2025年高考数学二轮复习专练：幂函数与指、对数函数【九大题型】解析版

专题2.5塞函数与指、对数函数【九大题型】

【新高考专用】

1、易函数与指、对数函数

幕函数、指数函数与对数函数是高中三类常见的重要函数，在历年的高考中都占据着重要的地位，是

高考常考的热点内容.从近几年的高考情况来看，对嘉函数、指数函数与对数函数的考查，主要以基本函数

的性质为依托，结合指、对数的运算性质，运用募函数与指、对数函数的图象与性质解决具体的问题，包

括比较指对塞的大小、解不等式等题型.在复习过程中要掌握相关知识，能对常见的指数型函数、对数型函

数进行灵活处理.

►知识梳理

【知识点1塞函数及其解题策略】

1.易函数的解析式

幕函数的形式是了=K(aGR),其中只有一个参数a,因此只需一个条件即可确定其解析式.

2.暴函数的图象与性质

在区间(0,1)上，幕函数中指数越大，函数图象越靠近无轴(简记为“指大图低”)，在区间(1,+8)上，幕函

数中指数越大，函数图象越远离无轴.

3.比较塞值的大小

在比较基值的大小时，必须结合幕值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各

个幕函数的图象和性质是解题的关键.

【知识点2指数、对数运算的解题策略】

1.指数塞运算的一般原则

(1)指数幕的运算首先将根式、分数指数幕统一为分数指数幕，以便利用法则计算，还应注意：①必须

同底数暴相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.

(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.

(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.

2.对数运算的常用技巧

(1)在对数运算中，先利用哥的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数暴的形式，使塞的底数最简，

然后用对数运算法则化简合并.

(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数

的积、商、幕再运算.

(3)指对互化：d="06=皿"(心0,且任1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应

注意互化.

【知识点3指数函数与对数函数的常见问题及解题思路】

1.指数函数的常见问题及解题思路

(1)比较指数式的大小

比较指数式的大小的方法是：①能化成同底数的先化成同底数幕，再利用单调性比较大小；

②不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小.

(2)指数方程(不等式)的求解思路

指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.

(3)指数型函数的解题策略

涉及指数型函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、

单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.

2.对数函数的常见问题及解题思路

(1)对数函数图象的识别及应用

①在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、

最低点等)排除不符合要求的选项.

②一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.

(2)对数(型)函数的值域和单调性问题的解题策略

利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问

题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即

它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.

►举一反三

【题型1指数然与对数式的化简、求值】

［例1］（2024.青海・模拟预测）若a=log35,5。=6,则ab-log32=（）

A.1B.-1C.2D.-2

【解题思路】本题考查指数式与对数式的互化、对数的运算法则、换底公式的应用.

【解答过程】由5。=6=>b=log56,

所以ab-log2=log5-log6-log2=Iog5.-log2=log6-log2=log1=log3=1

33533log3b3333Z3

故选：A.

【变式1-1］（2024.河南.三模）若。2036刑则化简21%3+（6）2+好的结果是（）

A.3+a+bB.3+ci+|b|

C.2+a+bD.2+a+\b\

【解题思路】根据指数运算法则和对数运算法则化简求值即可.

【解答过程】由2i°gz3=3,（VH）2=a,府=网可知，

2喻23+（Va）2+归=3+a+\b\.

故选：B.

【变式1-2］（2024.陕西西安.模拟预测）设a,b,c都是正数，且4a=68=9。=3那么（）.

A1,11「1,11-1,12—1,12

A.-+-=-B.-+-=-C.-+-=-D.-+-=-

abcbcaabcacb

【解题思路】将指数式化为对数式，根据对数换底公式、对数运算法则逐项验证即可.

bC

【解答过程】依题意设4a=6=9=t,则。=log4t,b=log6t,c=log9t,

r*r21inI1i/l1i八

所以£=国=log/，m=诉=l°gt6，［=丽=10及9，

贝4+:=logt4+logt6=logt24j=Iogt9,1+：=logt244|=210gt9=logt81故A,C错误；

则"+|=logt6+logt9=logt54H:=Iogt4,故B错误；

则：+j=logt4+logt9=logt36=210gt6=；,故D正确.

故选：D.

【变式1-3］（2024•辽宁丹东•一模）若2a=3,38=5,5。=4,则log4abe=（）

A.-2B.-C.—D.1

22

【解题思路】根据题意，结合指数基与对数的互化公式，结合对数的换底公式，即可求解.

b

【解答过程】由2。=3,3=5,5c=4,可得。=log23/h=log35,c=log54,

所以abc=log23Xlog35xlogs4=^xj||x黑=2,贝Ulog4abe=log42=

故选：B.

