浙江省9+1联盟2023-2024学年高二下学期期中数学试题（含答案）

浙江省9+1联盟2023-2024学年高二下学期期中数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．在2x−1A．1120 B．160 C．−120 D．−1602．已知事件A,B，且P(A)=56，P(B)=23，A．45 B．25 C．133．已知可导函数f(x)满足f(2x)=x，则fA．14 B．12 C．24．已知等差数列an的前n项和为Sn,A．18 B．36 C．54 D．605．已知函数f(x)=x+4x+3A．0<a<13 B．0≤a<13 C．6．已知函数f(x)=|lnx|,x1、A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．2024年伊始，随着“广西砂糖桔”“马铃薯公主”等热梗的不断爆出，哈尔滨火爆出圈，成为旅游城市中的“顶流”．某班级六位同学也准备共赴一场冰雪之约，制定了“南方小土豆，勇闯哈尔滨”的出游计划，这六位同学准备在行程第一天在圣索菲亚教堂、冰雪大世界、中央大街三个景点中选择一个去游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，六位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数是（）A．132 B．144 C．150 D．1688．已知数列an的前n项和为Sn,a1A．218,5516 B．11964,二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知随机变量X,Y满足X∼B(4,p)，且P(X=0)=1681，且A．E(X)=23 B．E(Y)=−16 C．10．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（）A．2024行中从左往右第1012个数与第1014个数相等B．CC．记第10行的第i个数为ai，则D．记第n行的第i个数为ai，则11．有个等分为五个扇形的圆形幸运转盘，这五个扇形分别标有数字1，2，3，4，5，转动圆盘等其静止时，指针均指向扇形的内部，记录下对应的数字．持续这个过程，记前n次所得的数字之和是偶数的概率为PnA．P2=13C．Pn−13是等比数列三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知随机变量X服从正态分布N4,σ2，且P(4<X<6)=0.4，则13．将1，2，3，4，5，6这6个数填入图所示的格子中，要求每个数字都要填入，且每个格子只能填一个数，其中1与2相邻（有公共边的两格子称为相邻）的不同的填法有种（结果用数字作答）．14．已知实数a>0,b∈R，且函数f(a,b)=(a−2b)2+4lna−四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知函数f(x)=aex+(a−1)x+（1）当a=2时，求曲线y=f(x)在x=0处的切线方程；（2）若f(x)在区间(0,+∞16．已知正项等比数列an的前n项和为Sn，且（1）求数列an（2）若数列bn满足b1=1,3b117．小明参加一个抽纸牌游戏，规则如下：有九张质地完全相同的纸牌，其中有一张大王牌，其余四种花色为：红桃、黑桃、方块、梅花各2张．逐次从9张牌中不放回地随机抽取一张纸牌，每次抽牌后，都往牌堆中加入一张新的大王牌．（1）求小明在前两次抽牌中只抽到一张大王牌的情况下，第三次抽牌抽到红桃牌的概率．（2）抽牌过程中，若抽到大王牌，则宣告游戏结束：若累计抽到两张花色相同的纸牌，也宣告游戏结束；否则游戏继续．用X表示小明在游戏中一共抽到的纸牌数，求X的分布列．18．已知数列an，满足a1=2,（1）求数列an（2）求证：bn（3）设数列bn的前n项和为Sn，证明：19．药房里有若干味药．药剂师用这些药配成22副药方，每副药方中恰有5味药，从中任选的三味药都恰好只包含在某一副药方中．（1）药房中共有几味药？（2）药物分为烈性药和非烈性药，要求每副药方中至少有一味是烈性药．（i）假设药房中有7味烈性药，证明：全部药方中一定有一副药方至少含有4味烈性药；（ii）证明：全部药方中一定有一副药方至少含有4味烈性药．

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：2x−1x6令6−2r=0，解得r=3，则常数项为C6故答案为：D.【分析】根据二项式定理得到通项公式求常数项即可.2．【答案】B【解析】【解答】解：由条件概率公式知：P(AB)=P(A|B)⋅P(B)=1则PB|A故答案为：B.【分析】利用条件概率公式求PB|A3．【答案】A【解析】【解答】解：令t=2x，得x=t2，则ft=t2，故答案为：A.【分析】利用换元法先求函数解析式，再求导求值即可.4．【答案】D【解析】【解答】解：设等差数列an的公差为d，

