2025年中考数学二轮复习：圆 压轴填空题练习题（含答案解析）

2025年中考数学二轮复习：圆压轴填空题练习题

一.填空题(共25小题)

1.在平面直角坐标系中，A(1,0),B(0,V3),过点8作直线轴，点尸是直线BC上的一个动点

以AP为边在AP右侧作使乙4尸。=90°,且AP：AQ=\-.2,连结AB、BQ,则AABQ周

2.如图，以G(0,1)为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、8两点，与y轴交于C,D两点、，点E为0G

上一动点，CPLAE于F,则弦A3的长度为；当点£在OG的运动过程中，线段

3.点/为△ABC的内心，连A/交△ABC的外接圆于点。，若A/=2C。，点E为弦AC的中点，连接E/,

IC,若/C=6,ID=5,则出的长为.

4.如图，ZiABC内接于为OO的直径，/为△ABC的内心，连接O/,AI,BI.若OI=

1,则AB的长为

AB

O

5.如图，AB是半圆。的直径，点C在半圆上，AB=5,AC=4,。是船上的一个动点，连接AD过点

C作CE_LAO于E,连接BE,则BE的最小值是

6.如图，正方形ABCD中，AB=4,M是C。边上一个动点，以CM为直径的圆与相交于点Q,尸为

C。上另一个动点，连接AP,PQ,则AP+PQ的最小值是.

7.如图，矩形ABCD中，AD=6,AB=8,AB是。。的直径，将矩形A3CD绕点A顺时针旋转得到矩形

A'B'CD',且交。。于点E,AB'交。0于点RD'C与。。相切于点下列说法正

确的有.（只填写序号）

@AE=4,②版=前=砧，®AF=4V3,④/DAD'=30°.

8.如图，A2为。。的直径，CD、C2为。。的切线，D、B为切点,连接AD、BD,0c交。。于点E,

AE交BD于G,AE的延长线交BC于点P,以下结论：©AD//OC-,②点E为△CO3的内心；③FC=

FE；®EG=FE；⑤/CFE=/AGB.其中正确的有

9.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,E为AB边上一点，以AE为直径的半圆。与8c相切于点。，连

结AD,BE=3,BD=3V5.尸是AB边上的动点，当尸为等腰三角形时，AP的长

为___________________.

10.如图，ZACB=60°,半径为2的。。与角的两边相切，点尸是。。上任意一点，过点尸向角的两边

作垂线，垂足分别为E,F,设-PE+2PF,贝h的取值范围是.

11.如图，等腰△ABC中，底边BC长为10,腰长为7,点。是BC边上一点，过点8作AC的平行线与

过A、B、。三点的圆交于点E,连接。E,则。E的最小值是.#ZZ01

12.如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=6,/CBA=30°,点。在线段AB上运动，点E与点O

关于AC对称，。歹，。£于点。，并交EC的延长线于点尺下列结论正确的.（填序号）

①CE=CF；②当时，点厂恰好落在弧BC上；③当EF与半圆相切时，AD=2；④当点。从

点A运动到点3时，线段所扫过的面积是6次.

13.在RtZ\ABC中，ZACB=90°,BC=3,AC=4,直线/经过△ABC的内心O,过点C作CO_L/,垂

足为。，连接AD,则AD的最小值是

14.已知。O半径为4,点A,B在上，ZBAC=9Q°,sinZB=^yp,则线段OC的最大值

为.

15.如图，点C在以为直径的半圆上，AB=4,NCBA=30°,点。在线段AB上运动，点E与点。

关于AC对称，DFLDE于点D,并交EC的延长线于点E下列结论：

①/尸=30°；

②CE=CF；

③线段EF的最小值为2V3；

④当4。=1时，E尸与半圆相切；

⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是8V3.

其中正确的结论的序号为

F

c

16.如图，半圆。的直径DE=12cm,在RtZXABC中，ZACB=90°,ZABC=30°，BC=12cm.半圆。

以2cm/s的速度从左向右运动，当圆心。运动到点B时停止，点。、E始终在直线8c上.设运动时间

为t(s),运动开始时，半圆。在△ABC的左侧，0c=8的.当/时，Rt^ABC的一

边所在直线与半圆O所在的圆相切.

