2025年沪科版八年级数学寒假复习：三角形中的几何模型

专题07三角形中的几何模型

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考点聚焦

提升专练---------------------------------------

，题型归纳

【考点01"8”字模型】

1.(24-25八年级上•江西赣州•期中)平面上A、B、C、D、E、F六点,构成如图所示的图形，则

NA+N5+NC+ND+NE+ZF度数是()

1

F

2.（24-25八年级上•安徽淮南•期中）如图所示，ZDBE=75°,试求NA+/C+/D+/E=

3.（24-25八年级上•天津河北•期中）如图，已知一8。尸=120。，贝UNA+/3+/C+NO+NE+N尸的度数为

度.

4.（24-25八年级上•陕西宝鸡•期中）如图，把五角星ABCDE的顶点B移动到边AC上.求:

NA+/DBE+NC+NO+NE的度数.

A

【考点02飞镖模型】

1.（24-25八年级上•湖北恩施・期中）如图，Nl+N2=40。，ZD=U0。，则2A的大小是（）

2

A

A.70°B.40°D.50°

2.（24-25八年级上•四川广安•期中）如图，在VABC中，AD平分尸为AD延长线上一点，PELBC

于点E.已知NACB=80°,NB=24°,求一尸的度数.

3.（24-25八年级上•吉林•期中）如图，已知NA=75。，ZB=25°,ZC=35°,求N1的度数.

4.（24-25八年级上•全国•期中）如图①，凹四边形ABOC形似圆规，这样的四边形称为“规形”.

①②

（1）如图①，在规形中，若NA=80。，ZBDC=130°,ZC=30°,求4的度数;

（2）如图②，在规形中，NBAC和/BDC的角平分线AE,DE交于点E,且NB>NC,试探究

NB,ZC,NE之间的数量关系，并说明理由.

【考点03风筝模型】

1.（24-25八年级上•河北保定•期中）如图，两面镜子A3和AC的夹角N3AC=50。，当光线经过镜子后反射,

Z1=Z2,N3=24,则入射光线与第三条反射光线的夹角口的度数为（）

3

，B

1

a

2

34

AC

A.50°B.60°C.70°D.80°

2.（24-25八年级上.广东惠州•期中）如图，把VABC的-4往内部折叠，若NA=70。，则N1+N2的度数为

)

A.120°B.140°C.135°D.150°

3.（24-25八年级上•湖北武汉•期中）如图①，②，ZA=«,Z1=Z2,-3=/4,则NM+NP的度数为.

图①图②

4.（24-25八年级上•新疆乌鲁木齐•期中）如图1,BE平分/ABC,CE平分/DCS,且,CD//BE.

（图2）

⑴求证：Z1=Z2.

（2）如图2,延长AB,DC交于点E求/尸的度数.

【考点04双内角平分线模型】

1.（22-23八年级上•安徽亳州・期中）如图，在VA3C中，BO,CO分别是/ABC,NACB的平分线，ZA=50°,

4

则—3OC的度数为（）.

A

/°\

A.115°B.120°C.125°D.130°

2.（24-25八年级上•山西阳泉•期中）如图，在VABC中，Z1=Z2,N3=N4,ZA=60。，则Nb=.

A

3.（23-24七年级下•河南南阳•期末）【概念认识】

如图①，在/ABC中，若ZABD=NDBE=NEBC,则BO,BE叫做/ABC的“三分线”其中，3。是“邻A3

三分线”，BE“邻BC三分线”.

【问题解决】

（1）如图①，ZABC=60°,BD,BE是/ABC的“三分线”，则NABE=_°；

（2）如图②，在VA3C中，ZA=60°,ZB=45°,若的“邻8C三分线"8。交AC于点O,则ZfiDC=

。.

（3）如图③，在VABC中，BP、CP分别是NABC“邻AB三分线”和NZCB“邻AC三分线”，S.BP±CP,

求/A的度数.

4.（24-25八年级上•福建福州•期中）新定义：在VA3C中，若存在最大内角是最小内角度数的〃倍（"为大

于1的正整数），则VABC称为“"倍角三角形”.例如，在VABC中，若NA=90。，ZB=60°,则/C=30。，

因为一A最大，NC最小，且NA=3/C,所以VABC为“3倍角三角形”.

5

B

⑴在ADEF中，若/D=20。，NE=60。，则NF=,QEF为“倍角三角形”.

