2025年深圳市中考数学适应性试卷（含答案）

2025年广东省深圳市中考数学适应性试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.月饼是中秋节的美食代表，承载着深厚的中华文化底蕴.如图所示是一个月饼盒，其俯视图为（）

B.

D.

2.方程1）=0的根是（)

A.)=()B.r=l

D.=Q,x,=-1

3.透视是一种绘画技巧，通过视平线和消失点的关系来表现物体的立体感和空间感.如图是运用透视法绘

制的一个图案，已知48〃CDi!EF,-则些的值为（）

4.地面上铺满了正方形的地砖（40cmx40cmI,现在向这一地面上抛掷半径为5cm的圆碟.为了估计圆碟

与地砖间的间隙相交的概率，数学兴趣小组进行试验，得到了数据：

抛掷总次数501003005008001000

圆碟与地砖间的间隙相交的次数2945133219353440

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圆碟与地砖间间隙相交的频率0.5800.4500.4430.4380.4410.440

由此可估计圆碟与地万专间的间隙相交的概率大约为（）

A.0.42B,0.44C,0.50D.0.58

5.玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符.实验发现，当液面高度』C与瓶高48之比为黄

金比（约等于0.618）时（如图），可以敲击出音符“sol”的声音.若48=10cm,且敲击时发出音符

”的声音，则液面高度4C约为（）

A.3.82cmB.5cniC.6.18cmD.7.2cm

6.小明用两根小木棍/C,BD自制成一个如图所示的“X形”测量工具，/C与BD交于点。，

OA=OB,OC=OD,OB=3OD,现将其放进一个锥形瓶，经测量，CO=3cm,则该锥形瓶底部的

内径AB的长为（）

DC

7.某超市销售一种文创产品，每个进货价为15元.调查发现，当销售价为20元时，平均每天能售出50个;

而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个.超市要想使这种文创产品的销售利润平均每天达到

220元，设每个文创产品降价x元，则可列方程为（）

A.120-15-.r）（50+5x）=220

B.120-15+.v）150+5.v|=220

C.（20-15-v|（50-5.v|=220

D.-2015-v||50-5xi=22O

第2页/共7页

k

8.如图，已知一次函数『-x+M的图象与反比例函数『二一(&>0)的图象相交于A,8两点.当机的值

X

由4逐渐减小到Y时，关于线段.48的长度，下列判断正确的是()

A.由大变小B.由小变大C.保持不变D.有最小值

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分.

9若a=2卜，则苫=.

10.矩形两边长分别为3cm和4cm,则矩形的对角线长为.

11.已知。是方程广一I=3的一个根，则代数式1+2。+2025的值为.

12.露营越来越受大众喜爱.如图是一个帐篷的示意图，其高OE=2m,某时刻帐篷顶端E在阳光下的影

子为点凡1OF,OF交48于点G,0G=lm,在同一时刻，附近一根长为hn的标杆在地面的影

长为2r,则FG为

实物图

13.如图，在正方形.48C0中，E为48上一点，将绕点。按逆时针方向旋转9。\得到AOC'F,

连接£F交C。于点G.若8E4,DG=5,则X。的长为

三、解答题：本题共7小题，共61分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

第3页/共7页

14.（1）解万程：1-6.V♦5二0；

（2）小明在解关于x的方程「・6.1•c=Q时，过程如下：

第1步：移项,得1・6.1二-c，

第2步：变形，得V—61二-c,

第3步：设阳=±H=x-3,即.”m+3,代入上式得（用+3）（朋-3）=-c,

2

所以=即M：=9-「

第4步：两边开平方，得〃7二士J9—c，

第5步：代入X=附+3,得x二3±4-t,即*=3+,9-c,4=3-J9-c.

你认为小明的做法从第步开始出现错误，原因是.

15.某校开展以“新时代深圳精神”为主题的演讲比赛.“新时代深圳精神”概括凝结为16个字：“敢闯敢

试、开放包容、务实尚法、追求卓越”，这四个主题依次用字母A,B,C,。表示.将A,B,C,。分别

写在四张完全相同的不透明卡片上，然后背面朝上洗匀.每位选手随机从中抽出一张卡片，并按照抽到的

主题进行演讲.

（1）小明抽到演讲主题为“追求卓越”的概率是;

（2）小颖从中抽出一张卡片，记下字母后放回.重新洗匀后，小亮再从中抽出一张卡片，求他们演讲主题

相同概率.

