2025年中考数学《图形的旋转》练习题（含答案解析）

2025年中考数学图形的旋转知识点

真题练习含答案解析

一、单选题

1.（2024・湖北・中考真题）平面坐标系x帆中，点A的坐标为（-4,6）,将线段。4绕点。顺时针旋转90。,

A.（4,6）B.（6,4）C.（-4,-6）D.（-6,-4）

【答案】B

【分析】本题考查坐标系下的旋转.过点A和点4分别作x轴的垂线，证明A/O50ACM'C（AAS）,得到

HC=O5=4,OC=4B=6,据止匕求角单即可.

【详解】解：过点A和点H分别作x轴的垂线，垂足分别为2,C,

「点A的坐标为(-4,6),

OB=4,AB=6,

•・•将线段。/绕点。顺时针旋转90。得到,

：.OA=OA,,N4CU'=90。，

・•.ZAOB=90°-AAOC=AOAC,

.•.△/OBg△CMC(AAS),

A'C=OB=4,OC=AB=6,

1

二点/'的坐标为（6,4）,

故选：B.

2.（2024・吉林・中考真题）如图,在平面直角坐标系中，点/的坐标为（-4,0）,点C的坐标为（0,2）.以04OC

为边作矩形若将矩形CMBC绕点。顺时针旋转90。，得到矩形。©夕。，则点"的坐标为（）

少

A----16'

B______C

AOCx

A.（-4,-2）B.（-4,2）C.（2,4）D.（4,2）

【答案】C

【分析】本题主要考查了坐标与图形变化一旋转，矩形的性质等等，先根据题意得到04=4,OC=2,再

由矩形的性质可得N3=OC=2,AABC=90°,由旋转的性质可得CM'=CM=4,A'B'=AB=2,

ZOA'B'=90°,据此可得答案.

【详解】解：•.•点/的坐标为（-4,0）,点C的坐标为（0,2）,

OA=4,0c=2,

•.•四边形0/8C是矩形，

AB=OC=2,ZABC=90°,

••,将矩形OABC绕点0顺时针旋转90°,得到矩形OA'B'C,

.•.O4=O/=4,A'B'=AB=2,ZOA'B'=90°,

••Wy轴，

点"的坐标为（2,4）,

故选：C.

3.（2024•天津•中考真题）如图，“BC中，ZB=30°,将。BC绕点C顺时针旋转60。得到AOEC,点4台

的对应点分别为。,E,延长94交。E于点尸，下列结论一定正确的是（）

A.ZACB=ZACDB.AC//DE

2

C.AB=EFD.BFICE

【答案】D

【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性

质内容是解题的关键.先根据旋转性质得/BCE=//CD=60。，结合48=30°,即可得证瓦FCE,再根

据同旁内角互补证明两直线平行，来分析NC〃。石不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算

得出A和C选项是错误的.

【详解】解：记小与CE相交于一点如图所示：

•••AABC中，将AABC绕点C顺时针旋转60°得到ADEC,

NBCE=NACD=60°

■:ZB=3,0°

在ABHC中，ZBHC=180°-NBCE-25=90°

:.BFVCE

故D选项是正确的，符合题意；

设/4CH=x。

ZACB=60°-x°,

NB=30°

ZEDC=ABAC=180。-30。-（60。-x。）=90°+x。

"EDC+4CD=90°+x°+60°=150°+x°

••・x。不一定等于30°

"EDC+//CD不一定等于180。

AC//DE不一定成立，

故B选项不正确，不符合题意；

■.■ZACB=60o-x0,ZACD=60°,x。不一定等于0。

ZACB=ZACD不一定成立，

故A选项不正确，不符合题意；

•.•将AABC绕点C顺时针旋转60。得到GEC,

：.AB=ED=EF+FD

■■.BA>EF

故C选项不正确，不符合题意;

故选：D

4.（2024・四川自贡•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，0（4,-2）,将Rd。。绕点。逆时针旋转90。

到位置，则点8坐标为（）

B.(4,2)C.(T-2)D.(-2,4)

【答案】A

【分析】本题考查坐标与图形，三角形全等的判定和性质.由旋转的性质得到RdOCD/RgAO/B,推出

0A=0C=4f45=CO=2即可求解.