（2）如图，在VABC中，ZC=44°,ZBAC,—ABC的角平分线相交于点。.

①求4DB的度数.

②若△"£＞为"4倍角三角形”，请求出的度数.

【考点05一内角一外角双角平分线模型】

1.（23-24八年级上.福建厦门•期中）如图，已知VABC的内角NA=a,分别作内角/ABC与外角Z4CD的

平分线，两条平分线交于点4,得A;乙4田。和4C。的平分线交于点4,得/4；…以此类推得到4%",

则乙/16的度数是.

2.（21-22七年级下•福建福州•期末）在VABC中，,ABC,—ACB的平分线交于点O,N7LC3外角平分线

所在的直线NABC的平分线相交于点。，与NABC的外角平分线相交于点E,则下列结论一定正确的

是.（填写所有正确结论的序号）

11

®ZBOC=90°+-ZA；®ZD=-ZA；®ZE=ZA；®ZE+ZDCF=90°+ZABD.

22

2.（24-25八年级上•安徽合肥•期中）如图1,/MON=90。，点A、8分别在OM、ON上运动（不与点O

重合）.

6

图1图2

(1)若BC是/ABN的平分线，BC的反方向延长线与/BAO的平分线交于点。.

①若440=60。，则NO=°；

②猜想：”的度数是否随A,B的移动发生变化？并说明理由.

33

(2)如图2,若NOAO=—NOAB,NNBC=—NNBA,求/。的度数.

44

3.(24-25八年级上•安徽滁州•期中)已知VABC中，

⑵如图2,/3CE是VABC的外角，NBCE、ZB4c的平分线交于点。，求—8与"的数量关系；

⑶如图3,NBCE、NHAC是VABC的外角，/BCE的平分线所在的直线与NHAC、NBAC的平分线分别

交于点F、D.在△MR中，如果NF=3",求/8的度数.

【考点06一线三等角模型】

1.(23-24八年级上.辽宁大连.期中)通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题:

图2

(1)如图1,点A在直线/上，ZBAD^90°,AB=AD,过点8作于点C,过点。作DEL/交于点E.得

Z7=ZD.又/3C4=NAED=90。，可以推理得到A45。/4£>>1£(415).进而得到结论：AC=,BC=

.我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型；

7

（2）如图2,/N5W=NMAN=90。,AB=AD,AM=AN,8M，/于点C,OE，/于点E,NO与直线/交于点

P,求证：NP=DP.

2.（24-25八年级上•海南•期中）如图1所示，已知在VABC中，ZACB=9Q°,AC=BC,直线加经过点C,

过A、8两点分别作直线机的垂线，垂足分别为E、F.

⑵若直线机绕点C旋转到图2所示的位置时（8b<AE）,其余条件不变，猜想斯与AE,M有什么数量关

系？并证明你的猜想；

（3）若直线机绕点C旋转到图3所示的位置时（3尸〉AE）其余条件不变，问所与AE,所的关系如何？直接

写出猜想结论，不需证明.

3.（24-25八年级上•山西大同・期中）如图1,已知AABC中，ABAC=90°,AB=AC；AE是过A的一条

直线，且BC在A,E的异侧，皮）_LAE于D,CE_LAE于E.

（1）试说明：BD=DE+CE.

（2）若直线AE绕A点旋转到图2位置时（BD<CE）,其余条件不变，问BD与DE,CE的关系如何？请

直接写出关系式；

⑶在（2）的条件下，当BD=2,CE=3时，直接写出四边形BCED的面积.

4.（23-24八年级上・江苏南通•期中）已知满足3C=AC,ZACB=90°,直角顶点C在x轴上，一

锐角顶点B在y轴上.

8

图①图②图③

(1)如图①若AD垂直于x轴,垂足为点D.点C坐标是(。,0),点B的坐标是(O,b),且满足卜+l|+(Z?-3)2=0,

请直接写出。、6的值以及点A的坐标.

(2)如图②，直角边BC在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，在滑动的过程中，当B的坐标为(0,4),点

C的坐标为(5,0)时,求A的坐标;

(3)如图③，直角边在两坐标轴上滑动，AC与y轴交于点。，过点A作轴于E,若BD=2AE,

试说明，轴恰好平分/ABC.

【考点07倍长中线模型】

1.(24-25八年级上•河北保定•期中)在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线

法.

