2025年中考数学二轮复习：四边形 压轴解答题练习题（含答案解析）

2025年中考数学二轮复习：四边形压轴解答题练习题

解答题(共25小题)

1.课本再现

(1)如图1,△ABC和△(?£>£都是等边三角形，且点2、C、E在一条直线上，连接8。和AE相交于

点P,线段8。与AE有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？

深入探究

(2)如图2,将△CDE绕点C逆时针旋转一定的角度，其他条件与(1)中相同.

①线段BD与AE的数量关系是；

@ZDPE的度数为.

拓展应用

(3)如图3,四边形ABCD中，AB=BC,ZABC=60°,ZADC=3Q°,AD=6,BD=1Q,求边CO

的长度.

2.问题探索：

(1)如图1,在RtzSABC中，ZC=90°,AC=BC,。为AB中点，点、E,尸分别在边BC,AC上且

ZEDF=9Q°,则DE与DF的数量关系是；

问题解决：

(2)如图2,某大学校园内有一块四边形的花圃ABC。，满足AB=80〃3BC=20m,ZABC=120°,

ZADC=60°,花圃内铺设了一条小路BD,8。平分为方便学生赏花，现计划修建一条径直的

通道。E与小路8。相连，且入口点E恰好在BA的延长线上.解答下列问题：

①求证：AD=CD；

②求入口到点A的距离AE的长.

EE

3.如图，在正方形ABC。中，点E为对角线AC上一动点(点£不与A、C重合)，连接BE,过点£作

EfUBE交直线于尸，将线段BE绕点B顺时针旋转90°得到线段BG,连接GA,GC,GF.

(1)求证：△ABEZACBG；

(2)试探究CE+CG与BC的数量关系，并说明理由.

(3)若正方形ABCD的边长为2,求GA+G2的最小值.

4.【定义】

如果一个四边形的其中一组对角互补，那么这个四边形叫做“对补四边形

如图1,在四边形ABCD中，若/A+/C=180°,则四边形ABCD是对补四边形.

【应用】

(1)如图1,在对补四边形ABCD中，ZA=100°,则/C=:

(2)如图2,在对补四边形ABCD中，NA=90°,A3=3,A£>=4,DC=2,则BC=；

(3)如图3,在对补四边形ABC。中，AC平分/BAD

①求证：BC=CD；

②若/BAD=60°,请探究AB,AC>AD的数量关系并说明理

图2

备用图

1

(1)如图1,是△ABC的中位线，求证：DE//AC,DE=^AC.

证明：延长即至点FDF=DE,连接AF

请你把证明过程补充完整.

【类比迁移】

(2)如图2,是△ABC的中位线，尸是平面内任意一点，将点E分别绕着点。，E旋转180°得到

点G和〃，连接GH,猜想G”和AC的关系，并证明；

【拓展应用】

(3)如图3,在中，NA4c=90°,AB=3,AC=4,D,E分别是边AB,BC的中点，点、F

在△ABC内部，将点尸分别绕着点O,E旋转180°得到点G和H,顺次连接AG,GB,BH,得到

四边形AGBH,试求四边形AGB”的面积.

A

AA

6.“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1,RCABC中，ZABC=90°,BD为AC边上的中线.将

△AB。沿射线BC的方向平移，得到其中点A,B,。的对应点分别为E,F,G,如图2,当

线段£厂经过点。时，连接DG,GC,请解决下列问题:

【数学思考】

(1)请直接写出四边形DFCG的形状：

【深入探究】

(2)如图3所示，老师将图2中的△EPG绕点P按顺时针方向旋转得到△PFQ,其中点及G的对应

点分别为尸、Q,线段尸尸、。尸分别与边8。交于点M、N.

①“勤学小组”提出问题:当尸。〃2。时，试猜想线段和AW的数量关系，并证明;

②“善思小组”提出问题:若△ABC中，AB=6,BC=8,当△/MN为等腰三角形时，请直接写出△

■WN的面积.

图2

ZACB=9Q°,在边BC上任取一点。，连接AO,将△ADB沿着翻折,

得到且点9在直线AC的上方.连接23并延长与AC的延长线交于点E.

