2025年中考数学二轮复习：平行四边形 练习题汇编（含答案解析）

2025年中考数学二轮复习：平行四边形专题练习题汇编

一、解答题

1.如图，矩形A3。中，点P是线段AD上一动点，。为的中点，P。的延长线交BC于

Q-

⑴求证：OP=OQ.

⑵若AE>=8厘米，AB=6厘米，尸从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动(不与。重合).

设点尸运动时间为/秒，求/为何值时，四边形尸是菱形.

2.已知点。是正方形ABCD的两条对角线的交点，歹是C。边上的点(不与C、。重合),

连接。EOELO下交2c于点E,连接BRAE交于点尸.

(1)如图1,当F是的中点时，求证：AE1.BF；

(2)如图2,当尸不是CD的中点时，连接。尸.

①点尸在运动过程中/OPA的度数是否为定值，若为定值请求出NOPA的度数，若不是定

值请说明理由；

②求证：-AB2=OP-+AP.BP.

2

3.如图，已知正方形ABCD,连接其对角线BO.在3C延长线上取一点E,使得BE=BD,

连接DE.过B作DE的垂线，交DE于点O,交AD延长线于点孔

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D

(1)求证四边形班KD是菱形.

⑵求/DP3的度数.

4.如图1,在△ABC中，ZACB=90°,ZCAB=3Q°,△A3。是等边三角形，E是A3的中点，

连接CE并延长交AD于尸.

(1)求证：AAEFGABEC；

(2)判断四边形BCED是何特殊四边形，并说出理由；

(3)如图2,将四边形ACBD折叠，使。与C重合，HK为折痕,若2C=1,求AH的长.

5.如图，在正方形ABCD中，射线AE与边C。交于点£,将射线AE绕点A顺时针旋转,

与CB的延长线交于点况且BF=DE.

⑴求证：AF=AE；

⑵若/ZME=30。，DE=2,求四边形AFCE的面积.

6.如图，BD是NASC的平分线，过点。作DE〃3c交A3于点E,DFAB交BC于点F.

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(1)求证：四边形BED尸是菱形;

⑵若NABC=60。，BE=6,求3D的长.

7.如图，在等边VABC中，3C=6,点。是AB所在直线上一点，连接CD.

(2)如图2,点。在线段AB上，点E是线段8C上一点，满足5E=AD,连接AE交CD于点

尸.过。作于//,点M是“。延长线上一点，连接CM交AE于点N.若A£=4"V,

求证：CN=MN；

(3)如图3,过B作BGLCD交直线CD于G,连接AG,将AGC沿AC所在直线翻折至

一AGC所在平面内得到△AG'C,连接BG',当BG'取最小值时，请直接写出ABG'的面积.

8.如图，正方形ABCD中，=6,点E在CZ)上，且CD=3DE,将VADE沿AE对折至AAFE,

延长EP交2C于点G,连接AG、CF.

ABGg,AFG；

(2)求BG的长；

(3)求△k丸的面积.

9.如图，点C、。均在线段AB上，且相＞=3C,分别过C、。作/C_LAB,ED±AB,

连接A£\BF,连接跖交AB于点G,若AE=BF,求证：DG=CG.

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E

10.如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH,在线段AH及其延长线上

分别取点E,F,使EH=FH,连接BE,CF.

(1)求证：ABEH丝△CFH.

(2)当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形？

请说明理由.

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参考答案:

1.（1）见解析

7

⑵七

【分析】（1）由矩形ABCD中，。为3。的中点，易证得PDgQBO（ASA）,继而证得

OP=OQ.

（2）由四边形是菱形，可得PB=PD,即可得4^+^^二尸口?，继而可得方程

62+t2=（8-t）2,解此方程即可求得答案.

【详解】（1）解：：四边形"8是矩形，

AD//BC,

：.ZPDO=ZQBO,

为的中点，

，DO=BO,

在△P£>O和△Q80中，

ZPDO=ZQBO

<DO=B0,

APOD=ZQOB

：.PDgQBO（ASA）,

OP=OQ.

