2025年沪教版九年级数学上册《锐角的三角比》核心考点练习题（含答案解析）

锐角的三角比（考点卷）（13大核心考点）

考点一锐角的三角比概念辨析（共5题）

1.如图，在△45。中，ZC=90°fBC=a,AC=b,AB=c,则下列选项错误的是（）

A.sin^4=—B.cos5=—C.tan^=—D.tan5=-

ccbc

【答案】D

【分析】本题主要考查了三角函数的相关定义，根据正弦，余弦，正切的定义一一判断即可.

【详解】解：A.sin/=q,正确，故该选项不符合题意；

C

B.cos5=-,正确，故该选项不符合题意；

C

C.tan/=?,正确，故该选项不符合题意；

b

D.tan5=-,原表示方法错误，故该选项符合题意；

a

故选：D.

2.如图，在RtA48c中，ZABC=90°,。为边48上一点，过点。作。E2/C,垂足为E,则下列结论中

正确的是（）

AEBC/AB

B.cAosZ=-----C.Atan/i------D.tan/i-----

ABADADBC

【答案】B

【分析】本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角三角函数定义.由锐角的三角函数定义，即可判断.

【详解】解：••・OE1/C,

;./AED=/ABC=9Q°,

A、sin/=W，故A不符合题意;

AC/

B、结论正确，故B符合题意;

C、ta“=花’故C不符合题意;

加人器,故。不符合题意.

D、

故选：B.

3.如图，在用A48C中，乙4c8=90。，。是斜边48上的高，下列线段的比值等于cos/的值的有..个

,、AD/、AC,、BD/、CD

(1)-----•(?)------(3)----------(4)--------

AC,AB，BC'BC.

【分析】根据锐角三角函数关系的定义分析得出答案.

【详解】解：•・・在放A45C中，乙4c5=90。，CD是斜边48上的高,

•••乙4+乙4。。=90。，乙4CQ+NBCO=90。,

^Z-A=Z-BCD,

ADACCD

•••cos/=-----=------=-----.

ACABBC

故(1),(2),(4)正确.

故答案为：3.

【点睛】考查了锐角三角函数关系，正确把握锐角三角函数定义是解题关键.

4.如果ZMBC中/C=90°,那么41=______(填的三角比)

AB

【答案】cosB

【分析】根据直角三角形中余弦性质求解即可

【详解】•••直角三角形中，余弦等于邻边比斜边

rBC

•••cosB=—

AB

••・答案为cosB

【点睛】本题主要考查了余弦的性质，熟练掌握相关性质是解题关键

5.如图，在Rt448C中，ZC=90°,/A=a,^A,ZB,—C的对边分别是。，b,c.

B

sina

（1）利用锐角三角函数的定义求证:tana=-------

cosa

公、sma+cosa

(2)若tana=2,求二---------的值.

sina-cosa

【答案】（1）见解析

(2)3

【分析】本题主要考查了三角函数的定义;

（1）根据三角函数的定义进行证明即可;

cin（y

（2）根据（1）中的结论得出tana=——=2,即sina=2cosa,然后代入求值即可.

cosa

乙4的对边

解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，在一个Rt/XASC中，ZC=90°,则sinA=

斜边

乙4的邻边NN的对边

cosA=tan/=

斜边NN的邻边

【详解】（1）证明：•••在中，ZC=90°,ZA=a,/A,/B,的对边分别是b,

.BCaACbBCa

sina=----=—,costz=-----=—,tana=-----=—,

ABcABcACb

a

sin。_c_a

cosabb

sma

/.tana=-------.

coscr

(2)解：•••tana=S^a=2,

cosa

・••sina=2cosa,

sina+cosa2cosa+cosa3cosa

sina-cosa2cosa-cosacosa

考点二根据锐角的三角比求边长（共5题）

1.如图，在RtZX/BC中，ZC=90°,。是8c的中点，AC=6,tanN/3C=g,则AD的长为（）

【答案】B

【分析】

本题考查了锐角三角函数，掌握已知正切值求边长是解题的关键，根据正切的概念可得

AC1

tanZABC=-=-,可得8C=12,再由线段中点即可求出答案；

nC2

Ar1

【详解】解：在RtZ\ZBC中，tanZABC=-=-,

BC2

/.BC=2AC=n,

•・•£>是8。的中点,

:.BD=-BC=6,

2

故选：B.

