浙江省杭州市2022届高三下学期4月教学质量检测(二模)数学试题 附答案

2021学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测数学试题卷考生须知：1.本试卷分试题卷和答题卷两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效！3.考试结束，只需上交答题卡.选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.2.若复数中（i为虚数单位），则（）A. B. C.1 D.3.设，为两个不同的平面，则“的充要条件是（）A.内有无数条直线与平行 B.，垂直于同一平面C.，平行于同一条直线 D.内的任何直线都与平行4.某几何体的三视图（单位：）如图所示，其中弧为四分之一圆弧，则该几何体的体积（单位：）是（）A. B. C. D.5.设等差数列的前n项和为，若，则（）A.12 B.15 C.18 D.216.函数的图象可能是（）A. B. C. D.7.已知函数.若，则（）A. B. C. D.8.已知，若，则（）A. B. C. D.9.设椭圆的左、右焦点分别为，，过原点的直线l与椭圆C相交于M，N两点（点M在第一象限）.若，，则椭圆C的离心率e的最大值为（）A. B. C. D.10.在中，已知，，点M在线段上（不与端点重合），将沿直线翻折，使线段上存在一点N，满足平面.若恒成立，则实数的最大值为（）A.1 B. C.2 D.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.双曲线的离心率为______，渐近线方程为______.12.若实数x，y满足则有最______（填“大”或“小”）值为______.13.已知，则______，______.14.已知某小组7人中有4人未接种疫苗，3人接种了疫苗.从这7人中随机抽取3人，用X表示抽取的3人中未接种疫苗的人数，则随机变量X的数学期望为______；记“抽取的3人中，既有接种疫苗的人，也有未接种疫苗的人”为事件A，则______.15.在平面直角坐标系中，已知第一象限内的点A在直线上，，以为直径的圆C与直线l的另一个交点为D.若，则圆C的半径等于______.16.在中，，点D在边上，.若，则______.17.对于二元函数，表示先关于y求最大值，再关于x求最小值.已知平面内非零向量，，，满足：，，记（m，，且，），则______.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.（本题满分14分）已知函数.（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）求使成立的实数x的取值集合.19.（本题满分15分）在四棱锥中，为正三角形，四边形为等腰梯形，M为棱的中点，且，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.20.（本题满分15分）已知数列满足，.（Ⅰ）若且.（ⅰ）当成等差数列时，求k的值；（ⅱ）当且，时，求及的通项公式.（Ⅱ）若，，，.设是的前n项之和，求的最大值.21.（本题满分15分）如图，设抛物线的焦点为F，圆与y轴的正半轴的交点为A，为等边三角形.（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设抛物线C上的点处的切线与圆E交于M，N两点，问在圆E上是否存在点Q，使得直线，均为抛物线C的切线，若存在，求Q点坐标；若不存在，请说明理由.22.（本题满分15分）已知函数在时取到极大值.（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）记.设函数，若函数在上为增函数，求实数t的取值范围.2021学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测数学参考答案及评分标准一、选择题，每小题4分，满分40分.12345678910ABDBCCADDA8.，所以.10.若平面，则，则必在过点C作的垂面上.所以过点C作并延长交于N，则平面，则.在翻折的过程中，只要存在某一位置使得即满足平面，即.又因为恒成立，所以的最大值就是的最小值（取不到）.由图可知，当点M无限接近于点A时，接近垂直于N，此时，所以的最大值为1.二、填空题，多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分.11.； 12.小； 13.2；136 14.；15. 16. 17.217.如图，记，，，则条件表示在上的投影恰为在上的投影的两倍，即射线的斜率为.设，，，记，，则，，所以.先让m不变，n变化，即点D固定，点E变化，那么，其中.接着再让m变化，即点D变化，求的最小值.因为，当且仅当时取得等号.综上，.三、解答题：本大题共5小题，共74分.18.本题满分14分.（Ⅰ）因为，由，，解得，，所以的单调递增区间为，.………………（8分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，因为，得，所以，，所以，，x的取值集合为.………………（14分）19.本题满分15分.（Ⅰ）取中点为N，连结，，易知，且，所以四边形为平行四边形，所以，且平面，平面，所以平面.………………（6分）（Ⅱ）取中点Q，中点O，连结，，，.求得，，且.由题意知，且.所以平面，且由，知.建立如图空间直角坐标系，则，，，，.所以，，.设平面的法向量为，则，得，取.设直线和平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.………………（15分）20.本题满分15分.（Ⅰ）（ⅰ）因为成等差数列，所以，所以，所以.（Ⅱ）因为，所以，，所以，所以，因为，又由，所以是首项为，公比为2的等比数列，所以，所以.………………（10分）（Ⅱ）由，因为，可得对于任意恒成立，设，则，又由，所以，显然最大即最大.因为，又因为，所以，所以，所以，考虑函数的性质知，的最大值在端点处取得，取，得到，最大值在，时取得，所以的最大值为.………………（15分）21.本题满分15分.（Ⅰ）易知点，，所以抛物线.（Ⅱ）设，.过点M，N作抛物线C的两条切线（异于直线）交于点Q，并设切线，，过抛物线C上点的切线方程为，即，记，①设过点M的直线与抛物线C相切，代入抛物线方程，得，，即，所以，，由①可得，，所以，②，同理可得，，所以切线，，联立两式消去y可得，，③代入可得④，代入②得，联立与圆E可得，，所以，.分别代入③、④可得，，，即切线，的交点Q在圆E上，所以存在圆上一点，满足，均为抛物线C的切线.………………（15分）22.本题满分15分.（Ⅰ）因为，因为在时取得极大值，所以，即.解得，，所以，所以在上单调递增，在，单调递减.所以满足在时取到极大值，所以，.（Ⅱ）设，，则，.当时，恒成立.当时，，从而.在上恒成立，故在上单调递减.，，所以.又曲线在上连续.故由函数零点存在定理及其单调性知，存在唯一的，使得.当时，，当时，.所以，故由于函数为