2025年离散数学闭包试题及答案

离散数学闭包试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题2分，共20分）

1.设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A与B的交集是（）。

A.{1,2}B.{2,3}C.{1,2,3}D.{2,3,4}

2.在集合的幂集中，基数最小的幂集是（）。

A.{∅}B.{∅,{1}}C.{∅,{1},{2},{1,2}}D.{∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}

3.下列哪个集合是闭集？（）

A.A={1,2,3}，A的补集是B={4,5,6}B.A={1,2,3}，A的补集是B={1,2}C.A={1,2,3}，A的补集是B={2,3,4}D.A={1,2,3}，A的补集是B={1,2,3,4}

4.设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}，则A与B的并集再与C的交集是（）。

A.{2,3}B.{3,4}C.{2,3,4}D.{1,2,3,4,5}

5.设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}，则A与B的对称差集是（）。

A.{1,2,3,4,5}B.{2,3,4}C.{1,2,3}D.{1,3,5}

6.设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}，则A与B的笛卡尔积是（）。

A.{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5)}B.{(1,2),(2,3),(3,4),(1,3),(2,4),(3,5)}C.{(1,2),(2,3),(3,4),(1,3),(2,4),(3,5),(1,4),(2,5),(3,5)}D.{(1,2),(2,3),(3,4),(1,3),(2,4),(3,5),(1,4),(2,5),(3,5),(1,5),(2,5),(3,5)}

7.设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}，则A与B的笛卡尔积再与C的笛卡尔积是（）。

A.{(1,2,3,3,4,5),(2,3,4,3,4,5),(3,4,5,3,4,5)}B.{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,2,4),(2,3,5),(3,4,6)}C.{(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6)}D.{(1,2),(2,3),(3,4),(1,3),(2,4),(3,5),(1,4),(2,5),(3,5),(1,5),(2,5),(3,5)}

8.设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}，则A与B的笛卡尔积再与C的笛卡尔积的笛卡尔积是（）。

A.{(1,2,3,3,4,5,3,4,5),(2,3,4,3,4,5,3,4,5),(3,4,5,3,4,5,3,4,5)}B.{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,2,4),(2,3,5),(3,4,6),(1,3,5),(2,4,6),(3,5,7)}C.{(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(1,2,4,3,4,5),(2,3,5,3,4,6),(3,4,6,3,4,7)}D.{(1,2),(2,3),(3,4),(1,3),(2,4),(3,5),(1,4),(2,5),(3,5),(1,5),(2,5),(3,5),(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,2,4),(2,3,5),(3,4,6),(1,3,5),(2,4,6),(3,5,7),(1,4,6),(2,5,7),(3,6,8)}

9.设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}，则A与B的笛卡尔积再与C的笛卡尔积的笛卡尔积再与A的笛卡尔积是（）。

A.{(1,2,3,3,4,5,3,4,5),(2,3,4,3,4,5,3,4,5),(3,4,5,3,4,5,3,4,5)}B.{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,2,4),(2,3,5),(3,4,6),(1,3,5),(2,4,6),(3,5,7),(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(1,2,4,3,4,5),(2,3,5,3,4,6),(3,4,6,3,4,7)}C.{(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(1,2,4,3,4,5),(2,3,5,3,4,6),(3,4,6,3,4,7),(1,2,3,4,3,4,5),(2,3,4,5,3,4,6),(3,4,5,6,3,4,7)}D.{(1,2),(2,3),(3,4),(1,3),(2,4),(3,5),(1,4),(2,5),(3,5),(1,5),(2,5),(3,5),(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,2,4),(2,3,5),(3,4,6),(1,3,5),(2,4,6),(3,5,7),(1,4,6),(2,5,7),(3,6,8),(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(1,2,4,3,4,5),(2,3,5,3,4,6),(3,4,6,3,4,7),(1,3,5,3,4,5),(2,4,6,3,4,6),(3,5,7,3,4,7)}

10.设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}，则A与B的笛卡尔积再与C的笛卡尔积的笛卡尔积再与A的笛卡尔积再与B的笛卡尔积是（）。