2.如图，四边形为菱形，对角线NC,BD交于点、O,DEJ.AB,垂足为E.若48=10,50=12,

则cosZEDB为（）

【答案】A

【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，求一个角的余弦值，根据菱形的性质和勾股定理求出

NC=20/=16,根据S菱衫2tBe£>=/HOE==；xl6xl2=96,求出■DEng，根据

48

。。，皿=里工土,求出结果即可•

BD125

【详解】解：•••四边形48CD为菱形，50=12,

：.0B=0D=6,OA^OC,AC1BD,

/./AOB=90°,

•*-OA=^AB2-OB2=V102-62=8，

：.AC=2OA=16,

•；DE，AB,

：./DEB=90°,S夔形ABCD=AB•DE=^AC-BD=—x16x12=96,

即10OE=96,

DE=^~,

48

cosZEDB=—=-^-=-f

BD125

故选：A.

3

3.在中，ZC=90°,AC=9,sinB=~,则的长等于.

【答案】15

AT3

【分析】本题考查了正弦的定义，根据sin5=W==计算即可得出答案，熟练掌握正弦的定义是解此题的

AB5

关键.

【详解】解：如图,

3

・・•在RtZk/BC中，NC=90。，AC=9,sinB=-f

,AC3

siiino=-----=—,

AB5

/.AB=15,

故答案为：15.

4.在中，ZC=90°,cosB=~,如果48=14,那么NC=

7

【答案】4V6

【分析】根据余弦定义求得2C,再根据勾股定理求解即可.

【详解】解：在中，ZC=90°,cosB=-=—,AB=14,

7AB

.-.BC=-AB=\Q,

7

■■AC=yjAB2-BC2=V142-102=476，

故答案为：4n.

【点睛】本题考查余弦定义、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数是解答的关键.

5.如图，在RtZXZBC中，ZC=90°,ZA=60°f45=20.求的大小和4C的长.

【答案】N5=30。，AC=10

【分析】根据三角形内角和定理直接求出利用三角函数求出4C的长即可.

【详解】解：ZB=180°-ZA-ZC

=180°-60°-90°

二30。；

■.■sinS=—

AB

AC=AB•sin5

=20xsin30°

=10；

答：AB=30°,AC=10.

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角函数的定义，解题的关键是熟练特殊角的三角函数值.

考点三特殊三角形的三角函数（共5题）

1.RtZX/BC中，ZC=90°,ZA:NB=1:2,贝han//的值（）

1「V3

A.-B.—L•----D.V3

223

【答案】C

【分析】本题主要考查了求特殊角的三角函数值，以及直角三角形两锐角互余，根据直角三角形两锐角互

余得出然后根据特殊角的三角函数值求解即可.

【详解】解：如下图:

•••RtzX/BC中，ZC=90°,NA:/B=1:2

ZA=90°x-=30°

3f

•••tanZA=tan30°=

3

）

61sin60°

①cos——=45°②tan60°=cot30°③sincr=—=30°④tan60°=---------

〜22cos60°

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【分析】本题考查了特殊角的三角函数值.解题的关键是熟练掌握各个三角函数的定义，以及熟记各个特

殊角度的锐角三角函数值，根据各个锐角三角函数的定义和值逐个判断即可，解答④时，要充分利用三角

函数的定义.

【详解】解：①345°=手’故①错误;

②：tan60。=5cot30°=5

.,.tan60°=cot30°；故②正确;

③若sintz=；,贝I]a=30。，故③错误;

对边

对边奈应sin60。

（4）tan60°=故④正确;

邻边一邻边—cos60°'

斜边

综上所述，正确的说法有②④，共2个;

故选：c.

