2025年苏科版七年级数学寒假专练：一元一次方程的解法（解析版）

专题05一元一次方程的解法

嫌内容早知道

今第一层巩固提升练（9大题型）

目录

题型一等式的基本性质..........................................................................1

题型二一元一次方程的定义.....................................................................2

题型三已知方程的解求字母或代数式的值.........................................................4

题型四解一元一次方程..........................................................................5

题型五解一元一次方程错解复原问题.............................................................7

题型六已知含参数一元一次方程的解为整数解求参数的值.........................................10

题型七已知含参数一元一次方程的解求另一元一次方程的解.......................................11

题型八一元一次方程中与运算有关的新定义型问题...............................................14

题型九解一元一次方程中的新定义型拓展问题...................................................15

。第二层能力提升练

台第三层拓展突破练

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题型一等式的基本性质

☆技巧积累与运用

等式的性质1等式的两边都加上（或都减去）同一个数或式，所得结果仍是等式。

字母表达式为：如果a=6,那么a土c=6土c.

等式的性质2等式的两边都乘或都除以同一个数或式（除数不能为零），所得结果仍是等式。

字母表达式为：如果。=6,那么ac=6c,或区=2（＜;/0）.

CC

等式的传递性如果a=6、b=c,那么a=c。

例题:（23-24七年级上•广西百色・期末）下列等式变形正确的是（）

A,若a=6,贝i|a+3=6+2B.若苫=了，贝！|x-2=2-y

若r=R,贝lj=2乃RD.若a=b,则色=2

C.

【答案】C

【知识点】等式的性质

【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键.根据等式的基本性质判断即可.

【详解】解：A.若4=b,则a+3=6+3,故/不符合题意；

B.若％=九则x-2=y-2,故8不符合题意；

C.若厂=R,贝1]2"=2万/?,故C符合题意；

D.若。=6,且c/0,则3=2,故。不符合题意；

CC

故选：C

【变式训练】

1.（23-24七年级上•贵州黔东南♦期末）下列变形正确的是（）

ab

A.若。=b—1,贝！J〃一l=bB.若一=一，贝！=J

1y

Yx

C.若±1X=3,则x=±3D.若3+1=3-土，则x+l=6-x

2222

【答案】D

【知识点】等式的性质

【分析】本题考查等式的基本性质，利用等式的基本性质逐项验证即可得到答案，熟练掌握等式的基本性

质是解决问题的关键.

【详解】解：4、若。=6-1,贝3+1=6,选项中的变形错误，不符合题意；

B、若色=2,则改=砂，选项中的变形错误，不符合题意；

xy

C、若gx=3,则尤=6,选项中的变形错误，不符合题意；

x

D、若JY--I-1=3-：，则x+l=6-x,选项中的变形正确，符合题意；

22

故选：D.

2.（23-24七年级上•安徽阜阳•期末）下列说法正确的是（）

A.若/=〃，贝丘二方B.若◎=即，则"一1=0+1

C.若a=b,则,,二:'D.若x=y,则土=上

【答案】C

【知识点】等式的性质

【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质，逐一进行判断即可.

【详解】解：/、若/=〃，则或。=_人，原说法错误，不符合题意；

B、若◎=即，则"原说法错误，不符合题意；

C、若。=6,因为苏+i>o,则，=原说法正确，符合题意；

D、若'=y，且机*0,则二=上,原说法错误，不符合题意；

mm

故选c.

题型二一元一次方程的定义

☆技巧积累与运用

一元一次方程定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式的方程叫作一元一次

方程。

细节剖析：判断是否为一元一次方程，应看是否满足：

①只含有一个未知数,未知数的次数为1;②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数.

例题：（23-24六年级下•上海嘉定•期末）下列式子属于一元一次方程的是（）

A.x-5x=UB.3x-5=yC.x2-4=0D.->\

【答案】/

【知识点】一元一次方程的定义

【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做

一元一次方程，据此求解即可.

【详解】解：/、x-5x=ll是一元一次方程，符合题意；

B、3x-5=y含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意；

C、，-4=0未知数的次数不是1,不是一元一次方程，不符合题意；

。、不是方程，不是一元一次方程，不符合题意；

故选：A.

【变式训练】

1Y

1.（23-24七年级上•广东汕头・期末）已知下列方程：①x-2=—；②0.2x=l；③；=x-3；@x-y=6.

x3

⑤x=0,其中一元一次方程有（）

2个氏3个C.4个D5个

【答案】B

【知识点】一元一次方程的定义

【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1,一次项系数

不是0,这是这类题目考查的重点.只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元

一次方程.它的一般形式是ax+b=0（。，b是常数且。/0）.

