2025年中考数学二轮复习：圆 压轴解答题练习题（含答案解析）

2025年中考数学二轮复习：圆压轴解答题练习题

—.解答题(共25小题)

1.在平面直角坐标系xOy中，的半径为2,对于点尸，。和O。的弦A3,给出如下定义：若弦A2上

存在点C,使得点尸绕点C逆时针旋转60°后与点Q重合，则称点Q是点尸关于弦的“等边旋转

点”.

(1)如图，点尸(-2,0),直线尤=1与。O交于点A,B.

①点B的坐标为，点B(填“是”或“不是”)点P关于弦AB的“等

边旋转点”；

②若点P关于弦AB的”等边旋转点”为点Q,则PQ的最小值为,当PQ与O。相切时，点

Q的坐标为；

(2)已知点D(f,0),£(-1,0),若对于线段OE上的每一点都存在的长为2遮的弦G8,

使得点M是点。关于弦GH的“等边旋转点”，直接写出f的取值范围.

2.在平面直角坐标系xOy中，。。的半径为1,对于的弦AB和不在直线4B上的点C,给出如下定

义：若/ACB=a,且点C关于弦A8的中点M的对称点在O。上或其内部，则称点C为弦AB的“a

关联点”.

(1)已知点4(—2，孚)，B(l,0).

①在点C1(—1,一1),。2(2,0),C3(0,遮)中，点是弦的关联点，其中a=.

②若直线y=-岳+6上存在A8的“60°关联点”，则b的取值范围是；

(2)若点C是A3的“60°关联点”，且。。=声，直接写出弦AB的最大值和最小值.

备用图

3.(1)如图1,在扇形A08中，点。为扇形所在圆的圆心，AO=2V3,NAO3=120°,点C是独上一

点，则△ABC面积的最大值为；

(2)如图2,在四边形ABC。中，AB^AD,ZBAD=ZBCD^9Q°,连接AC.若AC=6,求四边形

ABCD的面积；

(3)如图3,菱形A8CZ)是一个广场示意图，其中菱形边长为120米，ZA=60°,市政部门准备

在这块菱形广场中修建一个四边形景观区DEBF,这块四边形区域需要满足BE=BF,/EBF=60°,

/EDF=75°,则这块四边形区域。的面积是否存在最小值？若存在，请计算出面积的最小值及此

时线段BF的长，若不存在，请说明理由.(结果保留根号)

4.(1)课本再现：如图1,PA,尸2是O。的两条切线，切点分别为A,B.则图中的B4与尸8,ZAPO

与N3P。有什么关系？请说明理由.

(2)知识应用：如图，PN、PD、DE分别与相切于点A、B、C,且DE〃PN,连接OP,延

长PO交0O于点交DE于点E,过点、M作MN〃OD交PN于N.

①求证：是。。的切线；

②当OD=3cm,OP=4c机时，求。。的半径及图中阴影部分的面积.

DCE

图1

5.如图1,在正方形A8CD中，AB=8,点。与点8重合，以点。为圆心，作半径长为5的半圆。交

A8于点E,交43的延长线于点足点M,N是弧EF的三等分点(点〃在点N的左侧).将半圆。绕

点E逆时针旋转，记旋转角为a(0°<a(90°),旋转后,点尸的对应点为点P.

图2备用图

当EF'经过点N时.

①求a的度数；并求硒的长；

②连接FP,求FP与前的长度，并比较大小；(遍取1.7,口取3)

(2)在旋转过程中，若半圆。与正方形ABCD的边相切，请直接写出点A到切点的距离.

6.如图是由小正方形组成的6X6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，。。经过A,B,C三个格点.仅

用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示.

(1)在图(1)中画我的中点。；

(2)如图(2),延长8A至格点P处，连接CE

①直接写出/尸的度数，/F=(度)；

②尸为C尸上一点，连接BP,将PB绕点B顺时针旋转90°得到QB,画出线段并简要说明.

7.定义：对于凸四边形，对角线相等的四边形称为“等对”四边形，对角线垂直的四边形称为“垂对”

四边形.