图⑴图(2)

(1)如图(1),AD是VABC的中线.且AC.延长AD至点E.使ED=AD.连接BE.求证：NADC^EDB.

⑵如图(2),AD是VA3C的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB,/BAC=/BCA,求证：AE=2AD.

2.(24-25八年级上•江西赣州•期中)八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们

一起活动吧.

【初步探索】

(1)如图1,在VA3c中，若A3=12,BC=8.求AC边上的中线3。的取值范围.以下两位同学是这样思

考的：

小聪：延长8。至E,使DE=BD,连接CE.利用全等将边A3转化到CE,在ABCE中利用三角形三边关

系即可求出中线3D的取值范围.

小明：过点C作交3D的延长线于点E.利用全等将边转化到CE,在ABCE中利用三角形

9

三边关系即可求出中线BO的取值范围.

在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是；中线的取值范围是.

【灵活运用】（2）如图2,在VA3C中，点。是AC的中点，AB=MB,BC=BN,其中=4VBC=90。，

连接MN,试判断8。与MN的数量关系，并说明理由.

【拓展延伸】

（3）如图3,在五边形ABCDE中，AABC^AADE,ZACB=ZAED=9Q°,ZABC=ZCAD,AF为BE边

上的中线.

①求证：AF±CD；②若AE=12,DE=8,则五边形ABCDE的面积为.

图1图2图3

3.（24-25八年级上•浙江台州•期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形.

初步尝试

图1

(1)如图1,在VABC中，ZACB=9Q°,ACBP

为偏等积三角形.

理解运用

（2）如图2,/XABD与AACD为偏等积三角形，AB=2,AC=4,且线段AD的长度为正整数，过点C作

CE〃AB,交AD的延长线于点E,求AE的长.

综合应用

（3）如图3,已知VA3C和VADE为两个等腰直角三角形，其中AC=AB,AD=AE,ZCAB=ZDAE^90°,

尸为CD的中点.请根据上述条件，回答以下问题:

①NCW+N54E的度数为一。;

10

②试探究线段AF与跖的数量关系，并写出解答过程.

4.（24-25八年级上•福建福州•期中）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1,在VA3C

中，AB=4,AC=8,。是8c的中点，求BC边上的中线4。的取值范围.

【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1,延长4D到点E,^DE=AD,

连接BE.根据SAS可以判定VADC丝VED3,得出AC=3E.这样就能把线段AB、AG2AD集中在AME

中.利用三角形三边的关系，即可得出中线4。的取值范围是.

【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2,在VABC中，。是3C边上的一点，

AE是的中线，CD=AB,ZBDA=/BAD,试说明：AC=2AE；

【问题拓展】（3）如图3,点。是BC边上的一点，连接力D,过点A分别向外作/AFrAC,使

得AE=AB,AF=AC,若ADJ_£F,求证：£F=2AD且AD为VA3C的中线.

【考点08半角模型】

1.（24-25八年级上•浙江衢州•期中）在VABC中，AB^AC,点。是直线BC上一点（不与8,C重合），

以为一边在AD的右侧作VADE,使=NDAE=NBAC,连接CE.

（2）设/&4C=a,/BCE=0.

①如图2,当点。在线段BC上移动时，a、之间有怎样的数量关系？请说明理由.

②当点。在直线上移动时，a、£之间有怎样的数量关系？请你在备用图上画出图形，并直接写出结论.

2.（24-25八年级上•四川宜宾•期中）（1）【问题背景】如图1,在四边形ABC。中，AB=AD,ZBAD=120°,

ZB=ZADC=90°,分别是3C、CD上的点，且ZE4F=60。，探究图中线段BEEF,FD之间的数量关系.

小王同学探究此问题的思路是延长FD到点G,使得DG=BE,连接AG,先证明△ABE/△ADG,再证明

AAEF^AAGF,可得出结论.他的结论是一请你帮他完善证明过程.

（2）【探索延伸】如图2,在四边形ABC。中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E、尸分别是3C、CD上的点,

11

且NE4F=1N8A。，上述结论是否仍然成立，并说明理由.

（3）【实际应用】如图3,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心。的北偏西30。的A处，舰艇乙在指挥中

心。的南偏东70。的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60

海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50。的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测

到甲、乙两舰艇分别到达E、尸处且两舰艇之间的夹角为70°（即/EO-=70。），请直接写出甲、乙两舰艇

之间的距离为_海里.