①40与BE之间有怎样的位置关系？请证明你的结论;

②若sinNA4C=&,请探究AZ)与3E之间有怎样的数量关系？并证明你的结论.

A.AE3

(2)如图2,在平行四边形4BC。中，sinA=XAB=5,AD=6,点E是AB边上的点，满足一=

5EB2

将BE绕着点E顺时针旋转90°得到ME.过点E作EfUCE交AO于点N,连接MD,MN,DF、若

EF=EC,则四边形的面积为

B

C

B

图1图2

8.综合与实践

线段的计算和角的计算有紧密联系，它们之间的解法可以互相迁移.下面是某节课的学习片段，请完成

探索过程：

【探索发现】

(1)课上老师提出问题：如图1,点。是线段上一点，C,。分别是线段的中点，当

=16时，求线段CD的长度.下面是小华根据老师的要求进行的分析及解答过程，请你补全解答过程：

未知线段1______________1_____________1________1________1线段中点的定义

AC0DB

图1线段的和、差等式的性质

转因为C,。分别是线段04,的中点，

化

11

所以。C=2。4,0D=2________①，

11

已知线段所以CD=OC+OD=^OA+寺_________②，

=2________③.

因为AB=12,

所以CD=_______④.

【知识迁移】

(2)小华举一反三，发现有些角度的计算也可以用类似的方法进行转化.如图2,已知NAOC=80°,

08是角内部的一条射线，0D,0E分别是NA。8NB0C的平分线，求NOOE的度数.请同学们尝

试解决该问题.

【拓展延伸】

(3)老师提出这样一个问题：如图3,长方形纸片ABC。，点E在边A3上，点、F,G在边CD上，连

接EREG,将NBEG对折，点B落在直线EG上的点中处，得折痕将NAEP对折，点A落在

直线EE上的点A'处，得折痕EN.若/FEG=26°,请直接写出/MEN的度数

为.图2图3图3备用图

9.【综合与探究】数学课上，李老师布置了一道题目：如图①，点E,尸分别在正方形A8CD的边

8C上，ZEDF=45Q,连接ER,求证：EF=AE+CF.

【思路梳理】(1)“勤奋”小组的同学给出了如下的思路分析过程，请你补充完整:

"：AD=CD,...将△AOE绕点。逆时针旋转90°至△CDG,可使AD与CD重合,

AZA=ZDCG,ZADE=ZCDG,AE=CG,DE=DG,

'：ZDCB=ZA=90°,AZFCG=180°,即点RC,G共线,

ZEDG=ZEDC+ZCDG=ZEDC+ZADE=ZADC=9Q°,

VZEDF=45°,：.ZGDF=ZEDF=45°,

又,：DF=DF,；.0ADEF,()(写依据)

EF=FG=CG+CF=AE+CF.

【类比引申】(2)“智慧”小组的同学在“勤奋”小组同学的基础上，改变了条件：如图②，在四边形

ABCD中，AD=DC,ZADC=90°，点E,尸分别在边AB,BC±,ZEDF=45°,连接EF.若/A,

/C都不是直角，且/A+/C=180°,贝。(1)中的结论是否还成立？并说明理由.

【联想拓展】(3)“创新”小组的同学提出了下面的问题：如图③，在△A2C中，ZABC=90Q,AB=

BC,点、D,E均在边AC上，且/。BE=45°.当AO=1,CE=2时，直接写出DE的长度.

10.我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形

为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边.

(1)写出两种你所知道的特殊四边形中是勾股四边形的图形的名称,

(2)如图(1),请你在图中画出以格点为顶点，04为勾股边，且对角线相等的所有勾股四边形

OAMB.

(3)如图(2),在四边形ABCD中，ZB=60°，ZZ)=30°，S.AB=BC,连接BD探究8。、AD.

和CD三者之间的数量关系，并说明理由.

图⑴图(2)

11.如图1,在长方形ABCO中，AB=6cm,8c=8c机.点P从点8出发，以lcm/s的速度沿BC方向运

动到点C停止，点。从点C出发，以2c机/s的速度沿C-8-C方向运动到点C停止，连接。尸、DQ-,

若尸、。两点同时出发，设点尸的运动时间为/秒(f>0),△DPQ的面积为5。层(S>0).