【详解】解：•・・。（4,-2）,

0C=4,CD=2,

•・・将RtAOCD绕点O逆时针旋转90°到AOAB,

RtAOCD^Rt^OAB,

OA=OC=4,AB=CD=2,

・••点B坐标为（2,4）,

故选：A.

5.（2024•江苏无锡•中考真题）如图，在中，48=80。，NC=65。，将绕点A逆时针旋转得

到△NB'C.当/"落在/C上时，/A4C'的度数为（）

A

70°C.80°D.85°

【答案】B

4

【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可得/B'/C'=/A4C,

由三角形内角和定理可得出/8'/C'=/A4C=35。，最后根据角的和差关系即可得出答案.

【详解】解:由旋转的性质可得出Z8'/C'=/8NC,

ZBAC+ZB+ZC^180°,

Z8/C=180°-80°-65°=35°,

；.NB'AC'=NBAC=35°,

ABAC=ABAC+ZB'AC=70°,

故选：B.

6.（2024•黑龙江大庆•中考真题）如图，在矩形/BCD中，/3=10,5c=6,点M是边的中点，点N

是4D边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90。，点N旋转到点N',则AWBN'周长的最小值为

A.15B.5+575C.10+5收D.18

【答案】B

【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，确定点M的轨迹是解题的关键.由旋转的性质

结合AAS证明△4W丝△GW,推出MG=/A/=5,得到点N'在平行于Z2,且与N2的距离为5的直

线上运动，作点/关于直线E尸的对称点刊'，连接MB交直线E尸于点N',此时AWBN'周长取得最小值,

由勾股定理可求解.

【详解】解:过点N'作EF//4B,交4D、BC于E、F,过点/作所垂足为G,

ANED

•.■矩形/BCD,

AB//CD,

.-.AB||EF||CD,

••・四边形AMGE和BMGF都是矩形,

5

NA=NMGN'=90°,

由旋转的性质得NAMV，=90。，MN=MN',

ZAMN=90°-ZNMG=ZGMN',

AAMNAGMN'(AA0,

：.MG=AM=5,

点M在平行于N8,且与的距离为5的直线上运动，

作点/关于直线环的对称点连接MB交直线E尸于点N',此时AWBN'周长取得最小值，最小值为

BM+BM',

■：BM=-AB=5,AW,=5+5=10,

2

■■BM+BM'^5+sj52+\02=5+575，

故选：B.

7.(2024•内蒙古赤峰•中考真题)如图，“5C中，AB=BC=\,ZC=72°.将。3C绕点/顺时针旋转

得到△A8'C',点"与点8是对应点，点C，与点C是对应点.若点C'恰好落在8C边上，下列结论：①

点3在旋转过程中经过的路径长是:"；@B'A//BC；③BD=C'D；④嘿=能.其中正确的结论是

3ACBL)

BCC

A.①②③④B.①②③C.①③④D.②④

【答案】A

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，弧长公式，等腰三角形的判定和性质，三角

形内角和定理.根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求得各角的度数，再逐一判断各项，即可求解.

【详解】解：•••/8=8C，ZC=72°,

ABAC=ZC=72°,ZABC=180°-2ZC=36°,

由旋转的性质得/Z8'C=/43C=36。，AB'AC=ABAC=12°,NACB=NC=72。,

ZAC'B'=ZADC=72°,ACAC,

ZAC'C=ZC=12°,

ZCACr=36°,

6

ZCAC=ABAC=36°,

；"B'AB=72。-36。=36°,

由旋转的性质得48'=48,

ZABB'=AAB'B=1(180°-36°)=72°,

=g》；①说法正确;

②•・•NB/B=/ABC=36。,：.B'A//BC-②说法正确;

③•••ZDC'B=1800-2x72°=36°,

ADCB=ZABC=36°,

；.BD=C'D；③说法正确;

(4)vZBB'D=/ABC=36°,ZB'BD=ABAC=72°,

AB'BDSABAC,

ABB'B厂\、"、工-T-T-丘

~7C=~RV,'④说法正确;

AL,DD

综上，①②③④都是正确的,

故选：A.