17.如图，在平面直角坐标系中，。。与x轴正半轴，y轴负半轴分别交于点A,B,点C(-2,2)在。。

上，点。为的中点，连结CD并延长CO交。。于点E,点F在x轴的正半轴上，联结。凡CF交

。。于点G,若弧47=弧2区则△CDP的面积为.#ZZ01

18.△ABC中，ZACB=90°,ZB=30°，AC=4,E是AC的中点，MN分别是边AB、BC上的动点,

。也是3c边上的一个动点，以CD为直径作O。，连接即交。。于R连接FM,MN,则FM+MN

的最小值为_____________________

19.如图，半径为2的与正六边形ABCDEF相切于点C,F,则图中阴影部分的面积

为

E

0

7-----

20.正方形ABC。中，E是AO边中点，连接CE作N3CE的平分线交A5于点R则以下结论：①NECD

BFV5-1

=30°,②&BCF的外接圆经过点E；③四边形AFCD的面积是△3CP面积的曲倍；④启=——.其

AD2

中正确的结论有.(请填写所有正确结论的序号)

21.在平面直角坐标系xOy中，已知点P(-5,2),M(-5,3),O尸的半径为1,直线/：y=办，给出

下列四个结论：

①当。=1时，直线/与。尸相离；

②若直线I是OP的一条对称轴，则a=-1;

③若直线/与O尸只有一个公共点A,则。4=2夕；

④若直线/上存在点3。尸上存在点N,使得NMBN=90°,则。的最小值为

其中所有正确的结论序号是.

22.已知矩形MNPQ的顶点M,N,P,。分别在正六边形ABCDE尸的边DE,FA,AB,CD±,在点M

从E移动到D的过程中，下列对矩形MNPQ的判断：

①矩形MNPQ的面积与周长保持不变；

②矩形MNPQ的面积逐渐减少；

③矩形MNPQ的周长逐渐增大；

④矩形MNPQ的对角线长存在最小值.

一定正确的是.(填序号)

BC

23.如图，AB是半圆。的直径，点C在半径。4上，过点C作CDLAB交半圆。于点D以CD,CA

为边分别向左、下作正方形CDEF,CAGH.过点8作GH的垂线与G4的延长线交于点/,M为的

中点.记正方形CDEECAGH,四边形BC”/的面积分别为Si，S2,S3.

S1

(1)若AC：BC=2：3,则U的值为____________________；

S2

(2)若D,O,M在同条直线上，则空之的值为

24.如图，抛物线y=-/+2x+3与无轴交于A、2两点(A在2的左侧)，与y轴交于C点，QD过A、B、

C三点,尸是。。上一动点，连接PC、P0,则鱼尸。+时20的最小值为.

25.已知：如图，RtAABC，ZACB=90°,AC=BC=U,圆C半径为6,P为斜边AB上的一个动点,

PM、PN分别与圆C相切于M、N,连接交PC于点。，则A。的最小值为

参考答案与试题解析

一.填空题(共25小题)

1.在平面直角坐标系中，A(1,0),B(0,V3),过点8作直线轴，点尸是直线上的一个动点

以AP为边在AP右侧作使/APQ=90°,且AP：AQ=\-.2,连结AB、BQ,则AABQ周

长的最小值为_JV13+2.

【考点】圆周角定理；轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质；勾股定理的逆定理.

【专题】平移、旋转与对称；应用意识.

【答案】2旧+2.

【分析】设P百).作AML8C于M,QNLBC^N.利用新三角形的性质求出点。的坐标推出，

点。的运动轨迹是直线y=-V3x+5V3,作点A关于直线＞=-1效+5百的对称点A',连接BA1交直

线于Q',连接AQ',此时△ABQ'的周长最小.

【解答】解：ZAPQ=90°,且APAQ=\-.2,

：.ZAQP=30°.

./4cD_P4_虑

・・tan/AQjP=-pQ--2-.

设V3).作AM_L8C于M,QNLBC于■N.

VZAMP=ZAPQ=ZQNP=9Q°,

/.ZAPM+ZNPQ=90°,ZNPQ+ZPQN=9Q°,

ZAPM=ZPQN,

：.AAMP^APNQ,

.AMPMPAV3

PN-NQ-PQ-3)

.V3m-11

,,PN-NQ-技

:.PN=3,NQ=V3Qm-1),

Q(〃z+3,2V3—Win),

点Q的运动轨迹是v=-V3.r+5V3,

作点A关于直线y=—年+5百的对称点A',连接BA'交直线于。，连接AQ',此时△ABQ'的

周长最小.

VA/(7,2V3),B(0,V3),A(1,0),

.♦.A'B=J72+(V3)2=2V13,AB=Jl2+(V3)2=2,

.♦.△ABQ的周长的最小值=40'+80'+AB=A'Q'+BQ'+AB=A'B+AB=2g+2,

故答案为：2VH+2.