（2）由题意知：AD=8厘米，AP=t厘米，

/•PD=8-t（厘米），

•.•矩形ABCD,

/A=90°,

VOP=OQ,OB=OD,

•♦•四边形PBQD是平行四边形，

当尸8=即时，四边形是菱形，

:.PB=8-1（厘米）

AB2+AP2=PB2，

：.62+t2=（8-/）2,

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解得：f=j7

4

7

.•.当时，四边形尸8QD是菱形.

4

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、矩形的性质、菱形的判定、勾股定理等，熟记

基本性质与定理，灵活利用勾股定理计算是解题关键.

2.(1)证明过程见详解

(2)①点尸在运动过程中/O尸A的度数是定值，理由见详解；②见解析

【分析】(1)根据正方形的性质，尸是CD的中点可得。歹是中位线，可证四边形OPCE是

正方形，由此可证R3ABE/RgBCR(SAS),可得NBAE=NCBF,根据

Z.CBF+ZABP=9Q0,/BAE+NABP=90。即可求解；

(2)①如图所示，连接0Ao3,在AP上取AM=3P,根据正方形的性质可证

△BOE^ACOF(ASA),由此可证人40万二八80厂(SAS),AA0M也ABO尸(SAS),从而得到

AMOP是等腰直角三角形，由此即可求解;②如图所示，连接A。,BO,在钎上取AQ=8P,

连接OQ,3。，根据△PO。是等腰直角三角形可得尸。2=2。尸，再证明

ABOP(SAS)^QP=AP-BP,根据勾股定理，完全平方公式的运用即可求解.