8.（2024•四川广元•中考真题）如图，将“3C绕点/顺时针旋转90。得到点8,C的对应点分别

为点D,E,连接CE,点。恰好落在线段CE上，若CD=3,BC=1,则4D的长为（）

B.V10C.2D.272

【答案】A

【分析】此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，由旋转得/C=/E,

=90°,DE=BC=l,推出是等腰直角三角形，CE=4,过点N作/于点”，得到

7

HD=1,利用勾股定理求出4D的长.

【详解】解：由旋转得△48C之△/£>£1,ZCAE=90°,

:.AC=4E,ZCAE=90°,DE=BC=1,

.•・△/CE是等腰直角三角形，CE=CO+OE=3+1=4,

过点/作/HLCE于点〃，

HD=HE-DE=2-1=1,

•••AD=^AH2+HD"=A/22+12=V5，

故选：A.

9.（2024•重庆•中考真题）如图，在正方形48CD的边CD上有一点E,连接把/£绕点£逆时针旋

转90。，得到FE,连接CF并延长与的延长线交于点G.则峭的值为（）

A.V2B.V3C.*D.必

22

【答案】A

【分析】过点尸作。。延长线的垂线，垂足为点〃，则NW=90。，证明ANOE也则4D=EH=1,

设DE=HF=x,得到HF=CH=x,则NACE=45。，故CF=®x,同理可求CG=J^C=JL贝U

FG=CG-CF=y/2（l-x）,因此型=仞j）=也.

CE1-x

【详解】解：过点尸作QC延长线的垂线，垂足为点〃，则N*=90。，

8

由旋转得EA=EF,ZAEF=90°,

•・・四边形Z3CQ是正方形，

・・・/。=90。，DC//AB,DA=DC=BC,^DA=DC=BC=1,

=/H,

•・•/AEH=Z1+ZAEF=Z2+ZZ）,

・•・Z1=Z2,

公ADE”小EHF,

DE=HF,AD=EH=\,设DE=HF=x,

贝UCE=OC-OE=l-x,

：,CH=EH-EC=\-（\-x）=x,

HF=CH=x,而/H=90°,

・•.ZHCF=45°,

.•.CF="=缶,

sin45°

-DC//AB,

："HCF=/G=45。,

同理可求CG=亚BC=V2,

：.FG=CG-CF=42-42x=yl2（l-x）f

AFG=V2（1-X）=^>

CE1-x

故选：A.

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，旋转的性质，正确添加辅

助线，构造“一线三等角全等”是解题的关键.

10.（2024•四川内江•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，/2，了轴，垂足为点8,将A/3。绕点A

逆时针旋转到的位置，使点B的对应点区落在直线了=-%上，再将绕点耳逆时针旋转到

△4302的位置，使点a的对应点。2也落在直线了=-：尤上，如此下去，……，若点8的坐标为（0,3）,

则点名7的坐标为（）.

9

A.(180,135)B.(180,133)C.(-180,135)D.(-180,133)

【答案】C

【分析】本题考查了平面直角坐标系、一次函数、旋转的性质、勾股定理等知识点.找出点的坐标规律以

及旋转过程中线段长度的关系是解题的关键.

通过求出点A的坐标，AB、CM、08的长度，再根据旋转的特点逐步推导出后续点的位置和坐标，然后

结合图形求解即可.

【详解】轴，点8的坐标为(0,3),

3

OB=3,则点A的纵坐标为3,代入y=

4

得：%=-4,则点A的坐标为(-4,3).

；.OB=3,AB=4,

OA=V32+42=5，

由旋转可知，OB=€)出[==…=3,OA=OXA=O2AX=...=5,AB=AB、=A、B[=AzB2=…=4,

OBi=OA+ABl=4+5=9,片用=3+4+5=12,

B&3=B3B5=...=B35B37-12,

(37-1)

OB31=OB1+4837=9+\2'*12=225.

