2025年高考数学二轮复习专练：利用基本不等式求最值【八大题型】解析版

重难点01利用基本不等式求最值【八大题型】

【新高考专用】

基本不等式是每年高考的必考内容，是常考常新的内容.从近几年的高考情况来看，高考题型通常为选

择题或填空题，但它的应用范围很广，涉及到函数、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何、导数等

内容，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等.在高考中经常考查运用基本不等式求函数或代

数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点.在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一

正二定三相等”这三个条件灵活运用.

►知识梳理

【知识点1利用基本不等式求最值的解题策略】

1.基本不等式与最值

己知x,y都是正数，

(1)如果积肛等于定值尸，那么当x=y时，和x+y有最小值2血;

(2)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时，积盯有最大值:班

温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(l)x、>>0,(2)和(积)为定值，(3)存

在取等号的条件.

2.常见的求最值模型

(1)模型一：mx+—>2A/mn(m>0,w>0),当且仅当x=■时等号成立；

xVm

(2)模型二：mx-\——--=m(x-a)H——-——I-ma>2y/mn+ma(jn>0,w>0),当且仅当x-a=J，时等号成

x-ax-aVm

立；

(3)模型三：———=---—(a>0,c>0),当且仅当x=[5时等号成立；

ax+fcr+cCl入।iuA।£ac+bVa

X

/人士首开iirni/、冽x(〃一加x)/lmx+n—mx、2n2,八八八〃、也口n□-+

(4)模型四：x(n-mx)=------<—•(----------)=——(m>0,n>0,0<x<—),当且仅当x=——时

mm24mmIm

等号成立.

3.利用基本不等式求最值的几种方法

(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值.

(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.

(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+尸娥为常数)，求g十夕的最值”的问题，先将巴+々转化为

xyxy

(£+?)•，再用基本不等式求最值.

(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和

为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.

(5)构造不等式法：构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利

用基本不等式，构造目标式的不等式求解.

【知识点2基本不等式的实际应用】

1.基本不等式的实际应用的解题策略

(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.

(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.

(3)在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解.

►举一反三

【题型1直接法求最值】

【例1】(2024•北京东城•一模)已知%>0,则％-4+&的最小值为()

X

A.12B.0C.1D.2V2

【解题思路】由基本不等式求得最小值.

【解答过程】：x>0,+£-422XX&-4=0,当且仅当％=士即％=2时等号成立.

xyjxx

故选：B.

【变式1-1］（2024•甘肃定西・一模）/+彳+位的最小值为（）

A.2V7B.3V7C.4V7D.5«

【解题思路】利用基本不等式即可得解.

【解答过程】由题意知％片0,所以/>0,5>0,

所以/+5+夕225+夕=3夕.

当且仅当/=1，即/-旧时，等号成立.

故选：B.

【变式1-2］（2024•全国•模拟预测）已知M为正数，则g+2（）

A.有最小值，为2B.有最小值，为2/

C.有最小值，为4D.不一定有最小值

【解题思路】利用基本不等式计算可得.

【解答过程】因为ab为正数，所以三>0,->0,

ba

所以自+222区&=2鱼，当且仅当当=2,即b=/a时取等号，

bababa

所以F+'有最小值2V2.

ba

故选：B.

【变式1-3］（2024•全国•模拟预测）（3+a）（1+4久2）的最小值为（）

A.9V3B.7+4V2C.8百D.7+4再

【解题思路】依题意可得（3+5）（1+4x2）=7+2+12x2,再利用基本不等式计算可得.

【解答过程】（3+^）（1+4x2）=7+妥+12/>7+2012/=7+473,

当且仅当摄=12/即/=卷时，等号成立，

故（3+（1+4/）的最小值为7+4V3.

故选：D.

【题型2配凑法求最值】

【例2】（2024•全国•模拟预测）函数y=x2+1（/>5）的最小值为（）

A.2B.5C.6D.7

【解题思路】由基本不等式即可求解.

【解答过程】由/>5可得/一5>0,所以

。+六="-5+六+522卜一5）.（六）+5=7,

当且仅当/-5=六，即％=几时等号成立，

x£-5

故选:D.

