2025年高考数学二轮复习：数与导数核心考点深度剖析与压轴题解答策略（讲义）（原卷版）

专题07函数与导数核心考点深度剖析与压轴题解答策略

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

03知识梳理•方法技巧............................................................4

04真题研析•精准预测............................................................5

题型一：含参数函数单调性讨论9

题型二：导数与数列不等式的综合问题11

题型三：双变量问题13

题型四：证明不等式15

题型五：极最值问题17

题型六：零点问题19

题型七：不等式恒成立问题20

题型八：极值点偏移问题与拐点偏移问题23

题型九：利用导数解决一类整数问题25

题型十：导数中的同构问题27

题型十一：洛必达法则29

题型十二：导数与三角函数结合问题32

重难点突破：函数与导数背景下的新定义压轴解答题34

差情;奏汨•日标旦祐

本节内容在高考中常作为压轴题出现，涉及函数零点个数、不等式证明及存在性等问题，综合性强且

难度较大。解决这类导数综合问题，需要综合运用分类讨论、构造函数、等价转化、设而不求等多种思维方

法，并结合不等式、方程等相关知识。这类问题不仅思维难度大，而且运算量也相当可观。可以说，考生一

旦攻克了本节内容，就将具备出色的逻辑推理'数学运算、数据分析和直观想象等核心素养。

考点要求目标要求考题统计考情分析

2024年天津卷第20题，16分函数与导数在高中数学

2023年I卷第19题，12分中占据重要地位，不仅是重点

掌握技巧，灵活

不等式2023年甲卷第21题，12分

应用求解考查内容，也是高等数学的基

2023年天津卷第20题，16分

础。通过对近十年高考数学试

2022年H卷第22题，12分

题的分析，可以总结出五大核

2024年II卷第16题，15分

明确概念，掌握心考点：一是含参函数的单调

极最值2023年乙卷第21题，12分

求解方法性、极值与最值问题；二是函

2023年H卷第22题，12分

数的零点求解问题；三是不等

2024年I卷第18题，17分

式恒成立与存在性的探讨；四

2024年甲卷第21题，12分

理解概念，熟练是函数不等式的证明技巧；五

恒成立与有解2022年北京卷第20题，12分

转化求解是导数中涉及三角函数的问

2021年天津卷第20题，16分

2020年I卷第21题，12分题。其中，函数不等式证明中

的极值点偏移、隐零点问题、

2022年甲卷第21题，12分含三角函数形式的问题以及

理解原理，熟练

零点问题2022年I卷第22题，12分不等式的放缩技巧，是当前高

求解应用

2022年乙卷第20题，12分考函数与导数压轴题的热门

考点。

〃用识导图•思维引航\\

//40w

1、对称变换

主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题.其解题要点如下：（1）定函数（极值

点为％0）,即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点XO.

（2）构造函数，即根据极值点构造对称函数尸（%）=/（%）-/（2%-%）,若证片，则令

斤（x）=/（x）-）（冯.

X

（3）判断单调性，即利用导数讨论尸（龙）的单调性.

（4）比较大小，即判断函数厂（无）在某段区间上的正负，并得出/（%）与/（2%-%）的大小关系.

（5）转化，即利用函数“口的单调性，将,（x）与/（2%—X）的大小关系转化为X与2莅-％之间的

关系，进而得到所证或所求.

【注意】若要证明/［土产］的符号问题，还需进一步讨论二手与项的大小，得出工装所在的

单调区间，从而得出该处导数值的正负.

构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法，函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿

于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内

在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单

调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个

适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能

获得简洁明快的思路，有着非凡的功效

2、应用对数平均不等式后＜厂工一＜”区证明极值点偏移：

inin乙

①由题中等式中产生对数；

②将所得含对数的等式进行变形得到高茫］；

inXy-inA2

③利用对数平均不等式来证明相应的问题.

3、比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明

题中的不等式即可.

0

II真题研析•精准颈测N

1.(2024年高考全国甲卷数学(理)真题)已知函数〃x)=(l-*ln(l+x)-x.

⑴当a=—2时，求/(X)的极值；

⑵当MO时，/(%)>0,求4的取值范围.

