吉林省四平市2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（含答案）

吉林省四平市2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z=(1−i)(3+4i)（i是虚数单位），则z=A．−1+i B．7+i C．−1−i D．7−i2．下列几何体中，棱数最多的是（）A．五棱锥 B．三棱台 C．三棱柱 D．四棱锥3．已知向量|a|=1，|b|=2，它们的夹角为A．4 B．12 C．2 D．24．2022年10月16日中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开，为了纪念这一伟大历史事件，义乌商品市场接到一批正方体纪念品订单，该正方体的一个面印有党徽图案，相对面上印有“二十大”字样，正方体的展开图如图所示，则“二十大”字样应该在哪个面上（）A．② B．③ C．④ D．⑤5．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，赵爽在为《周髀算经》作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”．可类似地构造如图所示的图形，由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形，设DF=3FA，若AB=321A．9 B．23 C．3 D．6．已知圆锥的轴截面是一个面积为643A．128π B．643π C．192π 7．在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=3，∠A=πp3，CE=3A．−9 B．−3 C．3 D．68．在斜三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b=4，46asin2C=3(a2+A．215 B．415 C．15 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知复数z=6+4iA．z的虚部为5iB．z的实部为1C．在复平面内z对应的点在第一象限D．|z|=610．下列关于平面向量的说法中，错误的是（）A．λB．若a∥b，bC．(D．若a⋅c11．以直角边长为2的等腰直角三角形的一边所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周所得几何体的体积可以为（）A．42π B．83π C．12．已知O是△ABC所在平面内一点，则下列结论正确的是（）A．若(AB+ACB．若AB⋅BC<0C．若O是△ABC的垂心，AB⋅ACD．若AO=λ(AB|AB|三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图，四边形O'A'B'C'是梯形OABC的直观图，四边形O14．已知i为虚数单位，实数x满足x−1+(x2−5x−6)i≥0，则15．在一个底面直径为12cm，高为18cm的圆柱水杯中加入水后，水面高度为12cm，加入一个球型小钢珠后水面上升到了13cm，则球型小钢珠的半径为cm．16．已知向量a，b，c满足|a|=|b|=2，若对任意的实数x，都有|a四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17．一个圆台形花盆盆口直径为20cm，盆底直径为10cm，盆壁长（指圆台的母线长）13cm．（1）求这个圆台形花盆的体积；（2）现在为了美化花盆的外观，决定给花盆的侧面涂上一层油漆，每平方米需要花费10元，给这批1万个花盆全部涂上油漆，预计花费多少元？（第二问中π取3.14）18．已知m∈R，复数z=m（1）若z是纯虚数，求m的值；（2）若z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围．19．已知向量a=(4,−2)（1）若(a（2）若c=(6,m)，向量a20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为14（1）求角B的大小；（2）若a=32，c=6，BD是△ABC21．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且4cos（1）求sinB（2）已知cosA=1010，a=222．如图，扇形AOB所在圆的半径为3，它所对的圆心角为2π3，点M满足OM=1（1）若P为弧AB的中点，求OP与MN夹角的余弦值；（2）求PM⋅

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：由复数的四则运算可得：z=(1-i)(3+4i)=7+i，则有z=7-i.

故答案为：D.

2．【答案】A【解析】【解答】解：根据题意，因为五棱锥有10条棱，三棱台有9条棱，三棱柱有9条棱，四棱锥有8条棱，

所以这些几何体中棱数最多的是五棱锥.

故答案为：A.

【分析】逐项分析选项中多面体的棱数，比较即可求解.3．【答案】C【解析】【解答】解：因为向量|a|=1，|b|=2，且它们的夹角为23π，所以a→·b→=|a→4．【答案】B【解析】【解答】解：把正方体的展开图还原后，得到：②是正方体的下底面，①和⑤分别是正方体的后面和前面，党旗和③分别是正方体的左面和右面，④是正方体的上底面，所以“二十大”字样应该在③的面上.

故答案为：B.