【详解】(1)证明：如图所示，连接BD,

：四边形ABC。是正方形，

AAB=BC=CD,ZABC=ZC=90°,

,••点。是对角线的交点，尸是CD的中点，

.•.在△3CD中，OP是中位线，

AOF//BC,OF^-BC,S.DF^FC^-CD,

22

OF=DF=CF,

"：ZC=90°,OF//BC,

ZOFC+ZC=180°,贝UZOFC=90°,

,/OELOF,

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/.ZEOF=90°,^OF=CF,

・・・四边形。尸CE是正方形，

・・・OF=-CD=EC=-BC=BE,

22

:.BE=CF,

在RtAABE,RtABCF中，

AB=BC

<ZABC=ZC9

BE=CF

：.RtAABE^RtABCF(SAS),

:.NBAE=NCBF,

•・•NCB尸+ZAB尸=90。，

：.ZBAE+ZABP=90°,

：.ZAPB=90°,即

(2)解：①如图所示，连接。4,05,在AP上取=3尸,

Akl\x----------------------\D

ABO.LCO,即N5OC=90。，

:・/BOE+/EOC=90°,

VOFLOE,即NEO/=90。，

：・/EOC+/COF=90。,

：.ZBOE=ZCOF,

・・•四边形MCD是正方形，30,CO是对角线的一半,

AZOBE=ZOCF=45°,BO=CO,

在△BOE,Z\CO/中，

ZOBE=ZOCF

<BO=CO,

/BOE=ZCOF

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ABOE^ACOF(ASA),

，OF=OE,

•；49,80是正方形钻0£>对角线的一半，

AOLBO,即ZAO8=90°,

ZAOB+NBOE=ZBOE+NEOF,即ZAOE=ZBOF,

在"OE,ABO尸中，

AO=BO

-NAOE=ZBOF,

EO=FO

：.AAOE/△BO厂(SAS),

NOAE=ZOBF,

在△AOM,Z\BOP中，

AO=BO

<ZOAM=ZOBP,

AM=BP

：.AAOM经ABOP(SAS),

/•ZAOM=ZBOP,OM=OP,

,：ZAOM+NMOB=90°,

NBOP+ZMOB=90°,即NMOP=90°,

:OM=OP,

•••AWOP是等腰直角三角形，

NOPM=ZOMP=45°,

•••点F在运动过程中AOPA的度数是定值；

②证明：如图所示，连接4。,3。，在AP上取4。=3尸，连接仅2,

由①可知，△OPQ是等腰直角三角形，即NPOQ=90。,

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，PQ2=OP2+OQ2=2OP2,

:四边形ABCD是正方形，04,08是对角线，

AOLBO,即ZAO3=90°,

ZAOQ+ZQOB=90°,

NPOQ=90°,即ZQOB+NBOP=90°,

ZAOQ=ZBOP,

在△AOQjOP中，

AO=BO

-ZAOQ=ZBOP,

QO=PQ

：.AAOQ空△BOP(SAS),

AQ=BP,

•；QP=AP-AQ,

：.QP=AP-BP,

QP2=(AP-BP)2=20尸2,即AT?_2AP.BP+BP2=2OP2,

AP2+BP2=2OP2+2AP.BP,

由(1)可知，APYBP,

是直角三角形，

AP2+BP2^AB2，

AB2=2OP-+2AP^BP,

：.-AB2=OP2+AP-BP.

2

【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，完全平方公式的运用等知

识的综合，掌握以上知识，图形结合分析是解题的关键.

3.⑴见解析

(2)112.5°

【分析】⑴由正方形的性质及已知条件可证△△R?r>(ASA),再根据对边平行且相

等且邻边相等的四边形是菱形即可得出结论；

(2)由正方形的性质及菱形的性质即可求解.

【详解】(1)四边形A2CD是正方形，

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,-AD//BC,

二.ZFDO=ZDEBf

BD=BE,

，/BDO=/DEB,

，ZFDO=ZBDO,

BF1DE,

，ZBOD=90°=ZFOD,

DO=DO,

・.△BOD=△FOD(ASA),

，DF=BD,

BD=BE,

，DF=BE,

AD//BC,BPDF//BE,

，四边形3瓦D是平行四边形，

而BD=BE,

，四边形3瓦D是菱形；

(2)四边形A5C。是正方形，

,\ZDBC=45°=ZBDC,

由(1)知四边形3EED是菱形，

ZDBO=ZEBO=-Z03c=22.5。，

2

:.ZDPB=lSO°-ZDBO-ZDBC=m.5°.

【点睛】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质,

熟练掌握知识点是解题的关键.

4.(1)(2)见解析；(3);

【分析】(1)在△ABC中，由已知可得/ABC=60。，从而推得/BAD=/ABC=60。.由E为

的中点，得到AE=BE.又因为所以AAE餐ABEC；

11

(2)在RtAABC中，£为的中点，贝！］CE=jAB,BE=jAB,得至【JNBCE=NEBC=6O。.由

AAEF咨LBEC,得NAFE=/BCE=6。。.又/Q=60°,得/AFE=/O=60度.所以FC〃BD,

又因为/比1D=NABC=6O。，所以BPFD^BC,则四边形BCFD是平行四边形.

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(3)由N2AO=60。，ZCAB=3Q°,可得NCA"=90。；在RtAABC中，ZCAB=30°,BC=1,

根据30。角的直角三角形的性质可得AB=2BC=2,所以AD=4B=2.设AH=x,^ijHC=HD=AD

-AH^2-x,在RtAABC中，由勾股定理求得4?=3,在RtAACH中，根据勾股定理列出

方程N+3=(2-x)2,解方程即可求得AH的值.

【详解】(1)证明：①在△ABC中，ZACB=90°,/CAB=30°,

：.ZABC=60°.

在等边△AB。中，ZBAD=60°,

：.ZBAD=ZABC=60°.

为AB的中点，

：.AE^BE.

又,:NAEF=/BEC,

：.AAEF^/\BEC.

(2)在△ABC中，ZACB=90°,E为AB的中点，

：.CE=^-AB,BE=gAB.

22

・•・CE=AE,

：.ZEAC=ZECA=30°,

：.ZBCE=ZEBC=60°,

又丁LAEF咨LBEC,

：.ZAFE=ZBCE=60°.

XVZ£>=60°,

・・・ZAFE=ZD=60°.

:.FC〃BD.

又•・•ZBAD=ZABC=60°,

：.AD//BC,即即〃BC.

