2024-2025学年辽宁省朝阳市高一上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省朝阳市2024-2025学年高一上学期期末数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，，所以．故选：B．2.已知，则（）A.9 B.8 C.3 D.1【答案】B【解析】令，则.故选：B.3.某企业职工有高级职称的共有15人，现按职称用分层抽样的方法抽取30人，有高级职称的3人，则该企业职工人数为（）A.150 B.130 C.120 D.100【答案】A【解析】设该企业职工人数为，由分层抽样性质可得，解得，所以该企业职工人数为.故选：A.4.“且”是“且”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】由“且”，则“且”，故充分性满足；反之，若“且”，取，显然成立，但并不满足“且”，故不满足必要性.故选：A.5.如图，四边形中，为线段的中点，为线段上靠近的一个四等分点，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意，为线段的中点，则．故选：D．6.某班级从5名同学中挑出2名同学进行大扫除，若小王和小张在这5名同学之中，则小王和小张都没有被挑出的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】记另3名同学分别为a，b，c，所以基本事件为，，（a，小王），（a，小张），，（b，小王），（b，小张），（c，小王），（c，小张），（小王，小张），共10种．小王和小张都没有被挑出包括的基本事件为，，，共3种，综上，小王和小张都没有挑出的概率为．故选：B.7.著名数学家，物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若当空气温度为时，某物体的温度从下降到用时分钟，则再经过分钟后，该物体的温度为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题知，，，所以，可得，再经过分钟后，该物体的温度为，即该物体的温度为．故选：C．8.已知集合，若是的必要条件，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为是的必要条件，所以，所以成立.令，得在恒成立，所以，所以，，又，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列关于平面向量的说法错误的是（）A.若是共线的单位向量，则B.若，则C.若，则不是共线向量D.若，则一定存在实数，使得【答案】ACD【解析】是共线的单位向量，则或，A错误；向量相等，即大小相等，方向相同，B正确；若也有可能长度不等，但方向相同或相反，即共线，C错误；若，不一定存在实数，使得，如且时，命题不成立，D错误．故选：ACD．10.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】已知，，，取，所以，A选项错误；因为，，所以，所以，所以，所以，所以，B选项正确；因，所以，当且仅当取等号，C选项正确；，当且仅当取等号，D选项正确.故选：BCD.11.已知函数，则（）A.当时，为偶函数 B.既有最大值又有最小值C.在上单调递增 D.的图象恒过定点【答案】ACD【解析】当时，，定义域为，因为，所以为偶函数，A正确；因为，所以，则有最大值，没有最小值，B错误；因为在上单调递增，在上单调递减，又在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，C正确；当时，，所以的图象恒过定点，D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.请写出一个幂函数满足以下两个条件：①定义域为；②为减函数，则________.【答案】（答案不唯一）【解析】举例，其定义域为定义域为，且为减函数.13.某高一班级有40名学生，在一次物理考试中统计出平均分数为70，方差为95，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得70分却记为50分，乙实得60分却记为80分，则更正后的方差是________.【答案】85【解析】设更正前甲，乙，丙...的成绩依次为，则，即，所以，，即，所以.更正后的平均分，更正后的方差.14.已知函数，若关于的方程有四个不相等的实数根，则的取值范围是__________.【答案】【解析】易知，令，则满足条件需关于的方程在上有两个不相等的实数根，由，解得.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知甲、乙两人进行围棋挑战赛，先胜两局的一方赢得比赛，每局比赛不考虑平局，并且前一局先手的一方，下一局比赛将作为后手．在每一局比赛中若甲方先手，则该局甲获胜的概率为；若甲方后手，则该局甲获胜的概率为．（1）求双方需要进行第三局比赛的概率；（2）若第一局比赛乙先手，求甲赢得比赛的概率．解：（1）若双方需要进行第三局比赛，则前两局比赛中双方各胜一局，因为前两局比赛中，双方各先手一次，故双方需要进行第三局比赛的概率．（2）记第局甲获胜为事件，甲赢得比赛为事件，则包含的所有事件为，且这个事件之间两两互斥，由，，，得．16.已知函数.（1）若关于的不等式的解集为，求，的值；（2）当时，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.解：（1）由题意可知，，1是方程的两根，所以，，解得，或，.故，的值分别为，，或，.（2）当时，，若在上恒成立，即的图象与轴至多有一个交点，则，即，解得，故的取值范围是.17.对于居民生活用水，某市实行阶梯水价．具体来说，季度用水量在及以下的部分，收费标准为3元；季度用水量超过但不超过的部分，收费标准为4元；季度用水量超过的部分，收费标准为6元．（1）求某户居民用水费用（单位：元）关于季度用水量（单位：）的函数关系式；（2）为了了解居民用水情况，通过抽样获得了2024年第三季度本市1000户居民每户的季度用水量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这1000户居民中，季度用水费用超过200元的有400户，求直方图中的值以及季度用水量的第75百分位数．解：（1）当时，；当时，；当时，；所以与之间的函数关系式为.（2）由（1）知，当时，，即季度用水量超过的占，结合频率分布直方图知，解得．设第分位数为，因为季度用水量低于的所占比例为，低于的占，所以第分位数在内，故，解得，即季度用水量的第分位数为．18.已知函数.（1）若，求的值；（2）判断在上的单调性并利用定义法证明；（3）求在上的最大值.解：（1）因为，所以，即因为，所以．