2025年鲁教版（五四制）数学一轮复习训练：三角形与全等三角形

第四章三角形

第2节三角形与全等三角形

考点分析

考点1三角形的三边关系

课标要求导航：证明三角形的任意两边之和大于第三边.

例1已知实数a,b,c满足|a—2而|+VKK+（c—遍）2=0.若以a,b,c为

边长，能否构成三角形?若能，请求出该三角形的面积；若不能，请说明理由.

1.1在△ABC中，2B=8,BC=2,,AC的长为奇数，4aBC的周长为()

A.17B.19C.17或21D.17或19

1.2已知△2BC的三边长为a,b,c,且a,b,c都是整数.

(1)若a=2,5=5,且c为偶数.求AZBC的周长；

(2)化简:|a—Z?+c|一\b—c—CL\+|(z+Z?+c|.

考点2三角形的内角和定理及其推论

课标要求导航：探索并证明三角形的内角和定理.掌握它的推论：三角形的外角

等于与它不相邻的两个内角的和.

例2如图，分别过△ABC的顶点A,B作ADBE.^^CAD=25°,ZEBC=80°,

则上4CB的度数为（）

2.1如图，在四边形ABCD中,CD〃AB,AC，BC,若NB=50°,则NDCA等于（）

A.30°B.35°C.40°D.45°

2.2跨物理学科如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线

与一束经过光心0的光线相交于点P,点F为该凸透镜的焦点.若Nl=150°,

N3=50°,则N2的度数为（）

A.20°B.25°C,30°D.35°

考点3三角形中重要的线段

课标要求导航：①理解三角形及其中线、高线、角平分线等概念；②探索并证

明三角形的中位线定理.

例3如图，在Rt^ABC中，NC=30°,D,E分别为AC,BC的中点,DE=2,过点B作B

F〃AC,交DE的延长线于点F,则四边形ABFD的面积为.

4

例3图

3.1如图，在AABC中,D是BC边的中点,AE是NBAC的平分线,AELCE于点E,

连接DE.若AC=5,DE=1,则AB等于（）

A.7B.6.5C.6D.5.5

例4如图所示，在AABC中，已知点D,E,F分别为边BC,AD,CE的中点，且SAABC=

4加2,则S&DEF等于cm2.

考点4全等三角形的性质和判定

课标要求导航：①理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对

应角；②掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；③掌握基

本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；④掌握基本事实：三边分

别相等的两个三角形全等；⑤证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边

相等的两个三角形全等.

例5如图,C是AB的中点，且CD=BE,请添加一个条件，使得△

ACD^ACBE.A

5.1如图,已知AB=CD,点E,F在线段BD上,且AF=CE.

请从①BF=DE;②NBAF=NDCE;③AF=CF中.选择一个合适的选项作为已知条件,

使得AABF等4CDE.你添加的条件是：（只填写一个序号）.添加条

件后，请证明AE〃CF.

例6如图所示,AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE,Zl=25°,N2=30°,则N3=

BDC

6.1图6.2图

6.1如图,在4ABC中,AD±BC,CE±AB,垂足分别为D,E,AD与CE交于点F.已知

EF=EB=3,AE=4,贝UCF的长是（）

a,1B.1C.7-D.2

22

6.2如图，AABC^ACED,点A在CE边上，ZCAB+ZE=90°,ED与AB交于点F,

则下列结论不正确的是（）

A.DE=BCB.ZD=90°C.ZBFD+ZB=ZACDD.EF=FB

6.3如图，在aABC中,CP平分NACB,AP」CP于点P,若aABC的面积为6cm2,,

则阴影部分的面积为cm2.

6.4如图,在4ACB中，ZACB=90°,AC=BC,点C的坐标为（-2,0）,点A的坐标

为（-6,3）,则B点的坐标是.

【思路点拨】过A和B分别作ADL0C于D,BE，0C于E,利用已知条件可证明

△ADC^ACEB,再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标.

考点5全等三角形的综合应用

例7如图，点C在线段AB上,AD/7EB,AC=BE,AD=BC,CF平分NDCE.

⑴证明：^ADC也ABCE;

⑵若CF=3,DF=4,求4DCE的面积.P

ACB

E

7.1综合与实践【问题背景】

某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现：

①如图，在△ABC中，若2。回=CO,则有/B=/C;

②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得AB=A，即知AB

+BDAC+CD.若把①中的.BD=CD替换为AB+BD=AC+CD,还能推出

/B=ZC吗？

基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出/B=/C,,

并分别提供了不同的证明方法.

小军小民

证明：；AD，BC,

证明：分别延长DB,DC至E,F

AADB与4ADC均为直角三角形，

两点，使得

根据勾股定理，得……

【问题解决】

⑴完成①的证明；

⑵把②中小军、小民的证明过程补充完整.

