2025年中考数学二轮复习讲义：锐角三角形及其应用（原卷版）

专题08锐角三角形及其应用

目录

题型特训-精准提分

题型01锐角三角函数与三角形综合

题型02锐角三角函数与四边形综合

题型03锐角三角函数与圆综合

题型04锐角三角函数与圆及四边形综合

题型05锐角三角函数与圆及三角形综合

题型06锐角三角函数与函数综合

题型0712345模型

题型08锐角三角形应用-仰角俯角问题

题型09锐角三角形应用一方位角问题

题型10锐角三角形应用-坡度坡角问题

题型11锐角三角形应用-与不易测量相关问题

题型12锐角三角形应用-与可调节的滑动悬杆问题

■中考逆袭-高效集训

（时间：60分钟）

题型特训-精准提分

题型01锐角三角函数与三角形综合

1.（2023・广东深圳•模拟预测）如图，在锐角三角形4BC中，tanA=b,BC=遮，线段BD、CE分别是力C、4B

边上的高线，连接DE,则三角形4DE面积的最大值是.

2.（2023•河南南阳•三模）小明参加了学校组织的数学兴趣小组，在一次数学活动课上，他们对两块大小不

等的等腰直角三角板摆放不同的位置，做了如下探究:

图2图3

（1）将两块三角板的直角顶点重合，如图1,在△力CB和ADCE中，入4cB=乙DCE=90。,AC=BC,DC=CE,

当点力在线段4B上时（点。不与点4,8重合），

①由题意可得△4CD三ABCE,其依据是：；

A.SSSB.SASC.ASAD.AAS

②直接写出4。与BE的数量关系.

（2）将两块三角板的锐角顶点重合，如图2,在AACB和△£»（：£1中,NC4B=lCDE=90°,AC=AB,CD=DE,

点A与线段DE不在同一直线上，（1）中4。与BE的数量关系是否仍然成立？若不成立，请求出新的数量关

系；

（3）将小三角板的锐角顶点与大三角板的直角顶点重合，如图3,在AACB和AEDC中,〃CB=NEDC=90°,

"=BC=4,CD=ED.将△EDC绕点C在平面内旋转，当点。落在边48上时，满足sin/BCE=个，请

直接写出4D的长.

3.(2023•重庆沙坪坝•二模)等边△ABC中，点。为直线28上一动点，连接DC.

(1)如图1,在平面内将线段DC绕点C顺时针方向旋转60。得到线段CE,连接BE.若。点在4B边上，且DC=V5,

tanzXCD=求BE的长度；

(2)如图2,若点。在28延长线上，点G为线段DC上一点，点尸在CB延长线上，连接FG、AG.在点。的运动

过程中，若NG力F+N4BF=180。，且FB-BD=AC,猜想线段CG与线段OG之间的数量关系，并证明你的

猜想；

(3)如图3,将ABDC沿直线BC翻折至AABC所在平面内得到△BDC,M点在边上，且将MA

绕点力逆时针方向旋转120。得到线段AN,点H是直线ZC上一动点，将△MNH沿直线翻折至△MN”所在

平面内得到AMATH,在点D,H运动过程中，当最小时，若48=4,请直接写出DN0的面积.

题型02锐角三角函数与四边形综合

4.(2023•山东青岛•一模)【阅读与思考】

我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形.如图1,一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平

行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为a,我们把上的值叫做这个平行四边形的变形度.

【探究与应用】

(1)若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是120°,则这个平行四边形的变形度是

(2)若矩形的面积为Si，其变形后的平行四边形面积为，试猜想Si，S2,熹之间的数量关系，并说明理由；

(3)如图2,在矩形A2CZ)中，E是边上的一点，5.AB2^AE-AD,这个矩形发生变形后为团

位为E的对应点，连接8送1，B]D「若矩形A8C。的面积为同i(a>0)的国力/16。1面积为标(m>0),

求Z4L1+乙410/1的大小.