设点B37的坐标为

则O537=卜=225,

3

解得a=-180或180(舍去)，则-7a=135,

4

.•・点区7的坐标为(T80,135).

故选C.

10

11.(2024・四川南充・中考真题)如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦

图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成.在正方形/BCD中，43=10.下列三个结论:

①若tan//世=i，贝1］跖=2；②若的面积是正方形即面积的3倍，则点尸是/G的三等

分点；③将“8G绕点/逆时针旋转90。得到△NOG',则BG'的最大值为56+5.其中正确的结论是

()

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】D

Ap3

【分析】根据tan/4DF=——=—,设4F=3x,得到。尸=4x,进而得到AD=5x==10,求出x的值,

DF4

3

判定①，根据的面积是正方形环G/f面积的3倍，求出NG=53G,进而得到

FG=AG-BG=^AG,判断②；旋转得到//G'D=44G3=90。，进而得到点G'在以为直径的半圆

上，取4D的中点。，连接80,0G',得到3GY50+0G',判断③.

AF3

【详解】解：在RM4Q厂中，tanZ.ADF==—,

DF4

・,・设AF=3x,则：DF=4x,

***AD=5x=AB=10,

AX=2,

AF=6,DF=8,

•・•小DFAAAGBABHCACED,

DE=AF=6,

：.EF=DF-DE=2；故①正确；

17

若RS48G的面积是正方形EFG8面积的3倍，贝八-AG-BG=3FG2=3(AG-BGy,

：.AG-BG=6(AG-BG『,即：6AG2-UAG-BG+6BG2=Q,

11

32

.­.AG=-BG^AG=-BG（舍去），

23

：.FG=AG-BG=-AG,

3

•••点尸是ZG的三等分点；故②正确；

•.•将AABG绕点/逆时针旋转90°得到△4DG',

ZAG'D=NAGB=90°,

.•.点G'在以为直径的半圆上，

取AD的中点O,连接8O,OG，，贝U：BG'<BO+OG',OG'=OA=-AD=5,

2

•••BO=sJOA2+AB2=5y/5，

BG,<30+0G=5石+5，

即：BG'的最大值为5行+5;故③正确；

故选D.

【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理，旋转的性质，解一元二次方程，求圆外一点到圆上一点的最

值，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键.

12.（2024•北京•中考真题）如图，在菱形/BCD中，ABAD=60°,。为对角线的交点.将菱形/BCD绕点

。逆时针旋转90。得到菱形/'5'C'D',两个菱形的公共点为E,F,G,H对人边形BFB'GDHD'E给出下

面四个结论：

①该八边形各边长都相等；

②该八边形各内角都相等；

③点O到该八边形各顶点的距离都相等；

④点。到该八边形各边所在直线的距离都相等。

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

12

A.①③B.①④C.②③D.②④

【答案】B

【分析】根据菱形ABCD,ABAD=60°，则ZBAO=ZDAO=30°,NAOD=ZAOB=90°,结合旋转的性

质得到点4,。',夕,。一定在对角线上，5.0D=0D'=0B=0B',OA=OA'=OC=OC,继而得到

AD'=CD,/D'AH=/DC'H=30。,结合ND'HA=/DHC',继而得到A4D月也AC'D”,可证

D'H=DH,CH=AH,同理可证。£=/=8户,8'G=Z)G,证“'BE注AC'DH,继而得到

DH=BE,得至"DH=BE=D'H=D'E=BF=FB'=B'G=DG,可以判定该八边形各边长都相等，故①正

确；根据角的平分线的性质定理，得点O到该八边形各边所在直线的距离都相等，可以判定④正确；根据

题意，得NED'H=120。,结合/。'。。=90°,/OD'H=NODH=60°,得到=150。，可判定②该

八边形各内角不相等；判定②错误，证AD'OH峪ADOH,进一步可得ODwOH,可判定点。到该八边形

各顶点的距离都相等错误即③错误，解答即可.