・・・四边形BCFD是平行四边形

(3)VZBAD=60°,ZCAB=30°,

：.ZCAH=90°.

在R3ABC中，N043=30。，BC=1,

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：.AB=2BC=2.

：.AD=AB=2.

设AH=x,则HC=HD=AD-AH=2-x,

在RtAABC中，AC2=22-12=3,

在R3AC8中，AH2+AC2=HC2,

即N+3=（2-尤）2,

解得x=；,

BPAH=i.

【点睛】本题考查了：（1）折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称

的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；（2）全等三角

形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质.

5.⑴见解析

⑵12

【分析】（1）证明ADE冬AB尸即可得证；

（2）由一ADE2一.ABb,则这两个三角形的面积相等，因此四边形AFCE的面积等于正方形

ABCD的面积，由已知可求得AD的长，则可求得正方形的面积，从而求出四边形AFCE的

面积.

【详解】（1）证明：四边形ABCD是正方形，

:.AD=AB,Z£）=Z/4BC=90°,

:.ZABF=ZD=90°,

BF=DE,

ABF（SAS）,

.\AF=AE;

（2）解：,ADE^.ABF,

•Q—Q

…OADE-2ABF，

一S四边形4FCE=SABF+S四边形45C0

=SADE+S四边形A5CE

=S正方形ABC。，

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ZZME=30°,DE=2,?D90?,

：.AE=2DE=4,

由勾股定理得：AD2=AE2-DE2=42-22=12，

S正方形ABCD==12,

二•四边形AFCE的面积为12.

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，30。角直角三角

形的性质等知识，其中三角形全等的判定与性质是解题的关键.

6.（1）见解析

⑵6-

【分析】本题考查了菱形的判定与性质、角平分线的定义、含30。角的直角三角形的性质、

勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.

（1）由DE〃3C,DFAB,得出四边形3瓦炉是平行四边形，由角平分线的定义结合平

行线的性质得出NED3=NEBD,从而推出=即可得证；

（2）连接族与相交于点。，由菱形的性质得出30=203,求出乙钻。=30。,

再由含30。角的直角三角形的性质结合勾股定理计算即可得出答案.

【详解】（1）证明：〃台C,DFAB,

：.四边形BEDF是平行四边形，

,/是—ABC的平分线，

ZABD=NCBD,

'：DE//BC,

：.ZEDB=ZCBD,

，ZEDB=ZEBD,

：■BE=DE,

；•四边形3瓦炉是菱形；

（2）解：如图，连接取与3D相交于点0,

A

E/—\D

B

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二,四边形BED尸是菱形，

/•EFLBD,BD=2OB,

,/BD是/ABC的平分线，ZABC=60°,

：.ZABD=30°,

'：BE=6,

,,OE=3,OB=BE~—OE2=3>/3，

/.BD=2OB=6A/3.

7.(1)277

(2)见解析

⑶9夜一成I

7

【分析】(1)过点。作于点E,根据含30度角的直角三角形的性质得出

BE=*BD=2,在中，勾股定理求得DE,在Rt^CDE中，勾股定理即可求解；

(2)过点N作TNLAE于点E,证明_ABE空CAD(SAS),得出ZBAE=ZACD,CD=AE,

则ZHDF=ZFTN=30°，根据含30度角的直角三角形的性质得出FN=JFT,FH=^DF,

进而根据已知AE=4HN,CD=AE^^DT=^CD,过点M作MK〃CD交77V的延长线

于点K,则四边形；WK7D是平行四边形，NK=NNTC得出MK=DT,进而证明

MKN-C77V(AAS),根据全等三角形的性质，即可得证；

(3)作8关于AC的对称点L,连接AL,CL,取3C,CL的中点K,T,连接KG,G'T,过点T

作"，交BC的延长线于点J,连接BT,则四边形是菱形，根据题意将AGC沿

AC所在直线翻折至aAGC所在平面内得到△AG'C,贝U，BCG”JCG关于AC对称，得出

2CG,二JCG'是直角三角形，当G'在上时，BG'取得最小值，勾股定理求得BG'的最小

恒为BT-TG=3&-3,过点A作AW_LBT于点W,连接AT,进而等面积法得出

AW=^~,然后根据三角形的面积公式，即可求解.