5.(2023・吉林长春•模拟预测)【实践操作】如图①，在矩形纸片48CD中，AB=5cm,AD=3cm,E为边AB

上一点，把A/IDE沿着DE折叠得到△4DE,作射线E4交射线OC于点尸,过点尸作F”1于点

(2)当AE=2cm时，CF=cm；

(3)【问题解决】如图②，在正方形纸片A8CD中，取边力B中点E,4。=3cm,将44DE沿着DE折叠得到4A'DE,

作射线交边于点G,点F为CD边中点，P是边BC上一动点，将△CFP沿着FP折叠得到△LFP,当点L

落在线段4。上时，tan/CFP=.

6.(2023・吉林长春•模拟预测)【操作一】如图①，在正方形48C。中，点M是48的中点，MN11BC交CD于点、

N.点E是4B边上的一点，连结CE,将正方形纸片沿CE所在直线折叠，点B的对应点B,落在MN上.求乙CB'N

的大小.

ADADAD

£

BCBCBc

图①图②图③

以下是小明同学的部分解答过程,请你补充完整.

解：••・四边形4BCD是正方形，

AD||BC,Z5=4BCD=ND=90°,AB=BC=CD.

•••MNWBC,

MB=NC,乙MNC=ZD=90°

•••M是4B的中点,

1I

・•・MB=-AB=NC=-BC

22

由折叠，得CB=CB'

1

CN=-

2

在RtaB'CN中,

si^CB'N=^=|

乙CB'N=度.

【操作二】在图①的基础上继续折叠，如图②，点F是CE边上的一点，连结4尸，将正方形纸片沿4F所在直

线折叠，点。的对应点。'落在MN上.求证：ABCEGDAF.

【应用】在图②的基础上，如图③，G、”分别是CE、4F的中点，顺次连接G、D'、H,若=2,直

接写出点H、G之间的距离.

7.(2023•浙江宁波・一模)【基础巩固】

(1)如图1,四边形ABCD是正方形，点E是边BC上与点B不重合的任意一点，EF=AE,^AEF=90°,点

G是射线BC上一点，求证：ZFCG=45°.

证明思路：在上截取BK=BE,因为AB=BC,所以力K=CE,请完成接下去的证明;

【尝试应用】

如图在矩形中，点是边上与不重合的任意一点，^AEF点

(2)2,4BCDEBCBtanzFCG=A—E=2,=90°,

G是射线BC上一点，求黑的值;

DC

【拓展提局］

(3)如图3,在矩形2BCD中，点E是边4。上一点，连结BE,作NEFG=NEBF,使点F,G分另U落在边BC,

CD.上.若2BE=5BF,且tan/CFG=求sin/EFC的值.

图1图2图3

题型03锐角三角函数与圆综合

8.(2023•广西梧州•二模)如图，在A4BC中，。为4C上一点，以点。为圆心，。。为半径作圆，与BC相切于

点C,过点4作4。18。交B。的延长线于点。，且=/-BAD.

(1)求证：力B为O。的切线；

(2)若4B=10,sinNABC=p求4D的长.

9.(2023・广东深圳•模拟预测)已知RtAABC中，ZC=90°,AB=10,且tan41=三，M为线段4B的中点,

4

作DM148,点尸在线段CB上，点Q在线段4C上，以PQ为直径的圆始终过点M,且PQ交线段DM于点E.

(1)求线段DM的长度；

⑵求tcm/PQM的值；

(3)当AMPE是等腰三角形时，求出线段4Q的长.

10.(2023•浙江杭州•三模)如图1,三角形力BC内接于圆。，点。在圆。上，连接4D和CD,CD交AB于点

E,^ADE+乙CAB=90°

c

B

图1图2

(1)求证：ZB是直径;

(2)如图2,点/在线段BE上，AC=AF,乙DCF=45°

①求证：DE=DA；

②若ZB=kAD,用含％的表达式表水cosB.

题型04锐角三角函数与圆及四边形综合

11.(2023・湖南永州•二模)如图1,在正方形4BCD中，AC为对角线，点F,H分别在边4。，力B上，CF=CH,

连结尸”交4C于点E.

(1)求证：4C平分NFC”；

(2)如图2,过点A,H,尸的圆交CF于点P,连结交AC于点K,求证：吟=器;

(3)在(2)的条件下，当点K是线段"的中点时，求COSNHCF的值.