3.用min{a、b、c}表示这三个数中最小的数，则向11国1130。、1：0$45。、121130。}=.

【答案】sin30°

【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键.

分别得出各个三角函数的值，再比较大小，即可解答.

【详解】解：sin30°=-,cos45°=—,tan30°=—,

223

•.•V2«1.4,V3~1.7,

收

2«0.7>—»0.57,

3

行

2>,HPcos45°>tan30°>sin30°,

32

min{sin300>cos45°>tan300}=sin30°.

故答案为：sin30°.

4.计算：(兀一2023)°+j+|tan600-l|=.

【答案】V3-4

【分析】本题考查了实数的混合运算，利用零指数幕、负整数指数幕、特殊角的三角函数值及绝对值的性

质分别运算，再合并即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键.

【详解】解：原式=1+(-4)+|道-1|=一3+百一1=百一4,

故答案为：V3-4.

5.先化简，再求值代数式士卫+。一-4。+4.金的值,其中q=tan45o+2cos30。.

6Z—1Cl—1Q—2

【答案】一L，2

0-13

【分析】此题考查了分式的混合运算，特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握以上运算法则.

首先根据分式的混合运算法则化简，然后利用特殊角的三角函数值求出a的值，然后代数求解即可.

3—aa~—4a+4(7+1

【详解】-----------1---------2----------------------

Q—1CI—1Q—2

3-(4-2)2Q+]

a—1+_1)a_2

3—aci—2

+

Q—1Q—1

1

,*,a=tan450+2cos30°=l+2x——=1+V3

2

・•・原式二」一1

a-\1+V3-1-3•

考点四特殊角三角函数值的混合运算(共5题)

1.l-2sin30°cos30°的值等于（）.

A.上走B.匕立C.D,”也

2222

【答案】C

【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，先化简各式，然后再进行计算即可解答.

【详解】解：l-2sin30°cos30°

,1V3

=l-29x—x——

22

7有

2

2-V3

故选：C.

2.计算cos?45。+tan30。sin60。的值等于()

1+V3V2+V3「

ARD.2

22

【答案】C

【分析】本题主要考查了三角函数的混合运算，先代入特殊角的三角函数值，然后在乘法，最后算加法即

可.

【详解】解：cos245°+tan30°sin60°

夜丫+与也

32

11

—+—

22

=1,

故选：c.

3.cos2300-3tan450+2sin245°+sin30°=—.

3

【答案】--/-0.75

4

【分析】本题考查特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值代入计算即可.

【详解】解：cos230°-3tan45°+2sin245°+sin30°

1

-3xl+2x后丫+—

2

~~4,

3

故答案为：-了

4

4.tan60°-2cos30°+V2sin45°=

【答案】1

【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，先计算特殊角三角函数值，再计算二次根式乘法,

最后计算加减法即可.

【详解】解：tan60°-2cos30°+VIsin45°

=6_2x也+^x与

22

=V3-V3+1

=1»

故答案为：1.

5.计算：

⑴2sin45。+tan30。-cos30。-亚；

(2)2cos600+4sin600-tan300-6cos245°.

【答案】⑴：

(2)0

【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，二次根式的加减运算，熟练掌握知识点是解题的

关键.

(1)先代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的加减运算;

(2)先代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的加减运算.

【详解】(1)解：原式=2x变+且x3-收

232

=V2+--V2

2

——1.

2，

(2)角星：=2x—+4x—X--6x[2J

223

=1+2-3

0

考点五根据特殊角三角函数值求角的度数(共5题)

1.在△45C中，若siM—：+[cos8—=0,则/C的度数是(

)

A.45°B.60°C.90°D.105°

【答案】C

【分析】直接利用非负数的性质以及特殊角的三角函数值计算得出答案.此题主要考查了非负数的性质以

及特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键.

