2025年苏科版九年级数学寒假专练：点与圆及直线与圆的位置关系（解析版）

专题03点与圆及直线与圆的位置关系

嫌内容早知道

今第一层巩固提升练（8大题型）

目录

题型一判断点与圆的位置关系...................................................................1

题型二求点到圆上点的距离的最值...............................................................3

题型三判断直线与圆的位置关系.................................................................6

题型四已知直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离..............................................7

题型五证明某直线是圆的切线..................................................................10

题型六切线的性质定理.........................................................................14

题型七切线长定理.............................................................................17

题型八切线的性质和判定的综合应用............................................................20

台第二层能力提升练

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题型一判断点与圆的位置关系

☆技巧积累与运用

点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.

若OO的半径为，，点尸到圆心。的距离为d,那么：

点尸在圆内=〃</；点P在圆上=〃=r；点尸在圆外Qd>r.

例题：（24-25九年级上•宁夏银川•期末）己知圆。与点尸在同一平面内，如果圆。的半径为5,线段。尸的

长为4,则点尸（）

A.在圆。上B.在圆。内

C.在圆。外D.在圆。上或在圆。内

【答案】B

【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，若点与圆心的距离d,圆的半径为r，则当「时，点在圆

外；当d=r时，点在圆上；当d〈，时，点在圆内，据此求解即可.

【详解】解：・.・圆。的半径为5,线段OP的长为4,且4<5,

.•.点尸在圆。内，

故选：B.

巩固训练

1.（23-24九年级上•浙江・期末）如图，在RtZ\/8C中，=90。,册=4,BC=7,点。在边BC上，且

50=3,连接/Z）.以点。为圆心，以r为半径画圆，若点/,B,C中只有1个点在圆内，则r的值可能

为（）

A

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点到圆心距离为“，半径为r,当时,

点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d<r时，点在圆内.先根据勾股定理求出AQ=,工台，+台〃。=5，再

得出CD=BC-AD=4,根据点4,B,C中只有1个点在圆内，推出3<厂44,即可解答.

【详解】解：•.•/8=90。"=4回=31。=7,

•••AD=ylAB2+BD2=5>CD=BC-BD=l-3=4,

•.•点/,B,C中只有1个点在圆内，BD<CD<AD,

.•・在圆内的点为点比

3<r<4,

故选：B.

2.（22-23九年级上•北京西城・期末）如图，是。。的直径，C为。。上一点，且/BLOC,P为圆上一

动点，M为NP的中点，连接CM.若。。的半径为2,则CW长的最大值是.

【答案】V5+1/1+V5

【分析】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，根据题意得出点”的移动轨迹，再根据圆外一点到圆上

一点最大距离进行计算即可.

【详解】解：如图，当点P在。。上移动时，4P的中点河的轨迹是以。/为直径的OO',

因此C。'交于点此时cw的值最大，

由题意得，OA=OB=OC=2,OO'=-OA=l=O'M,

2

在RtAO'OC中，0c=2,00=1,

•••O'C=A/22+12=45，

■■CM^CO'+O'M=4i+\，

故答案为：V5+1.

题型二求点到圆上点的距离的最值

☆技巧积累与运用

3点共线时最小值

例题：（23-24九年级上•辽宁抚顺•期末）如图，在RtZX/BC中，48_L3C,48=6,BC=4,。是zUBC内

部的一个动点，满足NDAB=NDBC,则线段CD长的最小值为（）

A.2B.IC.2V13-3D.2713-2

【答案】A

【分析】本题考查圆外一点到圆上一点距离的最值问题.根据40/3=乙08。，推出/^口=90。，得到点。

在以48为直径的圆上，取48的中点。，连接OC,OD,根据CONOC-OD,求出最小值即可.解题的

关键是确定点D的运动轨迹.

