2025年高考数学二轮复习专练：平面向量基本定理及坐标表示【七大题型】

专题4.3平面向量基本定理及坐标表示【七大题型】

【新高考专用】

1、平面向量基本定理及坐标表示

平面向量是高考的热点内容，属于高考的必考内容.从近几年的高考情况来看，平面向量基本定理、平

面向量的坐标运算是高考的热点内容，主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易；有时也会与三角函

数、解析几何结合出现在综合性大题中，难度中等.在高考复习过程中应注意加强对平面向量基本定理、向

量共线与垂直的条件的理解，熟记平面向量的相关公式，灵活进行求解.

►知识梳理

【知识点1平面向量基本定理及其解题策略】

1.平面向量基本定理

(1)平面向量基本定理

如果3,3是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量】，有且只有一对实数九，

—>—>->—>_>—>

九2，使。=4ei+%202.若02不共线，我们把｛勺，02｝叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

(2)定理的实质

由平面向量基本定理知，可将任一向量。在给出基底｛G,C2｝的条件下进行分解——平面内的任一向量

都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质.

2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路：

用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向

量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分

解都是唯一的.

【知识点2平面向量坐标运算及其解题策略】

1.平面向量线性运算的坐标表示

（1）两个向量和（差）的坐标表示

由于向量a=（%,%）,6=（%2,、2）等价于。=%1，+%j，b=x2i+y2j,所以。+6=（%/+歹1/）+（%2，+^2，）=（汨

+%2”+（乃+%）/，即〃+6=（%1+%2,%+%）.同理可得二（X1-X2,%-%）.

这就是说，两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）.

（2）向量数乘的坐标表示

由。二（x,y）,可得。贝1」2。=2（笛.+）/）=/1%，+/1>/,即4a=（2x,2y）.

这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.

2.共线的坐标表示

（1）两向量共线的坐标表示

设4=（汨,为），6=。2,%），其中「和•我们知道,a,b共线的充要条件是存在实数2，使a如果用

坐标表示，可写为0,歹1）=/1（%2,为），即‘为I”?’消去2,得X1^2-必>1=。.这就是说，向量b（人知）

［弘="

共线的充要条件是汨y2-x2y1=0.

（2）三点共线的坐标表示

若AO/i）,B（X2,必）,C（X3,%）三点共线，则有冠=4兹,

从而（龙2-尤1M）=2（兀-》2,了3-必），即（尤2-尤1）（了3-线）=（%372）（夕2叫1），

或由AB=flAC得到（必-X1）（乃-yi）=（为-%）（了2-%），

或由AC=yBC得至U（X3-X\）（"-竺）=（尤3-尤2）（为■JPi）.

由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,2,C三点共线.

3.平面向量坐标运算的技巧

（1）向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的

坐标，则应先求向量的坐标.

（2）解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解.

【方法技巧与总结】

1.右［与6不共线，且丸Q+,贝ijz=〃=o.

2.已知尸为线段AB的中点，若A（X］，M）,B（x2,y2）,则尸点坐标为（上尹•，丐业）.

3.已知AABC的重心为G,若4%,%），B（x2,y2）,C（x3,y3）,则G（“十个+与产+彳+巧.

►举一反三

【题型1平面向量基本定理的应用】

【例1】（2024•山西吕梁三模）已知等边AABC的边长为1,点O,E分别为的中点，若加=3而,

则存=（）

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

2624

C.-AB+ACD.-AB+-AC

222

【解题思路】取｛前，屈｝为基底，利用平面向量基本定理结合已知条件求解即可.

【解答过程】在AABC中，取｛左，屈｝为基底，

因为点分别为的中点，DF=3EF,

所以丽=三屁=工前，

24

所以标=AE+EF=^（AB+AC"）+沼=+河.

故选：B.

【变式1-1］（2024.山东潍坊.二模）在△ZBC中，8。点E是40的中点，记说=落AC=b,则屁

（）

112一1—1.1-»2-1一

A.--a+-bB.--a+-bC.--a--bD.-a--b

33363336

【解题思路】根据三角形中向量对应线段的数量及位置关系，用血、就表示出丽即可.

【解答过程】由题设屁=1瓦1+前）=j（BX+|fiC）=^［BA+^（BA+XC）］=-1AB+^AC,

所以阮=~-a+-b.