【变式2-1］（2024•全国•模拟预测）已知a〉0,b>0,则a+2b+—•的最小值为（）

a+2b+l

A.6B.5C.4D.3

【解题思路】根据基本不等式即可求解.

【解答过程】由于a>0,b>0,所以a+2b+l>0,

由Q+2b4:=（a+2b+1）H—122（a+2b+1）X—:—1=3,

a+2b+l''a+2b+l'a+2b+l'

（当且仅当a+26=1时取等号），可得a+2b+17T的最小值为3,

a+2b+l

故选：D.

【变式2-2］（23-24高三上•海南省直辖县级单位•阶段练习）设为>2,则函数y=4x—1+展，的最小值

为（）

A.7B.8C.14D.15

【解题思路】利用基本不等式求解.

【解答过程】因为尤>2,所以乂—2>0,

所以y=4%—1+专=40—2）+展+722^4（%-2）-+7=15,

当且仅当4（%—2）=夫，即x=3时等号成立，

所以函数y=4久一1+展的最小值为15,

故选:D.

【变式2-3］（2024•山西忻州•模拟预测）已知a>2,则2a+上的最小值是（）

A.6B.8C.10D.12

【解题思路】利用基本不等式性质求解即可.

【解答过程】因为。>2,所以a—2>0

OO__

所以2a+^=2(a-2)+三+422同+4=12,

当且仅当2（a-2）=三，即a=4时，等号成立.

所以2a+冬的最小值为12.

故选：D.

【题型3常数代换法求最值】

【例3】（2024・河北•模拟预测）已知非负实数x,y满足久+y=1,则*+*的最小值为（）

A.2B.山C.2D.&

243

【解题思路】根据x+y=l,化简求得如+1+y）=1，得到W+击=便+土）*3％+1+y）=卜（|+

祟+力），结合基本不等式，即可求解.

【解答过程】因为％+y=1,可得x+y+l=2,Bp1(x+1+y)=1,

又因为非负实数x,y,所以x>0,y+1>0,

则(+*=G+A)x：(x+i+y)=?(|+祟+指)

3+2企

4

当且仅当也=工时，即x=2企一2,y=3-2夜时，等号成立,

2x1+y

所以力荒的最小值针弃

故选：B.

【变式3-1］（2024•云南大理•模拟预测）已知a20,620且2a+b=l,则2+工的最小值为（）

a+1a+b

A.4B.6C.8D.10

【解题思路】根据已知等式，应用常值代换法应用基本不等式求和的最小值即可.

【解答过程】言+京=（京+£）［缶+1）+（a+切吗

9(a+b)(a+1)1

"a+1+a+b3I

>flO+2回通[叵1x工=8(当且仅当a=工，b=0时取等号).

故选:c.

【变式3-2](2024•江苏扬州•模拟预测)已知x>0,y>0,且2x+y=l,则詈的最小值为()

A.4B.4V2C.6D.2/+3

【解题思路】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.

【解答过程】因为x>0,y>0,且2x+y=l,

所以上=*工=(2x+y)--+^+3>2/--z+3=2夜+3,

xyyx\yxjyxyjyx

当且仅当在=4即％=学，y=近一1时取等号.

yx2

故选：D.

【变式3-3](2024•四川成都•模拟预测)若a,b是正实数，且4+-=1,贝Ua+b的最小值为()

3a+b2a+4b

42

A.7B.-C.1D.2

53

【解题思路】观察等式分母可知(3a+b)+(2a+4b)=5(a+b),利用基本不等式中“1”的妙用可得结果.

【解答过程】因为a+b=-1(5a+5b)=[[(3a+b)+(2a+4b)]=g[(3a+b)+(2a+4b)]Q；%+

1Zn.2a+4b3a+b\1nl2a+4b3a+b\4

=-IZd------------1---------I>-Z+Z/------------------=

5\3a+b2a+4b/5Iyj3a+b2a+4bI5

当且仅当a=l，b=(时取等号，

所以a+b的最小值为，

故选：A.

【题型4消元法求最值】

-.2

【例4】(2024•全国•模拟预测)已知居y,zE(0,+8),且满足X-2y+3z=0.则士的最小值为()

A.12B.6C.9D.3

【解题思路】消元后用基本不等式求得最小值.