【详解】解：①不是整式方程，不是一元一次方程；

②0.2x=1是一元一次方程；

③：=是一元一次方程；

④x->=6,函数2个未知数，不是一元一次方程；

⑤x=0是一元一次方程.

一元一次方程有：②③⑤共3个.

故选：B

2.（23-24七年级上•湖南长沙,期末）已知（加-1时4-3=0是关于x的一元一次方程，则加的值为一.

【答案】-1

【知识点】一元一次方程的定义

【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义列出关于加的方程求解即可得出

答案.

【详解】解：•.•（〃/-1）--3=0是关于x的一元一次方程，

7〃-1R0且同=1,

解得：m=—l,

故答案为：-1.

题型三已知方程的解求字母或代数式的值

☆技巧积累与运用

一元一次方程的解：能使一元一次方程两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，也叫作方程的根

例题：（23-24七年级上•浙江金华・期末）已知x=3是方程办-2=-a+6的解，则。=.

【答案】2

【知识点】方程的解

【分析】本题考查了方程解的定义，使方程的左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.

将尤=3代入原方程，可得出关于。的一元一次方程，解之即可得出a的值.

【详解】解：将x=3代入原方程得3a-2=-a+6,

解得：a-2,

■•■a的值为2.

故答案为：2.

【变式训练】

1.（23-24七年级上•河南洛阳•期末）已知x=2是关于x的一元一次方程2x+优-5=0的解，则%-3=.

【答案】-2

【知识点】方程的解、已知字母的值，求代数式的值

【分析】本题考查了一元一次方程的解，先把尤=2代入2x+"?-5=0,解得〃?的值，即可作答.

【详解】解：•••xn2是关于x的一元一次方程2X+〃L5=0的解，

二把元=2代入2x+m-5-0

得2x2+m-5=0

解得m=1

•••加一3=1-3=-2

故答案为：-2

2.(23-24七年级上•江苏徐州•期末)若x=0.5是关于x的方程2"-36-5=0的解，则代数式

3。-9b-10=・

【答案】5

【知识点】已知式子的值，求代数式的值、方程的解

【分析】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的解的概念，本题属于基础题型.将

x=0.5代入原方程即可求出a-3b=5,然后将其整体代入求值.

【详解】解：将x=0.5代入原方程可得：。-36=5,

.-.3fl-%-10=3(a-36)-10=15-10=5,

故答案为：5

题型四解一元一次方程

☆技巧积累与运用

解一元一次方程的一般步骤：

(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数.

(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号,再去中括号,最后去大括号.

(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边.

⑷合并：逆用乘法分配律,分别合并含有未知数的项及赏数项，把方程化为》=6(aW0)的形式.

(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解x=2QW0).

a

⑹检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等,则是方程的解；若方程左右两边的值丕

相等，则不是方程的解.

例题：(24-25七年级上.全国.期末)解方程：————

⑴5尤一6=3(龙一4)+2；⑵=2

【答案】⑴x=-2

(2)x=-13

【知识点】解一元一次方程(二)一一去括号、解一元一次方程(三)一一去分母、解一元一次方程(一)

一一合并同类项与移项

【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键.

(1)根据解一元一次方程的步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1,即可求出答案；

(2)根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1,即可求出答案.

【详解】(1)解：去括号，得5x-6=3x-12+2,

移项，得5x-3x=-12+2+6，

合并同类项，得2x=-4,

系数化为1,得x=-2；

（2）去分母，得4（2x-l）-3（3为-5）=24,

去括号，得8x-4-9x+15=24,

移项，合并同类项，得-x=13,

系数化为1,得x=-13.

【变式训练】

1.（23-24七年级上•贵州遵义期末）解下列方程:

⑴3x-4=4x+5；

,、2x-l_2x+l

2------+2=--------.

36

【答案］⑴》=-9

9

⑵「

【知识点】解一元一次方程（三）一一去分母、解一元一次方程（一）一一合并同类项与移项

【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、

移项、合并同类项、系数化为1.