36

故选：B.

【变式1-2](2024•内蒙古呼和浩特.一模)在△ABC中，。为线段4C的一个三等分点，依。|=2|DC|.连接8。，

在线段BD上任取一点E,连接4E,若荏=。前+6话，则a?+。2的最小值为()

A.-B.-C.-D.-

42135

【解题思路】根据E在线段BD上得到版=2而+(1-4)存，结合已知条件得到a,b和4的关系式，最后转

化为二次函数求最小值.

【解答过程】•••E在线段8。上，AE=XAD+(1-2)屈，Ae[0,1],

•••D为线段4C的一个三等分点，\AD\=2\DC\,AD=jAC,

AE=|沆+(1-A)XB=aAC+bAB,

由平面向量基本定理得a=|九b=l-A,

,­,a2+b2=-A2+(1-A)2=-A2-2A+1=-(A--f+

9',99V13/13

当；l=,时,a2+♦取得最小值总

故选：C.

【变式1-3](2024•全国•模拟预测)如图所示，在△ABC中，M为线段BC的中点，G为线段4M上一点，AG=

2GM,过点G的直线分别交直线AB,AC于P,Q两点.设国=xQ(x>0),前=y而(y>0),则京+会

的最小值为()

A.-3B.3-C.3D.6

42

【解题思路】由中点和三等分点得到尼=式乐+前)，结合乐=%而。>0),AC=yAQ(y>Q},得至!J

AG=^AP+^AQf

33<

由三点共线得到x+y=3,利用均值不等式中“1的代换”求得圭+盍的最小值.

【解答过程】因为M为线段BC的中点，所以宿=^(AB+AC),又因为尼=2GM,所以而=|XM=|(^S+

AC),

又混=xAP(x>0),AC=yAQ^y>0),则而=^AP+^AQ,

而P,G,Q三点共线，所以：+g=L即x+y=3,

则上+工=4（%+2）+@+1）]（±+工）=14+整+—+1]245+2修例=必=

x+2y+16LV'7\x+2y+lJ6Ly+1x+2J6[y]y+1x+26

3

2f

当且仅当上=曳匕2即x=2,y=l时取等号.

y+1x+2,

故选：B.

【题型2利用平面向量基本定理求参数】

【例2】（2024•湖南益阳•一模）在平行四边形28CD中，BE-jfiC,AF=^AE,若灰=小屈+n而，则

m+n=（）

A.-B.-C.-D.1

326

【解题思路】利用平面向量的线性运算求出m,几即可求出加+n.

【解答过程】由题意如图所示：

因为方=：版=式荏+瓯）

^lAB+^AD^mAB+nAD,

所以tn=-,n=-,

36

1

所以m+n=-,

故选：B.

【变式2-1]（2024•陕西西安・一模）在△ABC中，点。是线段4C上一点，点P是线段BD上一点，且无=市,

AP^^AB+AAC,则2=（）

1125

A.-B.-C.-D.-

6336

【解题思路】依题意可得前=2而，即可得到族=|荏+2元而，再根据平面向量共线定理的推论得到|十

2A=1,解得即可.

【解答过程】因为方=市，所以而=:就，即尼=2而,

又存=|屈+2尼，所以»=|屈+2；C诟，

因为点P是线段BD上一点，即B、P、。三点共线，

所以2+22=1,解得;1=士

36

故选：A.

【变式2-2]（2024•湖南邵阳•三模）在平行四边形4BCD中，4C与BD交于点。，点E满足反=4反，OE=

AAC+[1BD,则；1-〃=（）

A.--B.--C.-D.-

4242

【解题思路】由平面向量的线性运算可得荏=;左+9而，即可求出尢〃的值，进而求出；1—〃.

88

【解答过程】因为屈=反+胃=反+|而=方+《（而一击）

=-OC+-OD=-AC+-JD,

4488

又因为丽=2前+〃丽，

所r*r*以[\J2131131

8,Tu=-8,A—ru=-8----8=—4.

故选：A.

【变式2-3]（2024•陕西榆林•三模）在△ZBC中，E在边上，且EC=3BE,。是边48上任意一点，AE^CD

交于点P,若丽=久刀+、方，则3x+4y=（）

A.-3B.--3C.3D.-3

44

【解题思路】利用向量的线性运算，得而=谓+丽=1方+©-荏，再利用平面向量基本定理，可

得X=—然后就可得到结果.