(2)当点尸和点。相遇时，求f的值.

(3)当0<反4时，用含f的代数式表示S.

(4)如图2,在点尸和点。不重合的情况下，连接AP,四边形的面积是长方形ABCD的面积

的!时，直接写出f的值.

12.【操作思考】

(1)如图1,已知方格纸每个小方格都是长为1个单位的正方形，已知线段AB的端点均在正方形网格

格点上，其位置如图所示.请在网格纸上画出以AB为斜边的所有互不全等的直角三角形，要求这些三

角形的顶点均在正方形网格格点上.

【联系应用】

AC1

(2)如图2,在RtZ\ABC中，ZC=90°E是BC边的三等分点，连接AD,AE,求/

BC3

1+Z2+Z3的度数.

【拓展延伸】

(3)如图3,已知正方形ABCD的边长为3,当点H是边AB的三等分点时，把△BCH沿C"翻折得

△GCH,延长HG交AD于点求必)的长.

图1图2图3

13.综合与探究

问题情境：在△ABC中，AC=BC,。为A3的中点.将△CDB以点。为中心逆时针方向旋转，点、B,

C的对应点分别为点夕，C',夕C与AC的交点为E.猜想证明:

(1)如图1,当8,C〃A3时，判断四边形ADB'E的形状，并说明理由;

深入探究

(2)如图2,当点8,恰好落在BC边上时,

①猜想线段AE,B'E的数量关系，并说明理由;

②若AC=10,AB=12,请直接写出线段88'的长度.

14.在长方形ABC。中，AD=6,E,尸分别是AD,AB边上的动点.在长方形ABCD的内部(包含边界),

以斯为直角边作等腰直角三角形EEP,且/EFP=90°.过点尸作尸。，48,垂足为。.

(1)如图①，当AE=1时，设AQ=x,PQ=y,求y与尤之间的函数表达式;

(2)当点E的位置如图②所示时，点尸在AB边上运动，用直尺和圆规在图②中作出所有满足条件的

点P;(保留作图痕迹，写出必要的文字说明)

(3)当点E,歹分别在AD,边上运动时，满足条件的点尸所形成的区域的面积随着A2的长度变

化而变化，设点P所形成的区域的面积为s,AB的长度为小请直接写出s与〃的函数表达式及对应〃

的取值范围.

15.如图，在四边形ABCD中，AD//BC,AD=12cm,BC=16cm.点P仄点D出发,以lcm/s的速度向

点A运动，同时点。从点8出发，沿着射线2C以3cm/s的速度向右运动，当动点P到达端点A时另

一个动点Q也随之停止运动.设运动时间为fs.

(1)在点尸，Q运动过程中，AP=cm,BQ=cvn；(用含f的代数式表示)

(2)连接8尸，AQ,若8尸与AQ互相平分，求此时f的值；

(3)在点尸，。运动过程中，是否存在以点尸，Q,C,。为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求

出此时的运动时间f；若不存在，请说明理由.

16.【学习新知】等边对等角是等腰三角形的性质定理.如图1,可以表述为:

'：AB=AC,

：.ZB=ZC.

【新知应用】已知：在△ABC中，AB=AC,若/A=110°则/8=；若/B=70°,则

ZA=.

图1图2图3

【尝试探究】如图2,四边形ABC。中，42=4。，ZB+ZAZ)C=180°,若连接C4,则CA平分/BCD.

某数学小组成员通过观察、实验，提出以下想法：延长CD到点E,使得DE=BC,连接AE,利用三角

形全等的判定和等腰三角形的性质可以证明.请你参考他们的想法，写出完整的证明过程.

【拓展应用】借助上一问的尝试，继续探究：如图3所示，在五边形A2CDE中，AB=AE,BC+DE=

CD,ZB+ZA£D=180°,连接CA,CA平分NBC。吗？请说明理由.

17.在平面直角坐标系中，点A(0,4),点、B(4,0),动点尸Cm,0)(-4<m<4),M、N分别为点P

关于直线AB、0A的对称点，连接AM,AN.