3.（24-25八年级上•山东济宁•期中）（1）问题背景:

图1图2图3

如图1,在四边形ABCD中，AB=AD,ZBAD=120°,ZB=ZADC=9O°,点E,尸分别是BC,上的

点，且Z£4F=6O。，请探究图中线段BE,EF,ED之间的数量关系，并说明理由.

小明探究此问题的方法是：延长线段FD到点G,使DG=BE,连接AG.先证明△ABE/△ADG,得

AE=AG；再由条件可得NE4F=NC4F,再证明AAEF名AAGF,进而可得线段BE,EF,FD之间的数量

关系.请根据小明的思路，完成解题过程.

（2）拓展应用：

如图2,在四边形中，AB=AD,ZB+ZAZ）C=18O。，点E,尸分别是8C,CD上的点，且

ZEAF=^ZBAD,（1）中的线段BE,EF,FD之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明：若不成

立，请说明理由.

（3）学以致用：

我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角.如图3,四边形ABCD是边长为5的正方形，点、E,

产分别是2C,CD上的点，且NE4F=45。，请直接写出△CEF的周长.

4.（24-25八年级上•重庆万州•期中）按要求解答下列问题：

12

图1图2图3

(1)如图1,在四边形中，AB=AD,ZB^ZD=9Q°,E、/分别是边3C、CD上的点，且

NBM)=2NEAF.求证：EF=BE+FD；

(2汝口图2,在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=\SO°,E、尸分别是边BC、CD上的点，且

NBAD=2NEAF,请先写出斯、BE、尸。之间的数量关系再证明；

(3)如图3,在四边形9CD中，AB=AD,ZB+ZADC=180°,E、/分别是边BC、CD延长线上的点，且

NBAD=2/EAF,请直接写出EF、BE、FD之间的数量关系(不证明).

【考点09手拉手模型】

1.(24-25八年级上•广东广州•期中)如图，在V43C和V3DE中，/ABC=/DBE=90。,NCBE为锐角，

AB=BC,BE=BD,连接AE、CD,AE与CD交于点M,AE与BC交于点N.

(1)求证：AABE-CBD

(2)线段AE与CO有怎样的位置关系？请说明理由.

2.(23-24八年级上•宁夏固原•期中)数学越学越聪明，不信你试试：如图，VABC是等腰三角形、YADE是

等腰三角形，AB^AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=a,直线3。与CE交于0.

13

⑴探究1：△

(2)探究2：/BAC与ZBOC有什么关系？写出证明过程.

3.(24-25八年级上•黑龙江哈尔滨•期中)我们把有公共顶点且形状相同的两个三角形组成的图形称为“手拉

手”图形.数学兴趣小组的几名同学对“手拉手”图形进行了探究.

(1)初步探究：如图1，VAO3与△COD的顶点。重合，ZAOB=ZCOD=90°,OA=OB,OC=OD,连接妆3C,

他们通过测量发现在VAO3和△COD绕点。转动的过程中，AD=BC,请你证明他们的结论；

(2)大胆猜想：如图2,在(1)的条件下，连接他们猜想△AOC的面积与ABO。的面积相等，请

证明他们的猜想是正确的；

(3)拓展延伸：如图3,在(2)的条件下，当48=90。时，延长C。交8。于点G,CG=8,ABCO的面

积为18,求AC的长度.

4.(24-25八年级上•广东东莞•期中)综合实践

在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角

形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两

个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合,则称此图形为“手拉手全等模型”因为顶点相连的四条边，

可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1,VABC与VADE都是等腰三角形，其中

ZBAC=Z.DAE,则AABD丝AACE(SAS).

14

A

D

【初步把握】如图2,VABC与VADE都是等腰三角形，AB^AC,AD=AE,且N3AC=〃4E,请直接

写出图中的一对全等三角形：；

【深入研究】如图3,已知VABC,以AB、AC为边分别向外作等边△相£）和等边△ACE,BE、CD交于

点Q,求/DQ8的大小.

【拓展延伸】如图4,在两个等腰直角三角形VABC和VADE中，AB^AC,AE=AD,ABAC=ZDAE=90°；

连接8。，CE,交于点P,请判断3D和CE的关系，并说明理由.

