2025年新高考数学重难点专项复习：求圆的方程八大题型（原卷版）

重难点07求圆的方程/氏题型汇总

眉邛题型解读

〃满分技巧/

2」

技巧一.几何法：

根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.

技巧二待定系数法：

①若已知条件与圆心(a,功和半径/■有关，则设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a,b,，的方程组,

从而求出a,b,「的值;

②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于。，E,尸的方程

组，进而求出。，E,尸的值.

技巧三.标准方程法

确定圆心位置的方法

(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；

(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上；

(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线.

技巧四.圆系方程

1.过直线Ax+By+C-0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程为x2+y^+Dx+Ey+F+»(/x+By

+O=0(/leR);

2.过圆G:x2+必+Dix+£iy+6=0和圆G：必+必+%+£y+4=0交点的圆系方程：A2+产+Dix

+印/+6+/(必+〃+6x+E2y+Q)=0(/1/-1)(该圆系不含圆G解题时，注意检验圆G是否满足题意，

以防漏解).

用*题型提分练

题型1圆的标准方程法

【例题1](2022秋•青海海南•高二海南藏族自治州高级中学校考期末)圆心在x轴负半轴上，半径为4,

且与直线x+8y-5=0相切的圆的方程为()

A.(%+3)2+y2=16B.(x—3)2+y2=16

C.(x—13)2+y2=16D.(x+13)2+y2=16

【变式1-1】1.(2023春•上海杨浦•高二统考期末)以C(l,l)为圆心，且经过“(2,3)的圆的方程

是•

【变式1-1]2.(2023秋浙江杭州•高二浙江大学附属中学校考期末)已知点力(4,0),0(0,0),B(0,-3),则

△AOB的内切圆的方程为.

【变式1-1】3.(2022秋•甘肃兰州・高二兰化一中校考期末)斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的"黄

金螺旋线”，它的画法是：以斐波那契数：1,1,2,3,5,8,13,…为边长的正方形拼成长方形，然后

在每个正方形中画一个圆心角为90。的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.如图为该螺旋

线在边长为1,1,2,3,5,8的正方形的中的部分，建立平面直角坐标系(规定小方格的边长为1),则

接下来的一段圆弧所在圆的方程为

【变式1-1]4.(2022秋・广东珠海・高二珠海市第一中学校考期末)德国数学家米勒曾提出过如下的"最

大视角原理”对定点4B和在直线/上的动点P，当与△4PB的外接圆相切时，乙4PB最大若4(0,2),B(0,8),

P是久轴正半轴上一动点，当P对线段48的视角最大时,△4PB的外接圆的方程为()

A.(X-4)2+(y—4)2=25B.(x-4)2+(y-5)2=16

C.(x—5尸+(y—4)2=16D.(x-4)2+(y-5)2=25

【变式1-1]5.(2022秋广西钦州•高二浦北中学统考期末)已知直线I：x-2y+4=0与圆C：x2+y2+

2x+2y—8=0相交于A,B两点.

(1)求圆心为。(—3,3),过A,B两点的圆D的方程；

(2)求经过点A和点B且面积最小的圆的方程.

【变式1-U6.(2023秋•辽宁沈阳•高二东北育才学校校考期末)已知△ABC中，点4(-1,5),AC边上中线

所在直线匕的方程为8久+y-12=0,4B边上的高线所在直线。的方程为％-3y+6=0.

⑴求点B和点C的坐标：

(2)以M(l,0)为圆心作一个圆，使得力、B、C三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，求这

个圆的方程.

题型2圆的一般方程法

[例题2])(多选)(2022秋・湖北•高二统考期末)已知△ABC的三个顶点的坐标分别为力(1,1),5(-2,3),

CC-1,-2)，则下列说法正确的有()

A.2C边上的高所在直线的方程7x+4y+2=0；

B.△ABC的外接圆的方程为/+y2+3%-y-4=0；

C.过4作直线1与线段BC相交,则直线/斜率的取值范围为[-；,目；

D.△ABC的面积为葭.