【解答过程】因为招y,zE(0,+8),且满足％-2y+3z=0.即丫=3(%+32),

所以£=&*=-=工仔+丝+[用+6)=3,当且仅当孑=2，即x=3z时等号成立,

xz4xz4xz4zx4yzxzx

故选：D.

【变式4-1](2024•北京•模拟预测)设正实数x、y、z满足4/-3久y+y2—z=0,贝卢的最大值为()

A.0B.2C.1D.3

【解题思路】计算得出把=屋丁，利用基本不等式可求得把的最大值.

Z竺y+匕x3Z

【解答过程】因为正实数久、y、z满足4/一3%y+y2-z=0,贝Ijz=4/一3%y+y2,

则2=42工2=荻）<一一=1，当且仅当y=2X>°时取等号・

zz

z4x-3xy+y—+2.-3914%y/

yx

故2的最大值为1.

Z

故选：C.

【变式4-2](2024•浙江绍兴•三模)若%,y,z>0,且%2++2%z+2yz=4,则2%+y+2z的最小值是

4.

【解题思路】由题意可借助第、y表示出z,从而消去z,再计算化简后结合基本不等式计算即可得.

【解答过程】由久2+%y+2xz+2yz-4,贝!j2z=4r一孙,

x+y

即2x+y+2z=2x+y+*&=3+加+疥1…

x+yx+y

2x2+3xy+y2+4—%2—%yx24-2xy+y2+4(x+y)2+4

x+yx+yx+y

4n~4

=x+yH---->2(x+y)----=4,

x+yqx+y

当且仅当久+y=*,即％+y=2时，等号成立.

故答案为：4.

【变式4-3](2024•四川德阳•模拟预测)已知正实数％,y,z满足/+孙+yz++%+z=6,则3%+2y+z

的最小值是4V3-2.

【解题思路】因式分解得到x+z=^石，变形后得到3x+2y+z=2(x+y)+;；3,利用基本不等式求

出最小值.

【解答过程】因为乂y,z为正实数，

故%2+xy+yz+xz+x+z=6=>(%2+xz)+(xy+yz)+(%+z)=6,

即%(久+z)+y(x+z)+(第+z)=6=(%+y+1)(%+z)=6=%+z=

6

3x+2y+z=2(%+y)+(x+z)=2(x+y)+x+y+1

=2(x+y+D+f-2"j2(x+y+l)•点一2=4百一2,

当且仅当2(%+y+1)=%+；+(，即％+y=H-l,此时l+z=1+；+]=28,

所以3x+2y+z的最小值为4V3-2.

故答案为：4V3-2.

【题型5齐次化求最值】

【例5】(2024•江西新余•二模)已知x,y为正实数，且久+y=2,则生乎的最小值为()

A.12B.3+2&C.-D.逋口

22

【解题思路】借助“1”的活用将分式其次化后结合基本不等式计算即可得.

[解答过程】由X+y=2,则出”=2x+12y+12=(x+y)x+6(x+y)y+3(x+y)2

,xy2xy2xy

_4-+9y2+i3%y_在+型+上>2怪.亚+U_至

2xyy2x2--\ly2x22

当且仅当在=9即乂=±y=：时，等号成立.

y2x55

故选：c.

【变式5-1](23-24高一下•重庆沙坪坝•阶段练习)已知正数比,y满足x+2y=1,则亨的最小值为()

A.吃B.2V2C.-^―D.2V2+1

2V22V2+1

【解题思路】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果.

【解答过程]①=，2+y(x+2y)=/+町+2y2=J+空+1,因为x>0,y>0,故工>0,空>0,

xyxyxyyxyx

则2+到+122昌历+1=2迎+1,当且仅当工=到,x+2y=1,也即x=&一l,y=1-遮取得等号,

yxylyxyx2

故"+'的最小值为2V2+1.

xy

故选：D.

【变式5-2](23-24高一上•江苏常州•阶段练习)已知孙=1,且。<y<；,则高言最大值为半.

2H+16yz8

【解题思路】由xy=1且0<y<g可得y=-(x>2),可得x-4y>0,再将二九化为——后利用

2x工+16/(1〃)+国

基本不等式求解即可.

【解答过程】解：由孙=1且0<y<g,可得y=：(x>2),代入x-4y=x-]>。，

又X—4y_x-4y_1<1_V2

28?