(1)请你判断下列说法是否正确(在题后相应的括号中，正确的打“J”，错误的打“X”)

①平行四边形一定不是“等对"四边形；

②“垂对”四边形的面积等于其对角线长的乘积的一半；

③顺次连接“等对"四边形四边中点而成的四边形是“垂对"四边形；

(2)如图1,已知四边形ABC。(ADWBC)既是“等对”四边形，又是“垂对”四边形，且四边形的

四个顶点都在O。上，连接四边形的对角线AC,BD交于点P.

①记△&1)「，ABCP,四边形ABCD的面积分别为Si,S2,S,求证：小=店+&；

②如图2,点M为A8的中点，连接MP并延长交CD于点N,若AO+8C=机，MN=n,求。。的半径

(用含m,n的式子表示).

图1图2

8.我们在八年级上册曾经探索：把一个直立的火柴盒放倒(如图1),通过对梯形ABC。面积的不同方法

计算，来验证勾股定理.a、b、c分别是RtA4BE和Rt/XCOE的边长，易知力。=&c,这时我们把关

于x的形如a/+V2cx+b=0的一元二次方程称为“勾氏方程”.

请解决下列问题：

(1)方程X2+2X+1=0(填“是”或“不是”)“勾氏方程”；

(2)求证：关于x的“勾氏方程"a/+V2cx+b=0必有实数根；

(3)如图2,OO的半径为10,AB.CD是位于圆心。异侧的两条平行弦，AB=2m,CD=2n,m^n.若

关于x的方程+io近X+n=o是“勾氏方程"，连接。〃，OB,求的度数.

9.课本再现

(1)在圆周角和圆心角的学习中，我们知道了：圆内接四边形的对角互补.课本中先从四边形一条对

角线为直径的特殊情况来论证其正确性，再从对角线是非直径的一般情形进一步论证其正确性，这种数

学思维方法称为“由特殊到一般”

如图1,四边形ABCO为。。的内接四边形，AC为直径，则度，ZBAD+ZBCD

=度.

(2)如果的内接四边形A3。的对角线AC不是。。的直径，如图2、图3,请选择一个图形证明：

圆内接四边形的对角互补.

知识运用

(3)如图4,等腰三角形ABC的腰AB是。。的直径，底边和另一条腰分别与交于点。，E.点,F

是线段CE的中点，连接。F,求证：。尸是。。的切线.

10.［模型建立］

如图①、②，点尸分别在。。外、在内，直线尸。分别交。。于点A、B,则也是点尸到上的

点的最短距离，尸3是点P到OO上的点的最长距离.

请就图①中EB为何最长进行证明.

［初步应用］

(1)已知点尸到。。上的点的最短距离为3,最长距离为7.则。。的半径为.

(2)如图③，在△ABC中，/C=90°,AC=8,BC=6.点£在边BC上，且CE=2,动点尸在半径

为2的上，则AP的最小值是.

［拓展延伸］

如图，A8为。。的直径，C为。。上一点，其中A8=4,ZAOC=120°,尸为上的动点，连接AP,

取AP中点Q,连接CQ,则线段CQ的最大值为

11.4B为。。的直径，BC为。。的弦，AB=y[2BC.

(1)如图1,求证：AC=BC-,

(2)如图2,AD,AE为。。的弦，交于点孔连接EF,OGLAE,点G为垂足，过G作EF

的平行线交AF于点打，求证：AH=HF；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接CO交A尸于点P,点。在49上，连接尸。交OC于点/,连接

HI,FQ+QO=OB,PC=8,BQ=23,求H/的长.

12.如图1,在锐角△ABC中，AB=AC,是△4BC的外接圆，连结80并延长交AC于点D,交。。

于点G,设/BAC=a.

图1图2备用图

(1)填空：当a=20°时，则/BOC=.

(2)如图2,当0°<a<60°时，在BG左侧圆弧上取点E,使蹄=就,连结AE,DE,EG,设EG

与AC交于点F.

①求证：EG平分/AED.

②若△EDG的一边与平行，且AP=1,求。E的长.

13.如图1,C,。是半圆ACB上的两点，若直径4B上存在一点P,满足则称/CP。

是弧C。的“幸运角”.

(1)如图2,AB是。。的直径，弦CELAB,。是弧BC上的一点，连接DE交AB于点P,连接CP.