12.(2023•浙江杭州•模拟预测)如图，在矩形4BCD中,AB=6,4。=9,点E是边力。上一点，且AE=3,

点尸在边4B上，过点B、F,E作圆。，交边8c或其延长线于G,连接BE,GE,GF,设BF=武0(光＜6).

备用图1

⑴求tan/FGE的值；

(2)若BG=EG,求x的值;

(3)若x=2,求弧EF的长;

(4)若圆。经过矩形的两个顶点时，直接写出x的值.(注：sinl90=cos750=ptan27°=；)

342

13.(2023・江苏扬州•三模)已知在矩形ABCD中，AB=4,AD=3,点。是边4B上的一点(不与点4重合),

以点。为圆心，。4长为半径作圆，交射线于点G.

图1图2

(1)如图1,当。。与直线BD相切时，求半径的长；

(2)当。。经过点C时，求NOCB的正弦值.

(3)当。。与△BCD的三边有且只有两个交点时，求半径。4的取值范围;

题型05锐角三角函数与圆及三角形综合

14.(2023•江西萍乡•二模)如图，48是。。的直径，点C是圆上的一点，CD14。于点。,4。交O。于点尸,

连接4C,若力C平分NZMB,过点F作FG14B于点G交4c于点H.

(1)求证：CD是。。的切线;

(2)延长4B和DC交于点E,若4E=4BE,求cosN/MB的值;

⑶在(2)的条件下，求胃的值.

AF

15.(2023•广东惠州•一模)如图，P力是圆。的切线，切点为A,4C是圆。的直径，连接0P交圆。于E.过

A点作AB1P。于点。，交圆。于B,连接BC,PB.

(1)求证：PO||BC；

(2)求证：PB是圆。的切线;

(3)若cosNPAB=呼，BC=1,求P。的长.

16.(2023・上海宝山・二模)如图，已知半圆。的直径力B=4,C是圆外一点，入4BC的平分线交半圆。于

点D,且N8CD=90°,联结。C交BD于点E.

C

⑴当乙4BC=45。时，求0C的长;

(2)当乙4BC=60。时,求空的值;

(3)当A80E为直角三角形时，求sinzOCB的值.

题型06锐角三角函数与函数综合

17.(2023•江苏连云港•二模)在平面直角坐标系中，抛物线乙1：、=(1/+%+&&>。)与％轴交于

4(—2,0)、8(1,0)两点，与y轴交于点C.

(1)求抛物线打对应的函数表达式；

(2)如图1,点。为直线4C下方抛物线上的一动点，DMJ.AC于点M,DNIIy轴交2C于点N.求线段DM的最大

值和此时点。的坐标；

(3)如图2,将抛物线L：y=ax2+x+c(a>0)沿着x轴向左平移后得到抛物线G，若点P是抛物线打与功在

x轴下方的交点且tan/ACP=求抛物线打对应的函数表达式.

18.(2023•山东泰安•二模)如图,在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b(a*0)与反比例函数y=三也手Q

且x>0)交于4、B两点，与x轴、y轴分别交于C、D两点，连接04、OB.若。A=2可；sinN/lOC=鬻，

点B的坐标为(ni,-8)

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)连接。B,若点P是y轴上一点，且ABOP是以。B为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标.

19.(2023・山东济南•二模)如图，点B坐标为(-1,0),点A在x轴的正半轴上，四边形8DR4是平行四边形，

DF1X轴于点凡BD=3V5,tanzDBX=2,反比例函数y=>0)在第一象限内的图象经过点。，与AE

（1）求反比例函数解析式及C点坐标；

（2）若线段BD上一点P,使得=求点P的坐标；

（3）过点C作CG||y轴，交DE于点G,点M为直线CG上的一个动点，H为反比例函数上的动点，是否存在这

样的点H、使得以C、H、M为顶点的三角形与△ABE相似？若存在，求出所有满足条件的M点坐标;

若不存在，请说明理由.