【点评】本题考查轴对称-最短问题，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是正确寻找点。的运动

轨迹，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考填空题中的压轴题.

2.如图，以G(0,1)为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C,D两点，点E为OG

上一动点，CPLAE于R则弦AB的长度为」必_；当点E在0G的运动过程中，线段FG的长度

的最小值为—b

【考点】垂径定理；坐标与图形性质.

【专题】圆的有关概念及性质.

【答案】见试题解答内容

【分析】作GMLAC于M,连接AG.因为/AFC=90°,推出点尸在以AC为直径的。加上推出当点

F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值=FM-GM,想办法求出FM、GM即可解决问题；

【解答】解：作GMLAC于连接AG.

GO±ABf

：.OA=OBf

在RtZkAGO中，・.・AG=2,OG=1,

・・・AG=2OG,OA=V22-l2=V3,

：.ZGAO=30°,A8=2AO=2回

AZAGO=60°,

•・•GC=GA,

：.ZGCA=ZGAC,

・・・ZAGO=NGCA+NGAC,

：.ZGCA=ZGAC=30°,

-1

.".AC=2(9A=2A/3,MG=^CG=1,

,：ZAFC=90°,

...点尸在以AC为直径的OM上，

当点P在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值GM=B-L

故答案为2VV3—1.

【点评】本题考查垂径定理、直角三角形30度角的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会

添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

3.点/为△ABC的内心，连A/交△ABC的外接圆于点。，若A/=2CD,点E为弦AC的中点，连接£/,

IC,若7c=6,ID=5,则IE的长为4.

A

I\\E\

I

BC

D

【考点】三角形的内切圆与内心；三角形的外接圆与外心.

【专题】圆的有关概念及性质.

【答案】见试题解答内容

【分析】延长/。到使得0M=/0,连接CM.想办法求出CM,证明正是△ACM的中位线即可解

决问题；

・・・/是△A3C的内心，

：.ZIAC=ZIABfNICA=/ICB,

VZDIC=ZIAC+ZICA,NDCI=/BCD+/ICB,NBCD=/IAB,

：.ZDIC=ZDCI,

:.DI=DC=DM,

：.ZICM=90°,

：.CM=V/M2-IC2=8,

*：AI=2CD=10,

：.AI=IM,9：AE^EC,

1

：.IE=^CM=4,

故答案为4.

【点评】本题考查三角形的内心、三角形的外接圆、三角形的中位线定理、直角三角形的判定、勾股定

理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题.

4.如图，△ABC内接于OO,AB为。。的直径，/为△ABC的内心，连接0/,AI,BI.若01=

1,则A2的长为2小.

【考点】三角形的内切圆与内心；三角形中位线定理；垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心.

【专题】计算题；几何综合题；数形结合；几何直观；运算能力；推理能力.

【答案】2遥.

【分析】延长2/交O。于M点，连接AM,通过中位线定理可求出AM的长，再通过角的关系可求得

ZMM=45°,进而求证直角三角形跖4/为等腰直角三角形，求得的长，MB的长，利用勾股定理

求出的长.

【解答】解：延长B/交于M点，连接K4,

在中斜边AB经过圆心0,

：.ZAMB=9Q°,

X'.'B/XOZ,AO^OB,

：.OI为LAMB的中位线，

：.AM=2OI=2,

在RtZ\ABC中，/为三个角平分线的交点

：.ZIAB+ZIBA=45°,

即NM7A=45°（三角形外角与内角的关系）,

.•.n△MA/为等腰直角三角形，

:.MA=MI=IB=2,

根据勾股定理可得，

AB2=M^+MB2=22+42=20,

即AB=2V5,

故答案为：2遍.

【点评】本题考查了三角形中位线，三角形内切圆圆心，直角三角形以及勾股定理，解题的关键是掌握

三角形中位线定理，三角形内切圆圆心，直角三角形性质以及勾股定理.

5.如图，A2是半圆。的直径，点C在半圆上，AB=5,AC=4,D是元上的一个动点，连接AD过点

C作于E,连接BE,则BE的最小值是_反一2_.

【考点】圆周角定理；三角形三边关系；勾股定理.

【专题】与圆有关的计算；应用意识.

【答案】见试题解答内容

【分析】如图，连接BO'、BC.在点O移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，当O'、E、

8共线时，BE的值最小，最小值为B-0'E,利用勾股定理求出3。'即可解决问题.

【解答】解：如图，取AC的中点O',连接80'、BC.

