2025届河北省部分学校高三上学期1月期末质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省部分学校2025届高三上学期1月期末质量检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，解得，所以.故选：B.2.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设，则，所以，解得，可知；所以.故选：A.3.已知椭圆的离心率为，则（）A.3 B.2 C.1 D.0【答案】A【解析】椭圆的半焦距为，又离心率为，所以半长轴为2，所以，，故选：A.4.已知平面向量，，若在方向上的投影向量为，则（）A.2 B. C.0 D.1【答案】D【解析】由投影向量的几何意义，，所以.故选：D.5.已知，，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】依题意，，则，，所以.故选：B.6.若函数的极小值点为，则（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】，依题意，所以或，当时，，为极大值点，当时，，符合题意，故，故选：D.7.已知正项数列的前项积为，若，则（）A.4049 B.4048 C.2025 D.2024【答案】A【解析】依题意，当时，，所以，当时，，所以，所以，所以数列为公差为2，首项为3的等差数列，所以，.故选：A.8.从正十边形的各顶点中任选3个，则选中的3个点能构成直角三角形的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】从正十边形的个顶点中任选3个点，共有种选法，将正十边形看成一个圆的内接正十边形，则选中的3个点能构成直角三角形，即直角所对边为直径，则任选圆的一条直径共有种选法，直角顶点有种选法，所以选中的3个点能构成直角三角形的概率为.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.有一组样本数据，，，，其中，由这组数据得到新样本数据，，，，则（）A.两组样本数据的极差一定相等 B.两组样本数据的平均数一定相等C.两组样本数据的中位数可能相等 D.两组样本数据的方差可能相等【答案】BCD【解析】取原样本数据为，，，，则新样本数据为，，，，所以两组样本数据的极差不一定相等，中位数有可能相等，所以A选项错误，C选项正确；因为，所以两组样本数据的平均数一定相等，B选项正确；取原样本数据为，，，，则新样本数据为，，，，两组样本数据的方差可能相等，D选项正确.故选：BCD.10.已知函数，且，则（）A. B.是奇函数C.的图象关于对称 D.一定为的极小值点【答案】AC【解析】依题意，为的一个极值点，所以，所以，故A正确；由A可知，，所以为偶函数，故B错误；，所以为图象的一个对称中心，故C正确；因为的正负未知，所以无法判断是否为极小值点，故D错误，故选：AC.11.已知棱长为1的正方体，空间内的动点满足，其中，，，且到棱的距离和到平面的距离相等，则（）A.当时，的轨迹长度为B.当时，四面体的体积为定值C.存在点，使得D.直线与平面所成角的正弦值最大为【答案】ABD【解析】由题设知，点在正方体的内部或表面上.当时，点在平面内运动，所以其到平面的距离始终为1，到棱的距离也为1.又因为到棱的距离即为到的距离，所以的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，且在正方体内部或表面的部分，轨迹长度为，故A选项正确；当时，如图，，，，分别为，，，的中点，点在平面内，而对于三棱锥，若以为底面，则其体积，其中为到平面的距离.因为平面，平面平面，所以到平面的距离等于平面和平面的距离，为定值，所以三棱锥的体积为定值，故B选项正确；因为到棱的距离和到平面的距离相等，所以，，故C选项错误；因为是平面的一个法向量，所以与平面所成角的正弦值等于，由C知，而，所以原式.因为，所以原式，当，，时等号成立，故D选项正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知为第一象限角，若，则______.【答案】或【解析】依题意，为第一象限角，则，所以.故答案为：.13.若实数，满足，则的最小值为______.【答案】1【解析】因，则，由，当且仅当，时等号成立，即当，时，取得最小值2，又因单调增函数，故此时取得最小值为1.故答案为：1.14.已知双曲线的左，右焦点分别为，，是上位于第一象限的一点，，直线与圆交于，两点，若，则的离心率为______.