16.某校在科技节开幕式上，计划用一块正方形空地进行无人机表演，从这块空地上划出部分区域作为安全

区（如图），原空地一边减少了4”，另一边减少了2r，剩余空地为起飞区.设原正方形空地的边长为AIT

1<4B

（1）起飞区的边48的长为（用含x的代数式表示）；

第4页/共7页

(2)若起飞区的面积为120mL求原正方形空地的边长.

17.光照强度是指单位面积上所接受可见光的光通量，简称照度(Lux智能玻璃可以通过自动调节其透明

度而使室内达到合适的照度.学习小组通过查阅资料，发现照度,Lux)是透明度x1%|的反比例函数，其

图象如图所示.

y/(Lux)

6000

5000

4000

3000

]\^(30,2000)

2000

1000

O102030405060x/(%)

(1)求出y与x之间的函数表达式；

(2)君子兰承载着传统文化中高贵典雅、温和有礼等寓意.它适宜在照度10003/x至WOOL1H的室内

生长，那么智能玻璃的透明度x应控制在什么范围内？请说明理由.

18.如图，在A,48c中，.48=,4G为A』8c的外角的平分线，BF1AG,垂足为尸，点

。为8(,上一点，连接OF，交AB于点。•

(1)在不添加新的线的前提下，请增加一个条件：,使得四边形,4尸8。为矩形，并说明理由；

(2)若四边形,4/8。为矩形，请用尺规作图的方法作一个菱形.48PC，使8c为菱形的一条对角线.(保

留作图痕迹，不写作法)

19.综合与实践

【发现并提出问题】

在进行综合与实践活动时，学习小组发现可以将一张特殊的平行四边形硬纸片剪拼成一个有盖的直四棱柱

形盒子(无损耗无重叠)，在制作过程中，学习小组提出了一个问题：制作的盒子的高与四边形硬纸片的边

长存在怎样的数量关系？

【分析并解决问题】

探究一：盒子的高与正方形硬纸片的边长的数量关系

第5页/共7页

(1)以正方形。48c的顶点o为坐标原点，01，0C所在的直线为坐标轴建立如图1所示的平面直角坐

标系，此时点2的坐标为(4,4),再以正方形。.48(、的两条对角线交点尸为位似中心，画一个正方形

DEFG,使它与正方形。48(,位似，且相似比为1:2,然后按图2的方式将正方形纸片048C沿虚线剪

开，可拼接成如图3所示的四棱柱形有盖盒子.

图1图2图3

探究二：盒子的高与菱形硬纸片的边长的数量关系

(2)按探究一的方式将图4中的菱形硬纸片制作成了如图5所示的四棱柱形有盖盒子.在菱形48co中,

若=/DAB=60°,则盒子的高废为；(用含。的代数式表示)

【推广并创新应用】

探究三：盒子的高与矩形硬纸片的边长的数量关系

(3)如图6,矩形硬纸片.48。。中，,48=加，="，将该纸片沿虚线剪开，把所得的四个阴影部分

纸片再剪拼成一个长方形盖子，并与剩余部分一起拼接成一个四棱柱形有盖盒子，求盒子的高(用含

有m,n的代数式表示)

20.定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫做菱形的折中线.例如，如

图1，在菱形.4BC0中，E是C。的中点，连接〔'E.8E,则折线4E8叫做菱形.4BCD的折中线，折线

的长叫做折中线的长.

已知，在菱形38co中，,48=a,E是CO的中点，连接11：.

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图1图2

(1)如图1,若。=8,NC=60°,求折中线4E8的长；

(2)如图2,若/4E8=/C,请探究折中线,4E8的长与菱形的边长a之间满足的等量关系式，并说明

理由；

(3)若a=8,且折中线,4£8中的4E或/右与菱形.48。。的一条对角线相等，求折中线力E8的长.

第7页供7页

2025年广东省深圳市中考数学适应性试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.月饼是中秋节的美食代表，承载着深厚的中华文化底蕴.如图所示是一个月饼盒，其俯视图为（）

从正面看

【解析】

【分析】本题考查简单几何体的俯视图.理解三视图的意义是正确判断的前提.

根据俯视图是从物体的上面看得到的图形，可得答案.

【详解】解：该几何体的主视图是:

2.方程=0的根是（）

A.r=0B..V=1

C.，-0,.V,=1D..II,=-1

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程解法是解题的关键.

由题意可得x=0或x_1=0,于是得解.