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一、单选题

1.（24-25八年级上•安徽阜阳・期中）如图，8人和CA分别是VA2C的内角平分线和外角平分线，B4是/4跳）

的平分线，C4是的平分线，8A3是幺8。的平分线，C4是N&C。的平分线，依此下去.若NA=a,

202420252026

1IaC.aD.1'a

2.（24-25八年级上•安徽马鞍山•期中）如图，班是上的平分线，CF是NACD的平分线，BE,CF相

交于点G.若N5DC=135。，ZBGC=100°,则NA的度数是（）

A.65°B.75°C.80°D.85°

3.（24-25八年级上•四川德阳•期中）在中，ZABC,NAC5的平分线交于点0,NACB的外角平分

线所在直线与NABC的平分线交于点D,与ZABC的外角平分线交于点E,下列结论:①4BOC=90。+；44；

15

12

@ZD=-ZA；®ZA=-ZE；（4）ZE+ZDCF=90°+ZABD.其中正确结论有（）个.

23'一

A.1B.2C.3D.4

4.（24-25八年级上•天津南开•期中）如图，NACF和/EBG均为VABC的外角，NAC支的平分线所在直线

与，ABC的平分线相交于点。，与NEBG的平分线相交于点E,则下列结论错误的是（）

A.ZE=ZAB.NDBE=90。

C.2ZD=ZAD.ZE+ZDCF=90°+ZABD

5.（23-24七年级下•山东泰安•期中）如图，ZABC=ZACB,BD,CD,AD分别平分VABC的内角/ABC,

外角/ACF,外角/E4c.以下结论：①AD〃BC；②ZACB=2ZADB；③NBDC=g/BAC；④

2ZADB+ZCDB=90°；⑤NADC+NASD=135。.其中正确的结论有（）

A.2个B.3个D.5个

6.（24-25八年级上•山东滨州・期中）如图，在锐角三角形A3C中，A”是BC边上的高，分别以AB,AC为

一边，向外作正方形和ACFG（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接CE,BG和EG,EG

与的延长线交于点M,下列结论：①BG=CE；②BGLCE；③4〃是△AEG的中线；④

NEAM=ZABC.其中正确结论的个数是（）

16

E

M

G

BHC

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.（24-25八年级上•山西大同•期中）如图，在VABC中，AB=AC,。为2C上一点，ZBAD=20°,在AD

的右侧作VADE,使隹=AO,NDAE=NBAC,连接CE,DE与AC相交于点。，若CE〃AB,则NCOE

的度数为（）

A.80°B.75°D.65°

8.（24-25八年级上•安徽阜阳•期中）如图，在VA3C和ACDE中,CA=CB,CD=CE,ZACB=NECD=a,

AD,BE交于点、H,则NAHE的度数为（）

A.180°-(zB.90°+a90°+-a

22

二、填空题

9.（24-25八年级上,新疆•期中）如图,NA+N3+NC+ND+NE的度数是..度.

10.（22-23八年级上•浙江杭州•期中）如图，在VA3c中，ZACB=90°,ZB-ZA=10°,。是4B上一点,

将AACE）沿CD翻折后得到△CE。，边CE交48于点若ADEB中有两个角相等，则NACD=

17

11.（24-25八年级上,重庆长寿・期中）如图，在VABC中，NABC和的角平分线交于点。，若NA=80。,

则NBOC的度数为.

12.（23-24八年级上.辽宁铁岭•期中）如图1,2,3：已知VABC中，,ABC的”等分线与，ACB的”等分

线分别相交于G，G°,G.,...,G“一试猜想：NBG“TC与-A的关系.（其中〃是不小于2的整数）

首先得到：当〃=2时，如图1,NBG、C=,当〃=3时，如图2,NBG?C=，…

如图3,猜想NBG-C=____________.

13.（24-25八年级上•辽宁铁岭•期中）小强同学用10块高度都是5cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面

垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC=BC,NAC8=90。），点C在DE上，点A

和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为cm.

CE

14.（24-25八年级上•湖北武汉•期中）如图，在VA3C中，是VABC的中线，AB=12,AD=8,贝UAC

的取值范围是.

18

15.（22-23七年级下•重庆・期末）如图，四边形ABCD中，AC与8。相交于点。，且AC，3。,AC=A8=3。，

点E是—BAC和平分线的交点，连接ED,EC,给出下列结论：①/AEB=135。；②AD=£>C；③

BE±EC；④SAAEB=SAEDC；其中正确结论的序号为.