备用图

达标训练

基础达标特训

1.如图，在4ABC中，NBAC=60°,NB=50°,AD〃BC,则N1的度数为（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

第1题图

2.如图，一把直尺、两个含30°的三角尺拼接在一起，则NACE的度数为（

A.120°B.90°C,60°D.30°

3.如图,AB〃CD,过点D作DELAC于点E.若ND=50°,则NA的度数为（）

A.130°B.140°C.150°D.160°

4.如图,AD〃BC,AB，AC,若Nl=35.8°，则NB的度数是（）

A.35°48'B.55°12'C.54°12'D.54°52'

5.如图，在4ABC中，点A的坐标为（0,1）,点B的坐标为（4,1）,点C的坐标为（3,

4）,点D在第一象限（不与点C重合），且4ABD与AABC全等，点D的坐标是

6.如图，AABC^ACDE,若ND=35°,ZACB=45°,则NDCE的度数为

7.在4ABC中，NA=60°,AC=4.若4ABC是锐角三角形，则边AB长的取值范围

是.

高分提能特训

8.如图，AABC内部有一点D,且ADAB,△DBC,4DCA的面积分别为5,4,3.若

△ABC的重心为G,则下列叙述何者正确？（）4

A.AGBC与4DBC的面积相同，且DG与BC平行/N

B.AGBC与4DBC的面积相同，且DG与BC不平行/\

BC

C.AGCA与4DCA的面积相同，且DG与AC平行

D.AGCA与4DCA的面积相同，且DG与AC不平行

9.新定义如图1,AABC^△A]B1O>£ZA=ZA1,AC=A1C1,BC=B1C1,ZC^ZCJ,®

们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”.如图2,在4ABC中,AB=AC,点D,E

在线段BC上，且BE=CD,则图中共有“伪全等三角形”（）

图1图2

A.1对B.2对C.3对D.4对

10.如图，在4ABC中，ZB=50°,ZC=30°,AD是高，以点A为圆心，AB长为半

径画弧，交AC于点E,再分别以B,E为圆心，大于|BE的长为半径画弧，两弧

在NBAC的内部交于点F,作射线AF,则NDAF=

11.在等边AABC三边上分别取点D,E,F,使得AD=BE=CF,连接三点得到ADEF,易

得4ADF咨ABED咨ACFE,设SAABC=1,则S^DEF=1—S^ADF.

如图①,当与=1时，SMEF=l—3x[=3

如图②，当某=[时。SWF=1—3X：=.

如图③,当条=；时,SADEF=l-3x^=^；

直接写出，当

12.如图,B,E,C,F是直线1上的四点,A&DE相交于点G,AB=DF,AC=DE,BC=EF.

⑴求证:4GEC是等腰三角形；

⑵连接AD,则AD与1的位置关系是

冲刺满分特训

13.综合与实践如图1,在AABC中,BD是NABC的平分线,BD的延长线交外角

ZCAM的平分线于点E.

【发现结论】

结论1:ZAEB=ZACB=.

结论2:当图1中NACB±90°时，如图2所示，延长BC交AE于点F,过点E作A

F的重线交BF于点G,交AC的延长线于点H.则AE与EG的数量关系是

【应用结论】

(1)求证:AH=GF;

(2)在图2中连接PH,AG,延长AG交FH于点N,补全图形,求证:FN=NH+也AE

图1az

参考答案

考点分析

2

【例1】解：：a,b,c满足||a—2花|+VF=(c—通)=0,

a—2V5=0,b—5=0,c—V5=0,a=2V5,b—5,c—V5.

2V5+V5=3而5,.•.能构成三角形.

•­•a—2V5,b—5,c—V5,a2—20,b2—25,c2=5.

'.•20+5=25,・•.此三角形是直角三角形，

三角形的面积=|ac=|x2V5xV5=5.

1.1:D

(1)Va=2,b=5,/.5-2<c<5+2,/.3<c<7.

'.飞为偶数，.言=4或6.

当c=4时，AABC的周长=a+b+c=2+5+4=ll;

当c=6时，AABC的周长=a+b+.c=2+5+6=13.

综上所述,AABC的周长为11或13.

(2),.,△ABC的边长为a,b,c,/.a+c>b,|a-b+c|-1b-c-a|+1a+b+cl=a+c-b-(a

+c-b)+a+b+c=a+c-b-a-c+b+a+b+c=a+b+c.

【例2】B2.1:C2.2:A

【例3】8g3.1:A

【例4】j解析：•・•点D,E,F分别为边BC,AD,CE的中点，・・・AD,CE,DF分别是AA

2

BC,AACD,ACDE的中线，*e*S>ADC=^^ABC=2(c7n),S^CED=3s>ADC=1

i17

(源)7,.••S&DEF=%SACDE=£(*).