第1页/共20页

【详解】解：由题意可得：

1=（）或x1=0,

-I,-0,.v;=1,

故选：C.

3.透视是一种绘画技巧，通过视平线和消失点的关系来表现物体的立体感和空间感.如图是运用透视法绘

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理、找准对应关系是解题的关键.根据平

行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可.

【详解】解：•；，48//CD//EF,

•AC-BD

TE~~DF'

AC3

CE2

BD3

——=-,

DF2

故选：A

4.地面上铺满了正方形的地砖（40cmx40cmi,现在向这一地面上抛掷半径为5cm的圆碟.为了估计圆碟

与地砖间的间隙相交的概率，数学兴趣小组进行试验，得到了数据：

抛掷总次数501003005008001000

圆碟与地砖间的间隙相交的次数2945133219353440

圆碟与地方专间的间隙相交的频率0.5800.4500.4430.4380.4410.440

由此可估计圆碟与地砖间的间隙相交的概率大约为（）

第2页/共20页

A.0.42B.0.44C.0.50D.0.58

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查利用频率估计概率，熟练掌握根据频率估计概率的方法是解题的关键，根据频率估

计概率即可.

【详解】解：根据试验数据得：当试验次数逐渐增大时，圆碟与地砖间的间隙相交的频率在0.44左右，

，可估计圆碟与地砖间的间隙相交的概率大约为0.44.

故选：B

5.玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符.实验发现，当液面高度』C与瓶高,48之比为黄

金比（约等于0.618）时（如图），可以敲击出音符“s。/”的声音.若.48=10cm,且敲击时发出音符

”的声音，则液面高度约为（）

A.3.82cmB.5cmC.6.18cmD.7.2cm

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键.根据黄金分割的定义进行计算即

可.

【详解】解：由题知，

因为液面高度从C与瓶高48之比为黄金比，且.48=10cm,

所以JC=0.6l8/8=6.18（cm）,

故选：C

6.小明用两根小木棍4c,BD自制成一个如图所示的“X形”测量工具，』C与BD交于点。，

。』=08,OC=OD,08=3OD,现将其放进一个锥形瓶，经测量，CD=3cm,则该锥形瓶底部的

内径AB的长为（）

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a

A.6cmB.9cmC.12cmD.15cm

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，首先根据和ADOC都是等腰三角形且

QD4D

ZDOC=250.4,可证A/08sA00C,根据相似三角形对应边成比例可得=-=3,根据

ODCD

CD=3cm可求AB的长度.

【详解】解：：0A=OB,0C=0D,

和aOOC都是等腰三角形,

vZD0C=/.BOA,

,■^AOB^tDOC,

■：OB=30。，

OBAB,

——=——=3,

ODCD

又；CD=3cm,

•3*

.♦3-3,

.48=9cm,

故选：B.

7.某超市销售一种文创产品，每个进货价为15元.调查发现，当销售价为20元时，平均每天能售出50个;

而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个.超市要想使这种文创产品的销售利润平均每天达到

220元，设每个文创产品降价x元，则可列方程为()

A.'2015-v|(50+5.v)=22O

B.|20-15-Ail50+5x1=220

C.(20-15-v|(5O-5.r|=22()

D.(20-15+x(50-5x)=220

第4页/共20页

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程即可.

【详解】解：由题意，可列方程为：|2O-15-x）（5O+5.r）=22O；

故选A.

k

8.如图，已知一次函数rx+卅的图象与反比例函数「=一">0）的图象相交于A,B两点.当机的值

X

由4逐渐减小到Y时，关于线段48的长度，下列判断正确的是（）

A.由大变小B.由小变大C.保持不变D.有最小值

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数一次函数的交点关于原点对称是解题

关键.根据一次函数过原点，48的长度最小可得答案.

【详解】解：：一次函数rx+m的图象与反比例函数.1，=*（仁>0）的图象相交于A,B两点，当初的

X

值由4逐渐减小到Y时，线段48的长度先变小，再变大，当一次函数过原点时，IB的长度最小，

二线段AB的长度有最小值.

故选：D.

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分.

9.若a=2b,则?=____.

b

【答案】2

【解析】

【分析】本题考查了代数式求值，比例的性质，把“=23整体代入即可求解.

…a2b、

【详解】解：a=2h,则：=7=2,

hh

故答案为：2.

第5页/共20页

10.矩形的两边长分别为3cm和4cm,则矩形的对角线长为.