①/CP。是弧C。的“幸运角”吗？请说明理由;

②设弧CD的度数为n,请用含n的式子表示弧CD的“幸运角”度数;

求CE的长.

14.在平面直角坐标系xOy中，已知点TG,0),。7的半径为1,它的一条弦MN作两次变换：关于点

M作中心对称后得到线段MP,关于点N作中心对称后得到线段NQ.我们称点尸、。为OT的对称点,

称线段尸。为OT的对称弦.

(1)如图，点A,B,C,。的横、纵坐标都是整数.

①在线段AB,AD,CB,C。中，。。的对称弦是

②若线段AC上的点都是的对称点，求f的取值范围;

(2)若O。的对称弦PQ过点(1,0),直线y=Wx+b与线段PQ有公共点，b的取值范围

是

yjkyk

15.数学课上，小明同学遇到了这样的一个问题：如图，点A、B、C、。在。。上，连结A8,AD,BC,

CD,AC为O。的一条直径，过点A作2。交2D于点E.设NAOE=a.

【证明】老师说：利用所学习的“圆的知识”可以证明△ABES△Ac。，请你帮助小明网学完成，4ABE

s/\ACD的证明过程.

【应用】小明同学发现，利用△ABEs△ACD可以解决如下问题：

①若:"BE=’，贝!1Sina=；

SACD9

Q

②若A£>=5,C£»=10,sina=|,则BD的长为.

备用图

16.如图，4B是。。的直径，AB=8,点C在直径A8上运动，PCLAB,垂足为C,PC=5,在PC右侧

作O。的切线PT，切点为T,连接尸。.

(1)如图1,当点C与点A重合时，连接2T.

①求证：B4=PT；

②直接写出此时尸。与BT的位置关系(不说理由)；

(2)设线段。尸与O。交于点。，如图2,当47=4-夕时，求劣弧凹的长；

(3)直接写出PT长的最小值.

17.在矩形ABCD中，AB=3,AO=4,点P从点C出发，在线段CB上向点B以每秒2cm的速度移动,

以点P为圆心，为半径作。P.设运动时间为f秒.解答下列问题:

(1)如图1,当0P过点。时，求时间/的值.

(2)如图2,若在运动过程中，是否存在f的值，使得OP与直线AC相切？若存在，求出f的值；若

不存在，请说明理由;

(3)如图3,当。尸与直线AO相切时，切点为E,T为弧BE上的任意一点，过点T作。P的切线分

别交AB,4。于点M,N,设长度为无.

PT

119

②记AAMN的面积为Si,APMN的面积为S2,当一+---=一时，求x的值.

S12s28

图2图3

互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦，等垂弦所在直线的交点叫做等垂点.

(1)如图1,AB,AC是。。的等垂弦，OE_LAC垂足分别为。，E.

求证：四边形AOOE是正方形;

(2)如图2,AB是。。的弦，作。。J_OA,OCJ_O8分别交。。于。，C两点，连接CD分别交A3、

与点M、点E.

求证：AB,CZ)是。。的等垂弦；

(3)已知。。的直径为10,AB.C。是。。的等垂弦，P为等垂点.若AP=3BP求A8的长.

19.如图1,以A8为直径的。。与△ABC的边BC交于点。，/CAD=NABC,点M是直径A3下方半圆

上的一动点，连接AM,DM.DM交AB于点P.

(1)若A8=4,BC=2V6,求tanM；

(2)①记△AC。的面积为S^ACD,^ABD的面积为SAABD,若S—CD：S“ABD=$00的半径为遥.求

线段CD的长；

②如图2,当动点M运动到恰好使得P为DM的中点时，ZABC的角平分线交DM于点E,交于

一,DEDF-

点、F,求丁+二的值；

DPAD

(3)如图3,连接记△APD的面积为Si,的面积为S2,四边形的面积为S,若满

足遮=6+/用,试判断四边形的形状，并说明理由.

