2025年新高考数学一轮复习：导函数中的同构法（ 4大题型）解析版

导函数中的同构法

(高考高频考点，4大题型狂练)

目录

第一部分：题型篇..........................................1

题型一：同构函数比较大小...............................1

题型二：通过同构函数证明不等式.........................6

题型三：通过同构函数解决零点问题.....................13

题型四：通过同构函数解决恒成立问题...................19

第一部分：题型篇

题型一：同构函数比较大小

典型例题

例题1.(23-24高二下•广东广州•期末)若加且学=与三，则()

ee+1

A.Igm>lg«B.Igm<Igw

C.(m-2)2<(w-2)2D.(m-2)2>(H-2)2

【答案】B

【分析】先判断高与空1的大小关系，即可得至令/'(x)==^,

e+1eeee

xe(l,+功，利用导数说明函数的单调性，即可得到1<根<〃，再结合对数函数、二次函数

的性质判断即可.

【详解】令g(x)=e，-x-l(x>0),则g〈x)=eT>0,

所以g(x)在(O,+e)上单调递增,所以g(x)>g⑼=0,即今-尤-1>0在(0，+。)上恒成立,

先判断竽4与丝1的大小关系，

e+1e

因为e"(〃+2)-(e“+1)(〃+1)=e"-〃-1>0(〃>1)恒成立,

n+9n+1

所以e"(〃+2)>(e〃+1)(力+1),即——->——,

e+1e

,,m+1n+\

故才一

Y4-1r

设/(%)=一二，XW(l,+8)，则/G)=-2<0在(l,+8)上恒成立，

ee

y-L1

所以〃x)=卓在(1,+8)上单调递减，

e

因为/■(">>/'(〃)，所以1<用<",则1g加<lg〃，故A错误，B正确；

由于y=(x-2)z在(1,+8)不单调,故c、D错误.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题解答的关键时判断竽4>牛，从而将问题转化为竺营〉

e+1eee

例题2.(23-24高二下•吉林长春•阶段练习)设

。=/-3,6=拒-2,0=6近-「1112,6亡2.71828是自然对数的底数，贝!J()

ee

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

【分析】首先设=&-菱，利用导数判断函数的单调性，比较。,6的大小，利用导数判

e

断e、2x+l,放缩c>行-ln2,再设函数g(x)=：-lnx,利用导数判断单调性，得

g(2)>0,再比较b,c的大小，即可得到结果.

—11

【详解】设/(%)=4r，/r(x)=T-/=一一，

e27xe

22

当o<x<?时，r(x)>o,函数单调递增，当时，r(x)<o,函数单调递减,

2

。=〃3)/=〃2),?<2<3时，/(3)</(2),即"6,

设y=e“—x—1,y=ex-L当xe(-8,0)时，y'<0,函数单调递减，

当xe(O,+s)时，/>0,函数单调递增，

所以当x=0时，函数取得最小值，"0)=0,即e，2x+l恒成立，

_Y11

即eg>也,令g(x)=——lnx,g'(x)=----,

eex

当x«O,e)时,g'(x)<0,g(x)单调递减，

当xe(e,+oo)时，g,(x)>0,g(x)单调递增,

X=e时，函数取得最小值g(e)=O,即g⑵>0,

得：一>ln2,那么—<V2—In2,

ee

BPe^-1-ln2>V2-ln2>V2--,即6<c,

e

综上可知。<6<c.

故选：A.

【点睛】关键点睛：本题考查构造函数，利用导数判断函数的单调，比较大小，本题的关键

是：根据e—x+l,放缩c>8-ln2,从而构造函数g(x)='-lnx,比较大小.

e

wln2

例题3.(22-23高二下•陕西咸阳•阶段练习)已知“=”6,b=3,C=8,贝(J()

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>c>aD.c>b>a

【答案】A

【分析】将三个幕式分别取对数，根据相同结构，构造函数将x)=lnx-ln(10-x),(2VxV4),

求导后，注意到导函数分子的相同结构，再次构造函数g(x)=xlnx,(x>l),利用其单调性

推出〃幻的单调性，推理即得.