【变式2-1]1.(2022秋•山东2泽•高二统考期末)已知qBC的三个顶点分别是点A(4,0),B(-2,0),

C(-2,2),则MBC的外接圆的方程为

【变式2-1J2.(2023秋诃南平顶山•高二统考期末)已知A/IBC的顶点坐标分别是43,0),B(1,2),C(-l,0).

(1)求AABC外接圆的方程；

(2)若直线I：3x+4y-8=0与44BC的外接圆相交于M,N两点，求NMCN.

【变式2-1J3.(2023秋•广东清远•高二统考期末)已知448。的顶点分别为4(-1,7),3(-4,-2),。(3,-1).

(1)求AABC外接圆的方程；

⑵设P是直线/：4%-3y-25=。上一动点，过点P作44BC外接圆的一条切线，切点为Q,求|PQ|最小值

及点P的坐标.

【变式2-1]4.(2023秋•广东深圳•高二深圳大学附属中学校考期末)矩形4BCD的两条对角线相交于点

M(2,0),AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,AC所在直线的方程为x-y-2=0.

(1)求BC边所在直线的方程；

(2)求经过M,A,B三点的圆的方程.

题型3数形结合法

【例题3](2022秋・陕西渭南•高二统考期末)过点4(-6,2),8(2,-2)且圆心在直线x-y+1=0上的圆

的方程是()

A.(x—3)2+(y—2)2=25B.。+3)2+(y+2)2=25

C.(%—3)2+(y—2)2=5D.(%+3)2+(y+2)2=5

【变式3-1]1.(多选)(2022秋•江苏连云港•高二期末)若圆C的半径为四,且直线2%+3y-10=0与

圆C相切于点P(2,2),则圆的方程是()

A.%2+(y—l)2=13B.x2+(y+l)2=13

C.(%+4)2+(y—5)2=13D.(%—4)2+(y—5)2=13

【变式3-1]2.(多选)(2022秋•江苏连云港•高二统考期末)已知圆C和直线遮％-y=0及%轴都相切，

且过点(3,0),则该圆的方程是()

A.(%-3)2+(y-V3)2=3B.(%-3)2+(y+3百?=27

C.O+3/+(y—=3D.(K一3尸+(y—36?=27

【变式3-1J3.(2023秋•江西吉安・高二江西省吉水县第二中学校考期末)已知点4(-2,2)田(6,4),//(5,2),

H是"BC的垂心.

(1)求点C的坐标；

⑵求MBC的外接圆的方程.

【变式3-1J4.(2023春•上海浦东新•高二校考期末)已知圆C：(x-1尸+(y-1尸=4,P为直线Z：2x+y+

2=。上的动点过点P作圆C的切线P4切点为A,当△24c的面积最小时,△P4C的外接圆的方程为)

A.(x-02+(y-g2=|B.(x-|)2+(y-|)2=；

C*+(y-丁=；D.(x-1)2+y2=^

【变式3-1]5.(2021春浙江宁波•高一镇海中学校考期末)已知力(1,1),B(3,3)，动点C在直线Z：y=K-4

上.

(1)设△ABC内切圆半径为r,求r的最大值：

(2)设△ABC外接圆半径为R,求R的最小值，并求此时外接圆的方程.

B

【变式3-1]6.（2022秋•浙江温州•高二温州中学校考期末）已知直线匕:久一y+3=。和%：久+y+1=0的

交点为4,过A且与久轴和y轴都相切的圆的方程为,动点B，。分别在k和％上，目旧C|=2,则

过4,B,C三点的动圆扫过的区域的面积为.