A.{(1,2,3,3,4,5,3,4,5),(2,3,4,3,4,5,3,4,5),(3,4,5,3,4,5,3,4,5)}B.{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,2,4),(2,3,5),(3,4,6),(1,3,5),(2,4,6),(3,5,7),(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(1,2,4,3,4,5),(2,3,5,3,4,6),(3,4,6,3,4,7),(1,2,3,4,3,4,5),(2,3,4,5,3,4,6),(3,4,5,6,3,4,7)}C.{(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(1,2,4,3,4,5),(2,3,5,3,4,6),(3,4,6,3,4,7),(1,2,3,4,3,4,5),(2,3,4,5,3,4,6),(3,4,5,6,3,4,7),(1,2,3,4,3,4,5,3,4,5),(2,3,4,5,3,4,6,3,4,5),(3,4,5,6,3,4,7,3,4,5)}D.{(1,2),(2,3),(3,4),(1,3),(2,4),(3,5),(1,4),(2,5),(3,5),(1,5),(2,5),(3,5),(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,2,4),(2,3,5),(3,4,6),(1,3,5),(2,4,6),(3,5,7),(1,4,6),(2,5,7),(3,6,8),(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(1,2,4,3,4,5),(2,3,5,3,4,6),(3,4,6,3,4,7),(1,3,5,3,4,5),(2,4,6,3,4,6),(3,5,7,3,4,7),(1,4,6,3,4,5),(2,5,7,3,4,6),(3,6,8,3,4,7)}

二、填空题（每题2分，共20分）

1.集合A={1,2,3}的补集是______。

2.集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A与B的并集是______。

3.集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A与B的交集是______。

4.集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A与B的差集是______。

5.集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A与B的对称差集是______。

6.集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A与B的笛卡尔积是______。

7.集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}，则A与B的笛卡尔积再与C的笛卡尔积是______。

8.集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}，则A与B的笛卡尔积再与C的笛卡尔积的笛卡尔积是______。

9.集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}，则A与B的笛卡尔积再与C的笛卡尔积的笛卡尔积再与A的笛卡尔积是______。

10.集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}，则A与B的笛卡尔积再与C的笛卡尔积的笛卡尔积再与A的笛卡尔积再与B的笛卡尔积是______。

三、判断题（每题2分，共20分）

1.集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A与B的并集是{1,2,3,4}。（）

2.集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A与B的交集是{2,3}。（）

3.集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A与B的差集是{1,2,3}。（）

4.集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A与B的对称差集是{1,4}。（）

5.集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A与B的笛卡尔积是{(1,2,3),(2,3,4)}。（）

6.集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}，则A与B的笛卡尔积再与C的笛卡尔积是{(1,2,3,3,4,5)}。（）

7.集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}，则A与B的笛卡尔积再与C的笛卡尔积的笛卡尔积是{(1,2,3,3,4,5,3,4,5)}。（）

8.集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}，则A与B的笛卡尔积再与C的笛卡尔积的笛卡尔积再与A的笛卡尔积是{(1,2,3,3,4,5,3,4,5,1,2,3)}。（）

9.集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}，则A与B的笛卡尔积再与C的笛卡尔积的笛卡尔积再与A的笛卡尔积再与B的笛卡尔积是{(1,2,3,3,4,5,3,4,5,1,2,3,2,3,4)}。（）

10.集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}，则A与B的笛卡尔积再与C的笛卡尔积的笛卡尔积再与A的笛卡尔积再与B的笛卡尔积再与C的笛卡尔积是{(1,2,3,3,4,5,3,4,5,1,2,3,2,3,4,3,4,5)}。（）

四、简答题（每题5分，共25分）

1.简述集合的概念及其基本运算。

2.解释闭包的定义，并举例说明。

3.举例说明集合的幂集和笛卡尔积。

4.解释对称差集的概念，并说明其性质。

五、论述题（10分）

论述集合的笛卡尔积在组合数学中的重要性。

六、应用题（每题10分，共20分）

1.设集合A={1,2,3,4}，B={2,3,4,5}，C={3,4,5,6}，求以下集合：

a.A与B的并集；

b.A与B的交集；

c.A与B的差集；

d.A与B的对称差集。

2.设集合A={1,2,3,4}，B={2,3,4,5}，C={3,4,5,6}，求以下集合的笛卡尔积：

a.A与B的笛卡尔积；

b.A与B的笛卡尔积再与C的笛卡尔积。

试卷答案如下：

一、选择题答案及解析思路：

1.B解析：交集是指两个集合共有的元素，所以A与B的交集是{2,3}。

2.A解析：幂集是指一个集合的所有子集的集合，空集是任何集合的子集，所以基数最小的幂集只包含空集。

3.C解析：闭集是指其补集为空集的集合，所以A与B的补集是B，B为闭集。

4.B解析：并集是指两个集合所有元素的集合，所以A与B的并集再与C的交集是{3,4}。

5.A解析：对称差集是指两个集合中不同时存在于两个集合中的元素组成的集合，所以A与B的对称差集是{1,4}。

6.C解析：笛卡尔积是指两个集合中所有可能的有序对组成的集合，所以A与B的笛卡尔积是{(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)}。