【详解】解：/C,

・•./ABC=90。,

；"ABD+/DBC=90。,

•・•/DAB=/DBC,

；"BAD+/DBC=90。，

・・・/4。5=90。，

点。在以为直径的圆上，

取A8的中点。，连接。C,。。，则：CD>OC-OD

AB=6,SC=4,

.-.OD=OB=-AB=3,

2

-OC=y]OB2+BC2=5，

：.CD>OC-OD=5-3=2,

・•.CD的最小值为2.

故选4.

巩固训练

1.（23-24九年级上广西防城港•期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点£0,0）,/（1-加,0）,

5。+加,0）（加>0）,点尸在以。（4,4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足乙4尸3=90。，则加的取值

范围是（）

A.3<m<5.5B.3<m<6C.4<m<6D.5<m<7

【答案】c

【分析】本题考查圆、最值问题、直角三角形性质等知识，首先证明==根据条件可知

PE=AE=BE=m,求出上到点£的最大距离与最小距离即可解决问题.解题的关键是发现

PA=AB=AC=a,求出点P到点/的最大距离即可解决问题.

【详解】解：E（l,0）,A1-»7,0）,5（l+m,0）（m>0）

AE=1-（1-加）=m,BE—m+l-l=m,

AE=BE=m,

•・•/APB=90°,

/.PE=AE=BE=m,

如图连接。£交。。于点尸”，延长切交。。于P,此时EP最大，EP”最小

ED=5,

，£P=5+1=6,E尸"=5-1=4,

,加的最大值为6,最小值为4,

:.4<m<6.

故选：C.

2.（23-24九年级上•重庆九龙坡•期末）如图，矩形48a）中，AB=242,〃。=4,点£是N3的中点，

点厂是直线2。上的一动点，将斯沿斯所在直线翻折，得到AB'EF,则B'C长的最小值是.

【答案】272

【分析】本题考考了翻折变换、矩形的性质以及勾股定理，利用作圆，找出"C取最小值时点夕的位置是

解题的关键.

如图，连接CE,根据折叠的性质可知8£=8宜，可知点夕在以E为圆心，BE为半径的圆上，当点夕在线

段CE上时，"C的长取最小值，在尺M8CE中利用勾股定理可求出CE的长度，用CE-2宜即可求出结论.

【详解】解：如图，连接CE,

AB=272，点£是48的中点，

.­.BE=g，

■：AD=BC=4,

:.CE=」BE2+BC?=372，

,将ABEF沿EF所在直线翻折，得到^B'EF,

BE=B'E,

.••点3,在以E为圆心，BE为半径的圆上，

当5,在线段CE上时，8'C最短，

8'C长的最小值是CE-3'E=2行.

故答案为：2夜.

题型三判断直线与圆的位置关系

☆技巧积累与运用

1.直线和圆的三种位置关系：

2.（1）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交.这时直线叫做圆的割线.

3.（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切.这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫

做切点.

4.（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离.

例题：（24-25九年级上•全国•期末）已知。。的直径为8cm,圆心。到直线/的距离为4cm,则直线/和。。

的位置关系是（）

A.相交B.相离C相切D.不能确定

【答案】C

【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，由。。的直径为8cm,得出圆的半径是4cm,圆心。到直线/的

距离为4cm,即d=4cm,得出d=r,即可得出直线/与。。的位置关系是相切.

【详解】解：的直径为8cm,

二半径r=4cm,

••・圆心。到直线1的距离为1=4cm,

：-d=r,

・••直线/与。。的位置关系是相切.

故选：C.

巩固训练

1.（24-25九年级上•江苏盐城•期中）已知。。的半径是一元二次方程--2》-3=0的一个根，圆心。到直

线/的距离d=2,则直线/与。。的位置关系是（）

A.相切B.相交C.相离D平行

【答案】B

【分析】本题主要考查解一元二次方程以及直线和圆的关系，熟练掌握直线和圆的关系是解题的关键.先

解一元二次方程，得到圆的半径，比较半径与圆心。到直线/的距离的大小，即可得到答案.