【详解】由〃=夔6,b=3,n7,c=8W2两边分别取自然对数得：

In=In4-In6,Ini=In3-In7,Inc=In2•In8,

不妨设〃x)=lnx」n(10—%),(2WXK4),则

/v)=ln(10-x)Inx_(10-x)ln(l0-x)-xInx

X10-x-x(10-x)

再设g(x)=XInx,(x>1),则g'(x)=In尤+1>0,故函数g(x)=xlnx在(1,+8)上单调递增,

因2WxW4,贝l]10-xN6>x>l,故g(10-x)>g(x),即(lO-x)ln(lO-x)>xlnx,因

x(10-x)>0,故/'(x)>0.

于是，/(x)在24]上单调递增，故〃2)</(3)</(4),即Inc<In6<In。，故得a>b>c.

故选：A.

【点睛】思路点睛：对于某些数或式的大小问题，看似与函数的单调性无关，仔细探究问题

的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易,

化繁为简的作用.

精练高频考点

In3In5

1.（2024・陕西咸阳•模拟预测）设a=ln2,b正,,则（）

A.c<b<aB.a<c<b

C.c<a<bD.a<b<c

In4In5In6„___

忑<正(店’作差法比tt较

In4

【详解】由。=1口2=",

当0<x<，时，/'（x）>0,则/（x）在（0,e2）上单调递增,

Tfff0<4<5<6<e2,所以/(4)</(5),即也就是a<c；

_In3,In6

下面再比较正与正，

In3In6OIn3-In6In3百一In6

C~41V6-V6-V6

因为3百>=3243,6=#216，

“।厂.ln3In6

所以3°>6,则正〉正，

所以a<c<b.

故选：B

【点睛】思路点睛：构造函数，利用导数研究函数的单调性，从而比较大小.

2.（2024•湖南邵阳•一模）己知。=10"*=9g,‘=8励,则。也c的大小关系为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a

【答案】D

【分析】根据题意可得lga=lg4Jgl0,lgb=lg5」g9,lgc=lg6」g8,构建函数

/（x）=lgx-lg（14-x）,4<x<6,利用导数分析可知〃x）在［4,6］上单调递增，进而结合对数

函数单调性分析判断.

【详解】因为。=10叫6=9%£=8联,

两边取对数得：Iga=lg4lglO,lgZ>=Ig51g9,lgc=lg6lg8,

令/(x)=lgx/g(14-x),4Sx46,

lg(14-x)Igx_1(14-x)lg(14-x)-x«lgx

则/Xx)=

xlnlO(14-x)lnl0InlOx-(14-x)

令g(x)=x-lgr,则8'@)=/(唇)+叱(唇)'=原+而6>0/€(1,+8),

可知g(%)在(l,+8)上单调递增,

因为4WxW6,贝1|8<14—x〈10,可知14一x>x恒成立，

则g(14-x)>g(x),即g(14-x)-g(x)>0,可得/(x)>0,

则/('=18坨(147)在［4,6］上单调递增,可得〃4)<〃5)<〃6),

可得lg4lglO<lg5lg9<lg6-lg8,gpIga<lgZ><Ige,

又因为》=lgx在(O,+8)上单调递增，所以。<b<c.

故选：D.

【点睛】关键点睛：对题中式子整理观察形式，构建函数〃x)=lgx/g(14-x),4WxW6,

利用导数判断其单调性.

3.(23-24高三上•广西河池•阶段练习)设°=5.，b=6M,c=7%则()

A.b<a<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b

【答案】C

9

【分析】取对数得Ina=In41n5,6=11131n6,c=In2In7,设/(x)=lnxln(9-x)XG1,

利用导数判断出函数的单调性可得答案.

【详解】因为〃=5*>0,b=61n3>0,0=7*0,

则Ina=ln41n5,Z)=In31n6,c=In21n7,

设wiH以，"中-*TL，

设g(%)=(9-x)In(9-x)-xInx,

则g'(x)=-ln(9-x)-l-lnx-l=-ln(9-x)-lnx-2,

当l<x<|时，g'(x)<0,所以g(x)在上单调递减，

g(x)>g］：j=O,所以g'(x)>0,即/(x)在上单调递增，

o

因为1<2<3<4<5，所以/(4)>/(3)>/(2),gpIn41n5>ln31n6>ln21n7,

又Ina=ln41n51=ln31n6,c=ln21n7,即Ina〉Inb>Inc,

所以a>b>c.