本题考查了旋转的性质，菱形的性质，三角形全等判定和性质，角的平分线性质定理，熟练掌握旋转的性

质，菱形的性质，三角形全等判定和性质是解题的关键.

【详解】向两方分别延长8。，连接

根据菱形/BCD,^BAD=60°,则Z8/。=ZD/。=30。，/40D=N40B=90°,

•.•菱形ABCD绕点。逆时针旋转90°得到菱形A'B'C'D',

.•.点H,D',2',C'一定在对角线上，S.OD=OD'=OB=OB',OA=OA'=OC=OC,

：.AD'=CD,ND'AH=NDC'H=30。,

:ND'HA=ZDHC,

:.AAD'H知C'DH,

D'H=DH,CH=AH,同理可证D'E=BE,BF=B'F,B'G-DG,

•・•NEAB=ZHCD=30°,A'B=CD,/ABE=ZCDH=120°,

,"A'BE%C'DH,

:.DH=BE,

13

:.DH=BE=D'H=D'E=BF=FB'=B'G=DG，

该八边形各边长都相等，

故①正确；

根据角的平分线的性质定理，得点。到该八边形各边所在直线的距离都相等,

・•.④正确；

根据题意，得NED'H=120°,

•••ZD'OD=90°,ZOD'H=NODH=60°,

ND/HD=150°,

该八边形各内角不相等；

.•.②错误，

根据OD=OD',D'H=DH,OH=OH,

：.AD'OHADOH,

ZD'HO=ZDHO=75°,

ZODH=60°,

故OD力OH,

.••点。到该八边形各顶点的距离都相等错误

二③错误，

故选B.

二、填空题

13.（2024•四川雅安•中考真题）如图，在443c和中，AB=AC,NBAC=/DAE=40。,LADE

绕点/顺时针旋转一定角度，当ND13C时，/8/E的度数是.

14

A

【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，旋转的性质，分两种情况分别画出图形，再结合等腰三角形的

性质与角的和差运算可得答案;

【详解】解：如图，当4D18C时，延长交3C于

AB=AC,NBAC=NDAE=40。，

.­.ZBAJ=ZCAJ=2.0°,

.♦.N24E=20°+40°=60°；

如图，当ND/8C时，延长。/交于J,

•：AB=AC,ZBAC=ZDAE=40°,

:.ZBAJ=ZCAJ=20°,

ZBAE=180°-20°-40°=l20°,

故答案为：60。或120。

14.（2024•吉林长春•中考真题）一块含30。角的直角三角板N3C按如图所示的方式摆放，边N8与直线/重

合，AB=ncm.现将该三角板绕点3顺时针旋转，使点。的对应点。落在直线/上，则点/经过的路径

长至少为cm.（结果保留力）

15

A

【答案】8兀

【分析】本题主要考查了旋转的性质、弧长公式等知识点，掌握弧长公式成为解题的关键.

由旋转的性质可得/43c=44'3。=60。,即NZ的=120°,再根据点/经过的路径长至少为以B为圆心,

以AB为半径的圆弧的长即可解答.

【详解】解：••・将该三角板绕点8顺时针旋转，使点C的对应点C'落在直线/上，

.•"ABC=ZA'BC=60。,即乙4国=120°,

•・•点A经过的路径长至少为12:0°。•:万J2=8兀.

Io0

故答案为：8兀.

15.（2024•黑龙江大兴安岭地•中考真题）如图，在中，ZACB=90°,tan/A4c=（，BC=2,

AD=\,线段40绕点A旋转，点P为CD的中点，则2P的最大值是.

B

C

【答案】2行+；

【分析】本题考查了解直角三角形，三角形中位线定理，旋转的性质，解题的关键是找出8P取最大值时

B、P、河三点的位置关系.

取/C的中点连接PM、BM,利用解三角形求出BM=+8c2=2顶,利用三角形中位线定理

推出尸当4D在/C下方时，如果8、P、M三点共线，则5尸有最大值.

【详解】解：取ZC的中点连接尸河、BM.