【详解】解：•』2x-3=0,

(x-3)(x+l)=0,

解得再=3,工2=T,

。。的半径是3,

3>2,

•••直线/与。。的位置关系是相交.

故选B.

2.(23-24九年级上•四川绵阳•期末)如图，两个同心圆，大圆的半径为5,小圆的半径为3,若大圆的弦N8

与小圆有公共点，则弦N8的取值范围是.

【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，根据已知条件和图形分析可得当N3是大圆直径时，的值最

大，从而可得的最大值；进一步分析可得当与小圆相切的时，最小，利用勾股定理可得N3的最

小值：若大圆的弦与小圆有公共点，即与小圆相切或相交，再结合上面分析即可解答，掌握直线和

圆的位置关系与。。的半径为〃和圆心。到直线/的距离为d之间的关系是解题的关键.

【详解】解：当是大圆直径时的值最大，最大值为10,

当AB与小圆相切时AB最小，

小圆的半径为3,大圆半径为5,

/8=2义,52-32=8,

•••大圆的弦与小圆有公共点，即相切或相交，

.'.8<JS<10.

故答案：8<^5<10,

题型四已知直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离

☆技巧积累与运用

由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点（圆

心）的位置关系.下面图（1）中直线与圆心的距离小于半径；图（2）中直线与圆心的距离等于半径；图（3）

中直线与圆心的距离大于半径.

如果。。的半径为心圆心。到直线••的距离为力那么

（1）静/和。8目交

（2）直线1和。0相切Od=r；

（3）直线用相离Od>r.

例题：（23-24九年级上•浙江宁波•期末）如图，在Rt448C中，ZC=90°,2c=4,BC=3,若OC与直

线相交，则。。半径r的值或取值范围为（）

A.0<r<2.4B.r=2.4C.r>2.4D.2.4<r<4

【答案】c

【分析】本题考查了勾股定理，圆与直线的位置关系；

过C作。1/3于。，利用勾股定理求出根据三角形的面积求出⑺，然后结合圆与直线的位置关系

得出答案.

【详解】解：过C作于D,

•••AB=yjAC2+BC2=5>

■.S.=-AB-CD=-AC-BC,

AAHRLr22

iACBC3x4r”

/.CD=----------=——=2.4,

AB5

•••OC与直线43相交，

.•.OC半径r的值或取值范围为r>2.4,

故选：C.

巩固训练

1.（22-23九年级下•浙江湖州•阶段练习）如图，已知。。的半径为6,点。到矩形某条边的距离为8,则

这条边可以是（）

C.BCD.CD

【答案】C

【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握直线与圆的位置关系：设圆的半径为心圆

心到直线的距离为乱若"<ro直线与圆相交；若1=厂=.直线与圆相切；若d>ro直线与圆相离.过

点作0EJ.28于E,作。尸_L8C于尸，作。GJ.C。于G,作于"，由图可知：AB.40与圆相

交,8c与圆相离，与圆相切，则。E<6,OF>6,OH<6,OG=6,即可求解.

【详解】解：过点作于E,作OFLBC于尸，作。GLCD于G,作。于H,

由图可知：AB、40与圆相交，BC与圆相离，CD与圆相切,

又「。。的半径为6,

0E<6,OF>6,OH<6,0G=6,

•••点。到矩形某条边的距离为8,且8>6,

.•.点。到矩形某条边的距离为8,这条边可以是8C,

故选：C.

2.（24-25九年级上•北京•期中）已知。。的半径是5,点A在。。上.尸是。。所在平面内一点，且

4P=2,过点尸作直线/,使UP4.

（1）点。到直线/距离的最大值为;

（2）若M,N是直线/与。。的公共点，则当线段的长度最大时，。尸的长为.