【题型2指对幕函数的定义与解析式】

【例2】（24-25高一上•全国•课前预习）下列函数是对数函数的是（）

A.y=loga（5+x）（a>0且aHl）B.y=log（逐一】产

C.y=log3（—x）D.y—logxV3（刀>0且万力1）

【解题思路】利用对数函数的定义求解.

【解答过程】根据对数函数的定义/（x）=logax（a>0且a丰1）,

分析A,B,C,D函数形式，

函数y=log（b_1产为对数函数.

故选：B.

【变式2-1]（24-25高一上•全国•课后作业）若指数函数/0）的图象过点（4,81）,则/（X）的解析式为（）

A./（%）=x3B./（%）=3X

X1

©D.f（x）=%3

【解题思路】设/（x）=ax,（a>0且a丰1）,代入点（4,81）运算求解即可.

【解答过程】设/'（%）=a*,（a>0且a力1）,

因为函数f（x）的图象过点（4,81）,则f（4）=a4=81,解得a=3,

所以f（x）=3\

故选：B.

【变式2-2]（2024•广东广州•模拟预测）若塞函数f（久）=（m2-m-1）久2M-3在（0,+8）上单调递增，则实

数小的值为（）

A.2B.1C.-1D.-2

【解题思路】根据条件，利用基函数的定义和性质，即可求出结果.

【解答过程】因为黑函数/'（X）=（62—小一1）/加-3在（0,+8）上是增函数，

所以，巾：一小解得巾=2.

（2m—3>0

故选：A.

【变式2-3]（2024高二下•安徽•学业考试）若函数y=（a2-5a+7）呼+4-2a是指数函数，则有（）

A.a=2B.a=3

C.a=2或a=3D.a>2,且aH3

【解题思路】根据指数函数定义求参.

【解答过程】因为y=(a2-5a+7)a%+4-2a是指数函数，

所以小—5a+7=1,a?—5a+6=0,(a—2)(a—3)—0,且4—2a—0

所以a=2.

故选：A.

【题型3指对幕函数的定义域与值域问题】

【例3】(2024・四川成都・二模)已知函数/(久)=的值域为M.若(1,+8)=M,则实数a的取值范

围是()

A.(一8月B.[o,i]C,(-00,-i]uD.卜,+8)

【解题思路】对实数a分类讨论，根据二次函数的性质及指数函数的值域可得结果.

【解答过程】当a=0时，/(x)=2-x+i6(0,+oo),符合题意；

当a中0时，因为函数f(x)=2。/-方+1的值域为M满足(1,+8)cM,

由指数函数的单调性可知，即二次函数y=ax2-x+1的最小值小于或等于零；

若a>0时，依题意有y=ax2—%+1的最小值^^<0,即0<a4%

若a<0时，不符合题意；

综上：0<a<i,

故选：B.

【变式3-1](2024.内蒙古锡林郭勒盟•模拟预测)已知函数〃久)=lg(l-则下列结论错误的是()

A.〃久)的定义域为(一8,1)B.f(x)的值域为R

C./(-1)+/(-4)=1D.y=/(/)的单调递增区间为(0,1)

【解题思路】根据函数的解析式，求出函数的定义域和值域即可判断A、B；利用对数运算法则即可求出

即可判断C；根据复合函数的单调性即可判断D.

【解答过程】由1—x>0,得x<l,则/(>)的定义域为(—8,1),值域为R,故A,B均正确；

/(-I)+/(—4)=lg2+lg5=IglO=L故C正确；

因为=lg(l-%2),所以y=]g〃，外层函数为增函数，

u=1-X2,令1一%2>0,所以函数定义域为(-1,1),

内层函数〃=1一%2,在(—1,0)上单调递增，(0,1)上单调递减，

所以y=f(7)的单调递增区间为Ji,。)不是(0,1),故口错误.

故选：D.

【变式3-2](24-25高一上•安徽马鞍山•期中)已知幕函数y=/(久)的图象过点卜,g,下列说法中正确的是

()

A./(%)是奇函数B./(久)的定义域是[0,+8)

C./(%)的值域是[0,+8)D./(久)在定义域上单调递减

【解题思路】由条件求出幕函数的解析式，根据幕函数的性质判断即可.