16

■：ZACB=90°,tanNB/C」，BC=2,

2

BCc1,

/.AC=-------------=2-r—=4,

tanABAC2

.-.AM=CM=-AC=2,

2

BM=y]MC2+BC2=A/22+22=2A/2，

,:P、M分别是C。、NC的中点,

：.PM=-AD=-

22

如图，当40在ZC下方时，如果8、P、M三点共线，则AP有最大值,

故答案为：2>/2+—.

16.（2024•四川广安・中考真题）如图，直线了=2无+2与x轴、V轴分别相交于点A,B,将“08绕点A

逆时针方向旋转90。得到ANCO,则点。的坐标为.

【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，旋转的性质，正方形的判定和性质等，延长。。交y轴

于点E,先求出点/和点2的坐标，再根据旋转的性质证明四边形。NCE是正方形，进而求出。E和

的长度即可求解.

【详解】解：如图，延长DC交y轴于点E,

17

•.•y=2x+2中，令x=0,贝l]y=2,令y=2x+2=0,解得x=-l,

OA=1，OB=2，

•••"。5绕点A逆时针方向旋转90。得到ANCO,

ZACD=ZAOB=ZOAC=90°,OA=OC=\,OB=CD=2,

，四边形04CE是正方形.

CE=0E=0A-1,

DE=CD+CE=2+1=3,

.・.点。的坐标为(-3,1).

故答案为：(-3,1).

17.(2024•江苏盐城•中考真题)如图，在“3C中，NACB=90°,/C=8C=2后，点。是4C的中点,

连接助，将ABCD绕点B旋转,得到ABE尸.连接C/，当CF〃/2时，CF=

【答案】2+V6/V6+2

【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的性质的综合，掌

握等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质是解题的关键.

根据等腰直角三角形的性质可得48CD,BD,8尸的值，作8GLCF,根据平行线的性质可得ABCG是

等腰直角三角形，可求出CG,BG的长，在直角尸G中，根据勾股定理可求出产G的长度，由此即可求

解.

【详解】解：••・在A48C中，4c5=90。，AC=BC=2垃,

：.ZCAB=ZCBA=45°,AB=42AC=4,

:点。是/C的中点,

18

.-.AD=CD=-AC=42,

2

.•.在Rt^BCD中，BD=4CD-+BC1=，(血『+(2及『=V10,

,将ABCD绕点8旋转得到ABEF,

,“BCD之&BEF,

:.BD=BF=M,EF=CD=亚,BC=BE=2亚,

如图所示，过8Gle厂于点G,

•••CF||AB,

ZFCB=NCBA=45°,

.•.△3CG是等腰直角三角形，&BC=2历,

.­.CG=BG=—BC=—x2yl2=2,

22

在火必3尸G中，FG=’8尸2-3G2=《回j=&,

■■■CF=CG+FG=2+y/6,

故答案为：2+后.

18.（2024•四川泸州•中考真题）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移。（々＞0）个单位，再

绕原点按逆时针方向旋转。角度，这样的图形运动叫做图形的「（。,夕）变换.如：点/（2,0）按照夕（1,90。）

变换后得到点4的坐标为（T2）,则点可若T）按照2（2,105。）变换后得到点Q的坐标为.

【答案】（-V2,V2）

【分析】本题考查了解直角三角形，坐标与图形.根据题意，点8（道,-1）向上平移2个单位，得到点

再根据题意将点C（退』）绕原点按逆时针方向旋转105。，得至iJO*=OC=2,ZB'OD=45°,据此求解即

可.

【详解】解：根据题意，点2（后-1）向上平移2个单位，得到点「

19

•••oc==2,sinZC(9£=^|=|,

ZCOE=30°,

根据题意，将点C(6,1)绕原点按逆时针方向旋转105。,

NB'OE=105°+30°=135°,

作2力，x轴于点。，

OB'=OC=2,ZB'OD=180°-135°=45°,

B'D=OD=OB'-sin45°=啦，

二点"的坐标为卜后,后)，

故答案为：卜血,血).

19.（2024•江苏苏州・中考真题）直线4：y=x-l与x轴交于点力,将直线4绕点/逆时针旋转15。，得到直

线4,则直线4对应的函数表达式是.