/+16y2-(x-4y)+8xy-(x-4y)+^—2l(x-4y)~~

当且仅当汽—4y=—,即％—4y=2V2,

Jx-4y/

又%y=l,可得％=鱼+乃，y=渔;二时,不等式取等，

即反的最大值瑞，

故答案为：V-

O

【变式5-3】（2024•辽宁葫芦岛•二模）已知实数x>0,y>0,则把尊誓的最大值为」

Jxz+9yz4-2

【解题思路】利用分离常数法，把分子降为一次式，再可以利用基本不等式结合条件即得.

x2+2x+l+9y24-6y4-l_.2(x+3y)

【解答过程】因为。+1*（设1）2x2+9y2+2-+，+9y2+2

产+9片+2

x+3y

又因为x>0,y>0,所以可由平方均值不等式得:2'

取等号条件是x=3y,即/+9y2>史磐，

所以上式可变为一+黑簧W1+黑岩=1+号工,+平片=2,

—r-+2丁七+3y2,2%论

取等号条件是：岛=等,即久+3、=2,结合x=3y,

可得取到最大值的条件是：x=l,y=1.

故答案为：2.

【题型6多次使用基本不等式求最值】

【例6】（2024•山西运城・二模）若a,b,c均为正实数，则螳三的最大值为（）

A.-B.-C.—D.—

2422

【解题思路】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.

【解答过程】因为a,6均为正实数，

rn.rab+bc_a+ca+c_a+c

、a2+2b2+c2~琮M2b~2归巴⑵-2V2（a2+c2）

_1la2+2ac+c2_111ac<1/1.ac_1

2\2（a2+c2）2飞2a2+c2-2J2lylc^xc22，

当且仅当上挥=25,且。=c,即a=b=c时取等号，

b

则2：祟2的最大值为白

片+2〃+-2

故选:A.

【变式6-1］（2024•河北衡水•模拟预测）己知实数x,y,z>0,满足砂+：=2,则当;+1取得最小值时，y+z

的值为（）

5

A.1BC.2D.

-12

【解题思路】两次应用基本不等式，根据两次不等式等号成立的条件列方程求解即可.

【解答过程】因为实数与y,z>0,满足町/+：=2,

所以%y+：=222Jxyx|=2y[yz=>yz<1,当且仅当工二、/时，yz=L

所以H2反1=2,222=4,当且仅当2=工且yz=l时，等号成立;

yz\yzyjyzy1yz

所以当yz=1且&=工时，&+工取得最小值4,

yzyz

(7=2r

此时解得｛i=>y+z=-,

kZ=22

故选：D.

【变式6-2］（23-24高三下•浙江•开学考试）已知a、b、c、d均为正实数，且工+J=c2+d2=2,则a+占

abca

的最小值为（）

A.3B.2V2

八3+V2D3+2点

•2

【解题思路】由题意，根据基本不等式先求解321,从而将a+二的最小值转化为a+b的最小值，再利用

cdcd

乘“1”法求解不等式最小值.

【解答过程】因为工+1=c2+d2=2,所以cdW一=1,即521,当且仅当c=d=1时取等号，所以a+3

ab2cdca

的最小值为a+6的最小值，所以g（。+匕）（｝+=g（3+£+g）2+2,彳）=3+：.,当且仅当

（*2=2

f/2a时取等号，所以a+捺的最小值为呼I

（广了c

故选：D.

【变式6-3］（2024•全国•模拟预测）已知a为非零实数，b,c均为正实数，则小震今的最大值为（）

4a*+fez+cz

A.1B.WC.遮D.q

2424

【解题思路】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.

【解答过程】因为a为非零实数，a?〉。，b,c均为正实数，

rj,.ia2b+a2c_b+cb+c_b+c

'4a4+62+c2-4a2+与~14a2、上~4y/b2+c2

a2Na2

当且仅当4a2=空J且力=的即应/=b=c时取等号,

则黑除的最大值为¥・

故选：B.

【题型7实际应用中的最值问题】

【例7】（23-24高一上•陕西西安・期中）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一顾客到店购买黄

金100g,售货员先将50g祛码放在天平左盘中，取出黄金放在右盘中使天平平衡；再将50g祛码放在天平

右盘中，再取出黄金放在左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金

()

A.小于100gB.等于100g

C.大于100gD.与左右臂的长度有关

【解题思路】利用杠杆原理求得顾客购得的黄金质量的表达式，依据均值定理即可得到顾客购得的黄金质

量的取值范围，进而得到选项.