44

【解答过程】•••4P、E三点共线，设前=tE4(0<t<1),

则方=CE+~EP=^CB+tEA=|CS+t(GA-河)=tcX+

又,而=万方+丫而，所以x=t,y=|-|t,即3x+4y=3.

故选：C.

【题型3平面向量的坐标运算】

【例3】(2024.全国•模拟预测)在平面直角坐标系久。y内，已知点4(—1,1),屈=(1,—2),则砺=()

A.(2,-3)B.(0,-1)C.(-2,3)D.(0,1)

【解题思路】根据题意，结合向量的坐标表示与运算，即可求解.

【解答过程】因为点4(一1,1),荏=(1,—2),则65=(—1,1),

可得而=+屈=(-1,1)+(1,-2)=(0,-1).

故选:B.

【变式3-1](2024•河北•模拟预测)在正六边形ABC。所中，直线即上的点M满足前=芯+小前，则

m=()

A.1B.-C.-D.-

234

【解题思路】建立平面直角坐标系，利用坐标法列关于6的方程，解之即可求得m的值.

【解答过程】在正六边形ABCDEE中，以A为原点，

分别以2B,4E所在直线为居y轴建立平面直角坐标系，

不妨令AB=1,^71(0,0),C(|,y),D(l,V3),M(t,A/3),

AC=(|,y),XO=(1,V3),4M=(t,V3),

t=-+m(_i

4,解之得17n—5

{V3=^+V3mlt=2

【变式3-2](2024•河南关B州•模拟预测)已知点A,B,C,。为平面内不同的四点，若丽=2万5-3反，

且前=(-2,1),则荏=()

A.(4,一2)B.(-4,2)C.(6,-3)D.(-6,3)

【解题思路】由已知整理可得荏=3尼，然后由坐标运算可得.

【解答过程】由前=2育一3瓦得丽+市=3育-3反，BPB1=3CA,即荏=3就，

又前=(-2,1),所以荏=3前=(-6,3).

故选：D.

【变式3-3](2024•宁夏银川・二模)已知向量五二(2,—3),B=(1,2),8=(9,4),若"mHnB,则m+九=

()

A.5B.6C.7D.8

【解题思路】由向量的坐标运算计算即可.

【解答过程】由题意，得3=(2m+弭-3??1+2几)=(9,4),

所以｛解得｛巾=1，

所以m+n=7.

故选：C.

【题型4由向量共线(平行)求参数】

【例4】(2024・浙江嘉兴•模拟预测)已知向量江=(1,2)1=(尢-1)]=(〃,一1),若0+>IIb,则4+〃=

()

A.-2B.-1C.0D.1

【解题思路】由向量平行的坐标表示即可求解.

【解答过程】由条件可得五+d=(1+〃,1)

因为0+1||b,

所以—(1+〃)=a

所以a+〃=—1

故选：B.

【变式4-1](2024.河南南阳•一模)已知向量2=(1,—2),3=⑶―1),0=(—4,%),若2^+3,"限向共

线，则实数x的值为()

A.-7B.3C.3或一7D.-3或7

【解题思路】利用平面向量的坐标运算以及共线的坐标表示计算即可.

【解答过程】因为江=(l,-2),b=(x,-l),c=(-4,%),所以2江+另=(2+x,-5),a-c=(5,-2-x).

因为2N+3,N—共线，所以(2+x)x(-2—x)—(―5)x5=0,解得x=3或x=—7.

又22+江日一3反向共线，代入验证可知x=3时为同向，舍去.

而x=—7满足条件，所以x=-7.

故选：A.

【变式4-2](2024•内蒙古包头•三模)已知向量江=(1,—1),b=(m+l,2m-4),若值+B)〃Q—3),

则?n=()

A.4B.3C.2D.1

【解题思路】结合向量的坐标运算与向量平行定义计算即可得.

【解答过程】由2=b-(jn+1,2m-4),

则N+3=(m+2,2m—5),a.—b=(—m,3—2m),

由Q+h)//(a—b),则有(m+2)(3—2m)+m(2m—5)=0,

即6-6m=0,故m=1.

故选：D.