20.（2023•江苏宿迁•二模）阅读下列材料：

在九年级下册“5.2二次函数的图像和性质”课时学习中，我们发现，函数：y=aQ-k）2+h中a的符号决定

图像的开口方向，|a|决定图像的开口大小，为了进一步研究函数的图像和性质，我们作如下规定：如图1,

抛物线上任意一点（4）（异于顶点。）到对称轴的垂线段的长度（力B的长度）叫做这个点的“勾距”，记作小；

垂足（B）到抛物线的顶点（。）的距离（20）叫这个点的“股高”，记作爪点（X）到顶点（0）的距离（2。

的长度）叫这个点的“弦长”，记作2；过这个点（4）和顶点（。）的直线（20）与对称轴（B。）相交所成

的锐角叫做这个点的“偏角”，记作a.

图2

由图1可得，对于函数y=a/（a力0）：

（1）当勾距为定值时

2

@h=\am\>I=(1+a27n2)；股高和弦长均随⑷增大而增大;

②tana=|^|；偏角随|a|增大而减小;

(如：函数y=百久2中，当m=1时，h=\am2\—V3,I=m^l+a2m2)=2；tana=|^|=-y,a=30°)

(2)当偏角a为定值时

1

m|端J,勾距、股高和弦长均随㈤增大而减小;

a(tana)2

1cSQ：

(如：函数y=/中，当a=45。时，zn=|二一|=1、h=II=1>I=If°A2j=V2)

IatanaIla(tana)zIla(sina)zI

利用以上结论，完成下列任务:

如图2：已知以4为顶点的抛物线为=)万一2产与y轴相交于点B,若抛物线%=匕)2的顶点也是4,

并与直线AB相交于点C,与y轴相交于点D.

(1)函数y=2/中，①当m=1时，h=,②当a=60。时，I=；

2

(2)如图2：以4(2,0)为顶点作抛物线：=|(%-2)^y2=-力尸/与y轴相交于点鸟多与直线人8相交

于点C,与y轴相交于点D：

①当a>决寸，设S=AC-。。，随a的取值不同，S的值是否发生改变，如果不变，请求出S的值，如果发生

改变，请直接写出S的取值范围；

②若点M在抛物线yi上，直线4M与先的另一个交点为N,记小BAM的面积为Si，ACAN的面积为S2,若4sl=

9s2,请求出a的值

题型0712345模型

21.(2023・广东深圳•二模)如图，A,B,C,。是边长为1的小正方形组成的6义5网格中的格点，连接BD交

AC于点E,连接EF.给出4个结论：@BF=EF；②乙ABE=ZCFF；®tan^AED=2；®CA-CE=10.其

C.①③④D.②③④

22.(2023•河南郑州•三模)如图，把矩形纸片028C放入平面直角坐标系中，使OC分别落在x轴、y轴

上，连接OB将纸片沿。B折叠，使A落在A的位置，OB=*,tanABOC=|,则点4的坐标为（）

A-（一晨）B.（一级）C.（-1,2）D.（-y）V5）

23.（2022.江苏无锡・一模）如图所示的网格是正方形网格，则tan/PAB+tan/PBA=,/.PAB+

/-PBA=。（点A,B,尸是网格线交点）.

24.（2023九年级下•江苏•专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线4B的解析式为y=-刀+小分别

交x轴，y轴于4B两点，已知点C（2,0）.

（1）当直线4B经过点C时，m=；

（2）设点P为线段0B的中点，连接P4,PC,若NCP4=〃B。，则6的值是.

题型08锐角三角形应用一仰角俯角问题

25.（2024•江苏南京•模拟预测）今年除夕夜小李和亮亮相约去看烟花，并测量烟花的燃放高度，如图，小

李从8点出发，沿坡度i=5:12的山坡走了260米到达坡顶A点，亮亮则沿B点正东方向到达离A点水

平距离80米的C点观看，此时烟花在与8、C同一水平线上的点。处点燃，一朵朵灿烂的烟花在点。的正

上方E点绽放，小李在坡顶A处看烟花绽放处E的仰角为45。，亮亮在C处测得£点的仰角为60。，（点4、

8、C、。、E在同一平面内）.烟花燃放结束后，小李和亮亮来到烟花燃放地帮忙清理现场的垃圾，他们清

理时发现刚才燃放的烟花盒子上的说明书写着烟花的燃放高度为430±5米，请你帮他们计算一下说明书写

的烟花燃放高度（图中DE）是否属实？（参考数据：V2-1.414,V3~1.732）

26.（2024•江苏南京•一模）如图，山顶有一塔4B,在塔的正下方沿直线CD有一条穿山隧道EF,从与E点

相距80m的C处测得A,B的仰角分别为27。，22。.从与尸点相距50m的。处测得A的仰角为45。.若隧道

EF的长为323m,求塔4B的高.（参考数据：tan22°«0.40,tan27°«0.51.）

27.（2024•陕西商洛•一模）数学兴趣小组在“测量教学楼高度”的活动中，设计并实施了以下方案:

