则集合力的子集个数

为()

A.8B.16C.4D.7

题型7指数型复合函数的单调性

【例题7](2022上•福建莆田•高一校考期末)已知函数f⑺=2T""则单调递增区间为.

【变式7-1]1.(2023上•高一课时练习)函娄好⑴=2丫-/+轨-3的单调递增区间为()

A.(-8,2]B.[1,2]

C.[2,3]D.[2,+oo)

【变式7-1]2.(2023上•高一课时练习)已知函数f(x)=』+轨-6(。>。且。牛u，若了⑴>1，则/⑴的

单调递减区间是()

A.(-oo,0)B.(0,+oo)

C.(-00,—2)D.(—2,+co)

【变式7-1]3.(2022上•重庆•高一校联考阶段练习)已知函数“X+1)=2工+1-2-"。则/(久)()

A.是偶函数，且在R是单调递增

B.是奇函数，且在R是单调递增

C.是偶函数，且在R是单调递减

D.是奇函数，且在R是单调递减

【变式7-1]4.(多选)(2023下•重庆北倍・高二西南大学附中校考期末)已知/(*)=法，则()

A.f(x)为奇函数

B./O)在(―8,0)u(0,+8)上单调递减

C./(%)值域为(-8,-1)u(1,+oo)

D./(/(%))的定义域为｛%反丰0)

题型8指数函数单调性求参数问题

【例题8]（2021•浙江•高一期末）已知pTx6悖,1],a久一1>0,q:函数〃x）=（a-2尸为增函数，贝Jp

是q的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式8-1J1.（2021上•上海虹口•高一统考期末）已知函数f（久）=2吐。1（a为常数），若了⑴在区间[1,+«）

上是增函数，则a的取值范围是

x2+2mx-l

【变式8-1]2.（2022上•安徽•高一统考期末）若函数y=（0在区间上为增函数，则实数6

的取值范围为

【变式8-1]3.（2023下•浙江嘉兴•高二统考期末）设函数f⑺=2吐可3eR）,则"a<0"是»（久）在

（1,+8）上单调递增"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式8-1]4.（2023上•四川成都•高一校考阶段练习）已知函数/（x）=产-+泉乂<1,是R上的

（ax,x>1

增函数，则实数a的取值范围是（）

A.（1,2]B.（O,|）C.（1,2）D.g,2）

【变式8-1]5.（2023下•江苏盐城•高一盐城市大丰区新丰中学校考开学考试）已知函数/'（x）=

八”?宁呼2是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（）

Ia+i,x<Z

A.（-oo,0）B.（0,1）C.（0,3]D.（1,3]

题型9指数型函数值域问题

【例题9]（2023下•湖北咸宁•高一校考开学考试）当x£[-1,1]时，函数f⑺=3、2的值域是（）

A.[1,|]B.[-1,1]C.[-|,1]D.[0,1]

【变式9-1]1.(2021上•上海徐汇・高一上海中学校考期末)若4期】<仁广2,则函数/⑴=(丁的值

域为

13%—2x<1

【变式9-1]2.(2021上•江西吉安•高一井冈山中学校考阶段练习)已知函娄妤0)=】‘、’则函

1<%<4,

数f。)值域是()

A.(—8,2]B.(—2,2]

C.(1,4]D.(—00,4]

【变式9-1]3.(2021上•上海徐汇•高一统考期末)已知函数f(久)=套的定义域为M,g(x)=3X-2的

值域为N,则MnN=

【变式9-1]4.(2023上•新疆乌鲁木齐•高一乌鲁木齐市第六十八中学校考期末)已知函数f(x)=

(a>0且aK1)满足f(1)=*求函数的值域.

题型10指数型复合函数的值域问题

【例题10】(2023上•山东德州•高一统考期末)函数y=3三的值域为()

A.(0,+8)B.(0,1)u(1,+8)C.[x\xW1}D.(1,+8)

【变式10-1】1.(2022上•高一单元测试)函数y=(|)的值域是()

A.(-8,O)B.(0,1]

C.[1,+8)D.(—00,1]

©x2-2x

的值域为()

A.(0,2]B.(0,+8)C.[2,+oo)D.[1,+8)

【变式10-1】3.(2022上•天津滨海新•高一大港一中校考期中)函娄好⑺=2/-2x,xG[-1,2]的值域是

()

A.8,8]B.悖,8](2.停,+8)D.(0,8]

【变式10；】4.(2020下•河北石家庄•高三石家庄市藁城区第一中学校考阶段练习)函数y=2炉-2>2,

Xe[一1,2]的值域是()

A.RB.[4,32]C.[2,32]D.[2,+oo)

题型11指数函数与一元二次函数的复合问题

【例题111(2020•上海•高一专题练习)函数y=a?*+2〃-l(a>。且a丰1)在区间[-1,1]上有最大值

14,则a的值为()

A.3或-5B.3C.|D.3或1

【变式11-1】1.(2022上•甘肃兰州•高一校考期末)已知函数f。)=1+ag)X+G)：

Q)当a=1时,求/'(x)的值域；

(2)若f(x)>-3对任意支£[0,+8)恒成立，求实数a的取值范围.