【解答过程】：哥函数y=f(x)的图象过点(4,3,设f(x)=xa,

：.4a即22。=2-1,得2a=-l,a=—点

.•"(%)=工-12=专1,其定义域为(0,+8),故B错误；

•••定义域关于原点不对称，.♦•八X)为非奇非偶函数，故A错误；

•.,定义域为(0,+8),/(X)=盍>0,."3)的值域是(0,+8),故c错误；

=-之<0,尤)在定义域(0,+8)上单调递减，故D正确.

故选：D.

【变式3-31(2024・湖北武汉.模拟预测)已知a〉0且a丰1,若函数/(久)=.的值域

为R,贝b的取值范围是()

A.(0,|]B.[j,l)C.(1,2]D.[2,+8)

【解题思路】利用对数函数和指数函数的单调性，对a进行分类讨论，可得答案.

【解答过程】•­•中)=>0的值域为R，

当a>1时，

则%<a,/(%)=出"。为增函数，/(x)</(a)=1,

而无>a时，/(%)=log/%+a)+1为增函数，

此时,/(%)>/(a)=loga2a+1=loga2+2>2,不符题意；

当0VaV1时，

则久<a,/(x)=a"。为减函数，/(x)>/(a)=1,

而%>。时，/(%)=loga(x+a)+1为减函数，

此时，/(x)</(a)=loga2a+1=loga2+2,

因为〃x)的值域为R，当且仅当10ga2+221时，满足题意,

此时,1叫22-1,则器…整理得,ln2WTna,解得a.

综上，0<a<]时满足题意.

故选：A.

【题型4指对嘉函数的图象问题】

i

【例4】(2024・湖北•模拟预测)函数/(%)=e*--In/的图象大致为()

【解题思路】根据％V0时/(%)的单调性可排除BC；再由奇偶性可排除D.

1

1

ex_e-_21n(—%),%<0

【解答过程】/(%)=ex-ex-In%2=i

ex—ex-2\nx,x>0

因为当%<0时，y=ex,y=-e"y=-21n(-%)都为增函数,

i

所以，y=e%—战—21n(—%)在(—8,0)上单调递增，故B,C错误;

又因为/(—%)=e~x—e~x—In%2H—/(%),

所以/(%)不是奇函数，即图象不关于原点对称，故D错误.

故选：A.

【变式4-1](2024.全国•模拟预测)已知函数f(x)=(|x|-或)ln/,则/⑺的图象大致为()

【解题思路】先判断函数奇偶性排除选项A,再根据函数值正负排除B,C,即可得出答案.

【解答过程】因为/（%）的定义域为（一8,0）u（0,4-00）,/（-%）=（|一％I-占）1口（一%）2=（|%|-日）ln%2=

/（%）,所以/（%）是偶函数，则其图象关于y轴对称，排除A；

当久>1时，|%|—W>0,In%2>0,所以/（汽）>0,当0<%<1时，|x|--i-<0,In%2<0,所以/（%）>0,

闭I巾

故排除B,C.

故选:D.

【变式4-2］（2024・四川南充.二模）已知函数/（乃的图象如图所示，则/（乃的解析式可能是（）

A.y—xiB.y=x~2C.y=x3D.y=

【解题思路】根据事函数的性质一一判断即可.

1

【解答过程】对于A：函数y=蓊=日的定义域为［0,+8）,显然不符合题意，故A错误；

对于B：函数y=—=a的定义域为（0,+8）,显然不符合题意，故B错误；

对于C：函数y=式的定义域为R,又y=*为奇函数，

但是y=/在（o,+8）上函数是下凸递增，故不符合题意，故C错误；

对于D：y==正定义域为R,又y=为奇函数，

1

且y=如在（0,+8）上函数是上凸递增，故D正确.

故选：D.

【变式4-3］（2024.陕西.模拟预测）已知函数/（%）的部分图象如图所示，则/（%）的解析式可能为（）

*

A./(%)=ex-e-xB./(久)=1一品C./(x)=x4\x\D.f(x)=皿鼠)

【解题思路】结合指数函数的图象与性质即可判断AB选项错误，对C代入x=2判断C错误，则可得到D

正确.

【解答过程】根据函数/Q)的图象，知而对A选项/(l)=e—eT>2排除A；

对B选项/(x)=1—等，因为e，+l>l,则告6(0,2),

ex+lex+l

则f0)=1-七e(—1,1),但图象中函数值可以大于1,排除B；

ex+l

根据C选项的解析式，f(2)=2&y2.8,而根据函数/⑺的图象，知f(2)-1,排除C.