【答案】y-A/3X—V3

【分析】根据题意可求得K与坐标轴的交点/和点8,可得ZOAB=AOBA=45°,结合旋转得到ZOAC=60°,

则/OC4=30。，求得OC=VL即得点C坐标，利用待定系数法即可求得直线4的解析式.

【详解】解：依题意画出旋转前的函数图象4和旋转后的函数图象4,如图所示：

20

令x=0,得y=-l；令>=0,即x=l,

”(1,0),5(0,-1),

•••OA-1,OB=1,

即/。/2=/03/=45°

・•,直线4绕点/逆时针旋转15。，得到直线4,

­.ZOAC=60°,ZOCA=30°f

■■OC=CM*tan60°=疯%=退,

设直线右的解析式为y=b+b,则

0=k+b

“解得

6=-行

那么，直线4的解析式为昨岳-6，

故答案为：y=43x-^3.

【点睛】本题主要考查一次函数与坐标轴的交点、直线的旋转、解直角三角形以及待定系数法求一次函数

解析式，解题的关键是找到旋转后对应的直角边长.

20.（2024•山东潍坊・中考真题）如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点A的坐标为（0,4）,点反C

均在x轴上.将.ABC绕顶点A逆时针旋转30°得到AAB'C',则点C'的坐标为.

21

------------//--------->

B0彳Cx

【答案】（4,4-孚）

【分析】本题主要考查旋转的性质，三角函数的计算，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.作

求出。尸，C/的值即可得到答案.

【详解】解：作交了轴于点尸，

是等边三角形，A01BC,

是/A4c的角平分线，

/CMC=30。，

OC=-AC,

2

在Rt“OC中，AO2+OC2=AC2,

即16+（；/C）2=/C2,

解得/C二型

3

-,AC=AC=—

3

4J3

OF=AO-AF=4-AC^os600=4—--,

3

8G百

FC=AC-sm600-----x----4,

32

22

三、解答题

21.(2024•山东济宁•中考真题)如图，“3C三个顶点的坐标分别是/(1,3),8(3,4),C(1,4).

yk

O123456x

(1)将。3c向下平移2个单位长度得△44G，画出平移后的图形，并直接写出点耳的坐标;

(2)将△4耳。绕点耳逆时针旋转90°得.画出旋转后的图形，并求点£运动到点C2所经过的路径

长.

【答案】⑴作图见解析，4(3,2)

⑵作图见解析，兀

【分析】本题考查了作图一平移变换和旋转变换，弧长公式，解题的关键熟练掌握平移和旋转的性质,

(1)利用平移的性质作出对应点，再连线即可，

(2)利用旋转的性质分别作出对应点，再连线，G运动到点所经过的路径长即为弧长即可可求解

【详解】(I)解：△48G如下图所示：

23

由图可知：4(3,2)；

(2)解：如上图所示:

万x81Gx90°_万x2x90°

G运动到点。2所经过的路径为:=71

180180

22.(2024•广东广州•中考真题)如图，RtZ\/5C中，/8=90。.

(1)尺规作图：作/C边上的中线3。(保留作图痕迹，不写作法);

(2)在(1)所作的图中，将中线8。绕点。逆时针旋转180。得到D。，连接40,CD.求证：四边形/BCD

是矩形.

【答案】⑴作图见解析

(2)证明见解析

【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，矩形的判定，平行四边形的判定与性质,旋转的性质;

(1)作出线段/C的垂直平分线斯，交/C于点O,连接3。，则线段80即为所求；

(2)先证明四边形/BCD为平行四边形，再结合矩形的判定可得结论.

【详解】(1)解：如图，线段5。即为所求；

A

专

——

(2)证明：如图,

24

••,由作图可得：AO=CO由旋转可得：BO=DO,

••・四边形/BCD为平行四边形,

•••NABC=90°,

四边形/3CD为矩形.

23.（2024•甘肃兰州•中考真题）综合与实践

【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在“3C

中，点"，N分别为4B,/C上的动点（不含端点），且AN=BM.