【解答过程】设天平左、右两边的臂长分别为x,乃

设售货员第一次称得黄金的质量为。克，第二次称得黄金的质量为b克，

{_50%

二，

则顾客购得的黄金为。+6=码+晚22/—x^=100（克），

yxYyx

（当且仅当％=y时等号成立），

由题意知，％Hy,则a+b＞100克.

故选：C.

【变式7-1］（24-25高三上•江苏无锡・期中）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解

到下列信息：每月土地占地费为（单位：元）与仓库到车站的距离％（单位：km）成反比，每月库存货物费

丫2（单位：元）与%成正比；若在距离车站6km处建仓库，则丫2=4yi.要使这家公司的两项费用之和最小，

则应该把仓库建在距离车站（）

A.2kmB.3kmC.4kmD.5km

【解题思路】设%=*丫2=卜2%（的＞0，七＞0），结合题意求出的=9k2,从而求出两项费用之和的表达

式，利用基本不等式，即可求得答案.

【解答过程】由题意设月=­,丫2=&%，（如>0,忆2>。），仓库到车站的距离%>0，

由于在距离车站6km处建仓库，则丫2=4yi，即6七=*'•的=9七，

两项费用之和为y=为+为=^+七久―2=6k2,

当且仅当等=k2x,即x=3时等号成立，

即要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站3km.

故选：B.

【变式7-2］（24-25高一上•四川泸州・期中）如图，某花圃基地计划用栅栏围成两间背面靠墙的相同的矩形

花室.

（1）若栅栏的总长为120米，求每间花室面积的最大值；

（2）若要求每间花室的面积为150平方米，求所需栅栏总长的最小值.

【解题思路】（1）由题意得面积表达式结合表达式性质以及二次函数性质即可得解；

（2）由基本不等式即可得解.

【解答过程】（1）设每间花室与墙体垂直的围墙的边长为a米，与墙体平行的围墙的边长为b米.

因为栅栏的总长为120米，所以3a+2bW120,

其中0<a<40,0cb<60,则

每间花室的面积S=abW塔迎.

因为（i20；2b）b=_|（^2-60b）=-|（b-30）2+600<600,

当且仅当a=20,6=30时，等号成立，

所以每间花室面积的最大值为600平方米.

（2）因为每间花室的面积为150平方米，所以ab=150,贝防=詈.

栅栏的总长］=3a+26=3a+迎^>213a,迎^=60,

a\a

当且仅当a=10,b=15时，等号成立,

故栅栏总长的最小值为60米.

【变式7-3](24-25高一上•陕西咸阳•期中)某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1米，底面积为100

平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如

下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面

以及其他报价共计6400元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为尤(6<%<12)米，原有墙体足够长.

(1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？

(2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为32°,i+x)屹>0)元,若无论左面墙的

长度为多少米，乙工程队都能竞标成功(约定整体报价更低的工程队竞标成功)，求a的取值范围.

【解题思路】(1)设甲工程队的总报价为y元，根据题意可得出y关于x的函数关系式，利用基本不等式可

求出y的最小值，利用等号成立的条件求出x的值，即可得出结论；

(2)根据题意可得出320(%+?)+6400>32。,1+久),可知，口<咛乎对任意的久6[6,12]恒成立，利用

基本不等式求出竺孚(万€[6,12])的最小值，即可得出实数a的取值范围.

【解答过程】(1)解：设甲工程队的总报价为y元，依题意，左、右两面墙的长度均为x(6WxW12)米，

则长方体前面新建墙体的长度为3米，

X

所以y=160x2尤x1+320x-x1+6400,

即y=320(%+詈)+6400>320x2Jx-+6400=12800,

当且仅当％=小时，即x=10时，等号成立.

X

故当左面墙的长度为10米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为12800元.