2.(2024年天津高考数学真题)已知函数/(x)=xlnx.

⑴求曲线y=在点(I"⑴)处的切线方程；

(2)若-6)对任意(0,+8)成立，求实数。的值;

⑶若入,9«0」)，求证：|/(x1)-/(x2)|<|x1-x2|i.

3.(2024年新课标全国II卷数学真题)已知函数/(》)=1-依-/.

(1)当a=l时，求曲线y=/W在点。，/⑴)处的切线方程；

(2)若/(尤)有极小值，且极小值小于0,求。的取值范围.

4.(2024年新课标全国I卷数学真题)已知函数〃x)=ln—+亦+6(%-1)3

(1)若b=0,且/(无)20,求a的最小值；

(2)证明：曲线y=/(尤)是中心对称图形；

⑶若/。)>-2当且仅当1<%<2,求》的取值范围.

5.(2023年北京高考数学真题)设函数/(幻=%-%3*+,,曲线y=/(x)在点(11(1))处的切线方程为

y=-x+l.

(1)求。力的值;

(2)设函数g(x)=/'(x),求g(x)的单调区间；

⑶求/Xx)的极值点个数.

6.(2023年高考全国乙卷数学(文)真题)已知函数〃x)=[：+a]ln(l+x).

⑴当a=-1时，求曲线y=/(x)在点(1,f⑴)处的切线方程.

(2)若函数在(0,+8)单调递增，求。的取值范围.

sinx(Jr

7.(2023年高考全国甲卷数学(文)真题)已知函数〃”=依——-,xe0,-

COSXk，

(1)当a=l时，讨论/(x)的单调性；

⑵若〃x)+sinx<0,求”的取值范围.

QinY(JT।

8.(2023年高考全国甲卷数学(理)真题)已知函数/(x)=or———,xe0,-

cosxv2J

⑴当。=8时，讨论了(无)的单调性；

⑵若f(x)<sin2尤恒成立，求。的取值范围.

9.(2023年高考全国乙卷数学(理)真题)已知函数/(x)=(j+ajln(l+x).

⑴当a=-1时，求曲线y=“X)在点(1,/⑴)处的切线方程；

(2)是否存在a,b,使得曲线y=关于直线x=b对称，若存在，求a,6的值，若不存在，说明理由.

⑶若〃x)在(0,+8)存在极值,求a的取值范围.

10.(2023年天津高考数学真题)已知函数〃x)=/+gjln(x+：l).

(1)求曲线y=f(x)在x=2处的切线斜率；

(2)求证:当无>0时,/(%)>1；

(3)证明:—<ln(n!)-ln+—llnn+n<l.

11.(2023年新课标全国I卷数学真题)已知函数/(x)=a(e，+a)-尤.

⑴讨论/(X)的单调性；

3

(2)证明：当〃>0时，/(x)>21n«+-.

12.(2023年新课标全国H卷数学真题)(1)证明：当0<%<1时，x-%2<sinx<x;

(2)已知函数"x)=cosox-ln(l-x2),若％=。是/⑴的极大值点，求。的取值范围.

13.(2022年新高考天津数学高考真题)已知a,beR,函数/(x)=e*-asinx,g(x)=Z?«

⑴求曲线y=/(x)在(0,〃0))处的切线方程；

(2)若曲线y=/(%)和y=g(%)有公共点，

(i)当a=0时，求b的取值范围；

(ii)求证：+人2>«.

㈤5

孩心精说，题型突破

题型一：含参数函数单调性讨论

【典例1-1】设/(x)=(尤?+a尤+,aeR.

(1)若a=0,求/(x)在x=l处的切线方程；

⑵若aeR,试讨论了(尤)的单调性.

【典例1-2］已知函数〃x)=ln(l-x)+Aln(l+x),左20.

⑴若函数“X)存在一条对称轴，求左的值；

(2)求函数“X)的单调区间.

1、导函数为含参一次型的函数单调性

导函数的形式为含参一次函数时，首先讨论一次项系数为0,导函数的符号易于判断，当一次项系数

不为零，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数图像判定导函数的符号，写出函数的单调

区间.