16.（21-22八年级上.湖北襄阳・期末）如图，在VABC中，AB^AC,/3=/C=45。，D、E是斜边2c上

两点，且/ZME=45。，过点A作AFl,仞，垂足是A,过点C作C尸，3C,垂足是C.交AF于点尸，连接跖，

下列结论：①AABO0A4CV；②DE=EF；③若54的=10,5AC£F=4,则，叱=24；④BD+CE=DE.

其中正确的是.

三、解答题

17.（24-25八年级上•安徽蚌埠•期中）如图，在VABC中，点。在2B上，过点。作OE〃台C,交AC于点

E.DP平分4DE,交24%的平分线于点P,CP与DE相交于点G,NACP的平分线C。与的延长

线相交于点Q.

⑴若ZA=50°,ZB=60°,贝ijNDPC=0,NQ=°；

（2）若NA=a,当Z3的度数发生变化时，NDPC,N。的度数是否发生变化？若要变化，说明理由；若不

变化求出NDPC,NQ的度数（用。的代数式表示）；

（3）若△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的2倍，则所有符合条件的NA的度数为.

18.（24-25八年级上•江西赣州•期中）（1）如图1,在VABC中，点E在CB延长线上，点尸在线段AC上,

连接EF交于点D,ZBAF和ZCEF的平分线交于点P.

①若NC=60。，ZBDF=150°,则一尸的度数为；

19

②猜想出NC、ZBD尸和/尸之间的数量关系为,并证明；

(2)如图2,在VABC中，点E在线段CB上，点歹在C4延长线上，连接所交A8于点。，/胡/和ZBEF

的平分线交于点P,直接写出尸和/P之间的数量关系为.

BEC

图2

19.(24-25八年级上•河南周口•期中)综合与探究

(1)如图1,直线/经过正方形ABCD的顶点A,分别过正方形的顶点8,。作于点E,DFLI于点F,

若斯=7,BE=4.则的长为；

(2)如图2,在VABC中，NACB=90。，AC=CB,过点C在VABC外作直线m,40_1加于点加，BNLm

于点N.求证：MN=AM+BN；

(3)在(2)的条件下，过点C作直线〃?与线段A8相交，直接写出线段A",BN和之间的数量关系.

BC

图1

20.(24-25八年级上•河北邢台・期中)【探究发现】如图1,在VABC中，AD是VABC的中线，作NO3M=NC,

边BM交力。延长线于M点，求证：AMBD冬AACD.

：D

/

【初步应用】如图2,在VABC中，AB=16,AC=12,AD是VABC中线，则AD的取值范围为:

【探究提升】如图3,AD是VABC的中线，过点A分别向外作AE_LAB、AF±AC,AE=AB,AF=AC,

20

连接所，延长ZM交跖于点P,判断线段所与2D的数量关系和位置关系，请说明理由.

图3

21

专题07三角形中的几何模型

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，题型归纳

【考点01"8”字模型】

1.(24-25八年级上•江西赣州•期中)平面上A、B、C、D、E、F六点,构成如图所示的图形，则

NA+N5+NC+ND+NE+ZF度数是()

22

F

A.180°B.360°D.720°

【答案】B

【解析】解：如图所示:

・・•ZAGH是ACGE的一个外角,

:.ZAGH=/C+/E,

・・・/FHG是ABDH的一个外角，

:./FHG=ZB+/D,

在四边形E4G”中，连接AH,如图所示,

ZFAG=ZFAH+ZGAH,ZFHG=AFHA+ZGHA,

在△AGH中，ZAGH+Z.GHA+AHAG=180°；

在中，ZAFH+ZFHA+ZHAF=180°；

...ZF+ZFAG+ZAGH+ZFHG=360°,

NA+N6+NC+ND+NE+"=360。，

故选：B.

2.（24-25八年级上•安徽淮南•期中）如图所示，ZDBE=75。,试求NA+NC+ND+/E=

【答案】105。

【解析】解：・.・NA+NE=NESC,ZC-^-ZD=ZABD,

ZA+ZC+ZD+ZE=ZEBC+ZABD,

23

•/AEBC+ZDBE+ZABD=180°,

.•.ZEBC+ZABD=180°-ZDBE=180。-75。=105。，

.-.ZA+ZC+ZZ）+ZE=105o.

故答案为：105。.

3.（24-25八年级上•天津河北•期中）如图，已知/3O尸=120。，则NA+NB+NC+NO+N石+ZF的度数为

度.