(2)解：由题意可知，320(x+理)+6400>当也过，

即(X+¥)+2°>更詈对任意的久e612]恒成立，

所以"处〉”上包，可得°<生处，即a<[”些].

xx%+1Lx+1」min

=x+l+—+18>2/(x+1)­—+18=36,

x+1x+17x+1

当且仅当x+1=型时，即x=8时，上鳍取最小值36,

x+1x+1

则0<a<36,即a的取值范围是(0,36).

【题型8与其他知识交汇的最值问题】

【例8】（23-24高三上•山西运城•阶段练习）在△力BC中，已知b=c-cosA,△力BC的面积

T—>

为6,若P为线段上的点（点P不与点4点B重合），且H=+y•普，贝内+4的最小值为（）

同|CB|*3y+2

391

A.9B.-C.—D.-

4142

【解题思路】先根据题意得bccos4=9,bcsinA=12,进而得tan4=sin/=:，cosA=|,he=15,b=|c,

—*,•—>—>

进而得c=5,b=3,a=4,故CP=gx•C4+rCB,再根据P为线段48上的点得：+=1,最后结合基本

不等式求解即可得答案.

->—）

【解答过程】解：因为4B・ZC=9,所以bccos/=9,

因为△4BC的面积为6,所以bcsinA=12,

所以tan/=p

所以sin/=(,cosA=I，be=15,

由于b=c•COST4,

所以b=1c,

所以c=5,b=3,

所以由余弦定理得：a2=b2+c2—2bccosA=25+9—2x5x3x|=16,即Q=4.

—>—»

所以CP=x•+y,---x,CA+Y,CB,

\CA\CF34

因为P为线段ZB上的点(点P不与点4点B重合)，

所以：+q=L根据题意得%>0,y>0

所以《+誓=5

所以G+册)仔+等)=1+蓍+而篇+专

53y+2xQ,3y+2x.5153

1212x3(3y+2)—712x3(3y+2)123124

当且仅当等=—,即3y+2=2x时等号成立，

12x3(3y+2)

故选：c.

【变式8-1](2020•全国•高考真题)设。为坐标原点，直线％=。与双曲线C:5—，=1(a>0,6>0)的两条

渐近线分别交于两点，若△ODE的面积为8,贝UC的焦距的最小值为()

A.4B.8C.16D.32

【解题思路】因为。捺―，=l(a>0,6>0),可得双曲线的渐近线方程是y=±gx,与直线欠=。联立方程

求得。，E两点坐标，即可求得出。|,根据△ODE的面积为8,可得M值，根据2c=2卜。2+炉,结合均值

不等式，即可求得答案.

【解答过程1C:—p,=1(a>0,6>0)

二双曲线的渐近线方程是y=±—x

•.・直线x=a与双曲线c5—捺=l(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点

不妨设。为在第一象限，E在第四象限

联立，二。解得｛；：I

故D(a,b)

x~~CLxa

联立0=_2刀，解得｛y二》

JaJ

故E(a,—b)

|ED|=2b

△OOE面积为：SAODE=x2b=ab=8

,••双曲线C:5一,=l(a>0,h>0)

••.其焦距为2c=2Va2+b2>2y[2ab=2V16=8

当且仅当a=b=2企取等号

C的焦距的最小值：8

故选：B.

【变式8-21(23・24高三•全国•阶段练习)在44BC中，a,b,c分别为内角4B,。的对边，且(acosC+

ccos/)tan/=V3fo.

(1)求角Z的大小；

(2)若。=遮，求儿的最大值.

【解题思路】(1)利用正弦定理边化角，再由两角和的正弦公式即可求出tanA,结合角力的取值范围即可

求解；

(2)由(1)知，结合余弦定理得到关于b,c的方程，利用基本不等式即可求解.

【解答过程】(1)因为(acosC+ccos4)tanA=百/),

利用正弦定理可得，(sinAcosC+sinCcos4)tan4=V3sinF,

即sin(X+C)tan4=V3sinB,因为4+C=TT—B,

所以sin(7r—B)tan4=V3sinB,即sinBtan力=V3sinB,

因为0<B<n,所以sinB丰0,tan4=V3,

因为o<a<兀，所以力

(2)由(1)及余弦定理可得，

a2—b2+c2-2bccosA,即3=所+©2—2bccosg,

所以3=〃+c?—be22bc—be-be,当且仅当b=c时等号成立，

所以6c的最大值为3.