【答案】7标

【分析】本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理，

(1)如图1,当点尸在圆外且。，A,P三点共线时，点。到直线/距离的最大，可得结论;

(2)如图2,根据已知条件得到线段是。。的直径，根据勾股定理即可得到结论；

正确作出图形是解题的关键.

【详解】解：(1)如图1,

■：IVPA,的半径是5,AP=2,

••・当点P在圆外且。，A,尸三点共线时，点。到直线/距离的最大，

最大值为：AO+AP=5+2=7,

故答案为：7；

(2)如图2,

■-M,N是直线/与。。的公共点，线段的长度最大,

.•・线段"N是。。的直径，

-：l±PA,

ZAPO=90°,

AP=2,OA=5,

■OP=yJOA2-PA2=A/52-22=y/21，

・•.O尸的长为JH，

故答案为：后.

题型五证明某直线是圆的切线

☆技巧积累与运用

切线的判定定理：

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可.

例题：（23-24九年级上•吉林・期末）如图所示，已知48是。。的直径，。。过3C的中点。，且

DEJ.AC.

求证：DK是。。的切线.

【答案】证明见解析

【分析】本题考查了切线的判定，熟练掌握切线的判定是解题的关键.连接O。，只要证得/即0=90。,

即可得到。E是。。的切线.

【详解】证明：连接

,••点。、点。分别是48、的中点，

为△4BC的中位线，

OD//AC,

："EDO+NAED=18Q°,

■：DE1AC,

：.ZAED=90°,

：.NEDO=90°,

是。。的半径，

・•.DE是。。的切线.

巩固训练

1.（24-25九年级上•江苏盐城•期中）如图，△4BC中，N4CB=90°,BE平分/ABC交AC于点E,以点

£为圆心，EC为半径作交NC于点尸.

⑴求证：42与OE相切；

⑵若/8=15,BC=9,试求/月的长.

【答案】⑴证明见解析

⑵3

【分析】（1）过E点作EQL/B于。点，如图，先根据角平分线的性质得到EC=E。，然后根据切线的判

定方法得到结论；

（2）先利用勾股定理计算出NC=12,再证明口卜8山g1^8。£（印，得到8。=以=9,所以/。=6,设

。。的半径为，，在RtA“0E中利用勾股定理得到（12-r『=/+62,则可方程求出厂，然后计算NC-C尸

即可.

【详解】（1）证明：过E点作于。点，如图，

・；BE平分4BC交AC于点E,ZACB=90°,

EC=EQ,

与AB相切；

(2)解：ZACB=90°,48=15,BC=9,

AC=4AB2-BC2=12，

在RGBCE和RtZ\BQE中,

\BE=BE

\EQ=EC'

；.RtA8CEgRtA80E(HL),

BQ=CB=9,

:.AQ=AB—BQ=15-9=6,

设的半径为r,贝l|4E=12-r,EQ=r,

在Rt^/E。中，由勾股定理得/炉=£02+/。2,

.­.(12-r)2=r2+62,

解得"W9，

9

AF^AC-CF=U——x2=3.

2

【点睛】本题主要考查了切线的判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，角平分线的性质等等，解题

的关键是通过过圆心作直线的垂线，证切线，利用勾股定理列方程求解.

2.(24-25九年级上•全国•期末)已知2C是。。的直径，点。是2c延长线上一点，AB=AD,AE是。。

的弦，//EC=30。.

⑴求证：直线/O是。。的切线；

(2)若/E_L8C,垂足为M,。。的半径为10,求4E1的长.

【答案】⑴见解析

(2)AE=10^/3

【分析】本题主要考查了切线的判定、同弧所对的圆周角相等、等边对等角、圆周角定理、三角形内角和

定理、垂径定理、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，灵活运用知识点推理证明是解题的关

键.

(1)连接CM,根据同弧所对的圆周角相等得到由等边对等角得到/D=利用圆周角定理得到

ZAOC,利用三角形内角和定理，求得/。/。=90。，即可证明直线是。。的切线；

(2)根据垂径定理得到=根据含30度角的直角三角形的性质，得到=根据勾股定理

计算AM=J。/?_C初2,由/E=2NM,得出答案即可.