【变式4-3](2024・贵州贵阳•二模)已知向量日=(l,-2),b=(2,%),若(3a一月)〃R+2司，则实数X=()

A.2B.1C.0D.-4

【解题思路】借助向量坐标运算与向量平行的坐标表示计算即可得.

【解答过程】32-3=(1,-6-x),a+2b=(5,2%-2),

由(32-b)//(a+2b),则有1x(2x-2)-5x(-6一x)=0,

解得％=-4.

故选：D.

【题型5利用向量共线求向量或点的坐标】

【例5】(2024•陕西宝鸡•三模)己知向量2=⑺,2)与3=(—2,-4)共线，则22—3=()

A.(10,8)B.(4,8)C.(0,0)D.(1,2)

【解题思路】根据共线向量的坐标表示即可求解

TT

【解答过程】因为a=(m,2)fb=(—2,—4)共线，

所以-47n=-4,解得m=l,

所以a=(1,2)=>2a=(2,4),

~TT

所以2a—b=(4,8).

故选：B.

【变式5-1](2024.全国•模拟预测)已知M(4,—2),N(—6,—4),且加=一视而，则点P的坐标为()

A.(1,1)B.(9,-1)C.(-2,2)D.(2,-1)

【解题思路】由M,N的坐标得出而，设点P(x,y),得出前F,根据加=-1而列出方程组求解即可.

【解答过程】因为M(4,-2),N(—6,—4),

所以_[而=-|(-10,-2)=(5,1),

设P(x,y),则而=(x-4,y+2),

又丽=

所以*<=-r

所以点P的坐标为(9,—1).

故选：B.

【变式5-2](2024.河北邯郸.三模)已知向量2=(皿2)与3=(—2,—4)共线，则3N—3=()

A.(1,10)B.(5,10)C.(5,2)D.(1,2)

【解题思路】根据向量共线的坐标公式建立方程，解得参数，结合向量的坐标运算，可得答案.

【解答过程】因为江〃另，所以(一4)xm=2x(-2),解得m=1,

所以32-b=3(1,2)-(-2,-4)=(5,10).

故选：B.

【变式5-3](2024•陕西宝鸡•一模)设向量五=(2,-1),b=若向量江与江一反共线，则石+另=()

A.(—2,1)B.(—2,—1)C.(—4,2)D.(—2,—4)

【解题思路】由向量共线的坐标运算求出m的值，再由向量线性运算的坐标表示求五+改

【解答过程】向量五二(2,—1),b=(jn,2),贝嗫一3二(2—TH,—3),

若向量d与Z—反共线，有2义(-3)=—(2—爪)，解得巾=-4,贝悟=(—4,2),

所以d+b=(-2,1).

故选：A.

【题型6向量坐标的线性运算解决几何问题】

【例61（23-24高一下•河南郑州•期中）如图，在直角梯形2BCD中,4B||DC,AD1DC,AD=DC=2AB=4,

E为2D的中点，若5=4厘+〃砺（尢则4+〃的值（）

【解题思路】建立平面直角坐标系，由襦=ACE+廊（入平eR）,利用向量相等求解.

【解答过程】解：建立如图所示平面直角坐标系：

则D(0,0),C(4,0),4(0,4),8(2,4),E(0,2),

所以需=(-4,4),CE=(-4,2),DB=(2,4),

因为乙？=4无+〃砺(尢4eR),

所以(—4,4)=4(—4,2)+以2,4),

则『沉沈］解得―

所以4+〃=g,

故选：B.

【变式6-1］（2024•江苏南通•二模）如图，点C在半径为2的48上运动，NAOB=若赤=小瓦？+九丽,

则m+n的最大值为（）

B,

y

OA

A.1B.V2C.乎D.V3

【解题思路】建立适当的坐标系，设乙40C=a,利用向量的坐标运算得到私”与a的关系，进而得到根+〃

关于a的三角函数表达式，利用辅助角公式整理后，根据三角函数的性质求得其最大值.

【解答过程】以。为原点、市的方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系，

则有色？=(2,0),OB=(1,V3).

设乙4OC=a,则OC=(2cosa,2sina).

由题意可知了臂n；2cosa

所以TH+71=cosa+jsina=手sin(a+

因为ae[0,外,所以a+1殍用,

故加+n的最大值为竽.

故选：C.