（1）方程移项合并，把x系数化为1,即可求出解；

（2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1,即可求出解；

【详解】（1）解:3x-4=4x+5

移项，合并同类项得，-x=9

系数化为1得，x=-9；

2x-l、2x+l

(2)解:-------+2=--------

36

去分母得,2（2x—l）+12=2x+l

去括号得，4x-2+12=2x+l

移项，合并同类项得，2x=-9

系数化为1得，x=

2.（22-23七年级上•北京西城・期末）解方程:

（1）7%—20=2（3-3x）；

2x-33x-l

(2)+1.

52

【答案】⑴x=2

（2）x=-l

【知识点】解一元一次方程（二）一一去括号、解一元一次方程（三）一一去分母、解一元一次方程（一）

——合并同类项与移项

【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解此题的关键.

（1）先去括号，再移项、合并同类项，最后系数化为1即可得出答案；

（2）先去分母，再去括号、移项、合并同类项，最后系数化为1即可得出答案.

【详解】（1）解：去括号得：7x-20=6-6x,

移项得：7x+6x=6+20,

合并同类项得：13x=26,

系数化为1得：x=2；

（2）解：去分母得：2（2x-3）=5（3x-l）+10,

去括号得：4x-6=15x-5+10,

移项得：4x-15x=-5+10+6,

合并同类项得：-Hx=ll,

系数化为1得：x=-L

题型五解一元一次方程错解复原问题

☆技巧积累与运用

解一元一次方程的一般步骤：

（1）去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数.

（2）去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号,再去中括号,最后去大括号.

（3）移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边.

⑷合并：逆用乘法分配律,分别合并含有未知数的项及常数项,把方程化为办=6（aW0）的形式.

（5）系数化为1：方程两边同除以耒细数的系数得到方程的解x=2QWO）.

a

⑹检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等,则是方程的解；若方程左右两边的值丕

相等，则不是方程的解.

例题：（23-24七年级上•河南郑州•期末）下面是小颖解方程f=1的过程：

解:,得4（2x-l）=3（x+2）-12（第一步）

去括号，得8x-4=3x+6-12（第二步）

移项，得8x-3x=6-12-4（第三步）

合并同类项，得5x=T0（第四步）

方程两边同除以5,得x=-2（第五步）

请认真阅读上面的过程，解答下列问题：

⑴以上求解步骤中，第一步进行的是，这一步的依据是；

⑵以上求解步骤中，第步开始出现错误；

⑶请写出正确的解方程过程.

【答案】⑴去分母；等式两边同时乘同一个数，所得结果仍是等式

⑵三

2

(3)x=--,过程见解析

【知识点】解一元一次方程(三)一一去分母

【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤，等式的基本性质是解题的关键.

(1)根据等式的基本性质解答即可；

(2)根据解一元一次方程的步骤解答即可；

(3)按照解一元一次方程的步骤进行计算即可.

【详解】(1)解：以上求解步骤中，第一步进行的是去分母，这一步的依据是等式两边同时乘同一个数,

所得结果仍是等式

故答案为：去分母；等式两边同时乘同一个数，所得结果仍是等式；

(2)解：以上求解步骤中，第三步开始出现错误；

故答案为：三；

(3)解:去分母,得4(2x-l)=3(x+2)-12,

去括号，得8x-4=3x+6-12,

移项，得8x-3x=6-12+4,

合并同类项，得5x=-2,

系数化为1,得工=-(.

【变式训练】

1.(23-24七年级下•吉林长春・期末)下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务.

解方程：:-与=1

2o

解：，得3x-(x-2)=6第一步

去括号，得3x-x+2=6第二步

移项，得3x-x=6+2第三步

合并同类项，得2x=8第四步

方程两边同除以2,得x=4第五步

⑴以上求解步骤中，第一步进行的是；

⑵以上求解步骤中，第步开始出现错误；

⑶请写出正确解方程的过程.

【答案】⑴去分母

⑵三

⑶见解析

【知识点】解一元一次方程（三）一一去分母

【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤，等式的基本性质是解题的关键.

（1）根据解一元一次方程的步骤解答即可；

（2）根据解一元一次方程的步骤解答即可；

（3）按照解一元一次方程的步骤进行计算即可.

【详解】（1）解：以上求解步骤中，第一步进行的是去分母，

故答案为：去分母；

（2）解：以上求解步骤中，第三步开始出现错误，具体的错误是移项时没有变号，

故答案为：三；

（3）解：3-丫=1

两边同乘6得：3x-（x-2）=6£［，

去括号得：3x-x+2=6,

移项得：3x-x=6-2,

合并同类项得：2x=4,

两边同除以2,得x=2.