【变式11-1】2.(2023上•山西朔州•高一统考期末)已知函数f⑺=4ax/+(8a-3)x+蔡a—

4r

式aER).

⑴若a=i,求/(%)的值域；

(2)若a>I,存在实数小，n(m<n),当f(x)的定义域为[皿用时，f(x)的值域为[3帆+】,3"+】],求实数a的取

O

值范围.

【变式11-1】3.(2021・江西统考模拟预测)已知a>1,则函数g(x)e|a2W+a因+2的值域为()

A.£+8)B,[2,+oo)C,(2,|)D,[2,1]

【变式11-1]4.(2023上•广东清远•高一统考期末)已知函数f(%)=4X-a-2x-r+4.

(1)若a=4,求f。)在[0,1]上的值域；

(2)若关于x的方程f(x)=。有解，求a的取值范围.

题型12指数函数与反比例型函数的复合问题

【例题12](2023上•广东深圳•高一统考期末)已知f⑺=

(1)求证：/(%)为奇函数；

(2)求函数f(x)的值域.

【变式12-1】1.(2022上辽宁丹东•高一统考期末)已知函数f。)=公是奇函数.

Q)求实数a的值;

(2)求人比)的值域.

【变式12-1】2.(2022下•山西太原•高二太原市外国语学校校考阶段练习)已知函数f⑺=嗅"的图象

经过点(1,|),

⑴求a的值；

(2)求函数的定义域和值域；

(3)判断函数以久)的奇偶性并证明.

【变式12-1】3.(2021上•江西赣州•高三校联考期中)函数了⑶=安产的值域为()

A.[5,+oo)B.[4,+oo)C.(5,+oo)D.(4,+oo)

【变式12-1】4.(2023上•河北邯郸・高一统考期末)已知函数/(久)=1-/是定义在R上的奇函数.

⑴求实数a的值，并判断函数〃久)的单调性；

(2)求函数f(%)的值域.

【变式12-1】5.(2022上•广东深圳•高一统考期末)已知函数/⑺=逐.

⑴求/(-2)+((2)的值；

⑵求函数f(")的值域；

(3)若g(x)=[/0)]2-悬•+2a,且对任意的j、x2ER,都有1go力■=•/(%2)l<3,求实数a的取值范围.

题型13高斯函数相关问题

【例题13](2018上•天津•高一统考期中股函娄好。)=急-]田表示不超过x的最大整数，如[-1.2]=

-2,[2.3]=2则函数y=[/(%)]+[/(—%)]的值域为().

A.{0}B.{-1,0}C.{-1,0,1}D.{-2,0}

【变式13-1】L（2022下・浙江金华•高一浙江省义乌中学校联考期末）高斯是德国著名的数学家，近代数

学奠基者之一，享有"数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数"：设xeR,用田表示不超过%的最

大整数，则y=[幻称为高斯函数，也称取整函数，例如：[-1.3]--2,[3.4]=3,已知/⑶=舟-J则

函数y=[/（%）]的值域为（）

A.{0}B.{-1,o}C.{o,1}D.[-1,0,1}

【变式13-1】2.（多选）（2023上•重庆•高一统考期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，

享有"数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数"为：

设xeR,用田表示不超过x的最大整数，贝的=田称为高斯函数，例如：[-3.5]=-4,[2.1]=2.已知

函数"切=蔑，则关于函数9（久）=[八乃]的叙述中不正确的是（）

A.g（x）是R上的增函数B.g（l）=0

C.g（x）的值域是{-2,-1,0,1}D.gO）的值域是{-3,-2,-1,0}

【变式13-1】3.（2019上•湖南长沙•高一长郡中学校考阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠

基者之一，享有数学王子的美誉，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的"高斯函

数"为：设xeR,用田表示不超过x的最大整数，贝的=因称为高斯函数，例如[-3,2]=-4,[2.1]=2.

已知函数八x）=爵-1则函数y=[70）]的值域为

A.{0,1}B.{0}C.{-1,0}D.{-1,0,1）

【变式13-1】4.（多选）（2022上•湖南衡阳•高一统考期末）高斯是德国著名数学家，享有“数学王子"

的称号，以他名字命名的“高斯函数”是数学界