由a1+a2+a即S12故答案为：D.【分析】设等差数列an的公差为d5．【答案】B【解析】【解答】解：易知函数f(x)=x+4x+3f'令f'x=0当0<x<1时，f'x<0，当x>1则fx在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，故fx因为函数fx在a,2−3a内有最小值，故0≤a<1<2−3a，解得0≤a<则a的取值范围是0,1故答案为：B.【分析】先求函数fx的定义域，再求导函数，利用导数判断函数的单调性，求出函数的极小值点，即最小值，从而得到关于a6．【答案】C【解析】【解答】解：由题意，不妨设0<x当fx1=fx2时，ln当0<x<1时，f(x)=−lnx，f'当x>1时，f(x)=lnx，f'则f'当f'x1f'x2所以“fx1=f故答案为：C.【分析】由题意，结合对数的运算性质，以及充分、必要条件的概念判断即可.7．【答案】C【解析】【解答】解：①若学生甲、乙选的景点没有其他人选，

则分组方式为2,2,2或2,1,3（其中2为甲、乙），当为2,2,2时，有C4当为2,1,3（其中2为甲、乙）时，有C4②若学生甲、乙选的景点有其他人选，

则分组方式为4,1,1或3,2,1（其中3为甲、乙与另一学生），当为4,1,1时，则有C4当为3,2,1（其中3为甲、乙与另一学生）时，则有C4综上可得：一共有18+24+36+72=150种不同的选法.故答案为：C.【分析】由题意，分学生甲、乙选的景点没有其他人选与有其他人选两大类，采用先分组、再分配的方法计算即可.8．【答案】A【解析】【解答】解：由a可得：n2易知数列n+1nan是常数列，当n=1时，2即an=nn+1，而令bn则bn+1−b当n>2时，bn+1−b而b1=2,b2=为了满足不等式λ2na此时有b2故答案为：A.【分析】由题意，根据数列的递推关系，构造出常数列，求通项，再分离参变量，利用数列的单调性研究不等式成立的条件即可.9．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：因为随机变量X满足X∼B(4,p)，且P(X=0)=1681，所以(1−p)4A、E(X)=4×1B、因为X+2Y=1，所以Y=−12X−C、D(X)=4×1D、Y=−12X−故答案为：BCD.【分析】利用二次分布的期望与方差的公式，以及期望与方差的运算性质逐项判断即可.10．【答案】A,C【解析】【解答】解：A、第2024行中数为(x+1)2024的展开式的二项式系数，

则从左往右第1012个数为C20241011，第1014个数为CB、由Cn−1m−1+Cn−1C、第n行的第i个数为ai=CD、第n行的第i个数为ai=C故答案为：AC.【分析】利用(x+1)2024的展开式的二项式系数计算即可判断A；利用性质Cn−1m−111．【答案】A,D【解析】【解答】解：A、由题意，每次旋转中，指针指向数字为偶数的概率为25，

指向数字为奇数的概率为3则P1=2则P2B、对于Pn+1=35−15故数列{Pn−12故Pn−1P7=12+C、PnP1−1则数列{PD、P2n由于P2n+2−P故答案为：AD.【分析】根据题意，由全概率公式分析可得Pn+1=P12．【答案】0.9【解析】【解答】解：易知μ=4，因为P(4<X<6)=0.4，所以P(X≥6)=0.5−0.4=0.1，