故选：c.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点取对数，构造函数，利用函数的单调性解题.

题型二：通过同构函数证明不等式

典型例题

例题1.(23-24高三上•江苏无锡•阶段练习)已知函数，(x)=x-lnx.

(1)求〃(x)的最小值；

1X|

(2)若%>0,x2>0,e*+111%>%+%,证明：e+x2>2.

【答案】(1)1

(2)证明见解析

【分析】(1)求出导函数，利用导数研究单调性，进而求出函数的最小值；

(2)e-'-x^e-'-lne"'>x2-lnx2,令〃(x)=x-lnx,求导判断单调性进而可得

9+%>2,利用分析法可得需证再次构造函数加(x)=〃(x)j(2r),

求导判断其单调性，可证结论.

【详解】(1)=l-工=3，一

XX

.,.当xe(O,l)时，h\x)<0；当xe(l,+oo)时，l(x)>0；

••・力⑺在(0,1)上单调递减，在(1,+/)上单调递增；

/X)min=〃⑴=1-

(2)由e~+ln%2>再得：e*—石=e~-Ine/>%2-In%，-

令〃(x)=x-Inxf

由铲—Ine"1>%2_1口％2得：〃仁~)>〃(％2)；-

丁玉>°，...e』〉1，

X1X1

当时，由)〉〃(％)，久X)在(L+8)上单调递增得：e>x2>l,.-.e+x2>2；

当0<%2<1时，要证铲+%>2,只需证炉>2-％2，

0<x2<1,.\1<2-X2<2,则只需证〃(e"i)>〃(2-工2)，

又〃仁西)〉"/),•.・只需证〃(工2)之〃(2-9)；

令加(X)=%(x)-/z(2-x),XG(0,1),

则加(x)=l—L+l—y1-]=2_工_^_=<0,

x12-x)x2-xx(2-x]

，m(x)在(0,1)上单调递减，，加(x)>加⑴=0,.,.机(尤2)>。，

1

gp/!(x2)>/z(2-x2),即〃(研)〉/12-%)得证，6为+工2>2；

综上所述：炉+%>2成立.

【点睛】关键点点睛：本题证明不等式的关键是能够采用同构法将所给不等式化为

X1x

e-x1=e'-lne^>x2-lnx2的形式，结合极值点偏移的分析思想将问题转化为证明

h(x2)>/i(2-x2),从而通过构造函数"(尤)=7z(x)-%(2-x)来进行证明.

例题2.(2024•广东广州•模拟预测)已知函数/(x)=xe1K(a>0).

(1)求在区间上的最大值与最小值；

(2)当时，求证：f(x)>lnx+x+l.

【答案】(1)答案见解析

⑵证明见解析

【分析】(1)求导/"'(x)=e"(l+ax)(x>0)(a>0),分0<aWl,讨论求解；

(2)方法一：隐零点法，由x>0,,转化为证明xe、21nx+x+l,令g(x)=xe*-lnx-x-1,

(x>0),由8^端口NO成立即可；方法二：(同构)由x>0,a>l,转化为

xex>lnx+x+l,进而变形为xex=elnAex=>lnx+x+l,再构造函数/z(x)=e'-x-1

(xeR),证〃(x"0即可.

【详解】(1)解：/(x)=e"(l+ax)(x>0)(a>0),

令/'(x)=0,则》=」，

a

当0<a41时，所以/'(x"0在区间［-1,1］上恒成立，/(尤)在区间上单调递

增，

所以“X)1nm=/(-0=-尸，/(x)max=/⑴=e".