课题测量教学楼2B的高度

A

测量方案示意图

G

"1r

DB

测得数据CD=4.7m,LACG=22°,^BCG=13°

说明图上所有点均在同一平面内

sin22°x0.37,cos22°«0.93,tan22°«0.40,

参考数据

sinl3°«0.22,cosl3°«0.97,tanl3°«0.23

请你依据此方案，求教学楼AB的高度.（结果保留整数）

28.（2024.陕西西安.三模）某校“综合与实践”活动小组的同学要测量两座楼之间的距离，他们借助无人机设

计了如下测量方案：无人机在两楼之间上方的点。处，点。距地面4C的高度为60m,此时观测到楼48底部点

4处的俯角为70。，楼CD上点E处的俯角为30。，沿水平方向由点。飞行24m到达点F,测得点E处俯角为60。，

其中点4B,C,D,E,F,。均在同一竖直平面内.请根据以上数据求楼4B与CD之间的距离AC的长.（结

果精确到1m,参考数据：sin70°«0.94,cos70°~0.34,tan70°~2.75,V3«1.73)

题型09锐角三角形应用一方位角问题

29.（2023・贵州贵阳•模拟预测）如图，为了测量河对岸A,8两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定

观测点C,测得A,B均在C的北偏东37。方向上，沿正东方向行走100米至观测点O,测得A在。的正北

方向，B在。的北偏西53。方向上.求A,B两点间的距离（精确度到1米）.参考数据：sin37°«0.60,cos37°»

0.80,tan37°«0.75.sin53°«0.80,cos53°«0.60,tan53°«1.33

30.（2023・重庆・模拟预测）如图，四边形是某公园内的休闲步道.经测量，点B在点A的正东方向,

4B=100米，点C在点8的正北方向，点。在点A的西北方向，力。=200&米，点。在点C的南偏西60。

方向上.（参考数据：V2«1,414,73«1.732）

北

（1）求步道8c的长度；（精确到个位）

（2）甲以90米/分的速度沿2tBtCt。的方向步行，同时乙骑自行车以300米/分的速度沿4tB-CtD

的方向行驶.两人能否在3分钟内相遇？请说明理由.

31.（2023・重庆・模拟预测）如图，一艘巡逻船以每小时50海里的速度从正北向正南方向进行巡逻，在点A

处测得码头C在其南偏东60。方向上，继续向正南方向航行2小时到达点2处，测得码头C在其北偏东30。方

东

（1）求此时巡逻船所在点8处与码头C的距离；（结果保留根号）

（2）巡逻船在点B处发现其南偏东75。方向上的点D处有一只正在非法捕鱼的渔船，于是立即调整方向以原速

朝着点。处行驶，同时，巡逻船与停靠在码头C的海监船取得联系，渔船在码头C的南偏东15。方向上，海

监船得到命令后整理装备用时10分钟，然后以每小时80海里的速度朝渔船行驶.求海监船从码头C到达

渔船所在的点D处的时间；并据此判断海监船能否比巡逻船提前到达。处.（结果精确到百分位,参考数据:

V2«1.41,73«1.73,&-2.45)

32.（2024・重庆•一模）如图，车站A在车站8的正西方向，它们之间的距离为100千米，修理厂C在车站

B的正东方向.现有一辆客车从车站2出发，沿北偏东45。方向行驶到达。处，已知。在A的北偏东60。方

向，。在C的北偏西30。方向.