故选：D.

【题型5指对幕函数的单调性问题】

【例5】(2024.辽宁.一模)若函数/(x)=3-2/+ax在区间(1,4)内单调递减，贝必的取值范围是()

A.(-OO,4]B.[4,16]C.(16,+00)D.[16,+8)

【解题思路】利用“同增异减”判断复合函数的单调性，从而求参数的取值范围.

【解答过程】设/(a)=3&,u=-2x2+ax,贝Uf(a)=3"在(一8,+8)上单调递增.

因为f(x)=3-2送+»在区间(1,4)内单调递减，所以函数&=-2/+ax在区间(1,4)内单调递减，

结合二次函数的图象和性质，可得：7<1,解得aW4.

故选：A.

【变式5-1](2024•山西晋中•三模)下列函数中既是奇函数，又在(0,+8)上单调递减的是()

A./(%)=2㈤B./(%)=x3

cC乙、1nD.乙/(x、)=(3nI(n%r%)>,0x,<。

【解题思路】根据奇函数和单调性的定义，结合基本初等函数的图象逐项判断.

【解答过程】对于A：函数f(x)=2阳的定义域为R,

又/(-%)==/(%),所以f(x)是偶函数，故A错误；

对于B：由暴函数/(x)=/的图象可知，/(%)=/在(o,+8)上单调递增，故B错误；

对于C：函数/Xx)=：-刀的定义域为(一8,0)U(0,4-00),

又/(—X)=白一(_x)=所以f(x)是奇函数，

又幕函数y=；,y=—X都在(0,+8)上单调递减，

所以函数f(x)=：-x在(0,+8)上单调递减，故C正确；

对于D：因为对数函数y=Inx在(0,+8)上单调递增，

所以函数/(x)=[上。在(0,+8)上单调递增，故D错误.

故选：C.

【变式5-2](2024•江苏无锡•模拟预测)在下列函数中，是奇函数且在(0,+8)上是增函数的是()

112

A.y=%2B.y=x3C.y=xsD.y=x-1

【解题思路】运用基函数奇偶性和单调性可解

【解答过程】根据幕函数性质知道，

1

y=/定义域为[0,+8),(0,+8)上单调递增，非奇非偶函数，故A错误；

y=好奇函数且在(0,+8)单调递增，故B正确；

2

y=蓊为偶函数，且在(0,+8)单调递增，故C错误；

y=xT=]为奇函数，且在(0,+8)单调递减，故D错误.

故选:B.

2

【变式5-3](2024.海南.模拟预测)已知a>0且aH1,若函数/(%)=a%与g(%)=log2(x+4ax+7)在

[—1,+8)上的单调性相同，则a的取值范围是()

A.(0,|]B.g,l)C.(1,2)D.(1,+8)

【解题思路】利用指数函数、对数函数及复合函数的单调性计算即可.

【解答过程】由题意知y=x2+4ax+7在[-1,+8)上只能是单调递增，

所以g⑺在T+8)上单调递增，所以"i)2+急£；'+7>°,

得，a<2.

又/(x)=谟单调递增，所以a>l.

综上得1<Q<2.

故选：C.

【题型6指对幕数比较大小】

【例6】（2024•宁夏吴忠・一模）已知。=0.23/=3°，2,c=logo.23,则（）

A.a>c>bB.a>b>c

C.b>a>cD.c>b>a

【解题思路】借助指数函数与对数函数的单调性借助中间量比较即可得.

3

【解答过程】a=0.2<0.2°=1,6=3°2>3°=1,c=log023<log0,2l=0,

故b>l>a>0>c,故b>a>c.

故选：C.

11040

【变式66］（2024・四川眉山•一模）=log39,b=log050.2,c=4,则（）

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.a>c>b

【解题思路】结合指数函数和对数的运算性质易得a=2.2,b=log25,c<2,进而分析比较2?2与5的大小,

进而比较与55的大小，进而判断即可.

1

1:L04005

【解答过程】a=log39=1.1-log39=2.2,c=4<4=*=2,

2

b=log0.5°-=logl|=log25>log24=2,

则a>c,b>c,下面比较a与b的大小，

即比较2.2=log222-2与R）g25的大小,

即比较222与5的大小，

即比较21i与55的大小，而21i=2048<55=3125,

则a<b,所以b>a>c.

故选：B.