2、导函数为含参二次型函数的单调性

当主导函数(决定导函数符号的函数)为二次函数时，确定原函数单调区间的问题转化为探究该二次

函数在给定区间上根的判定问题.对于此二次函数根的判定有两种情况：

(1)若该二次函数不容易因式分解，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域；

(2)若该二次函数容易因式分解，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，判

定导函数的符号，从而判断原函数的单调性.

3、导函数为含参二阶求导型的函数单调性

当无法直接通过解不等式得到一阶导函数的符号时，可对“主导”函数再次求导，使解题思路清晰.“再

构造、再求导”是破解函数综合问题的强大武器.

在此我们首先要清楚了"(无)、「(x)、/(x)之间的联系是如何判断原函数单调性的.

(1)二次求导目的：通过/〃(幻的符号，来判断尸(x)的单调性；

(2)通过赋特殊值找到尸(x)的零点，来判断/''(X)正负区间，进而得出/(x)单调性.

【变式1-1］已知函数〃x)=e2"-2”:.

⑴当”=2时，求曲线在点(0,/(0))处的切线方程；

⑵讨论“X)的单调性.

【变式1-2］(2024•海南省直辖县级单位•模拟预测)已知函数〃尤)=x-lnx-2.

⑴求曲线y=/(x)在(e,e-3)处的切线方程；

⑵若a20,g(x)=or-2(tu+l)-/(^),讨论函数g(x)的单调性.

命题预测［

1.已知函数/(x)=lnx+?-2x.讨论当a>0时，/(x)的单调性.

题型二：导数与数列不等式的综合问题

【典例2-1］［新考法］(2024•陕西榆林•模拟预测)不动点在数学和应用中具有重要作用，不动点是指被函

数映射到其自身的点.对于函数/(%)，我们把满足/(〃)=。的。称为函数/(x)的不动点，已知函数

f(x\=x'—x1+—x+^-.

\，24

⑴证明：在(0,，有唯一的不动点不；

(2)已知无1=0,尤,+1=/(%),必=：,%+］=/(%),%=%-匕,且｛为｝的前，项和为5“,〃€>1*.证明：

①｛%｝为递增数列，｛%｝为递减数列，且%>%；

②S.

9

【典例2・2】已知函数/(%)=3111犬+依2一耳光+3.

⑴讨论函数八%)极值点的个数；

33｝9

(2)当。=5时，数列｛%｝满足：q=亍4+1=f£(a"'+1.求证:｛%｝的前"项和满足“<S=<〃+鼻.

在解决等差、等比数列综合问题时，要充分利用基本公式、性质以及它们之间的转化关系，在求解过

程中要树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，并适时地采用“巧用性质，整体考虑”的方法.可以达到

减少运算量的目的.

【变式2-1］［新考法］(2024•高三・辽宁•开学考试)已知函数/(何=1天-/(e是自然对数的底数).

⑴若a=2e,求/(x)的极值;

(2^xw(-L,+8),V〃eN*,/(x)V(x+2)”-x-3,求a；

⑶利用(2)中求得的。，若/(x)=〃liu)+无+J,数列^/满足4式。』)，且。用=*a”)，证明:

2%+i+an+3-l>2a„+2.

【变式2-2】已知函数〃x)=ln(依+1)-x在点(0,0)处的切线与无轴重合.

⑴求函数“X)的单调区间与极值；

(2)已知正项数列｛叫满足％=1,a„+1=ln(fl„+l),〃wN*,记数列｛%｝的前〃项和为工，求证:

S”>In(〃+1).

命题预测

1.牛顿(1643—1727)给出了牛顿切线法求方程的近似如图设/是y=/(x)的一个零点，任意选取不作为

「的初始近似值，过点(见)(久0))作曲线y=f(x)的切线4，4与x轴的交点为横坐标为4，称X］为r的1

次近似值，过点(卬/%))作曲线y=/(%)的切线L4与x轴的交点为横坐标为“称9为「的2次近似

值.一般地，过点(乙,〃七))作曲线y=/(%)的切线/用，/用与x轴的交点为横坐标为x,+i，就称Xx为r

的”+1次近似值，称数列｛%｝为牛顿数列.