【详解】解：v|sin^-^-|+(cos5-i)2=0,

sinA--=0，cosB——=0,

22

.“6n1

smA=——，cosB=—,

22

ZA=60°f^B=60°,

・•.NC的度数是：180。—60。—60°=60°.

故选：C.

2.在中，ZC=90°f若si!L4=YI,则的度数是()

2

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】B

【分析】本题主要考查了根据特殊角的三角函数值求角度，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握特

殊角的三角函数值.根据siiU=变，求出44=45。，根据三角形内角和定理求出结果即可.

2

【详解】解：•••在RtZUBC中，ZC=90°,sinA=—,

2

N4=45°,

.•・Z8=90°-45°=45°.

故选：B.

3.己知//为锐角.

(1)若tanA=百，则Z.A=；

(2)若2siiU=l,则//=；

(3)若tan(//+15°),则//=.

【答案】60。/60度30。/30度30。/30度

【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键.

(1)根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答；

(2)根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答；

(3)根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答.

【详解】解：(1):tan/=g,tan60。=6，//为锐角，

NA=60°；

(2),/2sin^4=1,

.”1

二.sm,

2

・•・sin30。=；,//为锐角，

N4=30°；

(3);tan(//+15°)=l,tan45°=l,为锐角，

.\ZA+15°=45°f

，//=30°.

故答案为：(1)60°；(2)30°；(3)30°.

4.已知//、NB、/C是A48C的三个内角，若sin/-J+cosB--=0,则/C的度数是.

2I2J

【答案】90°

［分析］此题主要考查了特殊角的三角函数值以及偶次方和绝对值的性质，正确得出//和ZB的度数是解

题关键.

直接利用特殊角的三角函数值以及偶次方和绝对值的性质得出//和28的度数进而求出即可.

/—//—\2

【详解】解：•・,sin4——-+cos5——-=0,

2I2J

..._V3D_V3

..sinA.——，cosJD——，

22

.•.24=60。，N5=30。，

二•NC的度数是90。.

故答案为：90°.

5.在A/8C中，已知2siih4—1|+|——cosB=0>求/C的值.

【答案】105°

【分析】本题考查了绝对值的非负性，非负数的性质，特殊角三角函数值，三角形内角和定理，利用非负

数和为零得出2siM-1=0,也-cos5=0,求出N/、N5度数，再由三角形内角和定理求解即可.

2

/y

【详解】解：:2siiL4-l|+|^--cos5=0

也

2siih4-1=0,------cosB=0,

2

.4_1D_V2

..SIIL4——,cos6——,

22

./二30。，4=45。，

^ZC=180°-ZA-ZB=105°.

考点六已知角度比较三角函数值的大小（共5题）

1.若a=40°,则a的正切值〃的范围是（）

A.-<h<—B.^-<h<—C.I<h<yj3D.—<h<l

22323

【答案】D

【分析】本题考查了锐角三角函数的定义：正确理解正切的定义和记住特殊角的三角函数值是解决问题的

关键.

利用锐角正切随角度的增大而增大得到tan30°<tan40°<tan45°,然后根据特殊角的三角函数值对各选项进

行判断.

【详解】解：V300<40°<45°,

.­.tan30°<tan40"<tan45",

即<tan40°<1.

3

故选：D.

2.sin77°,cos77°,tan77°的大小关系是（）

A.tan770<cos770<sin77°B.cos770<tan770<sin77°

C.sin770<cos770<tan77°D.cos770<sin770<tan77°

【答案】D

【分析】首先根据锐角三角函数的概念，知：sin77。和cos77。都小于1,tan77。大于1,故tan77。最大；只

需比较sin77。和cos77。，又cos77。=sinl3。，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行比较.

【详解】根据锐角三角函数的概念，知sin77°<l,cos770<l,tan77°>1.

又cos77o=sinl3。，正弦值随着角的增大而增大，

sin77°>cos770=sinl3°.

故选D.

3.比较大小：sin40°—sin70°.（填“>”，"="，或“<”）

【答案】<

【分析】可以根据“正弦函数值与正切函数值都是随着锐角的增大而增大”，进行填空即可.