【变式6-21（2024.贵州遵义.模拟预测）设a=log2（）242026,b=log20232026,2024c=2025.则（）

A.a>c>bB.a>b>c

C.b>c>aD.b>a>c

【解题思路】根据指对互化，结合对数函数A%）=Iog2024%的单调性可比较a，c大小，根据对数函数。（久）=

log2026万的单调性，结合对数的运算即可比较的大小，从而得结论.

【解答过程】因为2024c=2025,所以c=脸0242025,

202

又因为函数/（X）=log2024X在X6（0,+8）上递增，所以log20242025<log20246,即c<a,

因为函数9（x）=log2026%在Xe（0,+8）上递增，

所以°=Iog2o261<log20262023<log2o262024<log2o262026=1,

则1>------1----，即log20232026>log242026,即b>a,

l°g20262023log2026202420

综上可得：b>a>c.

故选：D.

【变式6-3](2024•陕西铜川•模拟预测)设a=2«，fa=log23,c=W，则()

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.a>c>b

【解题思路】根据指数函数和对数函数的单调性比较大小.

【解答过程】因为y=2,在R上单调递增，又应>1,所以2四>21=2,即a>2,

因为32>27,所以V豆>遮7,即二>3,

因为y=log?*在(0,+8)上单调递增，

一一5C

所以log22E>log??,所以]>k)g23,

因为百>|,所以2>百>log23,即2>c>b,

所以a>c>b.

故选：D.

【题型7解不等式问题】

【例7】(2024.全国•模拟预测)已知函数f(x)=全-―32T,则满足/(x)+〃8=3x)>0的x的取值范围

是()

A.(-OO,4)B.(-00,2)C.(2,+8)D.(-2,2)

【解题思路】设g(x)=3X-3-x,即可判断g(x)为奇函数，又f(x)=g(x-2),可得图象的对称中心

为(2,0),则f(x)+f(4-x)=0,再判断f(%)的单调性，不等式/(久)+f(8—3支)>0,即f(8—3x)>

/(4-x),结合单调性转化为自变量的不等式，解得即可.

【解答过程】设g(x)=3"-3一，xER,则g(-x)=3—-3*=_g(x),所以g(x)为奇函数.

又f(x)=3X~2—32T=3X-2_3-0-2)=g(x_2),

则/O)的图象是由9(x)的图象向右平移2个单位长度得到的，

所以f(x)图象的对称中心为(2,0),所以/(x)+/(4-x)=0.

因为y=3方在R上单调递增，y=3一在R上单调递减，

所以g(x)在R上单调递增，则久%)在R上单调递增，

因为/'(x)+f(Q-3%)>0=/(x)+f(4-x),

所以/'(8—3x)>/(4—工)，所以8-3x〉4—x,解得x<2,

故满足/(久)+f(8-3%)>0的x的取值范围为(-8,2).

故选：B.

【变式7-1](2024•广东肇庆•一模)已知定义在R上的函数或久)=eX-eT+f(x),其中g(x)是奇函数且在

R上单调递减，f(1蜂%)</(2)的解集为()

A.(-8,[)B.(0,?

C.&+8)D.(4,+8)

【解题思路】由仪尤)是奇函数且在R上单调递减，函数y=-(即-e-9也是奇函数且在R上单调递减，得

在R上单调递减，利用单调性解不等式.

【解答过程】定义在R上的函数g(x)=e久—e-x+f(x),

因为g(x)是奇函数，y=e，-eT也是奇函数，所以f(x)是奇函数.

由/(x)=g(x)-(ex-e~x).

因为y=ex-e-x是增函数，所以y=-(ex-e^)是减函数.

又因为g(x)是减函数，所以f(x)在R上单调递减.

因为f(logy)<f(2),所以log工x>2,解得0<%<[.

故选：B.

(2T%<0

【变式7-2](2024.吉林长春.模拟预测)设函数/(X)=|ioglx,x^0，若>2,贝k的取值范围是()

A.(-8,—l)u(01)B.(-8,—l)u&l)

C.(一11)D.(-co(

【解题思路】分t<0和t>。两种情况进行求解即可得答案.

【解答过程】当two时，则/⑴=2-t>2,解得t<—1；

当力>0时，则f(。=logit>2=logi-,解得0<tV工.

3399

综上，t的取值范围是(一8,-1)U(0,。.

故选：A.