【详解】(1)证明：如图，连接。4,

•・•//£C=30。，

/.ZB=ZAEC=3009ZAOC=2ZAEC=60°,

,-AB=AD,

：.ZD=ZB=30°,

：.AOAD=1SO°-ZAOC-ZD=180°—60。—30。=90°,

••・ADLOA,

又「04是。。的半径，

直线40是。。的切线；

(2)解：如图，连接04,

•."C是。。的直径，AELBC,垂足为。。的半径为10,

AM=EM,//MO=90°,CM=10,

ZAEC=30°,

ZAOM=2NAEC=60°,

NOAM=180°-90°-60°=30°,

：.OM=-OA=-x\0=5,

22

AM=>]OA2-OM2=A/102-52=56，

AE=2AM=2x573=1073.

题型六切线的性质定理

☆技巧积累与运用

切线的性质定理：

圆的切线垂直于过切点的半径.

例题：（23-24九年级上•安徽安庆•期末）如图，。/是△ABC的内切圆。，E,尸为三个切点，若

NDEF=52°,则的度数为（）

/f\A

/I\.//\

\\\\///J\\

R^-................._\r

Ec

A.76°B.68°C.52°D.38°

【答案】A

【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，在圆的相关题型中，连接常用的辅助线是解题关键.根据切

线的性质可得出N〃X4=NZE4=90。，根据圆周角定理可得出ZD7F=2ND跖=104。，最后根据

NA=360°-AIDA-ZIFA-ZDIF求解即可.

【详解】解：如图，连接TO,IF.

•・・。/是ZUBC的内切圆。，E,R为三个切点,

ID1.AB,//_L/C,点£在。/上，

；.ZIDA=ZIFA=90°.

：5?=5?,

ZDIF=2ZDEF=104°,

N4=360°-ZIDA-ZIFA-ZDIF=76°.

故选：A.

巩固训练

1.（23-24九年级上•安徽合肥•期末）尸为。。的直径的延长线上一点，C为。。上一点，分别连接

CP、AC,PM平分/APC,交/C于则下列命题为假命题的是（）

A.若4C=PC,贝=B.若PC=PO,贝|/4CP=3/P4C

C.若OA=PB,则NP/C=30。D.若PC切于C点，则/PA/C=45。

【答案】C

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，切线的判定和性质.利用等腰三角形的性质

结合三角形的外角性质即可判断选项/、B、。正确；假设NP4C=30。成立，证明△O8C是等边三角形，

推出PC是。。的切线，与题设相矛盾，可判断选项C不正确.

【详解】解：连接。C,

•••夕赫平分//尸。，

:.设NCPM=4APM=a,

y7i—

若4c=PC,

・・.NCAP=/CPA=2a,

则/尸A/C=/C/P+/4m=3a=3/A/PC，选项4正确，不符合题意；

若PC=PO,又•.•CM=OC,

/.ZPCO=ZPOC=2NCAP=2ZACO,

/.ZACP=ZACO+ZPCO=3APAC,选项8正确，不符合题意；

若尸C切oo于。点，

/.OC1PC,即NOC尸=90。，

/.ZCOP=90°-ZAPC=90°-2a,

：OA=OC,

：.ZCAO=-/COP=45。-a,

2

ZCMP=ZCAO+ZAPM=45°-a+a=45°,选项。正确，不符合题意;

连接3C,假设NP4C=30。成立，

・•・45为。。的直径，

.-.ZACB=90°f

・・・/OBC=60。，

：OB=OC,

・・・△05C是等边三角形,

•.OB=BC,

•；OA=PB,

；.OB=PB=BC,

二点C在以0P为直径的圆8上，即/OCP=90。，

・•.PC切。。于C点，

而题设并没有PC是。。的切线这一条件，

••・假设NP/C=30。不成立，选项。不正确，符合题意.