【答案】【解析】设，，且，，设到直线的距离为，过作直线的垂线，易知，所，整理得，，因为，所以，，由余弦定理，，所以，的离心率为.故答案：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.记的内角，，的对边分别为，，，已知，.（1）求的面积；（2）设在边上，平分，若，求.解：（1）在中，由及余弦定理，得，而，则，由及正弦定理，得，则，所以的面积为.（2）设，则，在中，由正弦定理得，则，整理得，解得，所以.16.如图，在四棱锥中，底面是正方形，为等边三角形，平面平面，.（1）证明：平面平面；（2）设点为棱的中点，求二面角的余弦值.（1）证明：取的中点，为等边三角形，，平面平面，且平面平面，平面，平面，平面，，为正方形，，又，平面，平面.平面，平面平面.（2）解：取的中点，由（1）知平面平面，平面平面，平面，平面，如图，建立空间直角坐标系，有，，，，.，，，设平面的一个法向量为，则有令，得，.设平面的一个法向量为，则有令，得，，.，由图知二面角为锐角，即二面角余弦值为.17.设函数.（1）当时，求的单调区间；（2）当时，，求的取值范围.解：（1）当时，，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；（2），令，解得或，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，在处取得极大值，，当，即时，在处取得最大值，，解得，，当时，在或处取得最大值，解得，，的取值范围是.18.在直角坐标系中，已知动圆过定点，且截轴所得的弦长为2.（1）求动圆圆心的轨迹方程；（2），为曲线上的两个动点，过，中点且与轴平行的直线交曲线于点，曲线在点处的切线交轴于点.（i）证明：；（ii）若点在直线上，求面积的最大值.（1）解：设动圆圆心坐标为，动圆过定点，截轴所得弦长为2，，整理得，即动圆圆心的轨迹方程.（2）（i）证明：如图：不妨设，，，由题满足，两式作差得，，即，过点与轴平行的直线交曲线于点，，，即，，，即.（ii）解：在直线上，，为，中点，在曲线内部，，解得，由（i），点到直线的距离即为平行线和间距离，直线，即，直线，即，平行线和间距离为，，，，，令，，令，解得或，，，单调递增；，，.单调递减，最大值为，面积的最大值为.19.设为正整数，集合，集合为的一个非空子集，记，其中.（1）若，，求的取值的集合；（2）证明：的所有可能取值个数为；（3）是否存在，使得的所有可能取值从小到大排列成等差数列，若存在，求；若不存在，说明理由.（1）解：当时，或，，，，，的可能取值为，，，的取值集合为.（2）证明：设集合，，与中相同的元素不予考虑，其中，，假设，则，，，，即不存在两个不同的子集，，使得，的所有可能取值个数为的非空子集个数，为.（3）解：，，，为的所有可能取值中最小的三个，，解得；当时，易知为偶数，且最大值为，最小值为2，由（2）可知的所有可能取值个数为，区间中偶数个数恰为，的所有可能取值集合为，该集合中任何一项均能写成形式，进而可构成首项为2，公差为2的等差数列，存在，使得的所有可能取值从小到大排列成等差数列.河北省部分学校2025届高三上学期1月期末质量检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，解得，所以.故选：B.2.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设，则，所以，解得，可知；所以.故选：A.3.已知椭圆的离心率为，则（）A.3 B.2 C.1 D.0【答案】A【解析】椭圆的半焦距为，又离心率为，所以半长轴为2，所以，，故选：A.4.已知平面向量，，若在方向上的投影向量为，则（）A.2 B. C.0 D.1【答案】D【解析】由投影向量的几何意义，，所以.故选：D.5.已知，，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】依题意，，则，，所以.故选：B.6.若函数的极小值点为，则（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】，依题意，所以或，当时，，为极大值点，当时，，符合题意，故，故选：D.7.已知正项数列的前项积为，若，则（）A.4049 B.4048 C.2025 D.2024【答案】A【解析】依题意，当时，，所以，当时，，所以，所以，所以数列为公差为2，首项为3的等差数列，所以，.故选：A.8.