：.ZAEC=9Q°,

.••在点。移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，

'：AB是直径，

AZACB=90°,

在RtZXABC中，VAC=4,AB=5,

：.BC=yjAB2-AC2=V52-42=3,

在RtZXBCO，中，BO'=VSC2+CO'2=V22+32=V13,

"：O'E+BE^O'B,

...当O'、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O'B-O'E=V13-2,

故答案为：V13-2.

【点评】本题考查圆周角定理、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是确定等E的运动

轨迹是以AC为直径的圆上运动，属于中考填空题中压轴题.

6.如图，正方形ABCO中，AB=4,M是CD边上一个动点，以CM为直径的圆与相交于点Q,P为

CD上另一个动点，连接AP,PQ,则AP+PQ的最小值是，g—2_.

【考点】垂径定理；轴对称-最短路线问题；正方形的性质.

【专题】几何动点问题；动点型；数形结合；几何直观；推理能力.

【答案】2VH—2.

【分析】AP+PQ中，A点是定点，P,。是动点，尸在线段。C上，想到将军饮马，。在以2C为直径

的圆上，最终转化为点圆最值问题.

【解答】解：连接C。，以C。为一条边在右侧作正方形CDER则NMQC=90°,

/.ZBQC=90°,

...点。在以BC为直径的圆上运动，

'：AD=DE,ZADP=ZEDP,DP=DP,

.♦.△ADP妾4EDP(SAS),

：.AP=EP,

：.AP+PQ=EP+PQ^EQ^EO-ON=VOF2+EF2-2=A/62+42-2=2V13-2,

：.AP+PQ的最小值为2VH-2,

故答案为：2"\/1巨-2.

【点评】本题考查了将军饮马、隐圆、点圆最值问题，关键是找出定点和动点，以及动点在什么图形上

运动.

7.如图，矩形A3CZ）中，AD=6,AB=8,A3是的直径，将矩形ABC。绕点A顺时针旋转得到矩形

A'B'CD',且交OO于点E,AB'交。。于点FD'C与相切于点下列说法正

确的有①②③④.（只填写序号）

@AE=4,②藤=丽=血,®AF=4V3,®ZDAD'=30°.

【考点】圆的综合题.

【专题】几何综合题；压轴题；推理填空题；矩形菱形正方形；与圆有关的位置关系；运算能力；推

理能力.

【答案】①②③④.

【分析】连接OE,OM,过点。作ONLAD'于点N,可得四边形OM。'N是矩形，证明OM=NZ）'

=4,根据OA=OE,ONLAD',可得AN=EN=2,进而可以判断①正确；证明△OAE是等边三角形，

可得/EOM=60°,ZBOM=60°,进而可以判断②正确；连接8凡根据是OO的直径，可得/

AFB=90°,利用含30度角的直角三角形即可判断③正确；根据/。43=90°,ZD'49=60°,即

可判断④正确.

【解答】解：如图，连接。石，OM,过点。作ON_LA。'于点N,

D____________。

•・,》C与。。相切于点

：.OMLCD',

・・・四边形OM。'N是矩形，

：.OM=ND,

,.・A8=8,A8是。。的直径，

：.OM=ND=4,

在矩形A3CD中，由旋转可知：AD'=AD=6,

：.AN^ADr-ND'=6-4=2,

9：OA=OE,ONLAD1,

:.AN=EN=2,

・・.AE=4,故①正确；

•・・AE=AO=O5=4,

•••△O4E是等边三角形，

AZAOE=ZOEA=60°,

：.ZOEDr=120°,

VZD'=ZOMD'=90°,

AZEOM=60°,

AZBOM=60°,

：.AE=EM=MB,故②正确；

如图，连接BE

・・・A8是。。的直径，

AZAFB=90°,

VZ£AO=60°,ZD'AB'=90°,

：.ZBAF=30°,

1

：.BF=次=4,

：.AF=V3BF=4V3,故③正确；

VZDAB=90°,ND'AO=60°,

ZDAD'=30°,故④正确.

综上所述：正确的有①②③④.

故答案为：①②③④.

【点评】本题属于几何综合题，是中考选择题的压轴题，考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理,

矩形的判定与性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，解决本题的关

键是得到△OAE是等边三角形.

8.如图，A2为OO的直径，CD、C2为的切线，D、B为切点、,连接AD、BD,0c交于点E,

AE交BD于G,AE的延长线交于点尸，以下结论：®AD//OC；②点E为△CO8的内心；③FC=

FE；®EG=FE-,⑤NCFE=/AGB.其中正确的有①②④⑤.