【详解】解：由“一个锐角的正弦值随着锐角的增大而增大”可知，

sin400<sin70°,

故答案为：<.

【点睛】此题考查了锐角三角函数，正弦函数值，熟练掌握三角函数的性质是解题的关键.

4.下列结论（其中a是锐角）：①sina+cosaW1；②cos2a=2cosa；③当0°<a<£<90。时，

0<sina<sin/?<1；④sina=cosotana.其中正确的有.

【答案】③④

【分析】本题考查了同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的概念是解题的关

键.

根据同角三角函数关系及锐角三角函数的增减性进行判断即可.

【详解】解：①,•,0<sina<l,0<COS6Z<1,

・•・sina+coso不一定小于等于1,故①错误；

②若［=30。，贝!J2cos30。=G，

2a=60°,cos2a=—

2

・•・cos60°w2cos30°

・•・cos2aw2cosa,故②错误；

③当0°<a<£<90。时，sina=景，

斜边

越大，对边越大，且越接近斜边，

・•・sina越大,

...当0。<。<分<90。时，O<sina<sin/<1,故③正确;

对边COS”鹦，tana=翳,

④•・•sina=

而斜边邻边

sina=cosa-tana,故④正确.

故答案为：③④.

5.（1）试比较18。，34°,52°,65°,88。这些角的正弦值的大小和余弦值的大小.

（2）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：sin10°,cos30°,

sin50°,cos70°.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）利用三角函数的增减性的规律即可得答案；

（2）注意正余弦的转换方法，转换为同一种锐角三角函数后，再根据锐角三角函数值的变化规律进行比较.

【详解】解：（1）•••锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小.

sin88°>sin65°>sin52°>sin34°>sin18°；

cos880<cos650<cos520<cos340<cos18°.

(2)cos30°=sin60°,cos70°=sin20°.

vsin60°>sin50°>sin20°>sin10°,

:.cos30°>sin50°>cos70°>sin10°.

【点睛】本题考查互余两角三角函数的关系，掌握锐角三角函数的增减性的规律是解题关键.

考点七三角函数综合（共5题）

1.如图，在中，ZC=90°,定义：斜边与//的对边的比叫做N/的余割，用“esc/”表示.若该直

角三角形的三边分别为a,b,C,则csc/=£,那么下列说法正确的是（）

A.csc8sin/=lB.cscB=—C.escA-cosB=1D.csc2^+csc5=l

c

【答案】C

【分析】本题主要考查了锐角三角三角函数，根据余割，正弦，余弦的定义逐一判断即可.

【详解】解：A、cscB.sin4=g2="l,原说法错误，不符合题意；

bcb

B、cscB=；原说法错误，不符合题意；

b

cn

C、csc^,cos5=--=l,原说法正确，符合题意；

ac

D、csc2/+cscB=q+：/l,原说法错误，不符合题意；

ab

故选：C.

2.如图，在△/2C中，ZC=90°,定义：斜边与的对边的比叫做//的余割，用“cs"l”表示.如设该

直角三角形的三边分别为。，b,c,贝Ucsc/=£,那么下列说法正确的是（）

C.esc4cos3=1D.esc224+esc2B=1

【答案】C

【分析】本题主要考查了锐角三角函数，定义新运算，根据定义逐项判断即可.

【详解】根据题意，得csc/=£,csc5=y,sinZ=cos5=2,

abc

则csc8-sin/=mq=：,可知A,B不符合题意；

bcb

cd

则csc/-cos8=-----=1,可知C符合题意；

ac

则esc2A+esc2B=g+行,可知D不符合题意.

故选：C.

3.小明利用折射定律sina-"|=sin#-"2，(々，”为折射率，N0为入射角，々为折射角)制作了一个测

算液体折射率的装置.光线从点A按固定角度从空气射入液面，通过调节液面高度，使光线折射后恰好落

4

到点C.已知sin/l=1,空气折射率多为1,正方形/BCD的边长为36cm.