题型4已知解析式型

【例题4】（2023春・四川达州•高二校考期中）方程反-1|=J1-（y-1尸表示的曲线是（）

A.一个圆B.两个半圆C.两个圆D.半圆

【变式4-1]1.（2023・四川德阳•统考模拟预测）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它

蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.平

面直角坐标系中，曲线C：好+必=|%|+份|是一条形状优美的曲线，曲线C围成的图形的面积是（）

A.2TIB.4+nC.2+TID.TI

【变式4-1]2.（2021秋•上海浦东新•高三华师大二附中校考期中）已知曲线C：+2尸+

【变式4-1]3.（多选）（2023・全国•高二专题练习）若曲线E是由方程团-1=和朋-1=彳

共同构成，则（）

A.曲线E关于直线y=士x对称

B.曲线E围成的图形面积为兀+4

C.若点（%o，yo）在曲线E上,则人的取值区间是鱼]

D.若圆好+y2=r2（r>0）能覆盖曲线E,贝!]r的最小值为2

【变式4-1]4.（2022春•贵州黔西•高二统考期末）方程3-1=/4一（y-1）2表示的曲线的周长

为.

【变式4-1]5.（2023•北京•高三专题练习）曲线/+2久|y|+2y2—1=。的一条对称轴是；y的取

值范围是.

题型5直径公式法

【例题5]（2023秋河南驻马店•高二统考期末）以4（0,0）,B（2,0）为直径两端点的圆的方程为（）

A.x2+y2-2x=0B.x2+y2+2x—0

C.x2+y2—2y=0D.x2+y2+2y=0

【变式5-1]1.（2023春・上海崇明•高二统考期末）已知两点P（3,l）、Q（5,-3）,则以PQ为直径的圆的方

程是.

【变式5-1]2.（多选）（2022秋・湖北高二校联考阶段练习）下列说法错误的是（）

A.若一条直线的斜率为tana,则此直线的倾斜角为a

B.过不同两点4（巧,%）乃（%2，%）的直线方程为"江=工

yz-yi%2-％1

C.线段AB的两个端点201，%）和3（X2，%），则以AB为直径的圆的方程为（x—X1）（X—0）+（y—%）（y—

丫2）=0

D.经过点（2,1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-3=0

【变式5-1]3.（2021秋•安徽•高二校联考期中）已知圆直径的两个端点为4（1,0）,B（0,2V2）,则该圆的

标准方程为.

【变式5-1]4.（2022秋・山西太原•高二校联考阶段练习）已知线段PQ的端点Q的坐标为（-2,3）,

端点P在圆C:（x-8）2+（y-1）2=4上运动.

（1）求线段PQ中点M的轨迹E的方程；

（2）若一光线从点Q射出，经x轴反射后，与轨迹E相切，求反射光线所在的直线方程.

【变式5-1]5.（2022•全国高三专题练习）已知4（1,0）,8（3,0）是圆C直径上两个端点，则圆C的方程

为，若直线y=依截圆C所得的弦长为遮，则k=.

题型6圆系方程法

【例题6]（2023秋・山东济南•高二山东省济南市莱芜第一中学校考期末）已知圆的：/+⑺—=5,

圆C2:久2+y2-4x+2y=0.

（1）求圆Ci与圆Q的公共弦长；

（2）求过两圆的交点且圆心在直线2x+4y=1上的圆的方程.

【变式6-1]1.（2021,全国•高二期末）以圆C]：久2+*+©+1=o与圆：x2+y2+2x+2y+1=0

相交的公共弦为直径的圆的方程为（）

A.（x-1）2+（y-1）2=1B.（久+I）2+（y+I）2=1

【变式6-1]2.（2023春•河南周口•高二统考期中）经过直线2x+y-6=0与圆C:x2+y2-4x+6y+4=

0的两个交点，且面积最小的圆的方程是()

A.(x-4)2+(y—2)2=2B.(x+4)2+(y+2)2=2

C.(x—4)2+(y+2)2=4D.(%+4)2+(y—2)2=4

【变式6-1】3.(2023江苏高二专题练习)求经过直线％+y=0与圆好+川+一例-8=0的交点，

且经过点P(-L-2)的圆的方程.

【变式6-1]4.(2022秋•黑龙江齐齐哈尔•高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考期末)圆心在直线x-y-4=0

上,且过两圆M+必一4刀—6=。和/+y2_4y_6=o的交点的圆的方程为.