A

【考点】三角形的内切圆与内心；垂径定理；圆周角定理；切线的性质.

【专题】圆的有关概念及性质；推理能力.

【答案】①②④⑤.

【分析】如图所示，连接O。，DE,EB,先证明Rt/XCDO也RtZ\CBO(HL),得到/COD=/COB,

再由圆周角定理得到NCOB=4DAB=g/DOB即可判断①；根据切线的性质和三角形内角和定理得到

1

ZDOC+ZDCO^90°=ZODE+ZCDE,进而推出NBDE=则DE是/CZJ3的角平分线，同理

可证得BE是/C8D的平分线，即可判断②；若FC=FE,则应有N0C2=NCER应NCEF=NAEO

=ZEAB=ZOCB,进而推出NCOB=60°而NCOS的度数不一定是60度，即可判断③；由E为ACBD

的内心，推出BE是NF8G的角平分线，证明△FEB之△GEB(ASA),据此可判断④⑤.

【解答】解：如图，连接O。，DE,EB,

c

VC£>>BC是。。的切线，

：.ZODC=ZOBC=90°,OD=OB,

ARtACDO^RtACBO(HL),

:・/COD=/COB,

1

SB=乙DAB乙DOB,

J.AD//OC,故①正确；

・・・C。是OO的切线，

：.ZODC=90°,

ZDOC+ZDCO^90°=/ODE+NCDE,

°：OD=OE,

・・・2NOD£+NDOC=180°

1

LCDE="DOC,

1

■:乙BDE=《ABOE,

：.ZCDE=ZBDE,即DE是/CDB的角平分线，同理可证得BE是NCB。的平分线,

为△CBD的内心，故②正确；

若FC=FE,则应有/OCB=/CER应有NCEF=NAEO=/EAB=/0CB,

：.ZCOB=ZOAE+ZOEA=2ZOCB,

.\ZCOB=60°,

而/COB的度数不一定是60度，故③不正确；

•:E为ACBD的内心，

：.BE是/FBG的角平分线，

为O。的直径，

AZA£B=90°,BPBELFG,

:.LFEB咨LGEB(ASA),

：.EG=FE,BG=BF,故④正确；

,:BG=BF,

：.ZBGF=ZBFG,

：.ZCFE=ZAGB,故⑤正确；

因此正确的结论有：①②④⑤.

故答案为：①②④⑤.

【点评】本题主要考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，内心的概念，三角形内

角和定理，等腰三角形的性质等，解决本题的关键是掌握切线的性质.

9.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,E为AB边上一点，以AE为直径的半圆。与BC相切于点。，连

结AD,BE=3,BD=3亚.P是AB边上的动点，当△AOP为等腰三角形时，AP的长为6或2同.

【考点】圆的综合题.

【专题】几何综合题；圆的有关概念及性质；推理能力.

【答案】6或2回.

【分析】连接。。，DE,根据切线的性质和勾股定理求出。£>=6,然后分三种情况讨论：①当

时，此时尸与。重合，②如图2,当AP'=AD时，③如图3,当DP''=AD时，分别进行求解即可.

【解答】解：如图1,连接OO,DE,

•.•半圆。与BC相切于点

：.OD±BC,

在Rt/XOB。中，OB=OE+BE=OD+3,BD=34.

：.OB2=BD1+OD2,

：.(OD+3)2=(3V5)2+OD2,

解得0D=6,

.\AO—EO—OD—6,

①当AP=P。时，此时P与。重合，

：.AP=AO=6；

②如图2,当AP=AD时，

在RtAABC中,

VZC=90°,

：.AC±BC,

：.OD//AC,

MBODs^BAC,

.ODBDBO

"ACBC~BA

.63753+6

"AC—3^5+CD—3+6+6’

：.AC=1Q,CD=2小,

：.AD=y/AC2+CD2=V100+20=2府，

：.AP'=AO=2同；

③如图3,当DP—=A。时，

VAD=2V30.

:.DP''=AD=2V30,

\'OD^OA,

：.ZODA=ZBAD,

：.OD//AC,

：.ZODA=ZCAD,

：.ZBAD=ZCAD,

.♦.AO平分/BAC,

过点D作DH±AE于点H,

：.AH=P"H,DH=DC=2后

•：AD^AD,

：.RtAADH^RtAADC(HL),

：.AH=AC=10,

：.AH^AC=P"H=1Q,

：.AP"=2AH=20(尸为AB边上一点，不符合题意，舍去),

综上所述：当△ADP为等腰三角形时，AP的长为6或2同.