北

D

⑴求车站8到目的地。的距离（结果保留根号）

（2）客车在。处准备返回时发生了故障，司机在。处拨打了救援电话并在原地等待，一辆救援车从修理厂C

出发以35千米每小时的速度沿CD方向前往救援，同时一辆应急车从车站A以60千米每小时的速度沿2D方

向前往接送滞留乘客，请通过计算说明救援车能否在应急车到达之前赶到。处.（参考数据：V2«1.41,73«

1.73,76«2.45）

题型10锐角三角形应用-坡度坡角问题

33.（2024・河南周口•一模）2024年春节前夕，哈尔滨旅游市场的火热带动了全国“冰雪旅游”的繁荣，某地

准备依山建设一个滑雪场带动本地旅游的发展.如图，小山48的山腰CN上有一个平台CD长为45m,从点C

看山顶A的仰角为63。，山坡DE的坡度为i=l:2.4,该地准备利用斜坡OE建设一个滑雪场，且OE的长度为

390m,若点。到地面BE的垂线段与BN构成的四边形恰好为正方形时，且图中各点均在一个平面内，求小

山4B的高度.（精确到整数,参考数据：sin63°«0.89,cos63°«0.45,tan63°«1.96）

A

BME

34.（2024.广东江门.一模）甲、乙两人去登山，甲从小山西边山脚2处出发，已知西面山坡的坡度J=1:遮

（坡度：坡面的垂直高度与水平长度的比，SPtanB=1：V3）.同时，乙从东边山脚C处出发，东面山坡的

坡度％=3:4,坡面AC=1000米.

（1）求甲、乙两人出发时的水平距离8C.

（2）已知甲每分钟比乙多走10米.两人同时出发，并同时达到山顶A.求：甲、乙两人的登山速度.

35.（2024・四川达州•模拟预测）如图为某单位地下停车库入口处的平面示意图，在司机开车经过坡面即将

进入车库时，在车库入口CD的上方BC处会看到一个醒目的限高标志，现已知图中8c高度为0.5m,AB宽度

⑴根据图1求出入口处顶点C到坡面的铅直高度CD；

（2）图2中，线段CE为顶点C到坡面4D的垂直距离，现已知某货车高度为3.9米，请判断该车能否进入该车

库停车？

36.（2023•山东青岛•模拟预测）我国南水北调中线工程的起点是丹江水库，按照工程计划，需对原水库大

坝进行混凝土加高，使坝高由原来的162米增加到173米，以抬高蓄水位.如图是某一段坝体加高工程的

截面示意图，其中原坝体的高为BE,背水坡坡角NB4E=68°,新坝体的高为DE,背水坡坡角ADCE=60°.求

工程完工后背水坡坡底端水平方向增加的宽度4c.（结果精确到1米.参考数据：sin68°«0.93,cos68°«

0.37,tan68°«2.50,V3«1.73）.

题型11锐角三角形应用-与不易测量相关问题

37.（2024.安徽合肥•一模）如图，为了测量湖泊东西方向的距离测绘员在湖泊正东方向的。处（8,A,

。在同一直线上）利用无人机升空测量，当无人机恰好在点。的正上方C处时,测得湖泊东岸A的俯角/ECA

为65。，测得湖泊西岸8的俯角/ECB为22。，此时无人机距离地面的高度CO为200m,求湖泊东西方向的

星巨离AB.（sin65°«0.91,cos65°«0.42,tan65°«2.14,sin22°«0.37,cos22°«0.93,tan22°«0.40,

结果保留1位小数）

38.（2024•浙江温州•一模）【问题背景】

一旗杆直立（与水平线垂直）在不平坦的地面上（如图1）.两个学习小组为了测量旗杆的高度，准备利用

附近的小山坡进行测量估算.

如图2,在坡角点C处测得旗杆顶点A的仰角N4CE的正切值为2,山坡上点。处测得顶点A的仰角乙4DG的

正切值为：，斜坡CD的坡比为"两观测点CD的距离为15m.

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学习小组成员对问题进行如下分解，请探索并完成任务.

（1）计算C,。两点的垂直高度差.

（2）求顶点A到水平地面的垂直高度.

【问题解决】

为了计算得到旗杆AB的高度，两个小组在共同解决任务1和2后，采取了不同的方案：

小组一：在坡角点C处测得旗杆底部点B的仰角NBCE的正切值为|；

小组二：在山坡上点。处测得旗杆底部点B的俯角NGDB的正切值为巳.