【变式6-2](23-24高一下•安徽合肥・期中)设。为△力BC所在平面内一点，满足2瓦？-7布-3反=6,

则A4BC的面积与ABOC的面积的比值为()

A.2.5B.3C.3.5D.4

【解题思路】以点B为坐标原点，8c所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设点8(0,0)、C(a,0)(a力0)、

A(b,c),。(皿m，根据已知条件求出点。的坐标，利用三角形的面积公式可求得结果.

【解答过程】以点B为坐标原点，8C所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

设点0)(aW0)、A(b,c)>O(jn,n),

则。4=(b—m,c—n),OB={-m,—ri),OC=(a—m,—ri),

由2市一7而一3瓦=6可得户。f3匕+26：。，解得加=，一4，n=--c,

i8n+2c=0844

ShABC

所以,S^ABC=^|ac|,S^B0C=1|a|x|c|=\ac\,因此,=4.

2248S&BOC

故选：D.

【变式6-3](23-24高三上.江苏扬州.阶段练习)已知直角梯形2BCD中，AD//BC,乙4DC=90。，2。=2,

BC=1,P是腰DC上的动点，则|西+3丽|的最小值为()

A.-4B.5C.-5D.4

【解题思路】以D4DC为%,y轴的正方向建立直角坐标系，利用向量的坐标表示求模长的最小值.

由题：以D4DC为%,y轴的正方向建立直角坐标系，如图所示：

^C(0,a),P(0,b),B(l,a)M(2,0),0<b<a,

则方+3PB=(2,-fa)+3(1,a—b)=(5,3a-4b)

\PA+3网=J25+(3a-46)2>5,当匕=半取得最小值5.

故选:B.

【题型7由向量线性运算解决最值和范围问题】

【例7】(23-24高三・全国•阶段练习)在直角梯形A8C。中方•丽=0,NB=30。，AB=2陋,BC=2,点、

£为2C边上一点，且族=比屈+y而，贝反y的取值范围是()

A.(-8,0B.[0,|]C.[0,f]D.[j,2V3]

【解题思路】建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式，结合配方法进行求解即可.

【解答过程】建立如图所示的直角坐角坐标系，过C作CF14B,垂足为F,

因为NB=30°,BC=2,

=CF=2sin30°=1,BF=2cos30°=V3,

^(0,0),B(2V3,0),C(V3,1),£)(0,1),设E(a,6),BE=mBC(me[0,1]),

因此有(a-2V3,b)=m(-V3,1)今卜一28=-V3m今卜=2百一V3m

(b=m(b=m

因为荏=%^+y同,

y/3a

a=2A/3XX=——

所以有(a,b)=x(2y/3,0)+y(0,1)=(2y/3x,y)=>6

b=yy=b

而ja=2V3—V3m,

(b=m

所以第y=—(2V3—V3m)m=(1—-m)m=~~(m—l)2+

6222

当zn=l时，孙有最大值点当血=0,孙有最小值0,

所以孙的取值范围是

故选：B.

【变式7-11（23-24高一下•山东•期中）在矩形A8CQ中，AB=1,AD=2,动点尸在以点A为圆心的单

位圆上.若9=4荏+〃通（尢〃eR）,贝iU+〃的最大值为（）

A.3B.V5C.—D.2

2

【解题思路】构建直角坐标系，令而=（cose,sin。），66[0,2%），根据向量线性关系的坐标表示列方程组

得cost=2〃，结合辅助角公式、正弦函数性质求最值.

sm6=A

【解答过程】构建如下直角坐标系：AB=（0,1）,^40=（2,0）,令羽=（cosasin。），8G[0,2/r）,

则4+〃=sin。+=-ysin(0+g)且tang=

所以当sin(。+0)=1时，4+〃的最大值为手.

故选：C.

【变式7-21(23-24高三上.山西.阶段练习)在等腰直角△ABC中，。为斜边的中点，点尸为△ACD内

一点(含边界)，若»=加+流，则泄取值范围为()

【解题思路】设48=ac=4,以2为原点，AB,旅的方向为x轴，y轴的正方向建立直角坐标系，根据向

量相等，即可求出2的取值范围.

【解答过程】设4B=4C=4,以力为原点，AB,前的方向为x轴，y轴的正方向建立直角坐标系，则而=

7(4,0)+2(0,4)=(1,44).要使点。为4&CD内一点(含边界)，直线=x,8C:x+y=4,所以1W42W3,

4

即；4W

44

故选：D.