(1)如图1,当0<m<4时，ZMAN=；

BM

(2)如图2,当-4<加<0时，是否存在点P,使得l=3,若存在，求点P坐标；若不存在，请说

明理由；

(3)当-4<m<0时，四边形的面积是否随点P的运动而改变？若不变，请求出四边形

的面积；若改变，请描述四边形的面积随点P运动的变化规律.

将正方形的四个顶点用线段连接，什么样的连法最短？研究发现，并非对角线最短，而是如图所示的连

法最短(即用线段AE、DE、EF、BF、C厂把四个顶点连接起来).已知如图1：ZDAE=ZADE=30°,

ZAEF=ZBFE=\2Q0.

(1)由图1可知，线段AB和所的位置关系为：；

【问题探究】

(2)某数学兴趣小组发现，图1所示图形(是/不是)轴对称图形，于是他们如图2构造了△

AF'△BFC,发现△AF'E是三角形，请结合以上结论，猜想线段AE与OE的数量关系，

并证明.

【问题解决】

(3)在第(2)间的基础上，若AB=6,求最短连法的线段和，即AE+DE+EF+BF+CF的值.

19.在菱形A2CD中，ZABC=60°,AC与相交于点。，点尸是射线2。上一动点，以AP为边向右

侧作等边△APE.

(1)问题发现：如图1,当点尸与点O重合时，点E在边A。上，连结CE,8尸与CE的数量关系

是;CE与的位置关系是;

(2)拓展探究：如图2,当点E在菱形ABC。外部时，猜想BP与CE的数量关系并说明理由；

(3)解决问题：如图3,若。。=遮，AP=2V13,请直接写出四边形ACDE的面积.

C

图2

20.对于点P,直线/和图形N,给出如下定义：若点尸关于直线/的对称点P在图形N的内部或边上，

则称点尸为图形N关于直线/的“镜像点”.

在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,1),B(-1,1),C(-1,-

2),设点7(0,f),直线/i为过点T(0,力且与y轴垂直的直线.

(1)若f=-2,在点Pi(0,-4),尸2(2,-5.5),尸3(-1，-2.2)中，点是△A2C

关于直线/1的“镜像点”；

(2)当fWO时，若x轴上存在△A2C关于直线/1的“镜像点”，则/的最小值为；

(3)已知直线/2过点T(0,力且与第一、三象限的角平分线平行.

①若直线/2上存在△A2C关于直线/1的“镜像点”，直接写出/的取值范围；

②已知边长为1的正方形。£切的对角线的交点为。(30),且正方形DEPH的边与坐标轴平行.若

正方形DEM边上的所有点都是△ABC关于直线h的“镜像点”，直接写出t的取值范围.

21.在平面直角坐标系中，。为原点，点B在x轴的正半轴上，D(0,8),将矩形08C。折叠，使得顶

点2落在CD边上的尸点处.

BxA

Si图2

(1)若图1中的点尸恰好是CD边的中点，求/A08的度数；

(2)如图1,已知折痕与边BC交于点A,若0D=2CP,求点A的坐标；

(3)如图2,在(2)的条件下，擦去折痕A0,线段AP,连接8尸，动点M在线段。尸上(点M与尸，

。不重合)，动点N在线段OB的延长线上，且.BN=PM,连接MN交尸B于点儿作ME,BP于点E,

试问当点M,N在移动过程中，线段所的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段

EF的长度.

22.(1)【观察猜想】我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角.如图1,在正方形ABCD中，

点E,尸分别在边BC,CD±,连接AE,AF,EF,并延长CB到点G,使BG=DF,连接AG.若/

EAF=45：则BE,EF,之间的数量关系为；

(2)【类比探究】如图2,当点E在线段BC的延长线上，且/EAF=45°时，试探究BE,EF、DF之

间的数量关系，并说明理由；

(3)【拓展应用】如图3,在RtZ\ABC中，AB=AC,D,E在BC上，ZDAE=45°,若△ABC的面积

为18,BD*CE=4,请求出△ADE的面积.

