浙江省普通高中强基联盟2022届高三下学期3月统测数学试题 附解析

2022年浙江省普通高中强基联盟统测高三年级数学试题一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【1题答案】【答案】C【解析】【分析】根据绝对值的意义解出集合M，根据指数函数的性质解出集合N，结合集合之间的关系即可得出结果.【详解】由，得M={y|y≤0}，由，得N={y|y＞0}，所以，所以故选：C．2.双曲线的离心率等于（）A. B. C.3 D.【2题答案】【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的方程，利用离心率的定义求解.【详解】由双曲线得，则，所以，故选：B3.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A. B. C. D.【3题答案】【答案】A【解析】【分析】利用三视图还原几何体，通过锥体体积公式进行计算即可【详解】由图可知还原后为三棱锥，高为2，底面为等腰三角形，故故选：A4.已知平面，，直线，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【4题答案】【答案】D【解析】【分析】利用线面平行垂直的判定定理及性质定理判断即可.【详解】由题，若，则m与平面，可以平行，相交或者m在平面内，故充分性不满足；若，则m可以平行，也可包含于，故必要性不满足.故选：D5.若，满足约束条件，则的最大值为（）A. B. C.4 D.5【5题答案】【答案】C【解析】【分析】由约束条件作出可行域,令，由直线经过点时，直线的斜率最小求解.【详解】由，满足约束条件，作出可行域如图所示：令，当直线经过点时，直线的斜率最小，此时，目标函数取得最大值，最大值为4，故选：C6.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【6题答案】【答案】B【解析】【分析】根据函数奇偶性及函数在时，函数值的正负，即可得到答案；【详解】，函数为偶函数，排除A,C，当时，，排除D，故选：B7.在中，为边上一点，，，，则的值为（）A. B. C. D.【7题答案】【答案】C【解析】【分析】由正弦定理求得，继而求出，再根据三角形外角定理，结合两角和的正弦公式，求得答案.【详解】如图示：在中，由正弦定理得：,故,而,故只能是锐角，故，所以，故选：C8.已知函数，若函数，恰有两个零点，则（）A. B.或 C. D.或【8题答案】【答案】D【解析】【分析】由题意可得当时，函数有一个零点，所以只要函数在有且仅有一个零点，转化为，，在上两函数有且仅有一个交点，而，即，所以两函数再不能有交点，然后分和讨论即可【详解】当时，，由，得或（舍去），所以函数在有一个零点，所以函数在有且仅有一个零点，即在有且仅有一个零点，设，，则，所以在上两函数有且仅有一个交点，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增，所以两函数图象只有一个交点，当时，由于，所以由图象可知，当两曲线在处有公共切线时，两曲线在上有唯一的交点，此时，则，解得综上，或故选：D9.有5个人去并排的5个不同场馆锻炼，假定每人可以选择去任意一个场馆，则恰有2个场馆无人选择，且这2个场馆不相邻的选择方式共有（）A.800种 B.900种 C.1200种 D.1500种【9题答案】【答案】B【解析】【分析】先将5个人分成三组（1，1，3或1，2，3两种形式），再将这三组人安排到三个不同的场馆，然后将2个空场馆插入3个有人的场馆即可.【详解】解：先将5个人分成三组（1，1，3或1，2，2两种形式），再将这三组人安排到三个不同的场馆，然后将2个空场馆插入3个有人的场馆即可，所以安排方式共有种.故选：B.10.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，为的中点.过作截面将此四棱锥分成上､下两部分，记上､下两部分的体积分别为，，则的最小值为（）A. B. C. D.【10题答案】【答案】A【解析】【分析】先判断为的重心，再利用重心得到，求出，进而得到，借助基本不等式求出最小值即可.【详解】过作平面的垂线，垂足为，连，设的交点为，在中过作直线交于两点，由相交直线确定平面，则四边形为过的截面.由计算可得，得为正三角形，，所以为的重心，设，由向量运算可得，又，可得，所以，由三点共线，得，即，易得到平面的距离为，到平面的距离为1，因为，所以，，得，，由，，得，当且仅当取等号，所以，即的最小值为.故选：A.【点睛】本题关键点在于由为的重心得到这一结论，再用表示出要求的体积，最后借助基本不等式得到最值.二､填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.已知为虚数单位，且，则的虚部是___________，___________.【11题答案】【答案】①.##-0.4②.【解析】【分析】利用复数四则运算，化简复数，再进行求模；【详解】，的虚部是，，故答案为：，12.已知随机变量的分布列如下：则当时，___________；当时，的最大值为___________.【12题答案】【答案】①.②.##【解析】【分析】当时，利用期望公式可求得值；求得关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质可求得的最大值.【详解】由期望公式可得，当时，.当时，，当且仅当时，等号成立，故的最大值为.