2.（23-24七年级上•贵州黔南•期末）下面是小红解一元一次方程三匚=牛-2的主要过程，请仔细阅读小

红的解题过程，

解决下列问题.

解:去分母,得：3（x-7）=2（l+x）-2.①

去括号，得3x-21=2+2x-2.②

移项，得3x-2x=2-2+21.③

合并同类项，得x=21.④

⑴小红在以上解方程过程中，从第步开始出现错误，出现的错误是.

⑵请写出正确的解答过程.

【答案】（1）①；漏乘常数项

⑵见解析

【知识点】解一元一次方程（三）一一去分母

【分析】本题考查了去分母解一元一次方程

（1）根据解方程的基本步骤，观察解答即可.

（2）利用去分母法解方程即可.

【详解】（1）根据解题步骤，得到第①步错误；主要错误是漏乘常数项，

故答案为：①；漏乘常数项.

去分母，得3（x-7）=2（l+无）-12,

去括号，得3x-21=2+2x-12,

移项，得3x-2x=2-12+21,

合并同类项，得x=U.

题型六已知含参数一元一次方程的解为整数解求参数的值

☆技巧积累与运用

解一元一次方程的一般步骤：

（1）去分母⑵去括号⑶移项⑷合并（5）系数化为1（6）检验.

例题：（23-24七年级上•重庆九龙坡•期末）已知关于x的方程苫-与竺=鼻-1有负整数解，则所有满足条

件的整数a的值之和为.

【答案】-5

【知识点】一元一次方程解的综合应用、方程的解

【分析】本题考查一元一次方程的特殊解问题，先解方程，再根据负整数解求解即可得到答案；

【详解】解：解方程=得，

•••方程有负整数解，

3+2a等于-1或-2或-3或-6,

59

解得：a=-2或一；或一3或°=一彳，

22

,:a是整数，

.•・满足条件的整数a的值之和为：-2+（-3）=-5,

故答案为：-5.

【变式训练】

1.（23-24七年级上•广东广州•期末）已知关于x的方程2X-6=-MX（加为正整数）有整数解，则加的值

为_____

【答案】1或4

【知识点】一元一次方程解的综合应用、方程的解

【分析】本题考查一元一次方程的整数解问题，先解方程根据解是整数求解即可得到答案;

【详解】解：解方程得，

6

，

x=32Z+m

・.・方程2x-6=-〃zx(加为正整数)有整数解，

.♦.2+%是6的因数，

•••m=1或4,

故答案为：1或4.

2.(23-24七年级上•江苏扬州•期末)若关于x的方程2G=(a+l)x+6的解为正整数，整数。的值是.

【答案】2或3或4或7

【知识点】解一元一次方程(二)一一去括号

【分析】首先解方程表示出x的值，然后根据解为正整数求解即可.本题主要考查方程的解和解一元一次方

程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.

【详解】解：2ax=(a+l)x+6,

移项得：2ox-(a+l)x=6,

合并同类项得：("l)x=6,

系数化为1得：X=

•••关于X的方程2ax=(a+l)x+6的解为正整数，

...》=二为正整数，

a-v

。一1=1或。-1=2或q-l=3或〃-1=6

。=2或。=3或。=4或Q=7.

故答案为：2或3或4或7

犀型七已知含参数一元一次方程的解求另一元一次方程的解

☆技巧积累与运用

解一元一次方程的一般步骤：

(1)去分母⑵去括号⑶移项⑷合并(5)系数化为1(6)检验.

Y

例题：(23-24七年级上•浙江嘉兴•期末)已知。为实数，关于1的方程+的解为％=5,则关

2024

于y的方程^1+0+4048=2024y的解为y=____.

2024

【答案】7

【知识点】方程的解

【分析】本题考查了一元一次方程的解，正确掌握转化思想是解题的关键.两个方程形式相似，第一个方

程3+”2024x的解为x=5,则第二个方程中歹-2与％对应，可得歹—2=5,可得结果・

2024

【详解】解：关于X的方程z三+a=2024x的解为X=5,

2024

v—2

则—+Q+4048=2024y

2024

+a=2024y-4048=2024（y-2）,

J-2=5,

"=7.

故答案为7

【变式训练】

1.（23-24七年级上•江苏南通•期末）若关于x的一元一次方程2笠0231x+加=2x-4的解为x=-4,则关于V

2024

的一元一次方程曷（5-#-机=14-2y解为了=.