【答案】5cm

【解析】

【详解】解：•.•矩形的边长分别为3和4,

二.该矩形的对角线长=斤二7=5，

故答案为：5.

根据勾股定理即可得到结论.

本题考查了矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

11.已知。是方程「「I='：的一个根，则代数式」：.2。+2（17的值为.

【答案】2028

【解析】

【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，巧用整体思想是解题的关键.

将K=a代入方程，再结合整体思想即可解决问题.

【详解】解：*是方程「*h=3的一个根，

••..-2a=3）

；•J+2a+2025=3+2。”=2028.

故答案为：2028.

12.露营越来越受大众喜爱.如图是一个帐篷的示意图，其高OE=2m,某时刻帐篷顶端E在阳光下的影

子为点、F,OE1OF,OF交于点G,OG=lm,在同一时刻，附近一根长为h”的标杆在地面的影

长为2r，则FG为.

E

实物图示意图

【答案】3

【解析】

【分析】本题考查相似三角形应用，平行投影.关键是掌握相似三角形的对应边成比例.

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相似三角形的对应边成比例得到0£:0F=1:2,求出OF=4m,即可得到FG的长.

【详解】解：由题意得：0£OF=1:2,

v0E=2,

OF=4,

fG=OF-0G=4-1=3(m).

故答案为：3.

13.如图，在正方形乂8CO中，E为48上一点，将绕点。按逆时针方向旋转得到AOCF,

连接£广交C0于点G.若8E=4,DG=5,则X。的长为

【答案】6

【解析】

【分析】设.4。==8C=C。=K,表示出"=AB-BE=x-A,CG=CD-DG=X5,

CF=.4E=x-4,8F=8C+CF=X+JT-4=2X-4,然后证明出FGC^FES,得到仁=”,

BEBF

然后代入解方程即可求解.

【详解】•.四边形.48。屣正方形

.•设AD=AB=BC=CD=x

-：8E=4,DG=5,

AE=AB-BE=x-4,CG=CD-DG=X-5

:将绕点。按逆时针方向旋转90。，得到A0CF,

CF=AE=x-4

：.BF=BC+CF=.v+i-4=2.r-4

AB'1'CD

FG"FEB

CGCFBt1A-5x-4

BEBF42.V-4

解得i=6或x=3(不符合题意，舍去)

第7页/共20页

经检验，1=6是原方程的解

4。的长为6.

故答案为：6.

【点睛】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，解分式方程和一元二次方程，相似三角形的性质和判定

等知识，解题的关键是掌握以上知识点.

三、解答题：本题共7小题，共61分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

14.(1)解方程：F-6K♦5=Q;

(2)小明在解关于x的方程「-6I-c="时，过程如下：

第1步：移项，得「-6.if=-＜，

第2步：变形，得=-c,

第3步：设="|『I=一3，即1=刑+3,代入上式得(m+3)(附-3)=-c,

所以附：=即防-=9-c，

第4步：两边开平方，得二士J9—c，

第5步：代入*=m+3,得I=3士小-f，即』=3+V9-c,x2=3-y]9-c-

你认为小明的做法从第步开始出现错误，原因是.

【答案】(1)为=5,工=1；(2)4,9-c可能小于0,而负数没有平方根.

【解析】

【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这

种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.也考查了公式法

(1)利用因式分解法把方程转化为x-5=0或x1=0,然后解两个一次方程即可；

(2)由于"-c可能小于0,所以m：=9-(1不能两边开方.

【详解】解：(1)x:-6x+5=0,

|x-5)|x-l|=0,

x5=0或x-1=0,

所以.5=5,工=1；

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(2)小明的做法从第4步开始出现错误，原因是9-c可能小于0,而负数没有平方根.

故答案为：4,9-可能小于0,而负数没有平方根.

15.某校开展以“新时代深圳精神”为主题的演讲比赛.“新时代深圳精神”概括凝结为16个字：“敢闯敢

试、开放包容、务实尚法、追求卓越”，这四个主题依次用字母A,B,C,。表示.将A,B,C,。分别

写在四张完全相同的不透明卡片上，然后背面朝上洗匀.每位选手随机从中抽出一张卡片，并按照抽到的

主题进行演讲.

(1)小明抽到演讲主题为“追求卓越”概率是；

(2)小颖从中抽出一张卡片，记下字母后放回.重新洗匀后，小亮再从中抽出一张卡片，求他们演讲主题

相同的概率.