图1图2图3

20.【问题提出】

(1)如图1,在四边形ABCD中，连接AC,BD,若48=AC=A£>,ZBAC=50°,则/BOC的度数

为°；(提不：以点A为圆心，A8为半径作OA)

【问题解决】

(2)如图2,在矩形A3CD中，已知AB=3,BC=4,点尸是BC边上一动点(点尸不与2,C重合)，

连接AP,作点8关于直线A尸的对称点连接MC,求线段MC的最小值；

【实践应用】

(3)如图3,有一块形状为等腰直角三角形的空地AC。，ZCA£)=90°,在空地旁边有一条与CO边

平行的小路。，小路。经过点A,现计划在小路a上找一点在D4的延长线上找一点P,沿着8C,

2尸修两条水渠,同时保证NCBP=90°,当BP=50鱼米，A£>=80米时，求两条水渠的交汇点2到A

的距离.

B

图1图2图3

21.【问题情境】

(1)如图1,圆与大正方形的各边都相切,小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方

形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°(如图2),这时候就容易发现大正方形面积是小正方

形面积的倍.由此可见，图形变化是解决问题的有效策略;

图1图2

【操作实践】

(2)如图3,图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系.小昕按

所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4.请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点

尸为端点的四条线段之间的数量关系；

图3图4

【探究应用】

(3)如图5,在图3中“④”的基础上，小昕将△PDC绕点P逆时针旋转，他发现旋转过程中/IMP

存在最大值.若PE=8,PF=5,当/D4P最大时，求的长；

22.如图，以AB为直径作OO,C为。。上一点，ZX。。尸父△ABC,。。与BC交于点G,AC=6,8C=8.

(1)如图1,当OP经过点C时，PC=.

(2)在(1)的条件下，求证：BG=CG.

(3)如图2,将△OQP从图1的位置开始绕点。顺时针旋转(。尸与重合时停止转动)，0P与BC

交于点H,设尸。的中点M到BC的距离为d.

①当。尸_LA8时，求的长；

②直接写出旋转过程中d的最大值.

23.已知，四边形ABC。内接于诙=皿，点T在BC的延长线上.

(1)如图1,求证：CD平分/ACT；

(2)如图2,若AC是。。的直径，BE平分NABC交CD延长线于E,交。。于F,连接AE,AF,

DF.

①求/AED的度数；

_CZ)525

②若△£＞所的面积等于工，求AC的长.

AB89

E

A

图1图2

24.在△ABC中，ZACB=90°，AC=3,BC=4,延长BC到点。，使CZ）=1,P是BC边上一点（不与

点、B,C重合）.点Q在射线8A上，PQ=BP,以点尸为圆心，尸。的长为半径作。尸，交AC于点E,

连接尸。，设尸C=x.

（DABBD（填“<'*'="或">"），如图1,当点。在OP上时,x的值为

（2）如图2,当C为尸。中点时，连接PE,求扇形。尸E的面积.

CD

（3）如图3,当。尸与42相切时，求:7的值.

下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务.

关于“等边半正多边形”的研究报告博学小组

研究对象：等边半正多边形

研究思路：类比三角形、四边形，按“概念一性质一判定”的路径，由一般到特殊进行

研究.

研究方法：观察（测量、实验）一猜想一推理证明

研究内容：

【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、

相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形.如图①，我们学习过的菱形

(正方形除外)就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边

形……

【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下：

概念理解：如图②，如果六边形ABCZJEF是等边半正六边形，那么

=EF=FA,NB=ND=NF,且NAWNB.

A

上

D

图2性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性

内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为__________°.

对角线：...

任务：

(1)直接写出研究报告中处空缺的内容：;

(2)如图③，六边形A8COEF是等边半正六边形.连接对角线A。，猜想NBA。与/胡。的数量关系，

并说明理由；

(3)如图④，已知△ACE是正三角形，。。是它的外接圆.请在图4中作一个等边半正六边形ABCZJEF

(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法).

图3

参考答案与试题解析

解答题(共25小题)

1.在平面直角坐标系尤Oy中，。。的半径为2,对于点P,。和的弦给出如下定义：若弦AB上

存在点C,使得点P绕点C逆时针旋转60°后与点。重合，则称点。是点P关于弦AB的“等边旋转

点”.

(1)如图，点尸(-2,0),直线x=l与。。交于点A,B.

