高考数学复习第八章立体几何第5讲直线平面垂直的判定与性质配套理

第5讲直线、平面垂直判定与性质1/35考纲要求考点分布考情风向标1.了解以下判定定理.◆假如一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.◆假如一个平面经过另一个平面垂线，那么这两个平面互相垂直.2.了解以下性质定理，并能够证实.◆垂直于同一个平面两条直线平行.◆假如两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线直线与另一个平面垂直.3.能利用公理、定理和已取得结论证实一些空间图形位置关系简单命题年新课标第18题(1)以四棱锥为背景，证实线线垂直；年新课标第19题(1)以三棱柱为背景，证实面面垂直；年纲领第11题考查线面所成角；年新课标Ⅱ第18题考查直线与平面位置关系；年新课标Ⅰ第19题(1)以三棱柱为背景，证实线线垂直；年新课标Ⅰ第19题(1)以三棱柱为背景，证实线线垂直；(2)考查线面位置判定定理、性质定理及求三棱柱高；年新课标Ⅰ第18题(1)以四棱锥为背景，证实面面垂直；年江苏第16题、天津第17题考查平行与垂直证实；年新课标Ⅰ第18题考查面面垂直及侧面积计算1.垂直是立体几何必考题目，且几乎每年都有一个解答题出现，所以是高考热点，是复习重点.纵观历年来高考题，立体几何中没有难度过大题，所以复习要抓好三基：基础知识，基本方法，基本能力.2.要重视和研究数学思想、数学方法.在本节中“化归”思想尤为主要，不论何种“垂直”都要化归到“线线垂直”，观察与分析几何体中线与线关系是解题突破口2/35项目图形条件结论判定a⊥b，b⊂α(b为α内任意直线)a⊥αa⊥m，a⊥n，m，n⊂α，m∩n＝Oa⊥αa∥b，a⊥αb⊥α1.直线与平面垂直3/35项目图形条件结论性质a⊥α，b⊂αa⊥ba⊥α，b⊥αa∥b(续表)4/352.平面与平面垂直5/353.直线与平面所成角(1)假如直线与平面平行或者在平面内，那么直线与平面所成角等于0°.(2)假如直线和平面垂直，那么直线与平面所成角等于90°.

(3)平面斜线与它在平面上射影所成锐角叫做这条斜线与平面所成角，其范围是(0°，90°).斜线与平面所成线面角是这条斜线和平面内经过斜足直线所成一切角中最小角.6/354.二面角

从一条直线出发两个半平面组成图象叫做二面角.从二面角棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱两条射线，这两条射线所成角叫做二面角平面角.平面角是直角二面角叫做直二面角.7/351.垂直于同一条直线两条直线一定()DA.平行C.异面B.相交D.以上都有可能2.(年新课标Ⅲ)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱)CCD中点，则( A.A1E⊥DC1

C.A1E⊥BC1

B.A1E⊥BDD.A1E⊥AC8/353.如图8-5-1，在正方体ABCD-A1B1C1D1

中，以下结论中正确个数是()D

图8-5-1①BD1⊥AC；②BD1⊥A1C1；③BD1⊥B1C.A.0个B.1个C.2个D.3个9/354.(年新课标Ⅱ)已知

m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，则()D

A.α∥β，且l∥α

B.α⊥β，且l⊥β

C.α与β相交，且交线垂直于l

D.α与β相交，且交线平行于l

解析：依据所给已知条件作图，如图D58.由图可知α与β相交，且交线平行于l.故选D.

图D5810/35考点1直线与平面垂直判定与性质

例1：(2014年山东)如图8-5-2，在四棱锥P-ABCD中，AP

PC中点.求证：

(1)AP∥平面BEF；

(2)BE⊥平面PAC.

图8-5-211/35证实：(1)如图D59， 图D59设AC∩BE＝O，连接OF，EC.因为E为AD中点，

∴AEBC.∴四边形ABCE为平行四边形.12/35又AE＝AB，则ABCE为菱形.∴O为AC中点.又F是PC中点，∴在△PAC中，PA∥OF.∵OF⊂平面BEF，且PA平面BEF，∴AP∥平面BEF.(2)由题意知，ED∥BC，ED＝BC，∴四边形BCDE为平行四边形.所以BE∥CD.又AP⊥平面PCD，13/35∴AP⊥CD.所以AP⊥BE.∵四边形ABCE为菱形，∴BE⊥AC.又AP∩AC＝A，AP，AC⊂平面PAC，∴BE⊥平面PAC.