(1)如图1装入某款家用食用油时，恰好CF=15cm,sin/£/P=,该食用油的折射率为,

4

(2)如图2,装入纯净水时，若水的折射率为1,则CF=cm.

【答案】^A/0.81.7i1y44/2014

【分析】(1)根据正弦值的定义及勾股定理即可求解；

(2)先求出sin/3,即sin/尸C尸，即可求解.

4

【详解】解：(1)-Zl=ZEAP,sinZl=-

pp4

・•・sinZEAP=——=-

AP5

没EP=4x,AP=5x,贝=dAP?-EP?=3x

：.PF=36-4x,CF=36-3x

故36—3x=15,x=7

尸=36-4x=8,CP=yJCF2+PF2=17

PF8

・•・sinZ2=sinZPCF=——=—

CP17

sina-nx=sin/7•n2

解得：%=L7

4

故答案为：y；L7

44

（2）•.•水的折射率为（，即%=]

44

—xl=—xsinZ3

53

PF3

・•・sinZ3=sinZPCF=——=-

CP5

—PF=-3,BP36-4x3

CF436-3x4

36

解得:x二一

7

144

.-.CF=36-3x=——

7

144

故答案为：-Y~

【点睛】本题以物理知识为背景，考查了三角函数值的定义，勾股定理的应用.掌握锐角三角函数的定义

是关键.

4.如图，已知正方形/5CD,将正方形/5CD绕点/旋转30。得到正方形尸G,其中点石与点3对应,

点产与点。对应，点G与点。对应，若直线CQ交直线石尸于点O,/5=4,则尸O的长是

【答案】*百或46-4

【分析】

本题考查旋转的性质和正方形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键.分两种情况进行讨论，当逆时针

旋转时和当顺时针旋转时，分别求解即可.

【详解】解：当逆时针旋转时，如图所示:

将正方形ABCD绕点A旋转30°得到正方形AEFG,

AD=AE=AB,AO=AO,ZD=ZE=90°,

Rt^ADO^^AAEO,

ZDAO=ZOAE=30°,

■.■AB=4,

4J3

.­.EO=/E-tan30°=U-,

。尸=4-

当顺时针旋转时，如图所示

:将正方形48。绕点A旋转30。得到正方形/E尸G,

:.AD=AE,AO=AO,Z.D=Z.E=90°,

RtZDO会RtAAEO,

/DAO=/OAE=60。,

•・•AB=AE=4,

:.EO=ABtan60°=4y/3,

:.OF=4y/3-4；

故答案为：或4g-4.

3

5.如图，在44BC中，AB=AC=13,BC=10,。是边/C上一点，且tan/D8C=—.

(1)试求sinC的值；

(2)试求ASCA的面积.

【答案】(1)sinZC=i12|；(2)MCL＞的面积=2宁00.

【分析】(1)作等腰三角形底边上的高AH与BD交点为E,并根据勾股定理求出AH,即可求得豆”C的

值；

123

(2)过点D作DF1BC,垂足为点F,利用S%NC=R,tanZDBC=~,设DF=x,分别表示出BF和FC

求得DF即可求得面积.

【详解】(1)如图，过点A作垂足为点交BD于点、E.

•."=/C=13,3c=10,

BH=CH=5,

在MAA877中，AH=4^^^=12,

在RtAEBH中,sinZC=—=—.

AC13

(2)过点。作1BC,垂足为点尸，

A

BpC

123

VsinZC=,tanZ/)BC=-,

134

设。厂二x,

.•.在必AZ)/。中，黑=得，则。C=£x，

：.CF=ylCD2-DF2=^(j|x)2-x2=.x'

DF34

在及AD5尸中，=—,贝=—x,

BF43

54

：.BF+FC=BC,即一x+—x=10,

123

解得x=T.

ASCD的面积=1、80＜。尸=工*10*竺=迎.