【初步尝试】（1）如图1,当“3C为等边三角形时，小颜发现：将抽绕点M逆时针旋转120。得到MD,

连接8。，则上W=请思考并证明：

【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2,在“8C中，AB=AC,

ABAC=90°,AELMN于点,E,交BC于点、F,将绕点M逆时针旋转90。得到MD,连接。/,DB.试

猜想四边形4打。的形状，并说明理由；

【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3,在“3C中，4B=4C=4,ABAC=90°,连接

BN,CM,请直接写出BN+CM的最小值.

A

【答案】（1）见详解，（2）四边形工总。为平行四边形，（3）4追

【分析】（1）根据等边三角的性质可得々=60。,奶=/C,再由旋转的性质可得

DM=AM,ZAMD=l20o,从而可得NDVffi=乙4=60。，证明△㈤W咨AA«D（SAS）,即可得证；

（2）根据等腰直角三角形的性质可得//3C=45。，再根据旋转的性质可得M4=MD,ZMAD=ZMDA=45°,

NDMA=NDMB=90°,从而可得=NNAF=45。，由平行线的判定可得4D〃3F,证明

△ANM咨AMBD（SA0,可得NAMN=NMDB,利用等量代换可得尸，再由平行线的判定可

得DB〃AF,根据平行四边形的判定即可得证;

25

(3)过点/作N8NG=45。，使4G=CB,连接GM、GC,BG,延长C8,过点G作G。，C2于点O,

根据等腰三角形的性质可证NG4M=NBCN=45。，证明AG/AGA8CN(SNS),可得GM=BN,从而可

得当点G、M、C三点共线时，8N+CM的值最小，最小值为CG的值，根据平行线的性质和平角的定义

可得NG8O=45。，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得OG=O8=2收，从而可得。C=6啦，再

利用勾股定理求解即可.

【详解】(1)证明•••O3C为等边三角形，

ZA=60°,AB=AC,

绕点M逆时针旋转120。得到M),

DM=AM,ZAMD=120°,

ZDMB=60°,

AN=BM,NDMB=N4=60°,

：.AANM%MBD(SAS),

:.MN=DB；

(2)解：四边形NEB。为平行四边形，理由如下，

•；AB=4C,4c=90°,

.-.ZABC=45°,

vMA绕点、M逆时针旋转90°得到MD,

MA=MD,/MAD=AMDA=45°,/DMA=ZDMB=90°,

・•./MAD=NABF=45°,

则AD//BF,

在△4W和△A"。中，

'MA=DM

</MAN=/DMB,

AN=MB

.-.△^W^AM^D(SAS),

・•.ZAMN=/MDB,

•・•AEVMN,

ZAMN+ZMAE=90°,

•・•ZMDB+ZMBD=90°,

・•・/DBM=ZMAF,

zo

:・DB〃AF,

则四边形AFBD为平行四边形；

(3)解：如图，过点4作NA4G=45。，使4G=CB,连接GM、GC,BG,延长C5,过点G作

于点。，

vAB=AC=4,ZBAC=90°f

・•./ABC=ZACB=45°,

:"GAM=/BCN=A5。，

vAN=BM,

・•.AM=CN,

又•・•AG=CB,

.”GAMaBCN(SAS),

・•.GM=BN,

：.BN+CM=GM+CM>CG,

・•・当点G、M、C三点共线时，BN+CN的值最小，最小值为CG的值,

•・•ZGAM=/ABC=45°,

・•.AG//BC,

・•.ABAC=/ABG=90°,

ZGBO=180°-ZABG-/ABC=45°,

・・.ZGBO=45°,

OG=OB,

、GB=丘OB=41OG，

・•・OG=OB=2V2,

••OC=6五，

在用ziGOC中，GC=J(2后『+(6&y=46，

・•.BN+CM的最小值为4>/5.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定、旋转

27

的性质及等边三角形的性质，熟练掌握相关定理得出当点G、〃、C三点共线时，2N+CN的值最小，最

小值为CG的值是解题的关键.

24.(2024•四川广安•中考真题)如图，矩形纸