从正十边形的各顶点中任选3个，则选中的3个点能构成直角三角形的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】从正十边形的个顶点中任选3个点，共有种选法，将正十边形看成一个圆的内接正十边形，则选中的3个点能构成直角三角形，即直角所对边为直径，则任选圆的一条直径共有种选法，直角顶点有种选法，所以选中的3个点能构成直角三角形的概率为.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.有一组样本数据，，，，其中，由这组数据得到新样本数据，，，，则（）A.两组样本数据的极差一定相等 B.两组样本数据的平均数一定相等C.两组样本数据的中位数可能相等 D.两组样本数据的方差可能相等【答案】BCD【解析】取原样本数据为，，，，则新样本数据为，，，，所以两组样本数据的极差不一定相等，中位数有可能相等，所以A选项错误，C选项正确；因为，所以两组样本数据的平均数一定相等，B选项正确；取原样本数据为，，，，则新样本数据为，，，，两组样本数据的方差可能相等，D选项正确.故选：BCD.10.已知函数，且，则（）A. B.是奇函数C.的图象关于对称 D.一定为的极小值点【答案】AC【解析】依题意，为的一个极值点，所以，所以，故A正确；由A可知，，所以为偶函数，故B错误；，所以为图象的一个对称中心，故C正确；因为的正负未知，所以无法判断是否为极小值点，故D错误，故选：AC.11.已知棱长为1的正方体，空间内的动点满足，其中，，，且到棱的距离和到平面的距离相等，则（）A.当时，的轨迹长度为B.当时，四面体的体积为定值C.存在点，使得D.直线与平面所成角的正弦值最大为【答案】ABD【解析】由题设知，点在正方体的内部或表面上.当时，点在平面内运动，所以其到平面的距离始终为1，到棱的距离也为1.又因为到棱的距离即为到的距离，所以的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，且在正方体内部或表面的部分，轨迹长度为，故A选项正确；当时，如图，，，，分别为，，，的中点，点在平面内，而对于三棱锥，若以为底面，则其体积，其中为到平面的距离.因为平面，平面平面，所以到平面的距离等于平面和平面的距离，为定值，所以三棱锥的体积为定值，故B选项正确；因为到棱的距离和到平面的距离相等，所以，，故C选项错误；因为是平面的一个法向量，所以与平面所成角的正弦值等于，由C知，而，所以原式.因为，所以原式，当，，时等号成立，故D选项正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知为第一象限角，若，则______.【答案】或【解析】依题意，为第一象限角，则，所以.故答案为：.13.若实数，满足，则的最小值为______.【答案】1【解析】因，则，由，当且仅当，时等号成立，即当，时，取得最小值2，又因单调增函数，故此时取得最小值为1.故答案为：1.14.已知双曲线的左，右焦点分别为，，是上位于第一象限的一点，，直线与圆交于，两点，若，则的离心率为______.【答案】【解析】设，，且，，设到直线的距离为，过作直线的垂线，易知，所，整理得，，因为，所以，，由余弦定理，，所以，的离心率为.故答案：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.记的内角，，的对边分别为，，，已知，.（1）求的面积；（2）设在边上，平分，若，求.解：（1）在中，由及余弦定理，得，而，则，由及正弦定理，得，则，所以的面积为.（2）设，则，在中，由正弦定理得，则，整理得，解得，所以.16.如图，在四棱锥中，底面是正方形，为等边三角形，平面平面，.（1）证明：平面平面；（2）设点为棱的中点，求二面角的余弦值.（1）证明：取的中点，为等边三角形，，平面平面，且平面平面，平面，平面，平面，，为正方形，，又，平面，平面.平面，平面平面.（2）解：取的中点，由（1）知平面平面，平面平面，平面，平面，如图，建立空间直角坐标系，有，，，，.，，，设平面的一个法向量为，则有令，得，.设平面的一个法向量为，则有令，得，，.，由图知二面角为锐角，即二面角余弦值为.17.设函数.（1）当时，求的单调区间；（2）当时，，求的取值范围.解：（1）当时，，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；（2），令，解得或，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，在处取得极大值，，当，即时，在处取得最大值，，解得，，当时，在或处取得最大值，解得，，的取值范围是.18.在直角坐标系中，已知动圆过定点，且截轴所得的弦长为2