7

【详解】(1)解：如图所示，过点。作DE，3c于点E,

第10页共20页

A

D

B，~~E-------------C

・・・VA5C是等边三角形，

・・・/3=60。

■:DE1BC,

：.ZBDE=30°

,:BD=4,则=2

2

在RL^BDE1中，DE=^BDr-BE1=\^42-22=2A/3,

VBC=6,则CE=3C—BE=6-2=4

在RtZkCDE中，CD=ylDE2+CE2=2A/7

(2)证明：如图所示，过点N作刃V，AE于点E,

•.•VABC是等边三角形，

AC=AB,ZABE=ZCAD=60°

XVBE=AD,

：.,ABE均CW(SAS)

/.ZBAE=ZACD,CD=AE

：.ZTFN=Z.FAC+ZACD=ZFAC+/BAE=ABAC=60°,

NDFH=60。

DH1AE,TNLAE

：.FT//MH,ZHDF=ZFTN=30°,

第11页共20页

.・・FN=-FT,FH=-DF

22

FH+FN=HN=g(DF+FT)=3DT

VAE=4HN,CD=AE

：.DT=-CD,

2

即T是。。的中点，

过点M作“K〃C。交刀V的延长线于点K,

■:MD〃TN,MK〃CD

・•・四边形是平行四边形，ZK=ZNTC

：.MK=DT

又<DT=TC

：.MK=TC

在LMKN.CTN中,

/K=NNTC

<ZMNK=ZCNT

MK=TC

：.MKN^CTN(AAS)

：.MN=CN；

(3)解：如图所示，作3关于AC的对称点L,连接AL,CL,取BC,CL的中点K,T,连接

KG,G'T,过点了作交5c的延长线于点J,连接5T,

第12页共20页

贝|JA£=AB=3C=CL,

；•四边形ABCL是菱形,

：.AB//CL,

：.NBCL=180。-ZABC=120°,则NTC7=60。，

•；将一AGC沿AC所在直线翻折至&AGC所在平面内得到AAG'C,

CG,CG，关于AC对称，

A.BCG,,JCG'关于AC对称，

•；BGLCD

BCG,.JCG是直角三角形，

GK=GT=、BC=3

2

当G'在3T上时，BG'取得最小值，

：ZTCJ=ZABC=60°,

：.ZC77=30°,则CJ」CT=』，TJ=\CT-CJ2;地

222

在Rt.B"中，BT=dBJ、Tj2=J16+,j=3不

/•BG,的最小值为BT-TG=3币-3

如图所示，过点A作AWJ.3T于点W,连接AT,

是CL的中点，AC=AL=6,则ATLCL

:.CT==CL=3,AT±AB

2

；•AT=7AC2-CT2=373，

,/S=-ABxAT=-BTxAW

ARBT22

AB>A76x3®6用

AW=

BT-3s-7

第13页共20页

SABG，=；BGxAW=：（3a-3）x字=9五一空

.•.当BG'取最小值时，一ABG'的面积为94-外旦.

7

【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，

菱形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，直角

三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的外角的性质，轴对称的性质，三角形三边

关系的应用，熟练掌握以上知识是是解题的关键.

1O

8.（1）详见解析；（2）3；（3）y.

【分析】⑴根据翻折变换的性质和正方形的性质可证RtA4BG2尺"AFG；

（2）在直角,ECG中，根据勾股定理即可得出结论；

⑶结合⑴和（2）求出一CEG的面积，最后用同高的两三角形的面积的比等于底的比，即可

得出结论.

【详解】（l）QVAFE是由VADE折叠得到，

:,AF=AD,ZAFE=ZAFG=ZD=90°,

又一，四边形A2CD是正方形，

s.AB^AD,ZB=ZD,

:.AB=AF,ZB=ZAFG=90°,

[AG=AG

在RtZvlBG和RfAFG中，《

[AB=AF

Rt.ABGgRNAFG（HL）,

（2）•正方形ABC。中，A3