所以P(X≤2)=0.1，则P(X>2)=1−0.1=0.9.故答案为：0.9.【分析】根据正态分布的对称性求解即可.13．【答案】336【解析】【解答】解：1从第一排开始排，满足题意有如下情况：如右图，此时2所在位置2种，其他全排即可，有2A4如右图，此时2所在位置3种，其他全排即可，有3A4如右图，此时2所在位置2种，其他全排即可，有2A4同理，由图形对称性知道，1从第二排开始排，与前面第一排情况数一样.2(2A故答案为：336.【分析】根据排列组合以及分步乘法计数原理求解即可．14．【答案】5【解析】【解答】解：由题意得f(a,b)=(a−2b)设A(a,2lna)，B(2b,2b则点A在曲线y=2lnx上，点B在抛物线x2f(a,b)的几何意义为A，B两点间距离|AB|与点B到x轴的距离d之和，设抛物线x2=2y的焦点为F(0,1所以d=|BF|−1所以f(a,b)=|AB|+d=|AB|+|BF|−1问题转化为求曲线y=2lnx上的点到点F的距离的最小值，设曲线y=2lnx上的点A0(x0，则A0F与曲线在点A0处的切线垂直，即2ln作出函数y=lnx与函数y=−1由图象知，两函数图象只有一个交点(1,0)，所以方程lnx0=−14所以|AF|≥|A所以函数f(a,b)的最小值为5−1故答案为：5−1【分析】由题意可得f(a,b)的几何意义为A，B两点间距离|AB|与点B到x轴的距离d之和，其中点A在曲线y=2lnx上，点B在抛物线x215．【答案】（1）解：当a=2时，函数f(x)=2ef'(x)=2e则y=f(x)在x=0处的切线方程为y−3=2(x−0)，即2x−y+3=0；（2）解：由题意知f'x=a化简得a≥e−x在(0,+∞)恒成立，而1e【解析】【分析】（1）将a=2代入，求函数值，以及导函数，再根据点斜式求直线方程即可；（2）根据f'x=a（1）当a=2时，f(x)=2f'(x)=2y=f(x)在x=0处的切线方程为y−3=2(x−0)，即2x−y+3=0（2）由题意知f'x=a化简得a≥e−x在(0,+∞所以a≥116．【答案】（1）解：由2S3=2因为an是正项等比数列，所以a所以2q2−q−6=0，解得q=2由a4=a1q（2）解：由已知得33两式相减得n2即bn当n=1时，b1所以bn+b当n为偶数时，T=1当n为奇数时，T=1+1则Tn【解析】【分析】（1）由2S3=2a1+a2+（2）由已知得3b1+b2+8b2+b3+…+n2+2n（1）由2S3=2因为an是正项等比数列，所以a于是2q2−q−6=0，解得q=2又a4=a所以an（2）由已知得33两式相减得n2即bn当n=1时，b1所以bn+b当n为偶数时，T==1−1当n为奇数时，T=1+=3所以Tn17．【答案】（1）解：设事件A表示“前两次抽牌中只抽到一张大王牌”，设事件B表示“第三次抽到红桃牌”，

则P(A)=19×89（2）解：易知X的可能所有取值为：1，2，3，4，5，P(x=1)=1P(X=2)=8P(X=3)=8P(X=4)=8P(X=5)=8则X的分布列为：X12345P1880448128【解析】【分析】（1）由题意，先设事件，利用条件概率公式能求出小明在前两次抽牌中只抽到一张大王牌的情况下，第三次抽牌抽到红桃牌的概率即可；(2)易知X的可能所有取值为：1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，列分布列即可.（1）设事件A表示“前两次抽牌中只抽到一张大王牌”，设事件B表示“第三次抽到红桃牌”.则P(A)=P(AB)=29×（2）X的可能所有取值为：1，2，3，4，5．P(x=1)=1P(X=2)=8P(X=3)=8P(X=4)=8P(X=5)=8则X的分布列为：X12345P188044812818．【答案】（1）解：设an+1+k(n+1)+b=4a因为an+1=4a解得k=−1,b=−1，所以an+1因为a1=2，则a1所以an（2）证明：令x=1an，因为a要证bn只要证f(x)=x+sin因为f'(x)=1+cos则g'所以f'x在0,1所以f(x)=x+sin则fx所以f(x)=x+sin（3）证明：由（2）可知，bn所以b=2ln32另一方面bn所b=4n+1−1，则所以2ln【解析】【分析】（1）由题意，设an+1+k(n+1)+b=4a（2）由题可得，令x=1an（3）由（2）中的结论，结合数列的求和公式可证Sn>2ln（1）设an+1+k(n+1)+b=4a因为an+1=4a解得k=−1,b=−1，所以an+1因为a1=2，则a1所以an（2）证明：令x=1an，因为a要证bn只要证f(x)=x+sin因为f'(x)=1+cos则g'所以f'x在0,1所以f(x)=x+sin则fx所以f(x)=x+sin（3）由（2）可知，bn所以b=2ln32另一方面bn所b=4n+1−1，则所以219．【答案】（1）解：设共有n味药，一共可形成Cn3个“三药组”，另一方面，每个“三药组”恰