【变式7-3](2024•黑龙江牡丹江•一模)已知g(%)=//(%)是定义在R上的奇函数，且/(%)在区间(_8,0]上

单调递减，若关于实数m的不等式/(log?叫+/(1。8().5m)22/\3)恒成立，则m的取值范围是()

A.(0B.[&+8)C.(0由”8,+8)D.(0[]U[8,+8)

\3」Jo

【解题思路】先应用奇函数化简再结合不等式得出对数不等式，最后结合对数的单调性解不等式.

【解答过程】因为g(x)=//(%)是定义在R上的奇函数，

所以/(%)是偶函数，/(log05m)=/(-log2m)=f(log2m),

所以/(logzTn)+/(logo.s^)22/(3)可化为：

/(log2m)>f(3),又/O)在区间(-8期上单调递减，所以/(%)在(0,+oo)上递增，

所以|log2加之3,即log2m>3或log2nl<-3,

即m>8或0Vm4工.

8

故选：D.

【题型8反函数】

【例81(23-24高一上•湖南株洲•阶段练习)己知函数f(x)=logM与g(x)=ax(a>0,aK1)互为反函数.若

/(x)=Inx的反函数为g(x),则g(2)=()

A.In2B.2eC.e2D.2

【解题思路】根据题意，得到g(x)=e，代入x=2,即可求解.

【解答过程】由函数f(x)=logM与g(x)=a«a>0,a41)互为反函数,

若/(x)=Inx的反函数为g(x)=ex,则g(2)=e2.

故选：C.

【变式8-1](23-24高一上•辽宁大连•期末)已知函数/(%)在定义域[1,3]上满足f(x)/(y)=/(x+y),/(l)=

2,函数/'(x)的反函数为/-1(久)，则g(x)=f(x)+fT(K)的最小值为()

A.2B.4C.5D.8

【解题思路】根据反函数及指数函数的性质，可令/。)=2,进而有7-1(无)=10g2X，根据指对数的定义

域和单调性判断g(x)定义域和单调性，利用单调性求最小值.

【解答过程】由题意,令f(x)=2xe[2,8],满足口,3]上f(x)/(y)=/(%+y)且f(1)=2,

止匕时fT(x)=log2%且定义域为[2,8],

所以g(x)=2，+1。82%定义域为[2,3],且单调递增，

所以9(x)min=9(2)=4+log22=5.

故选：C.

【变式8-21(23-24高二下•浙江宁波・期末)已知函数f(x)=a\a>0,且a41)的图象过点(2,4),。(久)是f(x)

的反函数，则函数g(芸)()

A.既是奇函数又是减函数B.既是奇函数又是增函数

C.既是偶函数又是减函数D.既是偶函数又是增函数

【解题思路】首先代入点的坐标求出a,即可求出g(x)的解析式，从而求出g(芸)的解析式，再根据奇偶性

的定义及对数型复合函数的单调性判断即可.

【解答过程】因为函数f(x)=a\a>0,且aH1)的图象过点(2,4),所以a?=4,解得a=2(负值已舍去)，

X

所以/'(%)=2,又g(x)是/O)的反函数，所以gO)=log2x,

则9(等)=晦(芸),令芸>。，解得-2<X<2,

所以9(岩)的定义域为(-2,2),令依)=g(芸)=log2(岩),

则h(-x)=log2(案)=~log2(芸)=一九0)，所以无(%)=9(答)为奇函数，

又y=等=1在(—2,2)上单调递增，y=10g2X在定义域(0,+8)上单调递增,

2—XX—Z

所以g(表)=log2(答)在(—2,2)上单调递增.

故选：B.

XA-X

【变式8-3］(23-24高一下•安徽•阶段练习)已知函数/(久)=A二一的反函数为y=fT(x),那么g(x)=

广1(比-2)+2在［-2,6］上的最大值与最小值之和为()

A.4B.2C.1D.0

【解题思路】首先得到f(x)的单调性和奇偶性，从而得到其反函数的奇偶性和单调性，最后根据g(x)的单

调性和对称性即可得到答案.

【解答过程】因为f(―x)=岂萨=A=—/(x),

且函数/0)的定义域为R,则/(©为奇函数，

因为y=4\y=-4-x均为R上的单调增函数，则f(x)=也为R上的增函数，

根据函数与反函数关于直线y=x对称，

则函数f(x)=胃二的反函数y=/t。)也为定义域上的奇函数、增函数，

故=ft(尤一2)+2在［-2,6］上单调递增，且g(x)的关于点(2,2)对称，

因为-2+6=2x2,则以一2)+g(6)=2x2=4,

即其最大值与最小值之和为2+2=4.