【答案】⑴1；

I

⑵4

【解析】

【分析】本题考查了列表法与树状图法求事件发生的概率，熟练掌握列表法与树状图法及概率公式是解题

的关键.

(1)直接根据概率公式求解即可；

(2)列表得出所有等可能的结果数和他们演讲主题相同的结果数，再利用概率公式可得出答案.

【小问1详解】

解：小明抽到演讲主题为“追求卓越”的概率是\,

故答案为：.;

4

【小问2详解】

由题意，列表为：

ABCD

A(44)(&4)(CZ)屹⑷

B(48)(C8)

C(4Q(GC)

第9页/共20页

D（4。）(CD)

共有16种等可能的结果，他们演讲主题相同的有4种结果,

所以他们演讲主题相同的概率媪=;

16.某校在科技节开幕式上，计划用一块正方形空地进行无人机表演，从这块空地上划出部分区域作为安全

区（如图），原空地一边减少了4”，另一边减少了2r,剩余空地为起飞区.设原正方形空地的边长为NT

B

△△

△

安

无人机

△全

区起飞区

△△

△△△△△I2

（1）起飞区的边X8的长为（用含x的代数式表示）；

（2）若起飞区的面积为120m',求原正方形空地的边长.

【答案】（1）（X-*,

（2）原正方形空地边长为14m.

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：

（1）根据题意，列出48的代数式即可；

（2）根据题意列出方程，解方程即可.

【小问1详解】

解：根据题意，起飞区的边X8的长为（X4lm,

故答案为：（x—4）；

【小问2详解】

解：根据题意可得：（x-2）（x-4）=120,即1-6.112=（1，

解得：K=14,t=-V舍去）.

答：原正方形空地的边长为14m.

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17.光照强度是指单位面积上所接受可见光的光通量，简称照度(Lux智能玻璃可以通过自动调节其透明

度而使室内达到合适的照度.学习小组通过查阅资料，发现照度Lux)是透明度的反比例函数，其

图象如图所示.

y/(Lux)

6000

5000

4000

3000

11X^(30,2000)

2000

1000

O102030405060x/(%)

(1)求出y与x之间的函数表达式；

(2)君子兰承载着传统文化中的高贵典雅、温和有礼等寓意.它适宜在照度10003/K至3000孔、的室内

生长，那么智能玻璃的透明度x应控制在什么范围内？请说明理由.

(2)20<x<60,理由见解析.

【解析】

【分析】(I)设y与x之间函数表达式为F=上,把(30,20001代入卜=&即可得到结论;

xx

f60000

(2)把「川。。和3000分别代入y=-得，即可得到结论.

本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键.

【小问1详解】

k

解：设y与x之间的函数表达式为尸=一

把(30,2000)代入卜='得，k=30x2000=60000,

・「与X之间的函数表达式为J=-

【小问2详解】

解：智能玻璃的透明度X应控制在20S1460范围内,

60000

理由：把「=IQ00和3000分别代入『=------得，

x=——=60,x=--------=20,

10003000

，智能玻璃的透明度x应控制在20<x<60范围内.

第11页/共20页

18.如图，在A,48c中，.48=,.4G为A』BC的外角/BXE的平分线，BF1AG,垂足为产，点

。为8C上一点，连接OF,交AB于点。.

（1）在不添加新的线的前提下，请增加一个条件：,使得四边形.4尸8。为矩形，并说明理由；

（2）若四边形1尸8。为矩形，请用尺规作图的方法作一个菱形48PC,使8c为菱形的一条对角线.（保

留作图痕迹，不写作法）

【答案】（1）1BC（答案不唯一），理由见解析；

（2）见解析.

【解析】

【分析】（1）添加：18（'（答案不唯一））.，根据等腰三角形的性质可证4G8C,根据平行线的性质

可证乙=NFBD=/4D8=90,根据有三个角是直角的四边形是矩形，可证四边形」尸8。为矩形；

（2）延长AD到P，使得DPAD,连接8P,CP,根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可知四边

形」8PC是菱形且8C为菱形的一条对角线.

【小问1详解】

解：（1）添加：4D-8（.（答案不唯一，

理由：；.48=JC,

:./.ABC=ZC,

■：£EAB=ZJSC+ZC,

vAG平分/£48,

；./.BAG=/.ABC,

...1G||S（',

vBFLAG,

BF1BC,

­：AD1.BC,

：.Z4F8=£FBD=Z.4D/J=90

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二四边形AFBD是矩形;

【小问2详解】

解：如下图所示，在射线AD上截取40-DP，

连接8P、CP,

四边形」8PC即为所求.