⑴若/(x)=x3+x-l的零点为r,%=。，请用牛顿切线法求『的2次近似值；

(2)已知二次函数g(x)有两个不相等的实数根。,c(c>b),数列｛七｝为g(x)的牛顿数列，数列｛。“｝满足

%且x.>c.

Xn-C

(i)设天+|=刈%)，求力(王)的解析式；

1112

(ii)证明：一+—+…+-<--

。GGInq

题型三：双变量问题

【典例3-1】已知函数/(x)=xlnx-x.

⑴求函数的最值；

(2)若函数g(x)=〃x)-加+。有两个不同的极值点，记作玉,尤2，且西<々，求证：1叫+21吨>3.

【典例3-2］已知函数/(尤)=尤?-ax+21nx,aeR.

⑴当。=2时，求曲线y=/(x)在点(11(D)处的切线方程;

(2)已知/(%)有两个极值点%,无2，且再<马，

(D求实数。的取值范围;

(ii)求的最小值.

破解双参数不等式的方法：

一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的

不等式；

二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；

三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.

【变式3-1](2024•高三•江苏无锡•期中)已知函数〃x)=e\

(1)若VxeR,不等式：W(x)-x>0恒成立，求实数机的取值范围；

⑵过点7(。)可以作曲线V=/(%)的两条切线，切点分别为A(a,e”),3(6,e").

①求实数t的取值范围；

②证明：若a>b,则

mn

【变式3・2】(2024.四川成都•模拟预测)定义运算：=吁呼，已知函数

pq

Inxx-\1

/(尤)=,,g(x)=一―1.

1ax

(1)若函数/(X)的最大值为0,求实数。的值；

⑵证明：+++

(3)若函数五(x)=/(x)+g(x)存在两个极值点%证明：'&)一'、)-。+2<0.

命题预测

1.已知函数/(x)=lnx-x+a.

⑴若直线y=(e-l)x与函数〃x)的图象相切，求实数。的值;

⑵若函数g(x)=j/(x)有两个极值点X］和9，且不<工2，证明：^2+X］>l+ln土］.(e为自然对数的底

1*2)

数)

题型四：证明不等式

【典例4-1】(2024・高三•四川•期中)已知函数/(x)=ox-tanx,xe|o,g

⑴当。=2时，求/(x)的单调区间;

(2)若aV2,证明：/(x)<sin2x.

【典例4-2］已知x>0,证明：e'-sinx-l>xlnx.

巧

利用导数证明不等式问题，方法如下：

(1)直接构造函数法：证明不等式/(x)>g(x)(或/(x)vg(x))转化为证明/(x)-g(x)>。(或

进而构造辅助函数〃(x)=〃x)-g(x)；

(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

(4)对数单身狗，指数找基友

(5)凹凸反转，转化为最值问题

(6)同构变形

【变式4-1】已知函数〃%)=：尤2-(Q+2)x+2〃lnx(a^R).

⑴讨论函数/(X)的单调区间；

117

(2)当〃时，证明：—x2+—xeA+l—2.

【变式4-2]已知函数"x)=or+xln[l+谷-(l+x)ln(l+x).

⑴若曲线y=在点(0,/(0))处的切线与x轴平行，求。的值；

⑵设函数g(x)=4]£|,给出g(»的定义域，并证明：曲线y=g(x)是轴对称图形;

(3)证明：[1+j

命题预测T

1.已知函数/(%)=a(e*+a)—x.

⑴当。=1时，求函数在(1,7⑴)的切线方程;

⑵讨论/(x)的单调性;

3

(3)证明：当。>0时，/(x)>21na+-.

题型五：极最值问题

【典例5-1]已知函数/(x)=xz-mx+2\nx(meR).

(1)若f(x)在其定义域内单调递增，求实数5的取值范围；

(2)若4VM<5,且f(无)有两个极值点X],%，其中玉<々，求/(西)-/(尤2)的取值范围.

【典例5-2】(2024・四川眉山•一模)已知函数/(x)=e'-依-2(aeR).

⑴当a=2时，求的零点个数；

e2”

⑵设aN2,=-+«el-1.