故答案为：；.13.已知，为常数，若，则___________，___________.【13题答案】【答案】①②.【解析】【分析】第一空直接通过求解即可；第二空通过赋值法，先令，再令进行求解.【详解】，由，可得，；令，得，令，得，故.故答案为：；.14.若正项数列满足，且对任意的正整数，有，则___________，___________.【14题答案】【答案】①.6②.2024【解析】【分析】第一空按照条件直接计算即可，第二空按照条件递推得到，进而得到，只要求出即可.【详解】由可得，；①，②，①②两式相加得，即③，可得④，④-③得，，故，又，故.故答案为：6；2024.15.已知实数，满足，则的最小值为___________.【15题答案】【答案】##【解析】【分析】当时，可求得，当时，令，则由已知条件结合基本不等式可求出，再将化为，化简根据函数的单调性可求得结果【详解】当时，得，则当时，令，由，得，得，当且仅当时取等号，所以，所以，所以当时，取得最小值，综上，的最小值为，故答案为：16.椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于，两点，，，则椭圆的离心率为___________.【16题答案】【答案】【解析】【分析】设椭圆，设，运用椭圆的定义，可得，，即有，取的中点，连接，则，由勾股定理可得a,c的另一关系式，联立解得，，运用离心率公式计算即可得到答案．【详解】设椭圆，，，，如图示：设，则，由椭圆的定义可得，，即有，即，①取的中点，连接，则，由,则，由勾股定理可得，即为，②由①②解得，，则离心率，故答案为：17.已知向量，，满足，，，则的最大值是___________.【17题答案】【答案】##【解析】【分析】先构造出，利用题目条件求出，再借助中线定理求出，利用基本不等式求出的最大值，即可求解.【详解】设，，，∵，∴点是的重心，又∵，∴.∴是直角三角形，又∵，即，则，，，.在中，，两边同时平方得，又，可得，即，∴，，当且仅当时，取等号；∴.故答案为：.【点睛】本题关键点一在于利用条件构造出，进而求出，关键点二在于借助中线定理求出，进而利用基本不等式求解，中线定理的证明及应用注意积累掌握.三､解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.18.已知函数.（1）求的最小正周期和值域；（2）在锐角中，，求的值.【18~19题答案】【答案】（1）最小正周期，值域为（2）【解析】【分析】（1）利用降幂公式化简后，直接写出周期及值域即可；（2）先利用求出，然后借助和角正弦公式求解.【小问1详解】，则最小正周期，值域为.【小问2详解】由，得，因为为锐角，所以，所以，解得.故.19.如图，在矩形中，，是中点，沿直线将翻折成，.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【19~20题答案】【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先在中利用余弦定理求出，再由勾股定理的逆定理可得，而，由线面垂直的判定可得平面，从而可得，（2）方法一：设到平面的距离为，直线与平面所成角为，由求出，从而可求得，方法二：取的中点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，利用空间向量求解即可小问1详解】证明：由题可知，，由余弦定理得，∴，∴.∵，和是平面内两条相交直线，∴平面，∵平面，∴.【小问2详解】解：（方法一）设到平面的距离为，直线与平面所成角为.依题意可知，，∴，∴，的面积为.由（1）知，∴的面积为，由（1）知平面，根据，得，解得，∴.（方法二）取的中点，连接，因为，所以，因为，所以，因为，，所以平面，因为平面，所以平面平面，所以以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，∴，，.设平面的法向量，则，且，令，得平面的一个法向量.设直线与平面所成角为，则.20.正项递增数列的前项和为，.（1）求的通项公式；（2）若，，，数列的前项和为，证明：.【20~21题答案】【答案】（1）或（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先计算出，再通过退位相减计算的通项公式；（2）先求出，进而得到，借助进行放缩，最后裂项求和即可得证.【小问1详解】当时，，解得或.当时，，即，解得或，∴.当时，，即，解得.由，当时，，两式相减得，即，当时，，所以，即，∴或.【小问2详解】当时，，，则，.，则.∴.∴.21.过抛物线的焦点作直线交抛物线于A，两点，过点作直线交轴于点，交抛物线于点，且为的中点.（1）若为的重心，求点A的坐标；（2）当面积最小时，求点A的横坐标.【21~22题答案】【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设，，，，根据题意可得，，再根据为的重心，可得，从而可得出答案；（2），从而，设，利用导数即可求出答案.【小问1详解】解：，设，，，，由题意，，，∴，，∴，∴，∴，∴；【小问2详解】解：，∴恒过，，设，，设，则，当时，；当时，，所有函数在上递增，在上递减，∴当时，取最小值，此时.22.已知函数（且）.（1）讨论的单调性；（2）若恒成立，证明：方程有两根且.【22~23题答案】【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）对函数求导得，再