【答案】240

【解析】解：如下图所示:

ZA+ZC=Z2,N2+ZE=ZA+NC+NE=NCOE,

ZBOF=120°,

；.NCOE=NBOF=120。,

ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF

=/A+/C+/石+ZO+N尸+4

=ZCOE+ZBOF

=120°+120°=240°,

故答案为：240.

4.（24-25八年级上•陕西宝鸡•期中）如图，把五角星ABCDE的顶点B移动到边AC上.求:

ZA+NO3E+NC+NO+NE1的度数.

24

A

【答案】180°

【解析】解：如图所示，设和应:交于点”,

・・・ZAMB是ABDM的外角,

ZDBM+ZADB=ZAMB,

QNASA/是△5C石的外角，

:.ZC+ZE=ZABM,

•/ZA+ZABM+ZAMB=180°

.•.ZA+ZE+ZC+ZD+ZDBE=18O°.

【考点02飞镖模型】

1.（24-25八年级上.湖北恩施•期中）如图，Zl+Z2=40°,ZD=110°,则NA的大小是（

A.70°B.40°

【答案】A

【解析】vZD=110°,

/.NDBC+ZDCB=180。一NO=70°,

・・・Zl+Z2=40°,

...ZABC+ZACB=Z1+Z2+ZDAC+ZDCB=40o+70°=110°

25

ZA=180°-（ZABC+ZACB）=70°,

故选择：A

2.（24-25八年级上•四川广安・期中）如图，在VABC中，AO平分/B4C,尸为AD延长线上一点，PE1BC

于点E.已知NACB=80。，ZB=24°,求/尸的度数.

【答案】4=28。

【解析】解：在VABC中，ZACB=80。，ZB=24。，

:.ZBAC=180°-ZACB-ZB=76°.

平分NBAC,

ZCAD=-ZBAC=38°.

2

在AACD中，ZACD=80°,ZCAD=38°,

ZADC=180°-ZACD-ZCAD=62°,

ZPDE=ZADC=62°.

♦;PE上BC于E,

:.ZPED=90°,

...ZP=180o-ZPDE-ZPED=28°.

3.（24-25八年级上•吉林・期中）如图，已知Z4=75。，NB=25°,ZC=35°,求/I的度数.

【答案】Zl=135°

【解析】解：在AACD中，ZA=75°,ZC=35°,则/。=180°-75°-35°=70°,

ND是YBDE的一个外角，

ZBDE=180°-70°=110°,

•.•N1是VBDE的一个外角，4=25°,

Z1=ZB+ZBDE=25°+110°=135°.

4.（24-25八年级上•全国•期中）如图①，凹四边形ABDC形似圆规，这样的四边形称为“规形”.

26

AA

(1)如图①，在规形ABDC中，若NA=80。，ZBDC=130°,/C=30。，求上8的度数；

(2)如图②，在规形A5DC中，/B4C和/BDC的角平分线AE,DE交于点E,且N8>NC,试探究

/B,ZC,/E之间的数量关系，并说明理由.

【答案】⑴20°

(2)ZE=1ZB-|ZC,理由见解析

【解析】(1)解：如图1,延长CD交AB于G,

:.NB=Z.BDC-Z.BGC=20°,

的度数为20。；

(2)解：ZE=-ZB-1ZC,理由如下;

22

图2

AE,DE分别是NBAC和NBDC的角平分线，

ZBAE=NCAE,Z.BDE=NCDE,即Nl=N2,/3=/4,

由题意知，Z5=Z1+ZB=Z3+ZE,Z4=ZC+ZCME=ZC+Z2+ZE=ZC+Z1+ZE,

27

Zl+ZB=(ZC+Zl+Z£)+ZE,即ZE=-ZB--ZC

22

【考点03风筝模型】

1.（24-25八年级上•河北保定•期中）如图，两面镜子45和47的夹角N54C=50。，当光线经过镜子后反射,

Z1=Z2,N3=，4,则入射光线与第三条反射光线的夹角。的度数为（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

【答案】D

【解析】解：如图：

ZBAC=50°,

：.Z2+Z3=180°-50°=130°,

VZ1=Z2,N3=/4,

Zl+Z4=130°,

,/Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=360°,

Z5+Z6=360°-(Z2+Z3)-(Z4+Zl)=100°,

/.a=180°-(Z5+Z6)=80