故选：A.

【题型9指数函数与对数函数的综合应用】

【例9】(23-24高一下•广东汕头•期中)已知函数/O)=翌为奇函数.

2x+a

⑴求实数。的值；

(2)判断函数f(x)的单调性(不用证明)；

⑶设函数g(%)=log29logz^+m，若对任意的久iE[2,8],总存在%2€(。,1]，使得gOi)=/(%2)成立，求

N4

实数机的取值范围.

【解题思路】(1)考虑a20和a<0两种情况，根据奇函数性质计算得到答案.

(2)确定定义域，设v%i，%2e(0,+8),且%1<孙，计算/'(%)一f(冷)>。，得到单调性.

(3)根据单调性确定xe(0,1]时/0)的值域力=[3,+8),设t=log2",te[1,3],换元得到二次函数，计算

9(%)最大值和最小值，根据值域的包含关系得到答案.

【解答过程】(1)由已知函数需满足*+a70,当a20时，函数的定义域为R,

函数/(%)=会为奇函数，所以/(—切=—/(均，

即誉i=一磬在R上恒成立，即(a+1)(2*+1)=0,a=-l(舍)，

2x+a2x+a

当avo时，%log2(-a),函数的定义域为(-81og2(-a))UQog2(-a),+8),

又函数/(%)=|^为奇函数，所以log2(-a)=0fa=-1,

此时/(久)=?!，函数定义域为(一8,0)U(0,+QO),

2A—1

/(一切=泻=筌7=-八%)，函数为奇函数，满足，

综上所述：a=-1；

(2)/(%)在(-8,0)和(0,+8)上单调递减，证明如下：

/(%)=沿=1+J~P定义域为(一8,0)U(0,+8),

2X-12A—1

设E(O,+oo),且％i<x2,

则—&2)=(1+七)一(1+S)=/£号

因为汽1，%2e(0，+8),且修<%2，所以2如一1>0,2%2—1>0,2%2—2%>0,

所以/(%1)>/(%2)，所以/(%)在(。,+8)上单调递减，

同理可证，所以/(%)在(-8,0)上单调递减；

所以/(%)在(0,+8),(-8,0)上单调递减.

(3)函数/(%)在(一8,0)和(0,+8)上单调递减，

且当先6(—8,0)时，/(%)<0,当工£(0,+8)时，/(%)>0,

%2七(。,1]时,/(x)>/(I)=3,所以当％W(0,1]时/(%)的值域4=[3,+8),

+m

又g(%)=log27,log27=Qog2久-l)(log2x-2)+m,xG[2,8]，

2

设t=log2x,t6[1,3]，则y=(t—l)(t—2)+m=t—3t+2+m,

当t=|时，取最小值为一；+当x=3时，取最大值为2+6，

即g(x)在xe[2,8]上的值域B=[-J+m,2+m],

又对任意的%iG[2,8],总存在%2€(0,1],使得g(%i)=/(小)成立，

即所以一(+加之3,解得mN即me号+8).

【变式9-1](24-25高一上•黑龙江大庆•期中)已知函数/(久)=唾90+1)+依(KCR)是偶函数，其中k为

实数.

⑴求k的值；

x

(2)若函数g(x)=9f⑸,3^-2m-3+l(0<x<2),是否存在实数m,使得g(>)的最小值为0?若存在,

求出实数m的值；若不存在，请说明理由.

【解题思路】(1)根据偶函数性质得到恒等式，求参数值即可；

(2)由题设有g(无)=328-26-3%+2,应用换元法，令t=3工且t6[1,9],结合二次函数性质，讨论对称

轴与区间[1,9]的位置研究最小值，即可得参数值.

【解答过程】(1)因函数f(x)=log9(9x+l)+kx(k€R)是偶函数，

-xx

故/'(一%)—fM=[log9(9+1)-kx]—[log9(9+1)+kx\

q—Xi-t

=1°g9/+i-2kx=log99r—2kx=—(2k+l)x=0,

因汽ER且不恒为0,故2々+1=0,得卜=心.