①点B的坐标为(-1,V3)_，点B是(填“是”或“不是”)点尸关于弦的“等边旋转

点”；

②若点P关于弦AB的”等边旋转点”为点Q,则PQ的最小值为3,当PQ与。。相切时，点Q

的坐标为(-2,-2V3)；

(2)已知点。0),E(-1,0),若对于线段OE上的每一点M,都存在。。的长为2百的弦G”，

使得点M是点D关于弦GH的“等边旋转点”，直接写出t的取值范围.

【考点】圆的综合题.

【专题】新定义；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；与圆有关的位置关系；运算能力；推

理能力.

【答案】(1)①(1,—V3),是；

②3,(-2,-2^3)；

(2)-2W/W—竽或10W”一.

【分析】(1)①连接04,OB,设交x轴于点C,可求得/AOB=2/AOC=120°,AC=BC=V3,

进一步得出结果；

②将PB绕点8逆时针旋转60°至尸夕，可得出48'上点是点P关于的“等边旋转点"，当PQ_L

AB'Ht,PQ最小，当尸。与（DO相切时，点。在夕处，进一步得出结果；

（2）将点。逆时针旋转60°得。'，则点。'在直线y=后上，对于线段OE上的每一点点M

是点。关于GH的“等边旋转点”需要满足在以。'为圆心，半径为1和半径为2形成的圆环覆盖OM,

分类：当半径为2的圆过点0时；当半径为1的OO'与OD相切时，作轴于H,则

8=1；当半径为1的。与x轴相切时，OD=O，。=1；当半径为2的O。'过点E时，连接O'E,

作。于E则。'E=2,分别求得f的值，进一步得出结果.

【解答】解：（1）①如图1,

连接。4,OB,设A8交x轴于点C,

nr1

•.,A5_Lx轴，cosNAOC=初=a，

ZAOC=60°,

•：OA=OB,

：.ZAOB=2ZAOC=120°,AC=BC=OB^sinZAOC=2•cos60°=V3,

-1

：.ZP=^AOB=60°,AP=BP,B（1,一遮），

△ABP是等边三角形，

.•.点B是点尸关于弦AB的”等边旋转点”，

故答案为：（1,—\/3）,是；

②如图2,

图2

将PB绕点B逆时针旋转60°至PB',

:.点、B'是点尸关于弦A8的“等边旋转点”,

,/点B是点尸关于弦AB的“等边旋转点”，

：.AB'上点是点尸关于A3的“等边旋转点”，

.•.当时，PQ最小=苧尸8=苧48=^x2遮=3,

MPBB'是等边三角形,

：.ZBPB'=60°,

VZPBO=30°,

：.ZB'PO=90°,

：.B'PLOP,

：.B'P是O。的切线，

当尸。与o。相切时，点。在夕处,

：.Q(-2,-2V3),

故答案为：3,(-2,-2V3)；

(2)如图3-1,

yjk

图3—1

将点。逆时针旋转60°得O',则点。'在直线y=岛上，

对于线段。£上的每一点点M是点。关于GH的“等边旋转点”需要满足在以。'为圆心，半径

为1和半径为2形成的圆环覆盖OM,

当半径为2的圆过点。时，

•.•△OO'。是等边三角形，

：.OD=O'D=2,此时f=-2,

如图3-2,

图3—2

当半径为1的与。。相切时，作O'轴于H,则O'H=l,

：.OH=^-O'H=学

：.OD=2OH=受,

此时仁-苧，

如图3-3,

当半径为1的。。与x轴相切时，OD=O'0=1,

此时t=1,

图3—4

当半径为2的。0，过点E时，连接0,E,作0尸，。E于尸，则O'E=2,

设0/=尸。=4,贝Uo'F=V3a,EF=l+a,

'：ZO'FE=90°,

:.o'F2+EF1=O'序，

(V3a)2+(1+a)2=22,

•V13-1—tx—V13_1z\

.・〃=­3—或〃=1(舍去)，

4,4

：.0D=2a="T，

•..1YW写1,

综上所述：-2W右一竽或1<r<"T.

【点评】本题在新定义的基础上，考查点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系，旋转的性质，等边三

角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键根据定义作旋转的辅助线.

2.在平面直角坐标系xOy中，O。的半径为1,对于O。的弦48和不在直线AB上的点C,给出如下定

义：若/ACB=a,且点C关于弦AB的中点M的对称点在O。上或其内部，则称点C为弦AB的“a

关联点”.