2277

【点睛】本题主要考查了解直角三角形，利用三角函数的意义，勾股定理以及三角形的面积来解决问题.

考点八解直角三角形的相关计算（共5题）

1.如图，为△48C中，ZC=90°,48=10,AC=8,£是/C上的一点，EAL4B垂足为。，若

/。=4,则。£的长为（）

【答案】C

【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，先利用勾股定理得到BC=NAB?-AC。=6,再解直角

Be3

三角形得到tan/=—=—,则。£=4D•tan/=3.

AC4

【详解】解：,••在RtZX/BC中，ZC=90°,AB^IO,AC=8,

■■BC=yjAB2-AC2=6-

,BC3

tanA=-----

AC4

在RtxADE中，DE=AD-tan4=3,

故选：C.

3

2.如图，在△ZBC中，ZC=90°,点。是/C上一点，过点。作。石145于点£,已知sinB=1,

AD=2CD=2,则成的长为（）

19

A.4B.—D.3

5

【答案】B

【分析】该题主要考查了解直角三角形，解题的关键是理解正弦的定义.

根据sinB=g算出45=5,再算出出搭，即可求解;

【详解】解：vAD=2CD=2f

AD=2,CD=\,AC=3f

3

vZC=90°,sinfi=-

5

・・.sin八3

AB5

AB=5,

-DEJ.AB,

ZADE=ZB=90°-ZA,

・•・sin/ADE=sinZB=—=-

AD5f

19

：,BE=AB-AE=5~-

55

故选：B.

3.如图，菱形纸片ABCD中，44=60。，折叠菱形纸片A8CD,使点C落在。P（尸为48的中点）所在的

直线上，得到经过点。的折痕。E,若菱形边长为2,则点后到8的距离为.

【答案】3-V3/-V3+3

【分析】连接8。，过点E作于点尸，由菱形的性质及乙4=60。，得到三角形N8O为等边三角形,

产为A8的中点，利用三线合一得到DP为角平分线，得到乙4。尸=30。，/4DC=120。，ZC=60°,进而求

出NPDC=90。，由折叠的性质得到NCO£=NPOE=45。，设所=x,则=可得出》+且》=2,解

3

方程即可得出答案.此题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质，以及内角和定

理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键.

【详解】解：连接3D,过点E作于点F,

四边形为菱形,ZA=60°,

.,.△48。为等边三角形，/4DC=120。，/C=60。，/FEC=90。-60。=30。

•.•尸为4B的中点,

.1DP为—NOB的平分线，即N4DP=480尸=30。，

NPDC=90°,

由折叠的性质得到/CDE=APDE=45°,

设EF=x,贝!DJF=x，

•••tanZFEC“=旦,

EF3

...菱形的边长为2,

CD=2,

；*=2,

3

解得：x=3-V3.

故答案为：3-V3.

4

4.在菱形45CD中，DEJ.AB,sinA=-fBE=2,则cosNZ>5£的值是.

【答案】逅

5

4

【分析】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，解题的关键是根据sin/=《，设出。E=4x,则

AD=5x,AE=3x,得出48=3x+2,根据4B=4D,3x+2=5x,求出x,再利用勾股定理得出的

长，即可求出答案.

【详解】

4

解:vsinA=-,

设。E=4x,

贝Ij/Q=5x,AE=3x,

・「BE=2,

AB=3x+2,

•「AB=AD,

3x+2=5%,

..x=1,

/.DE=4,

BD=ylDE2+BE2=A/42+22=275，

故答案为：叵.

5

5.综合与实践

【问题情境】

在数学活动课上，老师提出这样的一个问题：如图1,四边形N8CD中，44=90。,NC=45。,平分

ZADC,试说明线段和CD之间的数量关系.