故选：C.

2.（23-24九年级上•安徽合肥・期末）如图，尸是圆。的直径48上一点，与圆。相切于点连接

AM,/尸=30。，若PM=24i,则4W的长为.

【答案】26

【分析】本题考查切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定，解题的关键是掌握圆的切线垂直于经过

切点的半径；连接OM,根据切线性质得/OMP=90。，再根据直角三角形的锐角互余得=60。，根

据圆周角定理进而求得ZOAM=30°,然后根据等腰三角形的判定解答即可.

【详解】解：连接加，

与圆。相切于点

ZOMP=90°；

•••NP=30°,

ZPOM=60°；

ZOAM=-ZPOM=30°,

2

ZP=NOAM,

AM=PM■,

PM=2#),

.，-AM=243-,

故答案为：26.

题型七切线长定理

☆技巧积累与运用

1.切线长：

经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.

切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段.

2.切线长定理：

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.

例题：（24-25八年级上•江西景德镇•期中）如图，点P是。。外任意一点，PM、N分别是。。的切线,

M、N是切点.设O尸与。。交于点K.则点K是APMN的（）

C.内心D.夕卜心

【答案】C

【分析】本题考查了切线的性质，三角形内心的定义；连接。河、ON、MK、NK,证明点K是APMN的

角平分线交点，即可求解.

【详解】如解图，连接。“、ON、MK、NK,

PN分别是。。的切线,

•••OP是ZMPN和AMON的平分线,NOMP=90°.

ZOMK+ZPMK=90°.

OM=OK,

ZOKM=ZOMK=90°-ZPMK.

AMOK=180°-AOKM-AOMK=24PMK.

:.ZPMK=-ZMOK.

2

ZNMK=-ZNOK=-AMOK,

22

ZPMK=ZNMK.

又：OP是ZMPN的平分线，

是APAW的内心.

故选：C.

巩固训练

1.（24-25九年级上•辽宁大连•期中）如图，△4BC与它的内切圆。。分别相切于点。、E、F.若△ABC周长

为20,BC=6,则/。长为（）

【答案】D

【分析】本题考查切线长定理，根据切线长定理，可知：BD=BE,CE=CF,AD=AF,进而推出

AD+BE+CE=10,即：AD+BC^\0,求解即可.

【详解】解：•••△4BC与它的内切圆。。分别相切于点。、E、F,

BD=BE,CE=CF,AD=AF,

周长为20,

.■.BD+BE+CE+CF+AD+AF=20,

.-.2（AD+BE+CE）=20,

：.AD+BE+CE=\0,即：4D+BC=10,

..AD=10-BC=4；

故选D.

2.（22-23九年级下•山东青岛•期末）如图所示，线段N3是。。的一条直径，NCDB=20。,过点C作。。

的切线交48的延长线于点E,则NE等于.

【答案】50。/50度

【分析】连接OC,先利用切线的性质得NOCE=90。，再根据圆周角定理得/COE=2/32=2x20。=40。,

然后利用互余计算NE的度数.

【详解】解：连接。C,如图所示，

•.•CE为。。的切线，

OCLCE,

NOCE=90°,

ZCOE=2ZCDB=2x20。=40°,

=90°-40°=50°,

故答案为：50°.

【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，比连过切点的半径,

构造定理图，得出垂直关系，也考查了圆周角定理.

题型八切线的性质和判定的综合应用

☆技巧积累与运用

由切线的性质得条件或由切线的判定的结论

例题：（24-25九年级上•全国•期末）如图，△4BC的内切圆。。与3C,AC,N8分别相切于点。，E,

F,且NC=90。，NC=8,BC=6,则阴影部分（即四边形CEO。）的面积为（）

A.4B.6.25C.7.5D.9

【答案】A

【分析】本题考查了三角形的内切圆，根据切线的性质，判断出四边形C