【答案】1

【知识点】方程的解

【分析】本题考查了一元一次方程的解，将一元一次方程W（5-y）-"z=14-2y变形可得歹-5=-4是方

2024'/

程施什-5）+加=2（y-5）-4的解，即可得出答案，解题的关键是得出＞-5=-4是方程

竭（了一5）+加=2（广5）-4的解.

【详解】解：将一元一次方程而j（5-田-〃?=14-2了变形得：（y_5）+a=2（y-5）-4,

•••关于x的一元一次方程20嬴23x+加=2x-4的解为x=-4,

・・.y_5=_4是方程髭（y_5）+m=2（y_5）_4的解，

解得：＞=1，

故答案为：1.

2.（23-24七年级上•湖南长沙•期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为2,我们就称这两个方程为“成

双方程”.例如：方程2x-1=2和21=0为"成双方程

⑴请判断方程4x-（尤+5）=1与方程-21-＞=3是否互为"成双方程"；

Y

⑵若关于X的方程2+加=0与方程3X-2=X+4互为"成双方程"，求加的值；

⑶若关于x的方程焉xT=0与焉x+l=3x+k互为"成双方程"，求关于》的方程

贵(y+2)+l=3y+左+6的解.

【答案】⑴不是互为"成双方程"，理由见解析：

⑶>=-2024.

【知识点】方程的解、解一元一次方程(三)一一去分母、一元一次方程解的综合应用

【分析】本题考查方程的解，解一元一次方程.掌握“成双方程"的定义，是解题的关键.

(1)求出两个方程的解，再根据"成双方程”的定义，进行判断即可；

(2)求出两个方程的解，再根据"成双方程”的定义，列出关于〃?的方程，进行求解即可；

(3)先求出焉x-l=0的解，根据"成双方程”的定义，得到焉x+l=3x+左的解，进而得到

上71V+2)+1=3y+左+6中y+2的值，进一步求解即可.

2024

【详解】(1)解：方程4x-(x+5)=l与方程-2y-y=3不是互为“成双方程〃；

解4x-(x+5)=l,得：x=2；

解-2歹一尸3,得：歹=-1,

・・・2—l=lw2,

故方程4》-(》+5)=1与方程-2'-〉=3不是互为"成双方程"；

V

(2)+m=0,

2

•••x=-2m,

3x-2=x+4,

x-3,

Y

・・・方程7+m=o与方程3x-2=x+4互为”成双方程〃，

2

・•・3-2m=2,

1

2

••・x=2024,

「方程高无-1=0与焉X+1=3x+上互为"成双方程”,

20242024

x+l=3x+k的解为2-2024=-2022,

2024

•.•^^(>+2)+1=3>+左+6=3(>+2)+左,

y+2=—2022,

.•)=—2024.

题型八一元一次方程中与运算有关的新定义型问题

☆技巧积累与运用

解一元一次方程的一般步骤：

(1)去分母⑵去括号⑶移项⑷合并(5)系数化为1(6)检验.

例题：(23-24七年级上•宁夏银川・期末)定义一种新运算"°食，”的含义为：a^b=-2a+b.例如：

3^(-4)=-2x3+(-4)=-10,若(3x-7)^(3-2x)=2,则x的值为.

【答案】v

O

【知识点】一元一次方程解的综合应用

【分析】已知等式利用题中新定义化简，整理即可求出X的值.

本题考查新定义运算及解一元一次方程算，解题关键是弄清题中的新定义.

【详解】解：5☆6=-2。+6,

(3x-7闷3-2x)=-2(3x-7)+(3-2x)=2,

整理得：-6x+14+3-2x=2,

解得：x=

O

故答案为：--.

O

【变式训练】

加+〃(加之0)

；■\若工※(-8)=5,贝！Jx=_

(m-n(m<0)一

【答案】13或-3

【知识点】一元一次方程解的综合应用

【分析】本题主要考查了在新定义下解一元一次方程，根据新定义分情况：当xNO和x<0时解题即可求出

x值.

【详解】当时，无※(-8)=》+(-8)=5,

解得：x=13,

当无<0时，x※(-8)=x-(-8)=5,

解得：x=-3.

故答案为：13或-3.

2.(23-24七年级上•贵州毕节,期末)对于任意有理数a,b,定义一种新运算:a*b——a+—,等式右边是

b

通常的加法、减法运算，如：2*；=-2+3=1.

⑴求(-3)*2的值；

⑵若(2勿)*1=机*5,求机的值.

7

【答案】⑴]

(2)?

【知识点】倒数、一元一次方程解的综合应用

【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题关键在于理解新定义.