当时，-1<-工<1,则当》/一1,一口时，r(x)<o,〃x)在区间

上单调递减;

aL

时，/'(x)>0,/(x)在区间1上单调递增，

当xe(一，

(a

而/(-1)=-e-<0,/(I)=e〃>0.所以/(x)111ax=/(1)=e"

综上所述，当0<r1时，/(x)max=e\

当a>l时，所以/⑺皿「-:，/(x)max=e\

(2)方法一：隐零点法

因为x>0,a>\,所以欲证xe"Nlnx+x+1,只需证明xe"之lnx+x+1,

设g(x)=xe*-lnx-x-l,(x>0),g<x)=(x+l)［e*一工］,

令0(x)=e，-J,易知。(x)在(0,+“)上单调递增，

而。'，五-2<0,。⑴=e-l>0,

所以由零点的存在性定理可知，存在唯一的/eg,l［使得=0,

x1cx1

即户__=0,因此e』=一,x0=-lnx0,

%%

当xe(O,x())时,“(x)<0,g,(x)<0,g(x)在(0,%)上单调递减;

当了€(%,+8)时，“(x)>0,g'(x)>0,g(x)在(%,+8)上单调递增;

所以g(x)ms=g(Xo)=e'°X0-lnXo-Xo-l=，Xo——lnxo-xo-l=O

xo

所以g(x)20,因此〃x)NOx+x+l.

方法二：(同构)

因为x>0,a>l,所以xeEZxe”,欲证xe"Nlnx+x+1,只需证明xe*21nx+x+l,

只需证明xe，=elnxex=exlnx+x>lnx+x+l,

因此构造函数〃(x)=e"-x-l(xeR),

/i,(x)=ex-l,

当xe(-oo,0)时,/i'(x)<0,〃(x)在(-8,0)上单调递减；

当xe(0,+oo)时,〃(x)>0,〃(x)在(0,+e)上单调递增：

所以〃(x)N〃(0)=0,所以e*2x+l,

所以xex>Inx+x+1，

因此/(x)NInx+x+1.

【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是根据。21,利用放缩法消元为在依2泥"从而只

需证明xe"2lnx+x+1,再构造函数而得证.

精练高频考点

1.(23-24高二下•山东泰安•期末)已知函数/(x)=ei-加班

⑴当m=l时，讨论函数/(x)的单调性；

1c_.2m

(2)令g(无)=/(》)-］尤2+X,若存在不相等的外户2使得g(xJ-g(X2)=。，求证：e->xlx2-

【答案】(1)递减区间为(0,1),递增区间为(1,+8)；

(2)证明见解析.

【分析】(1)把优=1代入，利用导数探讨函数的单调区间.

(2)由函数零点的意义，用再,受表示相，再借助分析法探讨构造函数

1P

力(元)=+x-j(lnx)2,然后用导数证明此函数单调递增即可.

【详解】(1)当加=1时，函数/(》)=j1-111；1;的定义域为(0,+8),求导得八x)=ei—,

令相(x)=7'(x),求导得"(x)=ei+3>0,函数/'(X)在(0,+句上单调递增，

X

又八1)=0,贝u当xe(0,l)时，/(x)<0,当xe(l,+co)时，/,(x)>0,

因此/(幻在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

所以Ax)的递减区间为(0,1),递增区间为(1,+8).

(2)不妨设为>%>。，则In国由g(xj-g02)=。，

2

ze'T--x+x.-e*2T+—xf-x2

得m=-----2j:--------2--，

In玉—Inx2

2m

要证：ev>再了，，只要证：2m>e(lnX］+111X2),

1p1e

2X2-1x+x-n;v2

即证：e/一--+xx--(InxJ>e~~22-02)»

1g

令〃(x)=e、i一］x2+x-/(lnx)2,只需证：h(X1)>h(x2),

plr»y

只要证,(x)在(0,+8)上单调递增，即证：/(x)=ei-x+1-在(0,+8)恒成立，

X

PV

只要证：e-l-x+\>——令夕(x)=ei_x+l,x>0,求导得e'(x)=ei-l,

当xe(0,l)时,9'(x)<0,°(x)在(0,1)上递减，当xe(l,+oo)时,°'(x)>0,°(x)在(1,+8)上递

增，(p{x)>(p(y)=1,

令尸(x)=皿,F(x)=e(l-1nx),当xe(o,e)时，/(x)>0,尸(x)在(0,e)上递增，

XX

当xe(e,+oo)时，尸心)<0,尸(工)在(6,+8)上递减，F(x)<F(e)=1,

因此--x+lN的在(0,+劝上恒成立，

X

2m

所以ee〉再入21

【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函

数的单调性、极(最)值问题处理.