【例5】AD=CE(答案不唯一)

5.1:解:①(或②).

若选择①BF=DE.

AB=CD,

证明：在4ABF和ACDE中，ZF=CE,/.AABF^ACDECSSS),/.ZB=ZD.

,BF=DE,

；BF=DE,BF+EF=DE+EF,即BE=DF.

,AB=CD,

在AABE和ACDF中，=ZD,：.AABE^ACDF(SAS),

,BE=DF,

，NAEB=NCFD,，AE〃CF.

若选择②NBAF=NDCE.

AB=CD,

证明：在AABF和ACDE中，NB2F=NDCE,/.AABF^ACDE(SAS),

AF=CE,

：.ZB=ZD,DE=BF.

同理可证△ABEg^CDF(SAS),...NAEB=NCFD,，AE〃CF.

【例6】55°6.1:B6,2:D

6.3:3解析:延长AP交BC于D,

BDC

：CP平分NACB,...ZACP=BZDCP.

AP±CP,/.ZAPC=ZDPC=90°.

(^ACP=ZDCP,

在AACP与ADCP中，CP=CP,.-.ACP^ADCP(ASA),/.AP=DP,

(ZAPC=/DPC,

SAABP=~SAABD,SAACP=3sAACD,•阴影部分的面积=5s-BC=£x6=3.

6.4:(1,4)解析:过点A和点B分别作ADL0C于D,BE，0C于E.

VZACB=90°,/.ZACD+ZCAD=90°,ZACD+ZBCE=90°,/.ZCAD=ZBCE.

(^ADC=/CEB=90°,

在ZXADC和ACEB中/CAD=/BCE,.：.AADC^ACEB(AAS),

(AC=BC,

：.DC=BE,AD=CE.

:点C的坐标为(-2,0),点A的坐标为(-6,3),.,.00=2,AD=CE=3,0D=6,

/.CD=0D-0C=4,0E=CE-0C=3-2=1,ABE=4,D.B点的坐标是(1,4。

【例7】解：(1)证明：：AD〃BE,.••NAu/B.

,AC=BE,

在AACD和aBEC中，\ZA=ZB,：.AACD^ABEC(SAS).

,AD=BC,

(2)由⑴知AADC/ABCE,.，.DC=CE.

又：CF平分NDCE,，CF，DE,DF=EF,CF垂直平分DE.

VCF=3,DF=4....DE=2DF=8,.•・S^DCE==等=12,BPADCE的面积是12.

7.1:解：⑴证明：.•.NADB=NADC=90°.

AD=AD,

在4ADB和4ADC中，.\^ADB=ZADC.：.AADB^AADC(SAS),

BD=CD,

：.ZB=ZC.

⑵小军的证明过程：

分别延长DB,DC至E.F两点，使得BE=BA,CF=CA,如图所示.

,.,AB+BD=AC+CD,BE+BD=CF+CD,.*.DE=DF.

VADXBC,ZADE=ZADF=90°.

AD=AD,

在4ADE和4ADF中，/ADE=^4DF,.*.AADE^AADF(SAS),.*.ZE=ZF.

,DE=DF,

VBE=BA,CF=CA,AZE=ZBAE,ZF=ZCAF.

ZABC=ZE+ZBAE,ZACB=ZF+ZCAF,ZABC=ZACB.

小民的证明过程：

VADXBC,AAADB与aADC均为直角三角形.

根据勾股定理，得AD2+BD2=AB2,AD2+CD2=AC2,

：.AB2-BD2=AC2-CD2,AB2+CD2=AC2+BD2.

•••AB+BDAC+CD,：.AB-CDAC-BD,：.(AB-CD)2=(AC-BD)2,

AB2-2AB-CD+CD2=AC2-2AC-BD+BD2,

：.AB-CDAC-BD,；.—=—.

ACCD

又•:NADB=^ADC=90°,.-.AADBADC,NB=NC.

达标训练

1.C2.C3.B4.C5.(1,4)6.100°

7.2<8解析：已知AABC中，NA=60°,AC=4.如图，

当CBiLAB1时，此时AB最短，ABr==2;当Bf±AC时，此时AB最长，A

B2=2AC=8.所以边AB长的取值范围是2<AB<8.

8.A解析：AABC内部有一点D,且aDAB,ADBC,ADCA的面积分别为5,4,3,

.".SAABC=5+4+3=12.VAABC的重心为G,ASAGBC=|sAj4BC=-x12=4

，:,SAGBC=SADBC=4,/.点D,G到BC的距离相等,且位于BC的同侧，，DG〃B

C,故结论A正确,结论B,C,D错误.

9.D解析：,.，AB=AC,，NB=ZC.