题型7对称相关问题

【例题7](2023春•重庆沙坪坝•高二重庆八中校考期末)已知圆C:久2+y2=25,则圆C关于点(-3,4)对

称的圆的方程为()

A.(%+3)2+(y-4)2=16B.(x+3)2+(y—4)2=25

C.(x+6)2+(y—8)2=16D.(x+6)2+(y—8)2=25

【变式7-1]1.(2022秋•陕西宝鸡・高二统考期末)已知圆C关于直线x-y+1=0对称的圆的方程

(%—1产+(y—=1,则圆C的方程为()

A.x2+(y+2/=1B.(x—2)2+y2—1

C.x2+(y-2/=1D.(x+2)2+y2=1

【变式7-1]2.(多选)(2022秋•辽宁营口•高三统考期末)已知圆C:(K一3多+(y—3)2=4与直线/:皿+

y-2=0,下列说法正确的是()

A.直线I与圆C一定相交

B.若爪<1则圆C上至少有两个不同的点到直线I的距离为1

C.若加=1,则圆C关于直线I对称的圆的方程是0+1尸+(y+1尸=4

D.若m=1,直线I与x轴，y轴分别交于A,B两点，P为圆C上任意一点，当|PB|=倔寸，贝最

大或最小

【变式7-1]3.（2023秋广东•高三统考期末）从点P（2,3）射出两条光线的方程分别为-3y+1=0

和G：3x-4y+6=。，经x轴反射后都与圆（x-a）2+（y-fa）2=1相切，则圆的方程为.

【变式7-1]4.（2022秋•重庆江北•高二校考期末）已知圆C的圆心在第一象限内，圆C关于直线y=1对

称，与y轴相切，被直线y=-x截得的弦长为20

Q）求圆C的方程；

（2）若点P（6或,2）,求过点P的圆的切线方程.

【变式7-1]5.（2022秋江苏镇江•高二扬中市第二高级中学校考期末）已知圆QO+2乃+（y-3）2=l,

圆。2：（久-3/+（y-2/=1,动点P在x轴上，动点M,N分别在圆的和圆。2上,则圆的关于x轴的对

称圆的方程为_；|PM|+|PN|的最小值是

题型8阿波罗尼斯圆问题

【例题8]（2023秋•重庆沙坪坝•高二重庆南开中学校考阶段练习）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼

斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于

平面轨迹的问题，例如:平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称

为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点4（-1,。出口B（2,l）,且该平面内的点P满足|P2|=V2|PB|,若点P的轨

迹关于直线机x+ny-2=0（m,n>0）对称，则旨+，的最小值是（）

A.10B.20C.30D.40

【变式8-1]1.（2023春•广西南宁・高二宾阳中学校联考期末）数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：

平面内到两定点距离之比为常数％（4>。且2#1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简

称阿氏圆.已知在平面直角坐标系久0y中，4（-3,0）,动点M满足|M川=/|用0|,得到动点M的轨迹是阿氏

圆C.若对任意实数k,直线「y=k（x-1）+b与圆C恒有公共点，贝心的取值范围是（）

A.[-713,713]B.[-714,714]

C.[-V15,V15]D.[-4,4]

【变式8-1]2.（多选）（2022秋福建厦门•高三厦门双十中学校考阶段练习）古希腊著名数学家阿波罗

尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现："平面内到两个定点A,B的距离之比为定值4。*1）的点的轨

迹是圆后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，

2（1,0）,5（3,0）,点P满足鬻=V2，点P的轨迹为曲线C,下列结论正确的是（）

A.曲线C的方程为%2+y2-10%+17=0

B.直线3K+4y=0与曲线C有公共点

C.曲线C被支轴截得的弦长为4/

D.A力BP面积的最大值为2女

【变式8-1]3.（2023•江苏•高二专题练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点48的

距离之比为定值M241）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy中，

4（-2,0）,B（4,0），点P满足翳=I.设点P的轨迹为C.

①轨迹C的方程为（x+4/+外=