【点睛】本题考查作图-复杂作图，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质,

菱形的判定等知识，解决本题的关键是熟练的掌握矩形和菱形的判定定理，依据判定定理添加条件.

19.综合与实践

【发现并提出问题】

在进行综合与实践活动时，学习小组发现可以将一张特殊的平行四边形硬纸片剪拼成一个有盖的直四棱柱

形盒子（无损耗无重叠），在制作过程中，学习小组提出了一个问题：制作的盒子的高与四边形硬纸片的边

长存在怎样的数量关系？

【分析并解决问题】

探究一：盒子的高与正方形硬纸片的边长的数量关系

（1）以正方形。48。的顶点。为坐标原点，0.4,0C所在的直线为坐标轴建立如图1所示的平面直角坐

标系，此时点B的坐标为（4,4）,再以正方形O48C的两条对角线交点尸为位似中心，画一个正方形

DEFG,使它与正方形。48C位似，且相似比为1:2,然后按图2的方式将正方形纸片O48C沿虚线剪

开，可拼接成如图3所示的四棱柱形有盖盒子.

请在图1中画出正方形DEFG,此时盒子的高为；

图1图2图3

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探究二：盒子的高与菱形硬纸片的边长的数量关系

(2)按探究一的方式将图4中的菱形硬纸片制作成了如图5所示的四棱柱形有盖盒子.在菱形48co中,

若.""a,ZDAB=60°,则盒子的高鹿为;(用含。的代数式表示)

【推广并创新应用】

探究三：盒子的高与矩形硬纸片的边长的数量关系

(3)如图6,矩形硬纸片.48。。中，，48=w,JO=/I,将该纸片沿虚线剪开,把所得的四个阴影部分

纸片再剪拼成一个长方形盖子，并与剩余部分一起拼接成一个四棱柱形有盖盒子，求盒子的高(用含

有7",n的代数式表示)

【答案】(1)图见解析，1(2)见(3)-

82ni+2n

【解析】

【分析】本题考查了图形的位似，正方形的性质，菱形的性质，解直角三角形等;

(1)按要求作出位似图形，即可求解;

(2)由位似的性质得.4P=0P,解RtA.408和Ri，』P0，即可求解；

(3)四个阴影部分四边形是四个全等的正方形，由正方形的性质得。G=XF二4P二P0=,设

DG="二=P0=8E=I,则E0=。,FG=mlx,由盒子得底部面积和盖子面积可得

4.v2=(m2x|(〃2.v：l,即可求解；

掌握位似图形的画法，正方形的性质、菱形的性质，能熟练解直角三角形是解题的关键.

【详解】解：(1)如图1,

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图1

正方形DEFG即为所求；

•••正方形DEFG与正方形。,48。相似比为1:2,

..PE:PB=]：2,

PE=BE,

•••点8的坐标为(4,4|,

.・•£(3,3),

二•盒子的高丸为1；

故答案为：1；

•••四边形.4BCD是菱形,

BD1AC,

ABAC=-/.DAB

2

=1x60。=30。，

2

；.0A-ABBAD

-a・cos30°

后

=--a，

7

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OP1

—=—,

OA2

.-.OP=AP

1加6

——OA-----o，

PQ=-AP=—a

28

故答案为：—a

8

四个阴影部分四边形是四个全等的正方形,

;DG=="=P0=8E,

设DG=IF=IP=P0=BE=I,

贝ijE0=。-2r,FG=m2x,

由盒子得底部面积和盖子面积可得，

4x2=(m-2x)(w-2.v),

mn

x=----------

2/w+In

mn

：.PQ

2m+2n

20.定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫做菱形的折中线.例如，如

图1,在菱形.48C0中，E是C。的中点，连接彳E.8E,则折线4E8叫做菱形.48CO的折中线，折线

.4E8的长叫做折中线的长.

已知，在菱形48co中，.48=a,E是CO的中点，连接11：.

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A

图1图2

(1)如图1,若。=8,NC=60°,求折中线4E8的长；

(2)如图2,若44E8=ZC,请探究折中线的长与菱形的边长a之间满足的等量关系式，并说明

理由；

(3)若a=8,且折中线为E8中的4E或/正,与菱形.48C0的一条对角线相等，求折中线力E8的长.

【答案】(1)4e+46;

(2)折中线4E8的长等于4E+8E=二二,理由见解析;

2

(3)折中线，4£