2.(23-24高二下•山东枣庄•阶段练习)已知函数/(力=毗，若存在g(x)"(x)恒成立，

则称g(x)是“X)的一个"上界函数"，如果函数g(x)=.+x-o为〃X)的一个"上界函数

(1)求实数。的取值范围；

(2)证明:若方程/(x)=g(x)有两个解西,出,则卒2<1.

【答案】(l)(-8,e+l]

⑵证明见解析

【分析】(1)解法一：利用分离参数法，借助导数求实数〃的取值范围；

解法二：根据题意，广显+%-11«-.20恒成立，令t=x-lnx,则此1,令g(/)=e'+f-a,

利用导数研究函数g(x)的最小值，从而得解；

%_i__I(]、一

(2)解法一：要证即证---xe"-2lux——x—>0,证明x>l时，

x|_2x)_

—~XQX>0,lnx--fx-->|<0,利用导数证明即可；

X2^X)

解法二：^F(x)=—+ln—-a,令t则=1+—求导后利用函

XXX

数的单调性求解即可.

【详解】(1)解法一：/(%)的定义域为(0,+8),由g(x)之“X)恒成立，

可得J+lux恒成立，所以QWJ+x-Inx恒成立，

XX

./、e"一/n〃/、xex-ex.1x-l(ex八

令h(x)=----\-x-lnx(x〉0),可得〃(x)=----2---]—----------1，

XXXX\XJ

令"(%)=0,得x=l,

当工£(0,1)时,〃'(x)<0,〃(x)单调递减；当工£(1,+8)时，/(x)〉0,/z(x)单调递增，

所以Mx""l)=e+1,所以aKe+1,即实数。的取值范围为(-8,e+l].

解法二：(同构法)的定义域为(0,+。)，由g")N/(x)恒成立，

可得--\-x-a>lux恒成立，

即1一加+x-lnx-〃20恒成立，

令，=x-lnx,贝!J/N1,

令g")=e'+，一a,则e>版+x—hu—〃)0恒成立=g“)>0对恒成立,

因为g'(f)=e'+l,当此1时，g'(x)>0,所以g«)=e'+/-a在[1,+⑹单调递增,

所以g(f)2g6=e+l-a,若g«)NO对空1恒成立，只需e+1-aUO,

所以aWe+1,即实数。的取值范围为(-8,e+l].

(2)(2)解法一：若方程〃x)=g(x)有两个解题,无2，

则方程〃(x)=。有两个解冷电，

由(工)知〃(x)=a两个解必有一个小于1,一个大于1,不妨设玉<1<%，

1

要证士了2<1，即证再<三，

因为国,L1e(O,l),即证打(占)>〃L,

因为〃(%)=〃(％)>即证〃(3)>人

x2

即证一+x-lux-xex----1HX>0,XG,

xx

e‘-

即证————2

x

下面证明x>l时，---xe">0,lux—|x—|<0,

x2\^x)

,八/\11

&〃(町=---xex,x>1,

则/(x)

x—1

=^-ex>0

x

所以0(x)>9(l)=e,而/<e

所以£--/>0,所以M(x)>0

X

所以在(I,+8)单调递增

即〃(、)>〃。)=0,所以£_一％/〉0

X

,x>1

12x-x2-1_-(x-1)2

v<0

x2t2x2

所以v(x)在(1，+8)单调递减

即v(x)<v(l)=0,所以Inx—；卜

I<0；

e-X1

综上,-——xex-2lux——>0,所以玉％2<L

x2

解法二：由题意得：方程〃x)=g(x)有两个解.%,

即方程---[-x-a=lux两个解项,%2，

x

4F(x)=-+ln--6/,令t=J

XXx

贝(]/26,"(。=.+111£—4«2«),

因为"'⑺=1+；>0,所以〃(。=/+血-0在上,+8)单调递增,

故"«)=0只有1个解,

又因为/(%)=又+111又一。有两个零点%1，%2，故，=—=一

XX演x2

两边取对数得：-liUj=x2-lnx2,

再—x

即2=1,

1叫-lnx2

x-x

又因为6兀<l2(*)