23.折叠问题是几何变换中常见的数学问题，经常利用轴对称的性质解决相关问题，而有直角的图形折叠

又往往会与勾股定理相关联.数学活动课上，同学们以“折叠”为主题开展了数学活动：

图①图②

(1)【初步感知】如图①，在三角形纸片ABC中，ZC=90°,BC=12,将/A沿。E折叠，使点A

与点2重合，折痕和AC交于点E,折痕和交于点，A£=13,则CE的长为

(2)【深入探究】如图②，在平行四边形纸片ABCO中，ZB=90°,现将纸片折叠，使点C与点A重

合，折痕为匹，如果AB=3,BC=6.求BE的长；

(3)【拓展延伸】如图③，在平行四边形纸片ABCO中，ZA=90°,AB=5,BC=8,点E为射线A。

上一个动点，把△A2E沿直线BE折叠，当点A的对应点厂刚好落在线段BC的垂直平分线上时，直接

写出AE的长为.

24.【概念呈现】：当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形.若其中有一个三角形是等腰

直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”；

当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一

个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真

等腰直角四边形”.

(1)【概念理解】：如图①，若AO=1,AD=DB=DC,BC=y[2,则四边形ABC。(填“是”

或“不是”)真等腰直角四边形；

(2)【性质应用】：如果四边形ABCO是真等腰直角四边形，且/BOC=90°,对角线8。是这个四边

形的真等腰直角线，当AB=1时，BC2=；

(3)【深度理解】：如图②，四边形ABCD与四边形ABDE都是等腰直角四边形，ZBDC=90°,ZADE

=90°,BD>AD>AB,对角线BD,AD分别是这两个四边形的等腰直角线，试猜想并说明AC与BE

的数量关系；

(4)【拓展提高】：已知：四边形A2CD是等腰直角四边形，对角线2D是这个四边形的等腰直角线，

且/。BC=90°,若AO=2,AB=3,ZBAD=45a,请直接写出AC的长.

25.问题背景：”半角模型”问题.如图1,在四边形A3CD中，AB=AD,ZBAD=120°,ZB=ZADC

=90°,点E,厂分别是BC,CD上的点，且N£AF=60°,连接ER探究线段BE,EF,D尸之间的

数量关系.

G

图1图2图3

E

(1)探究发现：小明同学的方法是延长如到点G.使DG=BE.连结AG,先证明AABE丝ZiADG,

再证明△AEF会△AGF,从而得出结论:

(2)拓展延伸：如图2,在四边形ABCD中，AB^AD,ZB+Z£>=180°,E、尸分别是边3C,CD1.

的点，且/EAF=2/BA。，请问(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立,

请说明理由;

(3)尝试应用：如图3,在四边形ABC。中，AB^AD,NB+NADC=180°,E、尸分别是边BC,CD

延长线上的点，且/E4尸=：/BAD,请探究线段BE,EF,DF具有怎样的数量关系，并证明.

参考答案与试题解析

一.解答题(共25小题)

1.课本再现

(1)如图1,2XABC和△<?£>£都是等边三角形，且点8、C、E在一条直线上，连接8。和AE相交于

点尸，线段2D与AE有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？

深入探究

(2)如图2,将△€»£绕点C逆时针旋转一定的角度，其他条件与(1)中相同.

①线段BD与AE的数量关系是BD=AE；

②/DPE的度数为60°.

拓展应用

(3)如图3,四边形ABCD中，AB=BC,ZABC=6O°,ZADC=30°,4。=6,BD=1O,求边CD

的长度.

【考点】四边形综合题.

【专题】几何综合题；推理能力.

【答案】(1)BD=AE,理由见解答；

(2)BD=AE；60°；

(3)8.

【分析】(1)根据等边三角形的性质可得AB=AC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,然后求出/ACE

=ZBCD,再利用“边角边”证明△ACE和△BCD全等，根据全等三角形对应边相等可得

根据全等三角形对应角相等可得然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内

角的和求出NDCE；

(2)根据等边三角形的性质可得AB=AC,CZ)=CE,NACB=NZ)CE=60°,然后求出NACE=N2CD,

再利用“边角边”证明△ACE和△BCD全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=AE,根据全等三

角形对应角相等可得ZAEC=ZBDC,然后根据三角形的内角和定理求出ZDPE=/DEC；

(3)把△AC。绕点C逆时针旋转60°得到△BCE,连接OE,判断出△口)£是等边三角形，根据等边

三角形的性质可得DE=C。，/CED=60°,再求出/BED=90°,然后利用勾股定理列式求出DE,

从而得解.