(1)已知点4(—-^)>B(1,0).

①在点C1(—1,-1),金(2,0),。3(。，8)中，点C3是弦48的关联点,其中a=60°.

②若直线产-V3x+b上存在AB的“60°关联点”，则b的取值范围是0<fe<2+V3；

(2)若点C是48的“60°关联点”，且。。=次，直接写出弦48的最大值和最小值.

备用图

【考点】圆的综合题.

【专题】新定义；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；与圆有关的位置关系；运算能力；推

理能力.

【答案】（1）①C3,60°；

②0C6W2+W；

（2）AB最小=1,AB最大=

【分析】（1）①画出图形，直观判定；

②作等边三角形ABC,作△ABC的外接圆，当直线/：y=与。/相切于点E时，连接AC3,连

接/£,作于凡设/交y轴于点。，则的半径为花=1,可得/OC3/=NOAC3=60°,

AC3〃直线/,进一步得出结果；

（2）当△ABC是等边三角形时，A8最小，此时。CLA8,设。C交于在Rt/VlO。根据勾股定

理列出方程，进一步得出结果；当/CA8=90°时，4B最大，作。。_LA8于作。E_LAC于E,设

AC=2x,AE=OB=y,则AB=小1AC=2A/3X,OD=B久在RtAAOD和RtZ\COE中，根据勾股定理列

出方程组，进一步得出结果.

【解答】解：（1）①如图1,

yjk

图i

点Ci和C2关于A8的中点的对称点在O。外，

'•*C3'（1——0>0+-V3）,即（1,—）,

2222

•••（|）2+（字）2=1,

...点C3’在圆上，

.•.点C是弦AB的关联点，

../,z-tc1A/3^

・tanZAC（?=—--=/，

九一力3

ZACO=60°,

同理可得：ZBCO=30°,

・・・NAC8=60°,

故答案为：Q,60°；

作等边三角形ABC,作△ABC的外接圆,

当直线Z：y=Tx+b与。/相切于点E时，连接ACs,连接IE,作CiFLDE于R设/交y轴于点D,

则。/的半径为/E=l,可得/”73/=/。4。3=60°,AC3〃直线/,

：.C3F=IE=1,

.,.OC3=2C3f'=2,

：.b=OC?,+CE=2+43,

当直线y=-遮乂+6过点B时，6=0,

：.G〈bW2+也;

(2)如图3,

当△ABC是等边三角形时，最小，此时OC_L4B,设0c交AB于D

：.AD=BD=%B,NACD=NBCD=^Z.ACB=30°,

?.CD=WAD,

在RtAAOD中,

'."AEr+ODr^OA1,

：.0D2+(V3-V3XD)2=l2,

：.AD=I，

：.AB=l,

如图4,

当NC4B=90°时，AB最大，

作0。J_AB于D,作OEJ_AC于E,

设AC=2x,AE=OB=y,则AB=小1AC=2百x,OD=V3x

在RtAAOD和RtACOE中，

由OEr+AD1=OA2,C^+OEr=0C2得,

)2+y2—l2

)2+(2x+y)2=(V3)2

1

X-

-2

1

y-

-2

A3AB

勤

最大-V3

b=

【点评】本题在新定义的基础上，考查了直线和圆，圆与圆位置关系，圆周角定理，轴对称的性质，勾

股定理等知识，解决问题的关键是确定点的运动位置.

3.(1)如图1,在扇形中，点。为扇形所在圆的圆心，AO=2A/3,NAOB=120°,点C是而上一

点，则△ABC面积的最大值为_3旧_;

(2)如图2,在四边形A8CD中，AB^AD,/BAD=/BCD=90°,连接AC.若AC=6,求四边形

ABCD的面积；

(3)如图3,菱形A8CD是一个广场示意图，其中菱形边长为120米，ZA=60°,市政部门准备

在这块菱形广场中修建一个四边形景观区。加R这块四边形区域需要满足NEBF=60°,

/EDF=I5。，则这块四边形区域。防厂的面积是否存在最小值？若存在，请计算出面积的最小值及此

时线段8尸的长，若不存在，请说明理由.(结果保留根号)

【考点】圆的综合题.