故答案为：6或2回.

图1

【点评】此题属于圆的综合题，考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，

全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，综合性强，解决本题的关键是利用分类讨论思想.

10.如图，ZACB=60°,半径为2的。。与角的两边相切，点尸是。。上任意一点，过点P向角的两边

作垂线，垂足分别为E,F,设胃PE+2PF,则/的取值范围是6-2V3<f^6+2V3

A

【考点】切线的性质.

【专题】几何综合题；推理能力.

【答案】6-2V3<f^6+2V3.

【分析】设半径为2的。0与角的两边相切于M,N,连接OM,ON,延长NO交CB于。，求得/CND

=ZOMD=9Q°,根据直角三角形的性质得到NCr>N=30°,求得OD,得到CN=圣加，如图1,延

长£尸交3c于。，推出△ECQ与△PFQ是直角三角形，根据直角三角形的性质得到CE=E。，PQ=

2PF,求得f=PE+2PF=PE+PQ=EQ,当EQ与。。相切且点P在圆心的右侧时，f有最大值，连接

OP,则四边形ENO尸是正方形，根据正方形的性质得到硒=。尸=2,求得f；如图2,当EQ与。。相

切且点尸在圆心的，左侧时，f有最小值，同理可得f,于是得到结论.

【解答】解：设半径为2的。。与角的两边相切于V,N,如图1,连接OM,ON,延长NO交CB于

D,

:.NCND=/OMD=90°,

VZACB=60°,

...△CND是直角三角形，

：.ZCDN=3Q°,

'：0N=0M=2,

：.OD=4,

：.DN=OD+ON=4+2=6,

F5

：.CN=YDN=2®

如图b延长石尸交3c于Q,

•・・EQ_LAC,PFLBC,

：.ZCEQ=ZPFQ=90°,

VZACB=60°,

・・・NEQC=30°,

...△ECQ与△PPQ是直角三角形，

：.s/3CE=EQ,PQ=2PF,

t=PE+2PF=PE+PQ=EQ,

当E。与。O相切且点尸在圆心的右侧时，r有最大值，

连接。尸，

则四边形ENOP是正方形，

:.EN=OP=2,CN=CM=2后

：.t=PE+2PF=PE+PQ=EQ=V3C£=V3(CN+EN)=V3(2A/3+2)=6+2g；

如图2,当与O。相切且点尸在圆心的左侧时，/有最小值，

同理可得t=PE+2PF=PE+PQ=EQ=V3CE=V3(CN-EN)=V3(2V3-2)=6-2V3；

故t的取值范围是6-2V3<^6+2A/3,

故答案为：6-2V3<Z^6+2V3.

图1

【点评】本题是圆的综合题，考查了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，

正确地作出辅助线是解题的关键.

11.如图，等腰AABC中，底边BC长为10,腰长为7,点。是BC边上一点，过点8作AC的平行线与

过A、B、。三点的圆交于点E,连接DE,则DE的最小值是2遍.#ZZ01

【考点】三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质.

【专题】与圆有关的计算；应用意识.

【答案】2V6.

【分析】如图，连接AE,AD,OE,OD,作于J,OKLDE于K.首先证明/EOZ)=2/C=

定值，推出。。的半径最小时，DE的值最小，推出当是直径时，DE的值最小.

【解答】解：如图，连接AE,AD,OE,OD,作AJ，BC于J,OK_L于

\'BE//AC,

：.Z£BC+ZC=180°,

VZ£BC+ZEAZ)=180°,

：.ZEAD=ZC,

'：ZEOD=2ZEAD,

.•.NEOD=2NC=定值，

O。的半径最小时，DE的值最小,

当AB是。。的直径时，DE的值最小,

'：AB=AC=1,AJLBC,

：.BJ=CJ=5,

：.AJ=J4c2_Cf=V72-52=2①，

'：OK.LDE,

:・EK=DK,

•・・A8=7,

・・・OE=O£>=3.5,

*.*ZEOK=ZDOK=ZC,

sinZEOK—sinZC—44=

.EK2V6

••=,

3.57

：.EK=V6,

：.DE=246,

：.DE的最小值为2旄，

故答案为：2爬.

【点评】本题考查三角形的外接圆，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知

识解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

12.如图，点C在以为直径的半圆上，AB=6,ZCBA=30°,点D在线段AB上运动，点E与点。

关于AC对称，DFLDE于点D,并交EC的延长线于点尸.下列结论正确的①②.（填序号）

①CE=CF；②当斯〃AB时，点厂恰好落在弧BC上；③当所与半圆相切时，AD=2;④当点。从

点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是6百.