(1)根据新定义进行计算，一个变负数，一个变倒数计算即可，

(2)首先根据新定义分别表示出等号两边的，然后在求出m即可；

【详解】(1),•*b=—a+—

（2）（2m）*l=-（2m）+l=l-2m,m*5=-m+,

1cI

/.I—2m=—m+—

5

4

:.m=—.

5

题型九解一元一次方程中的新定义型拓展问题

☆技巧积累与运用

解一元一次方程的一般步骤：

(I)去分母⑵去括号⑶移项(4)合并(5)系数化为I(6)检验.

例题：(23-24七年级上•湖北孝感•期末)定义：如果两个一元一次方程的解之和为2,我们就称这两个方程

为”和谐方程〃.例如：方程2x—7=3和x+3=0为〃和谐方程〃.

⑴方程3x-(x+5)=l与方程尸2歹=1是，，和谐方程〃吗？请说明理由；

Y

⑵若关于X的方程3x-4=x+6与方程彳+加=0是"和谐方程”，求加的值；

⑶若关于X方程2x-〃+3=0与x+5〃-l=0是"和谐方程"，求〃的值.

【答案】(1)是“和谐方程"，理由见解析

3

(2)^=-

⑶〃=1

【知识点】解一元一次方程(二)一一去括号

【分析】本题以新定义题型为背景，考查了一元一次方程的求解，熟记相关求解步骤是解题关键.

(1)分别求解方程3x-(x+5)=l、y-2y=l即可判断；

(2)分另U求解方程3x-4=x+6、j+m=O,根据"和谐方程"的定义可得5+(-2加)=2,即可求解；

(3)分别求解方程2x-〃+3=0、x+5〃-l=0,根据"和谐方程"的定义可得5+(-2相)=2,即可求解.

【详解】(1)解：方程3x-(x+5)=l与方程了-2y=1是"和谐方程〃，理由如下：

由3x-(x+5)=l,解得x=3；

由了-2y=l,解得y=-l.

••-3+(-1)=2,

方程3x-(x+5)=1与方程了-2y=1是"和谐方程〃.

(2)解：由3x-4=x+6,解得x=5；

X

由一+加=0,解得x=-2m.

2

Y

・.•方程3x—4=%+6与方程2+加=0是"和谐方程〃，

.-.5+(-2m)=2,

解得加=；3.

n—3

(3)解：由2x—〃+3=0,解得x=---；

由x+5〃-1=0,解得％=1—5〃；

•・・关于x方程2x-几+3=0与x+5〃-1=0是"和谐方程"，

n-31__

-------F1—5〃=2,

2

解得

【变式训练】

1.(23-24七年级上•江苏盐城•期末)定义：关于x的方程如-6=0与方程法-。=0(°、6均为不等于0

的常数)称互为“伴生方程"，例如：方程2x-l=0与方程x-2=0互为"伴生方程

(1)若关于X的方程2x-3=0与方程3x-c=0互为"伴生方程"，贝IjC=；

⑵若关于x的方程4x+3优+1=0与方程5工-〃+2=0互为"伴生方程"，求"?、〃的值；

⑶若关于x的方程5x-6=0与其"伴生方程"的解都是整数，求整数6的值.

【答案】⑴2

(2)m=-2,n=6

⑶b的值为5或-5

【知识点】一元一次方程解的综合应用

【分析】本题考查解一元一次方程，掌握“伴生方程”的定义，是解题的关键.

(1)根据“伴生方程"的定义，即可得出C的值；

(2)根据“伴生方程〃的定义，得到3加+1=-5,”2=4,求解即可；

(3)求出两个方程的解，根据解都是整数，进行求解即可.

【详解】(1)解：•.・关于x的方程2》-3=0与方程3x-c=0互为"伴生方程"，

*'•c=2；

故答案为：2；

(2)由题意，得：3m+l=-5,2=4,

m=—2,〃=6；

(3):5x-b=0,

b

*.x——,

5x-6=0的"伴生方程"是bx-5=0,

解得：x=1

b

•••健均为整数,

5b

6=±5.

2.(23-24七年级上,湖南邵阳,期末)【定义】若关于x的一元一次方程◎=/)的解满足x=6+”，则称该方

程为“友好方程"，例如：方程2x=-4的解为》=-2,而-2=-4+2,则方程2x=-4为"友好方程

【运用】

(1)①-2x=4,②3x=-4.5,③x=-l三个方程中，为“友好方程"的是_(填写序号)；

⑵若关于x的一元一次方程3x=6是"友好方程"，求6的值；

⑶若关于x的一元一次方程-2尤=加"+"(〃/0)是“友好方程"，且它的解为X=",求加、”的值.