【解答】解：(1)可以看成是△ACE绕点C逆时针旋转60度角得△BCD,

理由如下：

AABC和都是等边三角形，

：.AB=AC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,

:ZACB+ZACD^ZDCE+ZACD,

即ZACE=ZBCD,

在△ACE和中，

AB=AC

Z-ACE=乙BCD,

CD=CE

：.AACE=^\BCD(SAS),

：.BD=AE；

(2)①线段8。与AE的数量关系是BD=AE；②/DPE的度数为60°,理由如下：

AABC和△(?£)£都是等边三角形，

：.AB=AC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,

ZACB+ZACD=ZDCE+ZACD,

即ZACE=ZBCD,

在△ACE和△BCD中，

AB=AC

Z-ACE=乙BCD,

CD=CE

：.AACE=ABCD(SAS),

:・BD=AE,NAEC=NBDC,

9：NBDC+/CDE+NAED=/AEC+NCDE+NAED=NCDE+NCED=122°,

・・・/DPE=180°-(/BDC+/CDE+/AED)=180°-120°=60°；/DCE=/BDC+/DBC,

；./DPE=NDCE=60°；

故答案为：BD=AE；60°；

(3)如图，AB^BC,ZABC=60°,

：.AABC是等边三角形，

把△AC。绕点C逆时针旋转60°得到△BCE,连接DE,

则是等边三角形，

：.DE=CD,ZCED=60°,

VZADC=30°,

:.NBED=30°+60°=90°,

在RtABDE中，DE=y/BD2-BE2=V102-62=8,

:.CD=DE=8.

【点评】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，熟记性质

与判定方法是解题的关键，难点在于作出辅助线构造成等边三角形和直角三角形.

2.问题探索：

(1)如图1,在RtZkABC中，ZC=90°,AC=BC,。为AB中点，点E,尸分别在边BC,AC上且

ZEDF=90Q,则DE与DF的数量关系是DE=DF；

问题解决：

(2)如图2,某大学校园内有一块四边形的花圃ABCZ),满足43=80m，BC=20m,ZABC=120°,

ZADC=6Q°,花圃内铺设了一条小路B。，8。平分/ABC,为方便学生赏花，现计划修建一条径直的

通道与小路2D相连，且DEL8。，入口点E恰好在BA的延长线上.解答下列问题：

①求证：AD=CD-,

②求入口到点A的距离AE的长.

EE

图1图2备用图

【考点】四边形综合题.

【专题】几何综合题；推理能力.

【答案】⑴DE=DF；

（2）①证明过程见解答；

②120%

【分析】（1）连接CD,证明△AOEgZXC。尸即可解决问题；

（2）①连接AC,在上截取BG,使2G=3C,连接CG,可证A,B,C,。四点共圆，△ADC是

等边三角形，故/ACD=60°,AC=CD；

②结合①证明AG3c是等边三角形，即可证明△A2C2△£>GC,得A3=DG,BD=DG+BG=DG+BC,

在RtABDE中可得BE=2BO,进而可以解决问题.

【解答】（1）解：DE=DF,理由如下：

如图（1）,连接CD,

图1

•：CA=CB,ZACB=90°,。为A3中点，

：.CD±AB,

:./A=/B=/ACD=/BCD=45°,AD=DC=DB,

VZADC=ZEDF=90°,

：.ZADE=ZCDF,

在△ADE和△CZ)P中，

24=乙DCF

AD=CD,

/-ADE=乙CDF

:•△ADE"ACDF(ASA),

：.DE=DF,

故答案为：DE=DF；

(2)①证明：连接AC,在5。上截取5G,使BG=BC,连接CG,如图:

VZABC=120°,平分NA3C,

AZABD=ZDBC=60°,

VZA£)C=60°,ZABC=120°,

AZADC+ZABC=180°,

・・・A,B,C,。四点共圆，

AZDAC=ZDBC=60°,

ZDAC=ZADC=60°,

.*•AADC是等边三角形，

ZAC£>=60°,AC=CD；

②解：•・•NDBC=60°,BG=BC,

•••△G5C是等边三角形，

AZBCG=60°,BC=CG,

：./BCG=/ACD,

・•・/BCA=/GCD,

在△ABC和△DGC中，

AC=CD

Z-BCA=乙GCD,

、BC=CG

：.AABC^ADGC(SAS),

：.AB=DG^SOm,

：.BD=DG+BG=DG+BC=80+20=100(m),

:DELBD,

：.ZBDE=9Q°,

在RtZ^BDE中，NEBD=60°,

：.Z£=30°,

BE=2BD=200/71,

：.AE=BE-AB=200-80=120(m).

【点评】本题考查四边形综合应用，涉及正方形的性质，菱形的性质，四点共圆，全等三角形的判定和

性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

3.如图，在正方形A8CD中，点£为对角线AC上一动点(点£不与A、C重合)，连接BE,过点E作

EfUBE交直线CO于尸，将线段BE绕点B顺时针旋转90°得到线段BG,连接GA,GC,GF.

(1)求证：LABE义4CBG；

(2)试探究CE+CG与BC的数量关系，并说明理由.

(3)若正方形ABCD的边长为2,求GA+GB的最小值.

【考点】四边形综合题.

【专题】几何综合题；推理能力.

【答案】(1)证明过程见解答；

(2)CG+CE=V2BC,理由见解答；

(3)AG+BG的最小值为2V5.

【分析】(1)过E作EAf_LBC,ENLCD,可证ABEM咨AFEN得BE=EF,可证四边形BEEG是正方

形，得NEBG=90°,BE=BG,可证进而得到△ABE@ZSCBG；

(2)结合(1)得/BAE=/BCG,证明/ACG=90°,根据AE=CG,CG+CE=AE+CE=AC,利用

等腰三角形的性质即可解决问题；

(3)延长。。至H,使CH=BC=2,连接BG,GH,由“SAS”可证△3CG也△〃CG,可得BG=GH,

当点G,点A,点H三点共线时，AG+G”有最小值，由勾股定理求AH的长即可.

【解答】(1)证明：过E作助fJ_8C于点"，作硒J_CD于点N,作于“，连接3G,

••四边形A3C0是正方形，AC平分N3CQ,

•・EM=EN,

：ZEMC=ZMCN=ZENC=90°,

•・/MEN=90°,

：EF±BE,

\ZBEM+ZMEF=NFEN+/MEF=90°,

・・/BEM=/FEN,

：/EMB=NENF=9U°,EM=EN,

••△BEMQAFEN(ASA),

・.BE=EF,

：ZBEF=ZEBG=90°,BE=BG,BE=EF,

•・EF=BG,EF//BG,

,・四边形BEFG是平行四边形，

；NBEF=90°,BE=EF,

••四边形3石FG是正方形，

•・/EBG=90°,BE=BG,

：ZABC=90°,

*.NABE+NEBC=ZEBC+ZCBG=90°,

*.ZABE=ZCBG,

：AB=BC,BE=BG,

••△ABEmACBG(SAS)；

(2)解：CG+CE=aBC,理由如下:

由(1)知：AABE^^CBG,

:./BAE=/BCG=45°,AE=CG,

：.ZBAE+ZBCA=90°,

：.ZBCA+ZBCG=90°,即/ACG=90°,

：.AC.LGC,

'：AE=CG,

：.CG+CE=AE+CE=AC,

VZACB=45°,

：.AC=V2BC,

：.CG+CE=V2BC；

(3)解：如图，延长QC至H,使CH=BC=2,连接BG,GH,

'：ZBCG=45°,ZBCH=90°,

：.ZBCG=ZGCH=45°,

又,：BC=CH,CG=CG,

/.△BCG^AHCG(SAS),

：.BG=GH,

：.AG+BG=AG+GH,

当点G,点A,点H三点共线时，AG+GH有最小值，即AG+BG有最小值为AH的长,

：.AH=y/AD2+DH2=V22+42=2A/5,

：.AG+BG的最小值为2事).