【分析】把正方体的展开图还原成正方体，即可求出答案.5．【答案】A【解析】【解答】解：设AF=t，则根据题意可知BD=t,DF=3t,AD=4t，又∠ADB=120,AB=321

在△ADB中，由余弦定理可得：cos∠ADB=t2+16t2-1892×t×4t=-12，解得t=3，即6．【答案】C【解析】【解答】解：设该圆锥的底面半径为r，由于圆锥的轴截面是等边三角形，则该圆锥的高为3r，该圆锥母线长为2r，又由其轴截面的面积为643，则12×2r×3r=643，解得r=8或r=-8(舍去)，

所以该圆锥的表面积为π×7．【答案】C【解析】【解答】解：因为AE→=AD→+DE→=AD→+148．【答案】A【解析】【解答】解：因为46asin2C=3(a2+b2-c2)sinB，

所以86asinCcosC=6abcosCsinB，

又因为△ABC是斜三角形，所以cosC≠0，所以46sinC=3bsinB，

所以c=3b246=26，因为2OA→+OB→+OC→=0→，所以OB→+OC→=2AO9．【答案】B,C【解析】【解答】解：因为z=6+4i1+i2023=6+4i1+i4×505+3=6+4i1+i3=6+4i1-i=(6+4i)(1+i)10．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：对于A，λa→·b→=(λa→)·b→=a→·(λb→)，故A正确；

对于B，若b→=0→，则a→∥b→,b→11．【答案】B,D【解析】【解答】解：①当以直角边所在直线为旋转轴时，得到一个底面圆半径为2，高为2的圆锥，圆锥的体积为V=13×4π×2=83π；

②当以斜边所在直线为旋转轴时，得到两个同样的圆锥，圆锥底面是以2为半径的圆，高为2，旋转体的体积为V=2×(12．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：对于A，(AB→+AO→)·BC→=(AB→+AC→)·(AC→-AB→)=0，则AB→2=AC→2，则AB=AC，则△ABC为等腰三角形，故A正确；

对于B，AB→·BC→<0，则cos(π-B)<0，即cosB>0，即0<B<13．【答案】2【解析】【解答】解：因为四边形O'A'B'C'是等腰梯形，且O'A'=2B'C'=4，∠C'O'A'=45°，过点C'作C'F⊥O'A'于点F，则O'F=4-22=1,C'F=1，所以O'C'=12+12=2，画出梯形OABC，则14．【答案】6【解析】【解答】解：实数x满足x−1+(x2−5x−6)i≥0，则x-1≥0x2-5x-6=0，解得15．【答案】3【解析】【解答】解：球的体积与容器中的水上升的体积相等，设小钢珠的半径为Rcm，

则π·62·1=4316．【答案】4【解析】【解答】解：设a→=OA→,b→=-3OB→，又a→=b→=2,OA=2,OB=23，设x=13λ，又对任意的实数x，都有|a+13b|≤|a+xb|，对任意的实数λ，都有OA→-OB→≤OA→-λOB→，设OP→=λOB→，对任意的实数λ，都有OA→-OB→≤OA17．【答案】（1）根据题意可得圆台高为13∴这个圆台形花盆的体积为13×(π×10（2）根据（1）及题意可得一个圆台的侧面积为(10π+5π)×13=195π≈612.3（cm∴这批1万个花盆全部涂上油漆，预计花费为：612.【解析】【分析】(1)先求得圆台的高，再根据圆台的体积公式即可求解；

(2)根据圆台的侧面积公式，即可求解18．【答案】（1）因为z是纯虚数，所以m2−m−6=0m（2）在复平面内z对应的点为(m由题意可得m2−m−6<0,故m的取值范围是(−2,【解析】【分析】(1)根据纯虚数的定义，列方程组，解出即可求解；

(2)根据z在复平面内对应的点位于第二象限，结合复数的几何意义，列不等式组，解之即可求解.19．【答案】（1）因为a=(4,−2)所以a−3ka+2b所以(a即20k−30=0，解得k=（2）因为a=(4,−2)，b因为向量a−b与所以(a−b)⋅c所以18−4m>03m≠−4×6，解得m<92即m的取值范围是(−∞【解析】【分析】(1)先求出a→−3b→和ka→+2b→的坐标，再由(a−3b)⊥(ka+220．【答案】（1）因为S△ABC=1可得tanB=1，而B∈(0,（2）因为BD为三角形的中线，所以BD=12即BD=|【解析】【分析】(1)利用S△ABC=14(21．【答案】（1）因为4cos所以−4(cos即sinA则tanA所以sinBsinAsinC（2）由cosA=1010，A∈(0所以tanA=由（1）可知tanAtanC=4，则tan所以sinC=43在△ABC中，C∈(0,π)，所以解得sinC=在△ABC中，由正弦定理可得：asin则c=sin因为sinB=所以S△ABC【解析】【分析】(1)由4cosB=3sinAsinC结合两角和的余