(2)由(1),得/(%)=log9(9%+1)—[%=log9(3%+3一汽)，

则g(%)=»(%)•3X—2m-3X+1=(3X+3-x)-3X—2m-3X+1=32x—2m•3%+2,

设1=3%,因贝lJtE[L9],h(C)=t2-2mt+2,其对称轴为t=

①当mN9时，h(t)在区间[1,9]上单调递减，贝lj九⑴mm=%⑼=83-187n=0,解得血=筹<9,不符题

18

意，舍去；

②当1<TH<9时，/l(t)在区间[1,9]上先减后增，故无Q)min=%(血)=一m2+2=0,解得TH=±V2,故血=

V2；

③当血41时，/i(C)在区间[1,9]上单调递增，贝！JhOmin=九(1)=3-2ni=0,解得血=|>1,不符题意，

舍去.

故存在m=使得g(%)的最小值为0.

【变式9-2](24-25高三上•上海•期中)已知函数/(久):噫小尹―伏―2)・3,+々+非

(1)当k=0时,解不等式/(x)>0；

(2)若函数/0)的最大值是-1,求k的值.

【解题思路】(1)根据复合型对数函数的单调性解不等式求解集;

(2)令t=k-32X—(/c-2)■3*+k+：,问题化为t=km2—(fc—2)m+k+[在m6(0,+8)上最大值为

利用二次函数性质研究最值并列方程求参数.

【解答过程】(1)由题意/(x)=log312•3"+：]>0,则2-3*+]>1,可得3*>3-1,即+8)；

(2)令t=k•3?*—(k—2)•3*+k+1,而y=log3t在定义域内单调性递增，

所以，/(%)最大值是一1,则只需tmax=/令m=3*e(0,+8),

所以t=km2—(fc—2)m+k+[在me(0,+8)上最大值为$

根据二次函数性质有k<0,则函数t的图象开口向下，对称轴为m=W>0,

所以kx(野产-(/c-2)x^+fc+|=|,则+k=0,

整理得3k2+4k-4=(3k-2)(fc+2)-0,可得k=-2或k=|(舍).

【变式9-31(24-25高一上•浙江杭州•期中)已知非常数函数"X)=log工贫是定义域为(-2,2)的奇函数.

⑴求实数a,6的值；

(2)判断并证明函数/(久)的单调性；

XX+2

(3)已知g(x)-m-4-2+3,且\/久】£(1,2),3x2e[-1,1],-g(x2)>-|,求ni的取值范围.

【解题思路】(1)根据给定条件，利用奇函数的性质求出a,b.

(2)由(1)求出函数/(无)，结合对数函数单调性及单调函数的定义判断推理即可.

(3)根据给定条件，将不等式转化为[/(Xi)]min>g(X2)-I，再结合函数的单调性求出最值即可.

【解答过程】(1)函数/(%)为(—2,2)上的奇函数，贝行(―x)+f(x)=0,且/(0)=0,

即logi"+k)gi==0,整理得log1直嘿=0,

2-bx2+bx4-b2x2

即十一%2=4一匕2%2,于是二;，解得a=±2,b=±l,

当a=-2,b=-l时，/(%)=logi^^,此时X=0,函数/(%)无意义；

当。=-2,b=l时，=-1,函数f(X)无意义；

当。=2,6=-1时，斤=1,函数/(%)为常数函数，不符合要求；

当a=2,b=l时，/(x)=logi—=log--，定义域为(-2,2),符合题意,

g2+X9Z—X

所以Q=2,b=1.

(2)由(1)知，/(%)=log——=log9(~----1),函数y=----1在(—2,2)上单调递增，

92—X2—X2—X

而函数y=log/在(0,+8)上单调递增，所以函数/(%)在(-2,2)上单调递增，

€(—2,2),%1V,则4>2—%]>2—%2>0，1V---V----,

2-%12—％2

于是0<---1V——----1,而函数y=logg汽在(0,+8)上单调递增，

2-%12—%2

因此log9(71)<l°g9(7V-即/(%1)V/(%2)，

Z-Z—%2

所以函数f(x)在(-2,2)上单调递增.

(3)由⑵知，函数f(x)在(1,2)上单调递增，则Vx6(1,2),f(%)>/(l)=I，

e

由Vxie(1,2),3%2[-1,1]'/X%i)-g(%2)>一£Qf(%i)>。(久2)—3得|2。(尤2)—土

因此mxe[—1,1],g(x)<1<=>m-4%—2X+2+3<l<=>m<^—

当工€[—1禹时,\<2X<2,L，±_^=-2^-l)2+2<2,

当且仅当汽=0时取等号，于是血<2,

所以血的取值范围是m<2.

1.(2023•北京・高考真题)下列函数中，在区间(0,+8)上单调递增的是()

A./(%)