（3）请选择其中一个小组的方案计算旗杆4B的高度.

39.（2023・海南海口•二模）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道48进行实地测量.如

图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15。方向上，他沿西北方向前进100百米后到达

点。，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60。方向上，点A、B、C、。在同一平面内.

⑴填空：/-BAC=°,^ADC='

（2）求点D到点A的距离；

（3）求隧道48的长.（结果保留根号）

题型12锐角三角形应用-与可调节的滑动悬杆问题

40.（2024•辽宁盘锦•一模）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B-X-。表示固定支架，4。垂

直水平桌面。E于点。，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平

桌面。E,经测量：AO=6.4cm,CD=8cm,AB=40cm,BC=45cm.

(参考数据：sin70°~0.94,cos70°~0.34,sin40°~0.64,cos40°«0.77)

图1图2图3

⑴如图2,AABC=70°,BCWOE.

①填空：Z-BAO=°；

②投影探头的端点。到桌面OE的距离为cm.

（2）如图3,将（1）中的BC向下旋转，当乙4BC=30。时，求投影探头的端点。到桌面。E的距离.

41.（2023・四川成都•模拟预测）桌面上的某创意可折叠台灯的实物图如图①所示，将其抽象成图②，经测

量N8CD=70。，4CDE=155。,灯杆CD的长为30cm,灯管。E的长为20cm,底座28的厚度为3cm.不考

虑其它的因素，求台灯的高（点E到桌面的距离）.（结果精确到1cm；参考数据：V2«1.41,sin70°~

0.94,cos70°«0.34,tan70°«2.75）

£

图①图②

42.（23-24九年级下.江苏苏州•阶段练习）有一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，图1是台灯的平面

示意图，其中点B,E,D均为可转动点，现测得4B=BE=ED=CD=18cm,经多次调试发现当点B,E都

在CD的垂直平分线上时（如图2所示）放置最平稳.

图1图2

（1）求放置最平稳时灯座CD与灯杆DE的夹角的大小；

（2）当A点到水平桌面（CD所在直线）的距离为42cm-43cm时，台灯光线最佳，能更好的保护视力.若台

灯放置最平稳时，将乙4BE调节到105。，试通过计算说明此时光线是否为最佳.（参考数据：sinl5°=0.26,

cosl5°=0.97,tanl5°=0.27,g=1.73）

中考逆袭-高效集训

（时间：60分钟）

一、单选题

1.（2024.辽宁盘锦.模拟预测）点P（sin3（T,tan45。）关于x轴的对称点为Q,点。关于原点的对称点为

则M的坐标为（）

A.CTB.（-1（1）

C.D.以上答案都不对

2.（2023•浙江温州•模拟预测）如图，飞行员在空中观察地面的区域是一个圆，当观察角度为50。，飞机的

飞行高度为1000米时，观察区域的半径是（）米.

'50。

1000

A.1000tan25°C.1000tan50°D.1000sin25°

tan25°

3.（2024.山西大同.一模）中考新考法：真实问题情境•实物，如图是椭圆机在使用过程中某时刻的侧面示意

图，已知手柄4。1滚轮连杆48,且4。=20cm,48=160cm,连杆48与底坐的夹角为60。，则该椭圆机

的机身高度（点。到地面的距离）为（）

A.80V2cmB.80V3cmC.（80V2+20）cmD.（80V3+10）cm

4.（2023•安徽•模拟预测）如图，AB为半圆。的直径，点。为圆心，点C是弧上的一点，沿CB为折痕折叠

品交于点连接CM,若点/为的黄金分割点贝！JsinNBCM的值为（）

5.（2023・广东深圳•模拟预测）如图，在菱形4BCD中，AD=5,tanB=2,E是4B上一点,将菱形4BCD沿

DE折叠，使B、C的对应点分别是9、C,当NBEB'=90。时，则点C，到BC的距离是（）

BC

A.5+V5B.2V5+2C.6D.3V5

6.（2023•浙江杭州•二模）如图，已知ANBC内接于O。，^BAC=0（0<0<60°）,BC=6,点尸为AABC的

重心，当点A至UBC的距离最大时，线段P。的长为（）

tan