【点评】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理,

全等三角形的判定与性质，综合运用正方形的判定与性质定理，勾股定理等知识是解题的关键.

4.【定义】

如果一个四边形的其中一组对角互补，那么这个四边形叫做“对补四边形”.

如图1,在四边形ABCD中，若/A+/C=180°,则四边形ABCD是对补四边形.

【应用】

(1)如图1,在对补四边形ABCD中，ZA=100°,则/C=80°；

(2)如图2,在对补四边形ABCD中，ZA=90°,AB=3,AD=4,DC=2,则BC=_&T_；

(3)如图3,在对补四边形ABCD中，AC平分/BAD

①求证：BC=CD；

②若/BAD=60°,请探究AB、AC、AD的数量关系并说明理

图1图2

A

由.图3备用图

【考点】四边形综合题.

【专题】几何综合题；推理能力.

【答案】(1)80°；

(2)V21;

(3)①证明过程见解答；

@AD+AB=痘AC,证明过程见解答.

【分析】(1)根据对补四边形定义和/A=100°,可得NC；

(2)根据对补四边形定义和/A=90°,AB=3,AD=4,DC=2,利用勾股定理即可求出BC；

(3)①过点C作CELAL(交延长线于点E,CPLA2于点尸，证明△(?£>£之△C3F(A4S),得CD

=BC；

②证明△ACE0Z\ACP(A4S),AE=AF,由①得△C£L>gZ\CPB,得ED=BF,所以AO+A8=2AE,

然后利用含30度角的直角三角形的性质即可解决问题.

【解答】(1)解：二•对补四边形一组对角互补，ZA=100°,

.*.ZC=180°-100°=80°,

故答案为：80°；

图2

VZA=90°,

/.ZC=180°-90°=90°,

\'AB=3,AD=4,

：.BD=y/AB2+AD2=5,

'：DC=2,

：.BC=ylBD2-CD2=V25-4=VH,

故答案为：V21;

(3)①证明：如图3,过点C作CEJ_AD交AO延长线于点E,"LAB于点F

图3

〈AC平分N84Z),

：.CE=CF,

•・,四边形ABCD是对补四边形，

：.ZCDA+ZB=1SO°,

VZCDA+ZC£>E=180°,

ZCDE=ZB,

在ACDE和△CB/中，

2CDE=£B

Z-CED=乙乙CFB=90°,

CE=CF

:.ACDEmACBF(A4S),

：.CD=BC；

②解：AD+AB=V3AC,理由如下：

〈AC平分NBA。，

/.ZEAC=ZBAC=^BAD=30°,

■:NCED=NCFB=90°,CE=CF,

：.AACE^AACF(AAS),

：.AE=AF,

由①知：ACED之ACFB,

：.ED=BF,

：.AD+AB=AE-ED+AF+BF=2AE,

在Rt^AEC中，ZEAC=30°,

：.AE=亨AC,

：.AD+AB=2AE=V3AC.

【点评】本题是四边形综合题，考查全等三角形的判定与性质，对补四边形，角平分线性质，含30度

角的直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握对补四边形定义.

5.【课本再现】

1

(1)如图1,OE是△A2C的中位线，求证：DE//AC,DE=^AC.

证明：延长即至点R使。连接AP

请你把证明过程补充完整.

【类比迁移】

(2)如图2,OE是△ABC的中位线，厂是平面内任意一点，将点尸分别绕着点D,E旋转180°得到

点G和”，连接GH,猜想G”和AC的关系，并证明;

【拓展应用】

(3)如图3,在Rt^ABC中，ZBAC=90°,AB=3,AC=4,D,E分别是边AB,BC的中点，点尸

在△ABC内部，将点尸分别绕着点D,E旋转180°得到点G和X,顺次连接AG,GB,BH,得到

四边形AGBH,试求四边形AGB”的面积.

【考点】四边形综合题.

【专题】几何综合题；推理能力.

【答案】(1)证明过程见解答；

(2)AC〃G，(或AC与GH在同一直线上)，AC=GH.理由见解答;

(3)6.

【分析】(1)证明四△2DE,得AF=BE,ZF=ZFEB,然后证明