(完整)高考数学专题复习：三角函数

高考数学专题复习：三角函数备考要点：三角函数是中学数学的主体内容,是高考的重点,也是高考的热点,其考点主要包括:同角三角关系式及诱导公式,三角函数的图象和性质,三角函数的化简求值,三角形中的三角函数,三角函数的最值及综合应用。一般设计一道或两道客观题,一道解答题,约占总分的13%,即20分左右.多数是中、低档题.一、经典呈现主要题型剖析：题型一、三角函数的图象与性质此类题型在高考中主要考察三角公式中的和（差）角公式、倍角公式的应用，三角函数的单调性、周期性、对称轴、对称中心、最值、图象的变换也是常考的内容，考题一般属中低档题，熟记并灵活运用相关公式和性质是解决此题型的指导思想。例1、（2009年山东17）设函数SKIPIF1<0.求函数SKIPIF1<0的最大值和最小正周期.设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的三个内角，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为非钝角，求SKIPIF1<0分析：本题主要考察三角函数中两角和差公式、二倍角公式、三角函数的性质及三角形中的三角关系。解析：（1）SKIPIF1<0=SKIPIF1<0所以函数SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0,最小正周期SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=－SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0为非钝角,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.点评：本题要先运用三角恒等变换将其化一，即化为“一个角的一种三角函数”的形式，即形如SKIPIF1<0的形式.此类题型，也是高考三角函数解答题的常见题型例2．（2010年山东17）已知函数SKIPIF1<0其图象过点SKIPIF1<0.（Ⅰ）求SKIPIF1<0的值；（Ⅱ）将函数SKIPIF1<0的图象上各点的横坐标缩短到原来的SKIPIF1<0，纵坐标不变，得到函数SKIPIF1<0的图象，求函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值和最小值.分析：本题主要考查综合运用三角函数公式、三角函数的性质、三角函数的图象，进行运算、变形、转换和求解的能力.解析：把点SKIPIF1<0的坐标代入函数SKIPIF1<0的解析式，解方程即可求出SKIPIF1<0的值；先把SKIPIF1<0化为SKIPIF1<0的形式，然后根据图象变换知识求出函数SKIPIF1<0的解析式，即可求它在区间SKIPIF1<0上的最小值.解答过程如下：（Ⅰ）把点SKIPIF1<0的坐标代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（Ⅱ）依题意可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最小值是SKIPIF1<0，最大值是SKIPIF1<0.点评：本题中的函数SKIPIF1<0是一个关于SKIPIF1<0的齐次函数，研究这个函数的性质，要先运用三角恒等变换将其化一，即化为“一个角的一种三角函数”的形式，即形如SKIPIF1<0的形式.此类题型，也是高考三角函数解答题的常见题型.求解时，要借助函数图象.题型二：三角恒等变换与解三角形三角变换与解三角形这两个知识块往往是结合在一起出现在高考试题中的，一般是先进行三角变换，后解三角形，题型往往是解答题，难度中等。当然，也经常出现独立的考察三角变换和解三角形的试题。例3（2010年山东15）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则角SKIPIF1<0的大小为.【答案】SKIPIF1<0分析：本题主要考查三角恒等变换和解三角形知识.解析：对SKIPIF1<0进行三角恒等变换后，可以求出角SKIPIF1<0，根据已知条件，易知用正弦定理可求角SKIPIF1<0.解答过程如下：由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中，由正弦定理可得SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.点评：求角SKIPIF1<0时，还可以运用添加辅助角公式，但不如上述方法简捷.运用正弦定理求角SKIPIF1<0时，运用边长关系确定角SKIPIF1<0唯一是求解的关键.易错警示：本题的易错点是忽视边的大小，从而得出角SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.例4（2011年山东17）在SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，（Ⅰ）求SKIPIF1<0的值；（Ⅱ）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0。分析：应把题设中的边角关系式SKIPIF1<0通过正弦定理转换为角角关系式才可找到求三角代数式SKIPIF1<0的值的目的，由已知求SKIPIF1<0及SKIPIF1<0后可求SKIPIF1<0。解析：（Ⅰ）在SKIPIF1<0中，由SKIPIF1<0及正弦定理可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0。另解1：在SKIPIF1<0中，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0由余弦定理可得SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，由正弦定理可得SKIPIF1<0。另解2：利用教材习题结论解题，在SKIPIF1<0中有结论SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由正弦定理可得SKIPIF1<0。（Ⅱ）由SKIPIF1<0及SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0。点评：在解三角形的题型中，常遇到的是边角关系式，解决的手段就是把边角关系式转换为角与角的关系式，或转换为边与边的关系式。题型三：三角函数与其它知识的联系三角函数与集合、不等式、函数、方程、概率等知识相联系，解决问题时常用思想方法主要是数形结合、化归思想与分类讨论。例5（2009年山东11）在区间SKIPIF1<0上随机取一个数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值介于SKIPIF1<0到SKIPIF1<0之间的概率为().SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0.SKIPIF1<0w.w.w.k.s.5.u.c.o.m分析:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量x的取值范围,得到函数值SKIPIF1<0的范围,再由长度型几何概型求得.【解析】:在区间SKIPIF1<0上随机取一个数SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0时,要使SKIPIF1<0的值介于SKIPIF1<0到SKIPIF1<0之间,需使SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，区间长度为SKIPIF1<0，由几何概型知SKIPIF1<0的值介于SKIPIF1<0到SKIPIF1<0之间的概率为SKIPIF1<0.故选SKIPIF1<0.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m答案:SKIPIF1<0xySKIPIF1<0xyxyxySKIPIF1<0xySKIPIF1<0xyxyxySKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0OSKIPIF1<0SKIPIF1<0OSKIPIF1<0OSKIPIF1<0O【答案】SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0,所以令SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,此时原函数是增函数;令SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象，可得选SKIPIF1<0正确.考查函数的导数的性质，函数图象等，中档题。二．2012年命题方向：例1.将函数SKIPIF1<0图象上所有点的横坐标缩短到原来的SKIPIF1<0倍（纵坐标不变），再把所得图象向右平移SKIPIF1<0个单位后得到函数SKIPIF1<0的图象，则函数SKIPIF1<0的图象SKIPIF1<0.关于点SKIPIF1<0对称SKIPIF1<0.关于点SKIPIF1<0对称SKIPIF1<0.关于直线SKIPIF1<0对称SKIPIF1<0.关于直线SKIPIF1<0对称分析：主要考察三角函数图象的平移和伸缩变换，和图象的形状和位置特征，如对称中心是图象与SKIPIF1<0轴的交点，对称轴经过图象的最高或最低点。解析：伸缩、平移后得到SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0例2.已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值是SKIPIF1<0.