InXj-lnx2

故J』/<1，即玉工2<1・

玉

-x2(*)

lux,-lnx2

不妨设占>%>

再

因为新无<—x2[1再一]211五_五

0]叫-lnx2<]——:-lnx2<

1叫-lnx2J七%一x27xj

令%=]五，则”1,只需证23<£」,

”2t

171(1)2

令G(。二21皿一,+—/〉1,贝ijG'(/)=—1—-——<0,

，tt,2

所以G⑺在(1,+⑹单调递减，G(/)<G⑴=0,所以2血<;」,

I-----x,—x9

所以JXjX2<------「成".

lnx1-lnx2

【点睛】处理此类双变量问题有两个策略：

一是转化，即从已知条件入手，寻找双变量所满足的不等式，并把含双变量的不等式转化为

含单变量的不等式；

二是巧妙构造函数，再借用导数判断函数的单调性，从而求解.

题型三：通过同构函数解决零点问题

典型例题

例题1.(23-24高二下•河南商丘•期末)已知函数/(x)=(2-

⑴若。>-2,讨论/(x)的单调性；

(2)若函数g(x)=〃x)+1Y+=恰有2个零点，求。的取值范围.

【答案】⑴答案见解析

(2)(-℃,2-e)

【分析】(1)求出函数的导数，讨论°的取值情况，判断函数单调性，即得答案；

C2)将函数g(x)=〃x)+；一/+?恰有2个零点，转化为方程

eZhr+Zlnx-xueg'+alnx恰有2个正实数解.继而利用函数单调性转化为方程

(2-a)lnx-x=0恰有2个正实数解.继而设％(x)=(2-a)lnx-x,则机(x)恰有2个零点,

利用导数结合零点存在定理即可求解.

【详解】(1)由已知，得〃x)的定义域为(0,+8),

、2-a2ax2+(a-2)x-2tz(x+a)(x-2)

/⑺丁T+/=3?-'

若。20,则当0cx<2时，/,(x)>0,当x>2时，/((x)<0,

•・J(x)在区间(0,2)上单调递增,在区间(2,+8)上单调递减；

若一2<a<0,贝!Jo<-a<2,当0<x<-a或x>2时，/,(x)<0,

当-a<x<2时，/,(x)>0,

.1/(X)在区间上单调递减，在区间(-。,2)上单调递增，在区间(2,+⑹上单调递减.

综上所述，当。20时，在区间(0,2)上单调递增，在区间(2,+8)上单调递减；

当-2<a<0时，/(x)在区间(0,-。)上单调递减，在区间(-。,2)上单调递增，

在区间(2,+8)上单调递减.

丫2

(2)由题知，g(x)=—+(2-tz)lnx-x-xa,

丫2

・•,g(x)恰有2个零点，.•.方程1r+(2-a)lnx-x--=0恰有2个正实数解,

r2

即方程--\-2\nx-x=alnx+xa恰有2个正实数解，

ex

即方程e21nl+21nx-x=eflln%+〃Inx恰有2个正实数解.

设/+x,即方程〃(21nx-x)=/z(〃lnx)恰有2个正实数解，

显然〃(x)在R上单调递增，

:.2\nx-x=alnx,即方程(2-q)lnx—x=0恰有2个正实数解.

设加(x)=(2-x,则加(x)恰有2个零点,

./\2—Q2,—u—x

,/m(%)=--------1=-----------,

xx

若心2,贝l|"(x)<0,

加(x)在区间(0,+<»)上单调递减，加(x)至多有1个零点，不符合题意；

若.<2,当0<x<2-a时，m(x)>0,当x>2-a时，/n'(x)<0,

，机(x)在区间(0,2-a)上单调递增，在区间(2-a,+8)上单调递减，

要使函数加(x)恰有2个零点，

则加(x/=^(2-a)=(2-a)ln(2-a)-(2-tz)>0,

:.2-a>e,即av2-e.