【规律方法】直线与直线垂直⇒直线与平面垂直⇒平面与平面垂直⇒直线与平面垂直⇒直线与直线垂直，经过直线与平面位置关系不停转化来处理相关垂直问题.出现中点时，平行要联想到三角形中位线，垂直要联想到三角形高；出现圆周上点时，联想到直径所正确圆周角为直角.14/35【互动探究】1.已知直线PA垂直于以AB为直径圆所在平面，C为)圆上异于A，B任一点，则以下关系中不正确是(

图8-5-3A.PA⊥BCC.AC⊥PBB.BC⊥平面PAC

D.PC⊥BC15/35

解析：AB为直径，C为圆上异于A，B一点，所以AC⊥BC.因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC.因为PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.从而PC⊥BC.故选C.答案：C16/35考点2平面与平面垂直判定与性质

例2：(2017年新课标Ⅰ)如图

8-5-4，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°. (1)证实：平面PAB⊥平面PAD；

(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P-ABCD

图8-5-417/35(1)证实：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD.因为AB∥CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD.又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.(2)解：如图

D60，在平面PAD内作PE⊥AD，垂足为E，图D6018/3519/35【规律方法】垂直、平行关系证实中应用转化与化归思想常见类型.①证实线面、面面平行，需转化为证实线线平行.②证实线面垂直，需转化为证实线线垂直.③证实线线垂直，需转化为证实线面垂直.④证实面面垂直，需转化为证实线面垂直，进而转化为证明线线垂直.20/35【互动探究】2.如图8-5-5，在立体图形D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC中点，则以下结论正确是()

图8-5-5A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABD⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED.平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE21/35

解析：要判断两个平面垂直关系，就需找一个平面内一条直线与另一个平面垂直.因为AB＝CB，且E是AC中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又因为AC⊂平面ADC，所以平面ADC⊥平面BDE.故选C.答案：C22/35考点3线面所成角

例3：(2016年天津)如图8-5-6，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝2，BC＝EF＝1，AE＝，DE＝3，∠BAD＝60°，G为BC中点.

图8-5-6 (1)求证FG∥平面BED；

(2)求证平面BED⊥平面AED；

(3)求直线EF与平面BED所成角正弦值.23/35(1)证实：取

BD中点为O，连接OE，OG.在△BCD中，因为G是BC中点，又因为EF∥AB，AB∥DC，所以EF∥OG，且EF＝OG，即四边形OGFE是平行四边形.所以FG∥OE.又FG平面BED，OE⊂平面BED，所以FG∥平面BED.24/35(2)证实：在△ABD中，AD＝1，AB＝2，∠BAD＝60°，由余弦定理可得BD＝.进而可得∠ADB＝90°，即BD⊥AD.又因为平面AED⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，平面AED∩平面ABCD＝AD，所以BD⊥平面AED.又因为BD⊂平面BED，所以平面BED⊥平面AED.25/35

(3)解：因为

EF∥AB，所以直线EF与平面BED所成角即为直线AB与平面BED所成角.

过点A作AH⊥DE于点H，连接BH，又因为平面BED∩平面AED＝ED，由(2)知AH⊥平面BED.

所以直线AB与平面BED所成角即为∠ABH.

26/35

【规律方法】(1)证实线面平行，普通利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证实，而线线平行寻找与论证，往往结合平面几何知识，如本题结构一个平行四边形：取BD中点为O，可证四边形OGFE是平行四边形，从而得出FG∥OE.

(2)面面垂直证实，普通转化为证线面垂直，而线面垂直证实，往往需屡次利用线面垂直判定与性质定理，而线线垂直证实有时需要利用平面几何条件，如本题可由余弦定了解出∠ADB＝90°，即BD⊥AD.

(3)求线面角，关键作出射影，即面垂线，可利用面面垂直性质定理得到线面垂直，即面垂线：过点A作AH⊥DE于点H，则AH⊥平面BED，从而直线AB与平面BED所成角即为∠ABH.再结合三角形可求得正弦值.27/35【互动探究】

3.如图8-5-7，在三棱柱ABC-A1B1C1

中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C中心，则AD与平面BB1C1C所成角大小是________.图8-5-728/35

解析：如图D61，取BC中点E，连接AE，DE，则AE⊥平面BB1C1C.所以∠ADE为直线AD与平面BB1C1C所成角.

设三棱柱全部棱长为a，图D61答案：π329/35

4.(年安徽皖南八校联考)四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2正方形，其它四个侧面腰长为3等腰三角形，则二面角V-AB-C余弦值大小为()30/35

解析：如图D62，取AB中点E，过V作底面垂线，垂足为O，连接OE.

图D62答案：B31/35难点突破⊙立体几何中探究性问题二例题：已知四棱锥P-ABCD直观图及三视图如图8-5-8.(1)求四棱锥P-ABCD体积；(2)若点E是侧棱PC中点，求证PA∥平面BDE；(3)若点E是侧棱PC上动点，是否不论点E在什么位置，都有BD⊥AE？并证实你结论.图8-5-832/35思维点拨：(1)由直观图及三视图确定棱锥底面和高，再求体积.

(2