【答案】⑴②；

9

(2)^=--;

⑶加=-3,77=-|

【知识点】方程的解、一元一次方程解的综合应用、解一元一次方程（一）一一合并同类项与移项

【分析】（1）利用题中的新定义判断即可；

（2）根据题中的新定义列出有关6的方程，求出方程的解即可得到6的值，利用题中的新定义确定出所求

即可；

（3）根据“友好方程"的定义即可得出关于“、”的二元二次方程组，解之即可得出入、"的值；

此题考查了一元一次方程的解，解题的关键是正确理解方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.

【详解】（1）①-2x=4

解得：x=-2,

而-2*-2+4,不是"友好方程"；

②3x=-4.5

3

解得：x=--,

3

--=-4.5+3,是〃友好方程〃；

@x=-l

-+1，不是“友好方程"；

故答案为：②；

（2）方程：3x=6的解为x=g,

•・・关于］的一元一次方程3x=b是〃友好方程〃

：.—=3+b,

3

9

解得6=-1:

（3）•.・关于龙的一元一次方程-2x=%〃+",它的解为X=〃，

・•・-2n=mn+n,

;川w0,

-2=m+1,解得：加=一3,

,•・关于X的一元一次方程-2x=加〃+〃（〃W0）是“友好方程"，它的解为X=n,

2

n=mn+n-2,解得：〃=-§.

一、单选题

1.（23-24七年级下•海南省直辖县级单位•期末）下列各式是方程的是（）

A.4x+5=9B.3x-4<1C.6x-5xD.3+5=8

【答案】A

【知识点】一元一次方程的定义

【分析】本题考查方程的定义，根据含未知数的等式叫做方程，进行判断即可.

【详解】解：/、4x+5=9是方程，符合题意；

B、3x-4<l,不是等式，不符合题意；

C、6x-5x,不是等式，不符合题意；

D、3+5=8,不含未知数，不符合题意；

故选

2.（24-25七年级上•全国•期末）已知x=2是关于x的方程gx-2a=0的解，则代数式2.-1的值是（）

2

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【知识点】已知式子的值，求代数式的值、方程的解

【分析】本题考查了方程的解，代数式求值，把x=2代入方程可得2a=5,再代入代数式计算即可求解，

掌握方程解的定义是解题的关键.

【详解】解：•；x=2是关于x的方程gx-2a=0的解，

一x2—2a=0,

2

•••2a=5,

.・.2Q—1=5—1=4,

故选：B.

3.（23-24七年级上•广东汕头•期末）下列说法正确的有（）

oh

①若贝!Jac=bc；②若ac=be,贝!JQ=6；③若一二—,贝④若。=6,贝!!—二—；⑤若

CCCC

a=b,则：=?；⑥若a/=后,贝ljq=b；⑦若/=/,贝九。=6..

c+1c+1

4.2个5.3个C.4个D5个

【答案】B

【知识点】等式的性质

【分析】本题考查了等式的性质，能熟记等式的性质是解此题的关键，注意：等式的性质1：等式的两边都

加或减同一个数或式子，等式仍成立，等式的性质2：等式两边都乘同一个数或式子，等式仍成立，等式的

两边都除以同一个不等于0的数或式子，等式仍成立.根据等式的性质逐个判断即可.

【详解】解：;"b,

二等式两边都乘c,得ac=bc,故①正确；

当c=0时，由ac=bc不能推出,故②错误；

..a_b

,一=一，

cc

..•等式两边都乘C,得a=6,故③正确；

当c=0时，由不能推出3=2,故④错误；

CC

:不论C为何值，C2+1>h

.,.由a=6能推出2"，=:、，故⑤正确；

c+1c+1

当c=0时，由℃2=儿2不能推出。=6,故⑥错误；

当。=2,6=-2时/=62,但。二方，故⑦错误；

即正确的个数是3,

故选:B

4.（24-25七年级上•全国•期末）下列方程变形中，正确的是（）

45

A.方程未知数系数化为1,得x=-l

54

B.方程3x+5=4x+l,移项，得3x-4x=-l+5

C.方程3x—7（x-l）=3-2（x+3）,去括号，得3x—7+7=3—2x-3

1_7rI1

D.方程y竺=上尸-3,去分母后化成7（l-2x）=3（3x+l）-63

【答案】D

【知识点】解一元一次方程（二）一一去括号、解一元一次方程（三）一一去分母、解一元一次方程（一）

一—合并同类项与移项、等式的性质1

【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题关键.A.根据等式的性质即可得到

答案；B.根据等式的性质即可得到答案；C.根据去括号法则即可得到答案；。.根据等式的性质，两边

同时乘21,可得答案.