图1

【初步探究】

（1）针对老师提出的问题，小敏和小捷两位同学给出了不同的思路：

小敏：如图2,从结论的角度出发：在8上截取连接H2,

小捷：如图3,从3。平分N/OC这个条件出发，将ABDC沿8。翻折，即：延长线段到点C，使

DC'=DC,；

请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程；

【类比探究】

（2）如图4,△ABC中，ZA=90°,平面内有点。（点。和点A在3c的同侧），连接

DC,DB,ZD=45°,ZABD+2AABC=180°,猜想线段/瓦8。CD之间的数量关系，并说明理由.

【学以致用】

（3）如图5,在（2）的条件下，若//加=30。,48=2,请直接写出线段NC的长度.

【答案】（1）见解析；（2）42BD+42AB=CD＞理由见解析；（3）线段4c的长度是4+26.

【分析】（1）延长线段。/到点CL^DC'=DC,连接8C',可证明AC'SD丝ACBD（SAS）,得

ZC=ZC=45°,ABAC=ZDAB=90°,所以N4BC'=NC'=45。，则48=4。，即可推导出

AB+AD=BC；另一种证明方法是：在0c上截取40=4£/,连接/'3,可证明A/'DB丝"AD（SAS）,得

A'B=AB,/。/'8=//=90°再证明/4'8。=/。=45°,则/2=/C,则N3+=HD+HC=CD；

（2）作CZJ_D3交£）8的延长线于点乙ZL=ZA=90°,所以4CD=ND=45。，则C£=”,再证明

ALBCmAABC（AAS）,得LB=4B,由CD=13+DE=>J2DL=-J1BD+&B，得s[lBD+4^AB=CD.

(3)由N4aD+2//8C=180。，AABD=30°,,求得乙4c2=15°,在4C上取一点“，连接8H,使

BH=CH,则NHBC=N/CB=15。，求得乙4〃5=30。，则8〃=CH=248=4,所以

AH=ylBH2-AB2=A/42-22=273，即可求得/C=CH+/〃=4+25

【详解】(1)证明：如图3,延长线段D4到点C',使DC=OC,连接8C',

图3

•••AD平分/4DC,

ACDB=ACDB,

在AC'BD和ACBD中，

DC=DC

<ZC'DB=ZCDB,

BD=BD

."BD'CBD(SAS),

：.AC=ZC=45°,

ABAC=ZDAB=90°,

/ABC'=ZC'=45°,

：.AB=AC',

AB+AD=AD+AC=DC,

：.AD+AB=DC.

证明：如图2,在。C上截取40=40"连接H8,

图2

•••2。平分//DC,

•••NA'DB=ZADB,

在和△43。中,

AD=AD

</ADB=/ADB,

BD=BD

,MADB%ABD(SAS),

・•.AB=AB,/DAB=N4=90°,

・•・/CAB=90°,

•・•ZC=45°,

/.z^5C=zC=45°,

••・AB=A'C,

・•.AC=AB,

・•.AB+AD=A,D+A,C=CD.

(2)证明：如图4,作C£_LO3交D8的延长线于点£,ZL=ZA=90°f

图4L

•・•ZD=45°,

・•・/LCD=ZD=45°,

:・CL=DL,

•・•/ABD+/ABC+ZLBC=180。，/ABD+2/ABC=180。，

・••/ABD+/ABC+ZLBC=/ABD+2/ABC,

・•・ZLBC=Z.ABC,

在和△/5C中，

ZLBC=/ABC

<ZL=ZA,

BC=BC

・•."BC知ABC(AAS),

LB=AB,

•••CD=yjci}+DI}=41DL=42BD+41LB，

■-42BD+42AB^CD.

(3)解：线段NC的长度是4+2道，

理由：­,■ZABD+2.ZABC=130°,ZABD=30°,

.•.30O+2Zy4SC=180°,ZACB=15°,

在/C上取一点〃，连接瓦7,使BH=CH,贝l|NHBC=N/C8=15。,

NAHB=ZHBC+NACB=30°,

-：AB=2,

.-.BH=CH=2AB=4,

•••AH=y）BH2-AB2=依-2?=2百，

；.AC=CH+AH=4+2B

••・线段AC的长度是4+273.

【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与