7.B解析：A与B的笛卡尔积再与C的笛卡尔积是指将A与B的笛卡尔积中的每个元素与C中的每个元素组成新的有序对，所以结果是{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,3),(1,3,4),(1,3,5),(2,2,3),(2,2,4),(2,2,5),(2,3,3),(2,3,4),(2,3,5)}。

8.C解析：A与B的笛卡尔积再与C的笛卡尔积的笛卡尔积是指将A与B的笛卡尔积再与C的笛卡尔积中的每个元素与A中的每个元素组成新的有序对，所以结果是{(1,2,3,1),(1,2,3,2),(1,2,3,3),(1,2,4,1),(1,2,4,2),(1,2,4,3),(1,2,5,1),(1,2,5,2),(1,2,5,3),(1,3,3,1),(1,3,3,2),(1,3,3,3),(1,3,4,1),(1,3,4,2),(1,3,4,3),(1,3,5,1),(1,3,5,2),(1,3,5,3),(2,2,3,1),(2,2,3,2),(2,2,3,3),(2,2,4,1),(2,2,4,2),(2,2,4,3),(2,2,5,1),(2,2,5,2),(2,2,5,3),(2,3,3,1),(2,3,3,2),(2,3,3,3),(2,3,4,1),(2,3,4,2),(2,3,4,3),(2,3,5,1),(2,3,5,2),(2,3,5,3)}。

9.A解析：A与B的笛卡尔积再与C的笛卡尔积的笛卡尔积再与A的笛卡尔积是指将A与B的笛卡尔积再与C的笛卡尔积的笛卡尔积中的每个元素与A中的每个元素组成新的有序对，所以结果是{(1,2,3,1,1),(1,2,3,1,2),(1,2,3,1,3),(1,2,3,2,1),(1,2,3,2,2),(1,2,3,2,3),(1,2,3,3,1),(1,2,3,3,2),(1,2,3,3,3),(1,2,4,1,1),(1,2,4,1,2),(1,2,4,1,3),(1,2,4,2,1),(1,2,4,2,2),(1,2,4,2,3),(1,2,4,3,1),(1,2,4,3,2),(1,2,4,3,3),(1,2,5,1,1),(1,2,5,1,2),(1,2,5,1,3),(1,2,5,2,1),(1,2,5,2,2),(1,2,5,2,3),(1,2,5,3,1),(1,2,5,3,2),(1,2,5,3,3),(1,3,3,1,1),(1,3,3,1,2),(1,3,3,1,3),(1,3,3,2,1),(1,3,3,2,2),(1,3,3,2,3),(1,3,3,3,1),(1,3,3,3,2),(1,3,3,3,3),(1,3,4,1,1),(1,3,4,1,2),(1,3,4,1,3),(1,3,4,2,1),(1,3,4,2,2),(1,3,4,2,3),(1,3,4,3,1),(1,3,4,3,2),(1,3,4,3,3),(1,3,5,1,1),(1,3,5,1,2),(1,3,5,1,3),(1,3,5,2,1),(1,3,5,2,2),(1,3,5,2,3),(1,3,5,3,1),(1,3,5,3,2),(1,3,5,3,3)}。

10.C解析：A与B的笛卡尔积再与C的笛卡尔积的笛卡尔积再与A的笛卡尔积再与B的笛卡尔积是指将A与B的笛卡尔积再与C的笛卡尔积的笛卡尔积再与A的笛卡尔积中的每个元素与B中的每个元素组成新的有序对，所以结果是{(1,2,3,1,2),(1,2,3,1,3),(1,2,3,2,2),(1,2,3,2,3),(1,2,4,1,2),(1,2,4,1,3),(1,2,4,2,2),(1,2,4,2,3),(1,2,5,1,2),(1,2,5,1,3),(1,2,5,2,2),(1,2,5,2,3),(1,3,3,1,2),(1,3,3,1,3),(1,3,3,2,2),(1,3,3,2,3),(1,3,4,1,2),(1,3,4,1,3),(1,3,4,2,2),(1,3,4,2,3),(1,3,5,1,2),(1,3,5,1,3),(1,3,5,2,2),(1,3,5,2,3)}。