【详解】4方程£4X=-5-,未知数系数化为1,得x=25原变形不正确，故不符合题意；

5416

B.方程3无+5=4x+l,移项，得3x-4x=l-5,原变形不正确，故不符合题意；

C.方程3x-7（x-l）=3-2（x+3）,去括号，得3x-7x+7=3-2x-6,原变形不正确，故不符合题意；

D.=-3,去分母得7（1-2x）=3（3x+l）-63,原变形正确，故不符合题意.

故选：D.

5.（23-24七年级下•四川内江•期末）若关于x的方程8-3=履+2有整数解，那么满足条件的整数人的取

值个数是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【知识点】解一元一次方程（一）一一合并同类项与移项

【分析】本题考查的是一元一次方程的解与方程的解法，掌握"方程的整数解的含义以及求解整数解的方法"

是解本题的关键.

先解方程可得x=三，再根据关于x的方程5x-3=fcc+2有整数解，左为整数，可得5-左=土1或

5-k=+5,从而可得答案.

【详解】解：:5。-3=丘+2,

■•■5x-kx=5,即（5-左）x=5,

当5-kNO时，

・•・关于x的方程5尤-3=区+2有整数解，%为整数，

5-左=±1或5一4=±5,

解得：左=4或％=6或左=0或左=10,

.•・满足条件的整数上的取值个数是4,

故选：C.

二、填空题

6.（23-24七年级上•甘肃定西,期末）方程从4x+21=x-7到4x-x=-7-21变形的依据是.

【答案】等式的性质1

【知识点】等式的性质

【分析】本题主要考查了等式的基本性质，等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等

式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立..

根据等式的基本性质即可解答.

【详解】解：•.•方程4x+21=x-7的两边同时减去x,再同时减去21,即可得到4x-x=-7-21,

・•・依据是等式的性质1.

故答案为：等式的性质1.

7.（23-24七年级下•河南驻马店•期末）若关于x的方程2%+左=3的解为x=l,则左的值为.

【答案】1

【知识点】方程的解

【分析】本题考查方程的解，将x=l代入方程，进行求解即可.

【详解】解：把％=代入2%+左=3,得：2+左=3,

・,・左二1；

故答案为：1.

8.（23-24七年级上•全国・期末）若4加-5的值与心-3的值互为相反数，则加的值为.

【答案】If

【知识点】解一元一次方程（二）一一去括号、相反数的定义

【分析】此题主要考查相反数的定义及一元一次方程的应用.先根据互为相反数的两个数的和等于0列出

方程，然后解关于m的一元一次方程即可求出m的值.

【详解】解：根据题意得：（4加一5）+（加一；|=0,B|J5m-y=0,

解得：加=||，

心小4二36

故答案为：—.

9.（23-24七年级下•重庆万州•期末）若（加-2）W--2=5是关于x的一元一次方程，则加的值是—.

【答案】-2

【知识点】一元一次方程的定义

【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义可得|加|-1=1,加-2x0,求解即可.

【详解】由题意得：同T=1,解得：m=±2

丁加一2w0,即〃/w2

/.m=—2

故答案为：-2.

10.（23-24七年级上•吉林四平•期末）对于有理数x,V,定义一种新运算〃。〃，规定

%。>=|%+>|+|%-川.若。。%）。（％+1）=8,则x值为.

【答案】2或-2

【知识点】化简绝对值、解一元一次方程（一）一一合并同类项与移项

【详解】本题考查有理数的混合运算、新定义，一元一次方程的解法及绝对值，能对1的取值范围进行准确

的分类是解题的关键.根据题中定义的新运算，建立关于1的方程即可解决问题.

【分析】解：由题知，

因为％Oy=|%+y|+|%-歹|,

所以xG）x=|x+x|+|%-x|=|2x|.

又因为+1）=8,

则当x20时，

|2,x+x+11+12x—x—11=8,

3x+1x-11=7,

当xNl时，

3x+x-1=7,

解得x=2；

当0«x<1时,

3x-x+1=7,

解得x=3,

不符合题意，故舍去.