【变式8-3](23-24高二下•辽宁•阶段练习)平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究

和证明中占有重要的位置，基本不等式等2房(a>0,b>0)就是最简单的平均值不等式,一般地，假设

的,。2,…，怎为«个非负实数，它们的算术平均值记为4=—”也=七(注：七=即+的+•••+

71n1-11-

1

1/n\7n

册)，几何平均值记为G九=,,…斯"=("囚)亦(注：••…册)，算术平均值与几何平

ai+ai+a

均值之间有如下的关系：+-">^/Q1Q1..an,即412G”，当且仅当的=a2=••=%时等号成立，上

述不等式称为平均值不等式，或简称为均值不等式.

O

(1)已知%>y>0,求％+-；^~；的最小值；

y(x-y)

(2)已知正项数列｛册｝,前n项和为％.

nn

(i)当Sj=l时,求证：者(1一崎)2("一1„]哈

v-in<?i

(ii)求证：n(1+a；)>>斗.

i=l乙i=0"

【解题思路】(1)凑配成三个数的均值不等式；

(2)(i)对1+Qj=的+4+…+册+%,1—%=%+牝+…+。九—七应用均值不等式后相乘可证；(ii)

首先应用均值不等式，然后由二项式定理展开，再结合不等式用=(九-i)!(ri-i+1)...n<(n-i)!nf

可证.

【解答过程】(1)(x—y)+y+123V^=6,

y(.x-y7)

当且仅当第一y=y=8,即％=4,y=2时等号成立，

y(x-y)J

则％+占的最小值为6.

y(x-y)

(2)(i)证明：因为的+和+…+。九=1，

1

所以由均值不等式可得1+④=%+&2■1----1-an+ttj>(ri+l)(a1a2,…，册见)京，

1

1—④=+。2+…+册—Q]之(?1—....渠)"1.取t=1,2,…,71,再将之分别累积后得J"J二](1—

电)>(n2-i)nrL埠.

(ii)证明：因为Gn44，

n

所以(1+的)(1+a2).•…(1+时)<一+：+…+a”)=(1+曰)八

=1+%X『鬃0)2+…+墨U)，+…+C暗y,

因为n！=(n—i)!(n—i+1)...n<(n—i)!n1,

所以墨(少=1・¥㈠生

从而证明成立.

►课后提升练(19题

一、单选题

1.(2024•河北•模拟预测)已知无>1,y>0,且W+：=l，贝!)4x+y的最小值为()

「15+5巡

A.13h>.-----------C.14D.9+V65

2

【解题思路】由4%+丫=4(%-1)+丫+4=[4(%-1)+田岛+；)+4,利用基本不等式即可求.

【解答过程】<**x>1,x—1>0,又y>0,且」7+工=1,

x-ly

,「，、r/11\V4(%—1)

•••4%+y=4(%-1)+y+4=[4(%—1)+y]——-+/+4=9+-——-H--------

>9+25在互=13,

7x-ly

(-+-=1(_5

当且仅当个，_：(,_]),解得久[5时等号成立，故4x+y的最小值为13.

\x-1y，

故选：A.

2.（2024・四川绵阳・一模）已知久>0,丫>0,且满足%+）/=%丫一3,贝!]4/的最小值为（）

A.3B.2V3C.6D.9

【解题思路】利用基本不等式化简已知条件，再解不等式求得xy的范围，从而求得xy的最小值.

【解答过程】x+y-xy-3>2^/xy,

I国¥-2历-3=I历-3）（V%y+1）>0,

yfxy-3>0,xy>9,

当且仅当x=y=3时等号成立，

所以孙的最小值为9.

故选：D.

3.（2024・江苏宿迁•一模）若。>0,8>0,。+26=3,贝喉+9的最小值为（）

ab

A.9B.18C.24D.27

【解题思路】利用基本不等式中力”的妙用即可求得最小值.

【解答过程】根据题意可得之+，="a+2b）（三+=J（3+1+段+12）>15+2隹.殁）=9；

ab3\anJ3\baJ3\ybal

当且仅当偿二改，即Q=l,b=l时，等号成立；

ba

此时三+1的最小值为9.

ab

故选：A.

4.（2024•陕西西安•模拟预测）下列说法错误的是（）

A.若正实数满足Q+b=l