二、填空题答案及解析思路：

1.∅解析：补集是指全集减去原集合，全集是包含所有元素的集合，所以A的补集是空集。

2.{1,2,3,4}解析：并集是指两个集合所有元素的集合，所以A与B的并集是{1,2,3,4}。

3.{2,3}解析：交集是指两个集合共有的元素，所以A与B的交集是{2,3}。

4.{1}解析：差集是指一个集合中存在于另一个集合中的元素组成的集合，所以A与B的差集是{1}。

5.{1,4}解析：对称差集是指两个集合中不同时存在于两个集合中的元素组成的集合，所以A与B的对称差集是{1,4}。

6.{(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)}解析：笛卡尔积是指两个集合中所有可能的有序对组成的集合，所以A与B的笛卡尔积是{(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)}。

7.{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,3),(1,3,4),(1,3,5),(2,2,3),(2,2,4),(2,2,5),(2,3,3),(2,3,4),(2,3,5)}解析：A与B的笛卡尔积再与C的笛卡尔积是指将A与B的笛卡尔积中的每个元素与C中的每个元素组成新的有序对，所以结果是{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,3),(1,3,4),(1,3,5),(2,2,3),(2,2,4),(2,2,5),(2,3,3),(2,3,4),(2,3,5)}。

8.{(1,2,3,1),(1,2,3,2),(1,2,3,3),(1,2,4,1),(1,2,4,2),(1,2,4,3),(1,2,5,1),(1,2,5,2),(1,2,5,3),(1,3,3,1),(1,3,3,2),(1,3,3,3),(1,3,4,1),(1,3,4,2),(1,3,4,3),(1,3,5,1),(1,3,5,2),(1,3,5,3),(2,2,3,1),(2,2,3,2),(2,2,3,3),(2,2,4,1),(2,2,4,2),(2,2,4,3),(2,2,5,1),(2,2,5,2),(2,2,5,3),(2,3,3,1),(2,3,3,2),(2,3,3,3),(2,3,4,1),(2,3,4,2),(2,3,4,3),(2,3,5,1),(2,3,5,2),(2,3,5,3)}解析：A与B的笛卡尔积再与C的笛卡尔积的笛卡尔积是指将A与B的笛卡尔积再与C的笛卡尔积中的每个元素与A中的每个元素组成新的有序对，所以结果是{(1,2,3,1),(1,2,3,2),(1,2,3,3),(1,2,4,1),(1,2,4,2),(1,2,4,3),(1,2,5,1),(1,2,5,2),(1,2,5,3),(1,3,3,1),(1,3,3,2),(1,3,3,3),(1,3,4,1),(1,3,4,2),(1,3,4,3),(1,3,5,1),(1,3,5,2),(1,3,5,3),(2,2,3,1),(2,2,3,2),(2,2,3,3),(2,2,4,1),(2,2,4,2),(2,2,4,3),(2,2,5,1),(2,2,5,2),(2,2,5,3),(2,3,3,1),(2,3,3,2),(2,3,3,3),(2,3,4,1),(2,3,4,2),(2,3,4,3),(2,3,5,1),(2,3,5,2),(2,3,5,3)}。

9.{(1,2,3,1,1),(1,2,3,1,2),(1,2,3,1,3),(1,2,3,2,1),(1,2,3,2,2),(1,2,3,2,3),(1,2,3,3,1),(1,2,3,3,2),(1,2,3,3,3),(1,2,4,1,1),(1,2,4,1,2),(1,2,4,1,3),(1,2,4,2,1),(1,2,4,2,2),(1,2,4,2,3),(1,2,4,3,1),(1,2,4,3,2),(1,2,4,3,3),(1,2,5,1,1),(1,2,5,1,2),(1,2,5,1,3),(1,2,5,2,1),(1,2,5,2,2),(1,2,5,2,3),(1,2,5,3,1),(1,2,5,3,2),(1,2,5,3,3),(1,3,3