【考点】切线的性质；扇形面积的计算；轴对称的性质；圆周角定理；直线与圆的位置关系.

【专题】综合题；几何直观；推理能力.

【答案】①②.

【分析】①由点E与点。关于AC对称可得CE=CD再根据。即可证到CE=CR②利用三角

形的中位线的判定方法得到△尸8。等边三角形，只需证明/AFB=90°,就能得出结论，③连接OC,

OD,易证△AOC是等边三角形，4。=。。，根据含30°角的直角三角形的性质求出AD长，④首先根

据对称性确定线段EF扫过的图形,然后探究出该图形与AABC的关系，就可求出线段EF扫过的面积.

【解答】解：①连接CD,如图1所示：

F

c

1

E<///I/\\\

7%^।/\

ADOB

图1

•・•点E与点。关于AC对称，

：.CE=CD,

：./E=/CDE,

■:DF1DE,

；・NEDF=9U°,

AZE+ZF=90°,ZCDE+ZCDF=90°,

・・・/F=/CDF,

:・CD=CF,

・・・CE=CD=CF,

故①正确，

丁点石与点。关于AC对称,

C.EDLAC,

：.ZAGD=9Q°,

AZAGD=ZACB=90°,

J.ED//BC,

9：EC=CF

：・FH=DH,

9：DE//BC,

：.ZFHC=ZFDE=90°,

：.BC是DF的垂直平分线,

：・BF=BD,CF=CD,

:./FBH=/DBH=30°,

：.ZFBD=60°,

:AFDB是等边三角形，

：.ZFDB=60°,

*：EF//AB,

：.ZCFB=ZFDBC^60°,

.,.△FDC是等边三角形，

:,DC=DF

VZACB=90°,

：.ZCAD+ZFBA^9Q°,

*：OA=OC,N/3A=30°,

・・・NA=NACO=60°,

△O4C是等边三角形

又,：EF〃AB,EG=GD,

：.CG=AGf

VAC±E£),

：.DA=DC,

：.DAC是等边三角形，

・,•点。与点。重合，

即：。尸与。尸重合，

:・DF=OF=OA

・,•点/恰好落在弧8C上，

故②正确，

③连接OC,CD,如图3所示:

F

c

E<//17\

/\\

/1/\i

'L--------^!

ADOB

图3

・・・斯与半圆相切，

・・・OCLEF,

・・・NECO=90°,

AZECA+ZACO=90°,

VZACB=90°,

AZA+ZB=90°,

•・・OA=OC,N3=30°,

AZA=ZACO=60°,

•••△OAC是等边三角形，NECA=N3=30°,

1

：.AC=OA=^AB=3f

•・•点E与点。关于AC对称，

・・・N石CA=NZ)CA=30°,

・・・NA+N0CA=9O°,

：.AD=1AC=I，

故③错误，

④：点。与点E关于AC对称，点D与点F关于BC对称，

当点。从点A运动到点3时，点E的运动路径AM与关于AC对称，点P的运动路径NB与A3

关于BC对称.

所扫过的图形面积就是图4中AM4c和△NCB面积，

MN

S^MAC+ANCB—2S^ABC

1

=2xxAC*BC

=AC・8C

=3X3V3

=9V3,

扫过的面积为9V3,

故④错误.

故答案为：①②.

【点评】本题是一个几何综合题，考查了等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、三角形中位

线的判定、切线的性质、轴对称的性质、含30°角的直角三角形判定和性质、求图形面积等知识，熟

练掌握几何图形的性质和判定是解题的关键.

13.在RtzXABC中，ZACB=90°,BC=3,AC=4,直线/经过△ABC的内心O,过点C作CD_L/,垂

足为D,连接AD,则AD的最小值是

【考点】三角形的内切圆与内心；勾股定理.

【专题】推理填空题；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力.

【答案】2VL

【分析】圆。与Rt^ABC三边的切点分别为E,F,G,连接OE,OF,OG,先根据圆。是Rt^ABC

的内切圆，ZACB=90°,BC=3,AC=4,求出正方形CEO尸的边长为无，根据勾股定理可得0C=/，

连接AQ,过点。作QPLAC于点P,当点。运动到线段QA上时，A。取得最小值，再利用勾股定理

即可解决问题.