【变式7-3](23-24高一下•山西朔州.阶段练习)在矩形ABC。中，2B=声，BC=遮，P为矩形内一点,

且2P=,若Q=4存+〃而(4,〃eR),则近4+岛的最大值为()

AV5DVioc3+V3nV6+3V2

A.—D.C.----D.-----------

2244

【解题思路】由题意，以点4为坐标原点，以4B所在直线为x轴，4。所在直线为y轴，建立平面直角坐标系,

0

X-V-5cos

设p@,y),根据题中条件，得至听二阻，/+/=/〉。/>。)，令,20G化

■e

y-V25s1npr

求式子为遥％+V^z=x+y=¥sin(0+9,根据正弦函数的性质，即可求出最值.

【解答过程】由题意，以点4为坐标原点，以4B所在直线为久轴，4。所在直线为y轴，建立如图所示的平面

直角坐标系，

则4(0,0),B(V5,0),£)(0,V3),设PQc,y),

则而=(x,y),AAB+(1AD=(V52,V3/z),

因为而=2荏+〃布(4,〃CR),所以卜=噂'，

(y=V3〃

又P为矩形内一点，且4P=与贝！J/+y2=2>0,y>0),

24

X-VT5ce

不妨令4OmS

y-VT5s0

则逐/1+A/3/Z=%+y=Y(cos0+sin。)=sin(6+*

又0«0,9,所以9+为&m,

因此，当。=抑，手sin(。+习取得最大值手，

即+百〃的最大值为

1.(2022•全国•高考真题)已知向量石=(3,4)/=(1,0)第=之+S，a,c>=<b,c>,则t=()

A.-6B.—5C.5D.6

【解题思路】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得

【解答过程】解：c=(3+t,4),coscosc>,BP9+f^16=笔，解得t=5,

<a,c>=<b,51cl|c|

故选：C.

2.(2023•全国•高考真题)已知向量N=(1,1),B=若Q+高)10+〃3),则()

A.a+〃=iB.a+〃=—1

C.A/i=1D,4〃=—1

【解题思路】根据向量的坐标运算求出五+2九五+〃丸再根据向量垂直的坐标表示即可求出.

【解答过程】因为五=(1,1),b—(1,—1),所以五+Xb-(1+A,1—A),a.+林b-(1+出1—〃)，

由Q+Xb)1(a+可得,(a+Ah)*(a+=0,

即(1+4)(1+〃)+(1—4)(1—〃)=0,整理得：2〃=一1.

故选：D.

3.(2024・全国•高考真题)设向量4=(久+1,%)4=(%,2),贝1()

A.“无=—3”是*1亦的必要条件B."x=1+遮”是％〃户的必要条件

C.“x=0”是*1户的充分条件D.“x=-1+遮”是2〃铲的充分条件

【解题思路】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.

【解答过程】对A,当213时，贝展不=0,

所以“(x+l)+2x=0,解得x=0或一3,即必要性不成立，故A错误；

对C,当x=0时，2=(1,0),3=(0,2),故鼠3=0,

所以a13,即充分性成立，故c正确；

对B,当2〃那寸，贝眨(x+l)=%2,解得x=i土百，即必要性不成立，故B错误；

对D,当x=-l+V^时，不满足2(x+1)=/,所以五〃另不成立，即充分性不立，故D错误.

故选：C.

4.(2022.天津.高考真题)在AABC中，点。为AC的中点，点E满足荏=2就.记?1=%荏=3,用匕3表

示砺=与-为，若ABIDE,则N4CB的最大值为♦.

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【解题思路】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出反，以｛五，司为基底，表示出荏，赤，由AB1

DE可得3留+彦=4。出再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出.

法二：以点E为原点建立平面直角坐标系，设E(0,0),B(l,0),C(3,0),a(x,y),由10E可得点4的轨迹为以

”(-L0)为圆心，以r=2为半径的圆，方程为(x+l)2+y2=4,即可根据几何性质可知，当且仅当C4与。M

相切时，NC最大，即求出.

【解答过程】方法一:

DE=CE-CD=^b-^a,AB=CB-~CA-a,ABLDE(3b-a)•(