高考总复习课程-高考数学尖子生拔高课程（文）课后练习第16讲排列组合-计数的问题

第16讲排列、组合计数的问题设an是集合{2t+2s|0≤s＜t，s，t∈Z}中的所有数从小到大排成的数列，即a1=3，a2=5，a3=6，a4=9，a5=10，a6=12，…，则a10=．如图①，如果A1、A2、A3、A4把圆周四等分，则以A1、A2、A3、A4为顶点的直角三角形有4个；如图②，如果A1、A2、A3、A4、A5、A6把圆周六等分，则以A1、A2、A3、A4、A5、A6为顶点的直角三角形有12个；如果A1、A2、A3、…、A2n把圆周2n等分，则以A1、A2、A3、…、A2n为顶点的直角三角形有个．若m，n均为非负整数，在做m+n的加法时各位均不进位（例如：134+3802=3936），则称（m，n）为“简单的”有序对，而m+n称为有序数对（m，n）的值，那么值为1942的“简单的”有序对的个数有多少个？对某些正整数n，数2n和5n在十进制表示下首位数字相同．那么所有这样的首位数字为________．把1，2，3，…，19分成几个组，每组至少1个数，使得有2个数以上的各组中任意2个数的最小公倍数不在同一组，则至少要分多少组？将1至1997的自然数，分成A、B、C三组：A组：1，6，7，12，13，18，19，…B组：2，5，8，11，14，17，20，…C组：3，4，9，10，15，16，21，…（1）B组中一共有多少个自然数？（2）A组中第600个数是多少？（3）1000是第几组里的第第几个数？

第16讲排列、组合计数的问题24．详解：用（t，s）表示2t+2s，则a1=（0，1）=20+21=3，a2=（0，2）=20+22=5，a3=（1，2）=21+22=6，a4=（0，3）=20+23=9，a5=（1，3）=21+23=10，a6=（2，3）=22+23=12，…，所以，a10=（3，4）=23+24=24；故答案为：24．2n（n1）．详解：由圆周角定理知，直径所对的圆周角是直角．∴当A1、A2、A3、A4把圆周四等分时，该圆中的直径有A1A3，A2A4两条，∴①当以A1A3为直径时，有两个直角三角形；②当以A2A4为直径时，有两个直角三角形；∴如果A1、A2、A3、A4把圆周四等分，则以A1、A2、A3、A4为顶点的直角三角形有（4÷2）×（42）=4个；当A1、A2、A3、A4、A5、A6把圆周六等分，则以A1、A2、A3、A4、A5、A6为顶点的直角三角形有（6÷2）×（62）=12个；当A1、A2、A3、…、A2n把圆周2n等分，则以A1、A2、A3、…、A2n为顶点的直角三角形有（2n÷2）×（2n2）=2n（n1）个．故答案是：2n300．详解：由题意知本题是一个分步计数原理，第一位取法两种为0，1

第二位有10种从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9

第三位有5种，0，1，2，3，4，第四位有3种，0，1，2

根据分步计数原理知共有2×10×5×3=300个．3．详解：a×10k＜2n＜(a+1)×10k，a×10l＜5n＜(a+1)×10将两式相乘，得a2×10k+l＜10n＜(a+1)2×10k+l…①，注意到a2大于等于1，而(a+1)2小于等于100，于是10k+l＜10n＜10k+l+2，故n=k+1+1，从而①式变为a2＜10＜(a+1)2，解得a=3．故答案为3．5．详解：①1不能和任何一个数一组，故1自立一组；②第二组可为：2，3，5，7，11，13，17，19；③第三组为：4，6，9，10，14，15，④第四组为：8，12，18，19；⑤第五组为：16；以上分组中的数在符合题意的基础上可以不固定，但是1、2、4、8、16需要各自一组，即至少分5组．（1）666；（2）1800；（3）334．详解：（1）B组的数据排列的特点是，从第二个数开始，每个数减去2都是3的倍数，（19972）÷3=665，所以这串数字最后一项是1997，所以这组数中自然数一共有：（19972）÷3+1=666（个）；（2）A组数据中数的排列特点是：第2、4、6、8、10…个数分别是6的1、2、3、4、5…倍，所以第600个数是6的300倍，即300×6=1800；（3）C组数的排