【解答】解：如图，圆。与RtZXABC三边的切点分别为E,F,G,连接OE,OF,OG,

•.•圆。是Rt^ABC的内切圆，ZACB=90°,BC=3,AC=4,

：.CE=CF,BE=BG,AF=AG,AB=V32+42=5,

.••四边形CEO尸是正方形，

设正方形CEO尸的边长为x,

则BE=BG=3-x,AF=AG=4-x,

根据题意，得

3-x+4-x—5,

解得x=1，

OC=Vl2+l2=V2,

VCD±Z,

・・・NCDO=90°,

・♦.点。在以oc为直径的圆。上，如图，

连接AQ,过点。作QPJLAC于点尸，

当点。运动到线段QA上时，AO取得最小值,

1

：.CP=QP=

：.AP=AC-CP=4—号=:，圆Q的半径QD=考，

•••QA=8P2+AP2=J（扔+（今2=竽，

.'.AD的最小值为AQ-QD=竽—孝=2V2.

故答案为：2位.

【点评】本题考查了三角形内切圆与内心，正方形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握三

角形内切圆与内心.

7/TQ4A/138

14.已知。。半径为4,点A,8在。。上，ZBAC=9Q°,sinZB=%则线段OC的最大值为—二一+

【考点】圆周角定理；解直角三角形.

【专题】圆的有关概念及性质；图形的相似；应用意识.

【答案】见试题解答内容

【分析】如图,连接OA,。8,作ADLOA,使得NADO=ZABC.利用相似三角形的性质证明OC=

求出的最大值即可解决问题.

【解答】解：如图，连接OA,OB,作AOLOA,使得/ADO=/ABC.

••sin^.ABC—Bc~~，

设AC=2gk,BC=13k,贝ijAB=3g公

ZADO=ZABC,ZDAO=ZBAC=90°,

.♦.△ZMOSABAC,

.ADAO

••=，

ABAC

'：ZDAO=ZBAC,

：.ZDAB=ZOAC,

：.ADAB^AOAC,

.BDAB3V13/C3

OC~AC~2713/C—2

2

・・・OC=^BD,

在RtZXAOO中，VZDAO=90°,

・.0A2风

..smAADO=Qp=]3,

•.3=08=4,

：.OD=2V13,

'：OD-0BWBDW0D+0B,

.,.2V13-4<BD<2V13+4,

：.BD的最大值为2m+4,

OC的最大值=+*

,4V138

故答案为F—+

33

【点评】本题考查圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添

加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题.

15.如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=4,/CBA=30°,点。在线段AB上运动，点E与点。

关于AC对称，DFLDE于点£>,并交EC的延长线于点F.下列结论：

①/尸=30°；

②CE=CF；

③线段EF的最小值为2V3：

④当4。=1时，与半圆相切；

⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是8V3.

其中正确的结论的序号为②③④.

F

c

E</\

ADOB

【考点】切线的判定与性质；扇形面积的计算；轴对称的性质；三角形三边关系；含30度角的直角三

角形；直角三角形斜边上的中线；圆周角定理；点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系.

【专题】压轴题；推理能力.

【答案】②③④.

【分析】(1)由对称证明出得到只有当时，ZF^ZCDF^ZCBA=30°；

(2)由点E与点D关于AC对称可得CE=CD,再根据DFLDE即可证到CE=CF；

(3)根据“点到直线之间，垂线段最短”可得时C。最小，由于跖=20,求出CD的最小

值就可求出EF的最小值；

(4)连接0C,易证△AOC是等边三角形，AD^OD,根据等腰三角形的“三线合一”可求出NACZ),

进而可求出/ECO=90°,从而得到EF与半圆相切；

(5)首先根据对称性确定线段所扫过的图形，然后探究出该图形与△MC的关系，就可求出线段跖

扫过的面积.

【解答】解：①连接CD,如图1所示.

:点E与点。关于AC对称，

：.CE=CD.

：.ZE=ZCDE.

'：DF±DE,

:./EDF=90°.

：.ZE+ZF=90°,ZCDE+ZCDF=90°.

：.ZF=ZCDF.

只有当CD_LAB时，ZF=ZCDF=ZCBA=30°,故①错误；

②又；/F=/CDF,

：.CD=CF,

：.CE=CD=CF.故②正确；

③当CD_LAB时，如图2所示.

c

E<//；/\

ADOB

图2

...AB是半圆的直径，

/.ZACB=9Q°,

VAB=4,ZCBA=3Q°,

：.ZCAB=60°,AC=2,8c=2百，

'：CD±AB,ZCBA=30°,

:.CD=^BC=W,

根据“点到直线之间，