-SKIPIF1<0SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0.-SKIPIF1<0SKIPIF1<0.SKIPIF1<0分析：本题围绕“角”做文章，寻找角与角的联系、特殊角与特殊角的转换、角的分解、角的合并等，在化简过程起着十分重要的作用。解析：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0例3．若SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0 （1）若SKIPIF1<0图象相邻两条对称轴间的距离不小于SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围． （2）若SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的解析式．分析：考察向量和三角的结合、三角函数式的恒等变形、SKIPIF1<0的图象和性质（值域、单调性、周期性）解析：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0例4.在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0.已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，(1)求角SKIPIF1<0的大小；（2）求SKIPIF1<0的面积.分析：三角变换与解三角形这两个只知识经常结合在一起，一般是先进行三角变换，本题正确的运用二倍角公式化简为含SKIPIF1<0角的方程，然后利用正弦定理、余弦定理解决。解析：（1）∵SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0整理，得SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）解：由余弦定理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0由条件SKIPIF1<0得SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0三、模拟演练1．在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的形状为 （）SKIPIF1<0．等腰三角形 SKIPIF1<0．等边三角形 SKIPIF1<0．等腰直角三角形SKIPIF1<0.直角三角形2．在锐角SKIPIF1<0中，“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”成立的 （） SKIPIF1<0．充分不必要条件 SKIPIF1<0．必要不充分条件 SKIPIF1<0．充要条件 SKIPIF1<0．既不充分也不必要条件3.已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小正周期和一个单调增区间分别为（）SKIPIF1<0.SKIPIF1<0 SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0.SKIPIF1<0 SKIPIF1<0.SKIPIF1<04.函数SKIPIF1<0的最小值和最大值分别为（）SKIPIF1<0.－3，1 SKIPIF1<0.－2，2 SKIPIF1<0.－3，SKIPIF1<0 SKIPIF1<0.－2，SKIPIF1<05.已知函数SKIPIF1<0的图象如图所示，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=()SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0.SKIPIF1<06．函数SKIPIF1<0的图象是（）7．在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所对的边分别是SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则角SKIPIF1<0的值为 ()SKIPIF1<0．SKIPIF1<0 SKIPIF1<0．SKIPIF1<0 SKIPIF1<0．SKIPIF1<0 SKIPIF1<0．SKIPIF1<08．已知函数SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0为实数，若SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，且SKIPIF1<0则SKIPIF1<0的单调递增区间是（）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<09.已知SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的三个内角SKIPIF1<0的对边，向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则角SKIPIF1<0．10.在海岛SKIPIF1<0上有一座海拔SKIPIF1<0千米的山，山顶上有一个观察站SKIPIF1<0，上午SKIPIF1<0时，测得一轮船在岛的北偏东SKIPIF1<0，俯角SKIPIF1<0的SKIPIF1<0处，到SKIPIF1<0时SKIPIF1<0分又测得该船在岛的北偏西SKIPIF1<0，俯角SKIPIF1<0的SKIPIF1<0处，则轮船航行速度是________千米/小时．11.已知SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值是________．12.已知SKIPIF1<0均为锐角，且SKIPIF1<0则SKIPIF1<0________.13.在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0______.14.已知SKIPIF1<0中角SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0若SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的最小值为．15.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0SKIPIF1<0（I）求SKIPIF1<0的值；（II）求SKIPIF1<0的值。16.已知函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的单调递增区间；SKIPIF1<0若SKIPIF1<0对一切SKIPIF1<0均成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围．17、设函数SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的最小正周期．（2）若函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图像关于直线SKIPIF1<0对称，求当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0的最大值．18.已知SKIPIF1<0的角SKIPIF1<0所对的边分别是SKIPIF1<0，设向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0为等腰三角形；SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，边长SKIPIF1<0，角SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积.19.已知：函数SKIPIF1<0的周期为SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0．（1）求函数SKIPIF1<0的表达式；（2）在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的值20.已知SKIPIF1<0的坐标分别为SKIPIF1<0.（Ⅰ）若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求角SKIPIF1<0的大小；（Ⅱ）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值。模拟演练答案：选择题答案：SKIPIF1<0填空题答案：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<015.解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0原式=SKIPIF1<016.解：SKIPIF1<0．SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．所以，SKIPIF1<0的递增区间为SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0对一切SKIPIF1<0均成立．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<017.解：（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0故的最小正周期为SKIPIF1<0（2）在SKIPIF