【专题】几何综合题；运算能力；推理能力.

【答案】(1)3V3；

(2)18；

(3)四边形DEBF的最小值为(3600次一3600a+3600)m2,BF=(60\/3-60V2+60)m.

1

【分析】(1)过。作OHLAB于H,延长。/交扇形AOB于D根据等腰三角形的性质得到NAO8=/

ZAOB=x120°=60。，OH=^OA=V3,根据勾股定理得到AH=y/OA2-OH2=3,求得AB=2.AH

=6,得到。H=2必一旧=旧，当点C到AB的距离最大时，AABC的面积最大，当点C与点。重

合时，点C到AB的距离最大，于是得到结论；

(2)将△ACZ)绕点A顺时针旋转90°得到△ABE,说明/ABE+/A8C=180°,则点E、B、C三点

共线，得四边形ABCD的面积=S»CE=18；

(3)连接CF,2。，根据等边三角形的性质得到BD=BC,ZZ)BC=60°,根据全等三角形的判定定

理得到(SAS),得至！JSADEBFMSAEBD+SABDFMSABFC+SZXBDF,求得NZ)FC=135°,作^

。尸C的外接圆，圆心为。，连接0。，OC,OF,得至!JO£)=OP=OC=60&c»t,过。作OALLOC于N,

交O。于声，过厂作FMLCD于M,过。作OHLFM于H,由FO^HF,四边形是矩形，F'

O=FO,得到F'O—HF,F'O-ON^FH-MH,推出F'N^FM,当F与P重合时，FM最大为F'

N,求得PN=(60V2-60)m,根据三角形的面积公式即可得到结论.

【解答】解：(1)过。作。H_LA8于H,延长。H交扇形AQB于。，

D

：AO=BO=2A/I,

11

ZAOH=^ZAOB=x120°=60°,

OH=^OA=V3,

：.AH^>JOA2-OH2=3,

：.AB=2AH=6,

.•.DH=2V3-V3=V3,

当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，

，当点C与点。重合时，点C到AB的距离最大，

**•S^ACB=那B，DH=x6xV3=3百；

即△ABC面积的最大值是3V3；

故答案为：3v5；

(2)如图，将△ACD绕点A顺时针旋转90°得到△A3E,

ZADC=ZABE,AC=AEfZEAC=90°,

'：ZBAD=ZDCB=90°,

ZADC+ZABC=180°,

AZABE+ZABC=180°,

.•.点E、B、C三点共线，

/./XACE是等腰直角三角形，

，四边形ABCD的面积=SMCE=/X6X6=18；

(3)连接CKBD,

,四边形ABCD是菱形，44=60°,

△DBC是等边三角形，

：.BD=BC,Z£)BC=60°,

VZEBF=60°,BE=BF,

:./EBD=NFBC,

:.LEBD沿AFBC(SAS),

SADEBF—S&EBD+SABDF=S&BFC+SABDF,

■:NEDF=15°,

AZE+ZDFB=36Q°-60°-75°=225°,

AZBFC+ZDFB=225°,

：.ZDFC=135°,

作△。尸C的外接圆，圆心为O,连接O。，OC,OF,

VZDFC=135",OC^120m,

：.ZDOC^90°,

：.OD=OF=OC=60V2cm,

过。作ON1.OC于N,交。。于「，过/作FMl.Cf)于过。作O”_LFAf于H,

,：FO^HF,四边形MNOH是矩形，F'O=FO,

：.F'ONHF,F'O-ON^FH-MH,

：.F'N^FM,

.•.当尸与声重合时，FM最大为PN,

1

DN=NO=CN=20c=60(m),

：.F'N=(60V2-60)m,

2

：.SADFC的最大值=^DC'F'N=*X120X(60V2—60)=(360V2-360)tn,

:&BDF+SABFC的最大值=5.(7-SADFC=:X1202-(3600&-3600)=3600百-3600a+3600,

.••四边形。防尸的最小值为(3600次—3600&+3600)nT,

此时，BF=60V3-F'N=60W—(60应-60)=(60V3-60V2+60)m.

E

【点评】本题是四边形综合题，主要考查了四边形内角和定理，圆的性质，等腰直角三角形的判定与性

质，勾股定理等知识，利用旋转构造等腰直角三角形是解决问题(3)的关键.