（2）在区间上单调递减，在区间上单调递增，证明如下：任取，且，则，因为，且，所以，当时，，所以，即，当时，，所以，即，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．（3）当时，由（2）知在上单调递减，所以；当时，由（2）知在上单调递减，在上单调递增，因为，所以若，则，若，则．综上，.19.现定义了一种新运算“”：对于任意实数，，都有（且）.（1）当时，计算；（2）证明：，，，都有；（3）设，若在区间（）上的值域为，求实数的取值范围.解：（1）当时，.（2）证明：因为，，所以.（3）由新运算可知，.令，则在上单调递减，由于在上的值域为，所以，则，所以在上单调递增，则，即，整理得，，所以，将代入，得，同理得，.所以，是函数在上的两个不同的零点，则，解得，所以，故实数的取值范围为.辽宁省朝阳市2024-2025学年高一上学期期末数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，，所以．故选：B．2.已知，则（）A.9 B.8 C.3 D.1【答案】B【解析】令，则.故选：B.3.某企业职工有高级职称的共有15人，现按职称用分层抽样的方法抽取30人，有高级职称的3人，则该企业职工人数为（）A.150 B.130 C.120 D.100【答案】A【解析】设该企业职工人数为，由分层抽样性质可得，解得，所以该企业职工人数为.故选：A.4.“且”是“且”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】由“且”，则“且”，故充分性满足；反之，若“且”，取，显然成立，但并不满足“且”，故不满足必要性.故选：A.5.如图，四边形中，为线段的中点，为线段上靠近的一个四等分点，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意，为线段的中点，则．故选：D．6.某班级从5名同学中挑出2名同学进行大扫除，若小王和小张在这5名同学之中，则小王和小张都没有被挑出的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】记另3名同学分别为a，b，c，所以基本事件为，，（a，小王），（a，小张），，（b，小王），（b，小张），（c，小王），（c，小张），（小王，小张），共10种．小王和小张都没有被挑出包括的基本事件为，，，共3种，综上，小王和小张都没有挑出的概率为．故选：B.7.著名数学家，物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若当空气温度为时，某物体的温度从下降到用时分钟，则再经过分钟后，该物体的温度为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题知，，，所以，可得，再经过分钟后，该物体的温度为，即该物体的温度为．故选：C．8.已知集合，若是的必要条件，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为是的必要条件，所以，所以成立.令，得在恒成立，所以，所以，，又，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列关于平面向量的说法错误的是（）A.若是共线的单位向量，则B.若，则C.若，则不是共线向量D.若，则一定存在实数，使得【答案】ACD【解析】是共线的单位向量，则或，A错误；向量相等，即大小相等，方向相同，B正确；若也有可能长度不等，但方向相同或相反，即共线，C错误；若，不一定存在实数，使得，如且时，命题不成立，D错误．故选：ACD．10.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】已知，，，取，所以，A选项错误；因为，，所以，所以，所以，所以，所以，B选项正确；因，所以，当且仅当取等号，C选项正确；，当且仅当取等号，D选项正确.故选：BCD.11.已知函数，则（）A.当时，为偶函数 B.既有最大值又有最小值C.在上单调递增 D.的图象恒过定点【答案】ACD【解析】当时，，定义域为，因为，所以为偶函数，A正确；因为，所以，则有最大值，没有最小值，B错误；因为在上单调递增，在上单调递减，又在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，C正确；当时，，所以的图象恒过定点，D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.请写出一个幂函数满足以下两个条件：①定义域为；②为减函数，则________.【答案】（答案不唯一）【解析】举例，其定义域为定义域为，且为减函数.13.某高一班级有40名学生，在一次物理考试中统计出平均分数为70，方差为95，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得70分却记为50分，乙实得60分却记为80分，则更正后的方差是________.【答案】85【解析】设更正前甲，乙，丙...的成绩依次为，则，即，所以，，即，所以.更正后的平均分，更正后的方差.14.已知函数，若关于的方程有四个不相等的实数根，则的取值范围是__________.【答案】【解析】易知，令，则满足条件需关于的方程在上有两个不相等的实数根，由，解得.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知甲、乙两人进行围棋挑战赛，先胜两局的一方赢得比赛，每局比赛不考虑平局，并且前一局先手的一方，下一局比赛将作为后手．在每一局比赛中若甲方先手，则该局甲获胜的概率为；若甲方后手，则该局甲获胜的概率为．（1）求双方需要进行第三局比赛的概率；（2）若第一局比赛乙先手，求甲赢得比赛的概率．解：（1）若双方需要进行第三局比赛，则前两局比赛中双方各胜一局，因为前两局比赛中，双方各先手一次，故双方需要进行第三局比赛的概率．（2）记第局甲获胜为事件，甲赢得比赛为事件，则包含的所有事件为，且这个事件之间两两互斥，由，，，得．16.已知函数.（1）若关于的不等式的解集为，求，的值；（2）当时，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.解：（1）由题意可知，，1是方程的两根，所以，，解得，或，.故，的值分别为，，或，.（2）当时，，若在上恒成立，即的图象与轴至多有一个交点，则，即，解得，故的取值范围是.17.对于居民生活用水，某市实行阶梯水价．具体来说，季度用水量在及以下的部分，收费标准为3元；季度用水量超过但不超过的部分，收费标准为4元；季度用水量超过的部分，收费标准为6元．（1）求某户居民用水费用（单位：元）关于季度用水量（单位：）的函数关系式；（2）为了了解居民用水情况，通过抽样获得了2