当a<2-e时，

•••m{ea-2)=(2-a)lne^-e^2=-(a-2)2-ea-2<0,

存在X]w(e72-a),使得%(xJ=0,

•••m(e2-a)=(2-a)lne2^-e2-a=(2-a)2-e2-a,

设0(x)=ex-ex,则°'(x)=e"—e,

当x<l时，d(x)<0,9(x)在(-8,1)上单调递减，

当x>l时，。(%)>0,°(x)在(1,+8)上单调递增，故0(x)2夕⑴=0,

即e">ex,当且仅当x=l时取等号；

由于2e,故>e(2—a),

设/(a)=(2—a)?—e2~a,

则当a<2—e时，/'(4)=一2(2-4)+/-“>-2(2-a)+e(2-tz)=(e-2)(2-a)>0,

在区间(-8,2-e)上单调递增,

.•.Z(a)<f(2-e)=[2-(2-e)]2-e24M=e2-ec<0,

存在x?e(2-a,e2-"),使得加(3)=0,

.•.当"2-e时，加(x)恰有2个零点，

实数。的取值范围为(-叫2-e).

【点睛】关键点睛：本题综合考查了导数的综合应用问题，难度较大，解答的关键在于第二

问根据函数零点个数求解参数范围，解答时要利用指对数的运算将原问题转化为方程

e21nle+211。-丁=6"瓜工+/11》恰有2个正实数解，继而结合函数单调性转化为方程

(2-a)lnx-x=0恰有2个正实数解.

例题2.(23-24高二下•河南南阳•阶段练习)已知函数〃x)=e*+x,g(x)=--lnx.

X

(1)证明:f(x)>2x+l.

(2)证明：/(x)+g(x)>4.

1

(3)若/®)=g(X2)=f,求*的最大值.

e'

【答案】⑴证明见解析

⑵证明见解析

(3).

【分析】(1)设“x)=/(x)-(2x+l),求导，分析函数单调性，求函数可”的最小值，得

到最小值大于或等于0即可.

(2)利用(1)的结论进行放缩，再利用导数求函数最小值即可.

I__X,H---

(3)首先由条件同构方程，得到再=ln1一,再利用变量转化，变形।%t,并构造函

x,-----=一

'e'e‘

数机⑺=(，利用导数求函数的最大值.

【详解】(1)设/z(x)=/(x)-(2x+l)=e、_x-l,

则

由得x>0；由得x<0.

所以函数力(x)在(-8,0)上递减，在(0,+8)上递增.

所以Mx)min=M0)=。，所以力(x)♦。恒成立.

即/(x)22x+l恒成立.

(2)由(1)得/(x)N2x+l,(当x=0时取”=〃)

所以/(x)+g(x)>2x+1+——Inx.

设0(x)=2x+l+--Inx,(x>0)

贝iJd(x)=2_e_」=2x2xT=(xl)gx+l),

XXXX

由“(x)>0=>x>l；由“(x)<0n0<x<l,

所以9(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增,

所以0(x)2夕(1)=4(当x=l时取"=")

因为〃x)22x+l,。(力24中，"="成立的条件不一致,

所以/(x)+g(x)>4.

X1,

(3)由题意可知，e'+%=---In无2=1,

%

11ta-1

即+%=-!-+ln±=e+ln—=

函数>是增函数+增函数，所以单调递增，

11x11x

所以再=ln—,gpe1=一,所以再+—=^+e1=t,

x2x2x2

1

X]H--------

X2t,

e'e'

设加(。=0，加'(/)==,

ee

当te(-8,1)时，m,(f)>0,函数加(。单调递增，

当fe(,+oo)时，加⑺<0,函数加(/)单调递减，

所以当”1时，加⑺取得最大值，，

1

所以再十五的最大值为L

e

【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是根据(工)的结果，对不等式进行放缩，第3问

In—11

的关键是将方程两边同构成"+再=。X2+ln—=/,根据函数的单调性得到等式再=ln一,

%%

这是解题的关键.

精练高频考点

1.(23-24高二下•湖南长沙•期末)已知函数/(x)=ln(亦)+("l)x-e1

(1)当a=l时，求证：〃x)<-2；

⑵若/(x)存在两个零点，求实数。的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

⑵Q〉e

【分析】(1)利用导数证明不等式e">x+l,x>0、InxWx-l,即可证明；

(2)将函数转化为ln(Qx)+Qx=e"+lne”,构造函数g(x)=lnx+x,则g(ax)=g(e)得

X

—1=W=〃(x),利用导数求出《X)伽即可.

ae

【详解】(1)当。=1时，/(x)=lnx-ex,x>0.