4.(1)课本再现：如图1,PA,尸8是OO的两条切线，切点分别为A,B.则图中的B4与尸8,ZAPO

与NB尸O有什么关系？请说明理由.

(2)知识应用：如图，PN、PD、OE分别与OO相切于点A、B、C,S.DE//PN,连接OZ)、OP,延

长PO交。。于点M,交。E于点E,过点、M作MN〃OD交PN于N.

①求证：是O。的切线；

②当OZ)=3c〃z,0P=4C»J时，求O。的半径及图中阴影部分的面积.

【考点】圆的综合题.

【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力.

【答案】(1)PA^PB,ZAPO=ZBPO；

(2)①证明见解析；

②。。的半径是2.4cm图中阴影部分的面积是(6-1.44-n)on2.

【分析】(1)连接04和08,根据切线的性质，可得Rtz^AO尸之RtaBOP,即可得出结论；

(2)①根据题意求证MN〃。。，即可得出MN_L0M,即可得出答案；

②根据4poo=*0P-。。=*PD-OB，求出。8的长，再用三角形面积减去扇形面积即可得出答案.

【解答】(1)解：PA^PB,ZAPO=ZBPO；理由如下：

如图1,连接。4和0B,

图1

VB4和PB是O。的两条切线，

：.OA±AP,OBIBP,

在RtAAOP和RtABOP中，

(OA=OB

top=OP'

.,.RtAAOP^RtABOP(HL),

：.PA=PB,/APO=NBPO；

(2)①证明：：PN、PD、OE分别与OO相切于点A、B、C,

：.OD,。尸分别平分/POE、ZDPN,

又,：DE//PN,

：.ZPDE+ZDPN^180°,

11

・"ODP+乙DPO=.(4PDE+乙DPN)=.x180°=90°,

：.ZPOD=90°.

：.0D±DE,

又,：MN〃0D,

：.MN,LOM,

又〈MN经过半径OM的外端点M,

・・・MN是。。的切线.

②解：连接OB,则05_LPQ,

：.PD=y/OD2+OP2=V32+42=5(cm),

一11

:・SAPOD=2OP•OD=qPD•OB,

PD

OB=0p^=2.4cm,

即O。的半径为2.4cm.

i907rx2.42

:・S阴影=[x3x4--------250-----=(6—1.4471)cm2,

综上所述：OO的半径是2.4C",图中阴影部分的面积是(6-1.44-rt)cm2.

【点评】本题属于圆的综合题，主要考查圆的切线的证明、扇形的面积计算等，解题的关键在于熟练掌

握圆的知识点，切线的证明与性质，圆中的相关面积计算等.

5.如图1,在正方形ABC。中，AB=8,点。与点2重合，以点。为圆心，作半径长为5的半圆O,交

于点E,交AB的延长线于点R点M,N是弧所的三等分点(点M在点N的左侧).将半圆。绕

点E逆时针旋转，记旋转角为a(0°<aW90°),旋转后,点厂的对应点为点/.

备用图

①求a的度数；并求EN的长;

②连接,求PF'与前的长度，并比较大小；(百取1.7,TT取3)

(2)在旋转过程中，若半圆。与正方形ABC。的边相切，请直接写出点A到切点的距离.

【考点】圆的综合题.

【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力.

【答案】(1)①a=30°；EN=5V3；

57r

②FN的长为w~；Fr=5V6-5V2；FF'＞前的长度；

(2)VTF或VH或3.

【分析】⑴①连接BN,过点B作BUEN于点L则EN=2EL根据题意可得NNBF=1x180°=60°,

再由8E=BN,以及三角形外角的性质，即可求解；

②根据弧长公式求出前的长；过点尸'于点W,根据直角三角形的性质可得/'勿=*EF'=5,

从而得到EW=5V3,进而得到WF=10-5V3,再由勾股定理可得尸产成=200—100V3«30,即可求

解；

(2)分类讨论当半圆。与CD、AD,AB相切的三种情况，画出对应的几何图，根据切线的性质即可

求解.

【解答】解：(1)①如图2,连接BN,过点8作BCEN于点3贝IEN=2E3

:点M,