先证明：ex>x+l,x>0,

设8(力=1-苫-1(才>0),贝i]gIx)=e*-l>0,

所以函数g(x)在(0,+划上单调递增，且g(x)>g®=0,即e，>x+l；

再证：InxVx-1,

]1—x

设〃(%)=lnxr+1,贝|/(x)=--1=----,

XX

令u\x)>0=>0<x<<0=>x>1,

所以函数〃(X)在(0,1)上单调递增,在(1,+8)上单调递减，且〃(1)=0,

所以心)40,即Inx-x+lVO,得InxVx-1,

故/(x)=ltu-e*<(x-l)-(x+l)=-2,证毕.

(2)令ln(ax)+(a-l)x-e'=0,得ln(ax)+ax=x+e*,

设g(x)=lnx+x,显然g(x)在(0,+co)上单调递增，而x+e*=e*+lne*,

则g(G)=g(e")nG=e",依题意，方程办=e*有两个不等的实根，

显然a#0,故一==存在两个不同的零点，

ae

设/z(x)=誉，则〃⑺式一好)

(i)当Q<0时，贝(xv0,h\x)>0,

此时川(x)在(-叫。)上单调递增，最多一个零点，不合题意；

(ii)当Q〉0时，止匕时％>0,当Ovx<l时，/z'(x)>0,当%〉1时，h\x)<0,

・•・〃(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+8)上单调递减,所以抑X)1mx="1)=L

e

要使=,有两个零点，则解得a>e,

aae

综上可知，a>Q.

2.(2024•全国•模拟预测)已知函数/(x)=hu+丘的单调递增区间为(0,1).

⑴求函数/卜)的图象在点(e,〃e))处的切线方程；

⑵若函数g(x)=?-〃x)有两个零点，求实数。的取值范围.

1l

【答案】(l)y=cX

⑵S，-e)

【分析】(1)由/⑴的单调递增区间为(0,1),得出函数“X)在X=1处取到极值，即可求

解；

(2)由(1)-4./(x)=Inx-xg(x)=ae1,u-l-(Inx-x),令g(x)=0得

ae1--(liu-x)=0,令r=lnx-x得”=。，若g(x)有两个零点，则直线尸/与函数

e

的图象有两个交点，此时/<T,令机(。=:«<-1)—加'(/)=/>0"机的单调性即可

求解.

【详解】(1)由题，的定义域为(0,+8),/(%)=:+左，

由于函数〃x)的单调递增区间为(0,1),

因此函数/(x)在x=l处取得极值，

故/''(1)=1+左=0,解得上=一1.

因此/(x)=lnx-x/(x)=[-l,令八x)=0,解得x=l,

当xe(0,l)时，/V)>0,/(x)在(0,1)单调递增，

当xe(L+s)时，f'(x)<Q,/⑴在(1,+8)单调递减,符合题意，

故r(e)=：T,/(e)=l-e,

所以函数/(x)的图象在点(ej(e))处的切线方程为7-(1-6)=&-1]仁-6),即y=/立

(2)由(1)知/(x)=lnx-x,

则g(无)=?-/(尤)=?-(血-》)=47*T-(lnx-x),

ee

令g(x)=O，得〃e"r_(1nx一力二0.

令，=Inx-％,

则ae'T=O,整理得。=二.

e

因为/(X)在(0,1)上单调递增，在。,+电)上单调递减，且当X-0时，-8,当X-+8

时，

所以函数“X)的最大值为7•⑴=-1,即T-1.

若g(x)有两个零点，则直线y=f与函数〃x)的图象有两个交点，此时/<-1,

f1—f

令机,贝!]机'("=^->0,

所以函数加(。在上单调递增，且当ff-oo时，,

易知若g(x)有两个零点，则直线与函数加(。的图象有一个交点，

因此a<==-e,所以实数。的取值范围是(-吗-e).

e

题型四：通过同构函数解决恒成立问题

典型例题

例题1.(2024•陕西渭南•二模)已知函数/(x)=xlnx,g(x)=*-x+L

XX

⑴求函数g(x)的单调区间；

(2)若当x>0时，加X?-e"W〃/(x)恒成立，求实数，〃的取值范围.

【答案】⑴递减区间为(0,+8),无递增区间；

(2)(-°o,e].

【分析