(i)判断g(x)的单调性；

(ii)若g'(»i)=g'(〃)(«/<〃),求g(m)+g(〃)的最小值.

巧

利用导数求函数的极最值问题.解题方法是利用导函数与单调性关系确定单调区间，从而求得极最

值.只是对含有参数的极最值问题，需要对导函数进行二次讨论，对导函数或其中部分函数再一次求导，

确定单调性，零点的存在性及唯一性等，由于零点的存在性与参数有关，因此对函数的极最值又需引入新

函数，对新函数再用导数进行求值、证明等操作.

【变式5-1](2024・高三・天津•期末)已知函数〃x)=xe，.

⑴求函数在x=l处的切线方程；

(2)令g(x)=〃x)-a(x+lnx).

⑴讨论函数g(x)极值点的个数；

(ii)若与是g(x)的一个极值点，且g(Xo)>O,证明：g(%o)>2(xo-%o).

【变式5-2](2024•高三•黑龙江哈尔滨•期中)已知函数/(x)=lnx+“无

⑴当”=1时，求/(尤)在(1J。))处的切线方程；

(2)若/(X)存在最大值，且最大值小于0,求。的取值范围.

命题预测[I

1.已知函数+lnx-cos2x.

⑴判断/(X)在区间(呜]上的单调性；

⑵求“X)在区间兀)上的极值点的个数.

题型六：零点问题

【典例6-1］已知曲线/(x)=e'(依+1)在x=l处的切线方程为y=6x-e.

⑴求a,b；

(2)若函数g(x)=/(%)-3e'-机有两个零点，求实数m的取值范围.

【典例6-2］(2024・高三・湖北•期中)设函数〃刈=1-］卜《工+1.

⑴讨论函数/(X)在区间［0,可上的单调性；

•JT3兀

(2)判断并证明函数y=/(x)在区间-,y上零点的个数.

函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数

的值或取值范围.

求解步骤：

第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与1轴(或直线、=左)在某区间上的

交点问题；

第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；

第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.

【变式6-1】已知〃x)=liw-a.±q,aeR.

⑴当a=l时，求曲线)=/(尤)在点处的切线方程.

(2)若恰有1个极大值点和1个极小值点.

①求极大值与极小值的和；

②判断“X)零点的个数.

【变式6-2】已知函数/(%)=万一++.

⑴当a=-l时，求曲线y=〃x)在点(2,〃2))处的切线方程;

(2)若“X)有两个零点，求。的取值范围.

命题硕测

1.已知函数/(x)=f-办+21nx.

⑴当a=5时，求函数/Xx)的单调区间；

(2)设〃(x)=sinx+lnx,求证：当ae[l,2]时，/(x)-21nx=x/z(x)有且仅有2个不同的零点.

IT7T37r371

(参考数据：--In-»1.119,n-ln7T»1.997,y-ln—»3.162,27r-ln27r«4.445)

题型七：不等式恒成立问题

【典例7-1](2024•高三•天津滨海新•期末)已知函数7>0)=尤111%,g(x)^(a+l)x-a.

⑴当。=1时，求函数联幻=/(x)-g(x)的单调区间；

(2)若存在xe[l,e]时，使+依-3成立，求a的取值范围.

(3)若不等式f(x)-g(X)<(x-a-2)ei+a对任意xe口,+◎恒成立，求实数a的取值范围.

【典例7-2】已知函数/(x)=x-0-21n尤(aeR).

X

⑴已知/Xx)在x=3处取得极小值，求a的值；

(2)对任意xNl,不等式x----21nx-1+a20恒成立，求a的取值范围.

x

1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：

(1)通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

(2)利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；

(3)根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数

后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论

法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.

2、利用参变量分离法求解函数不等式恒(能)成立，可根据以下原则进行求解：

(1)\/xeD,帆1nhi；

(2)VxeD,；

(3)3xeD,帆三，0)0加三/(兀)„„；

(4)3xeD,相相二/(x)1nhi.

3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数V=/(兀)，x^[a,b],y=g(x),xe[c,d].

⑴若“引。,可，VX,&[c,d],有〃%)vg&)成立，则〃%)1n；

(2)若vxc[a,可，e[c,(7],有•/■&)<g(巧)成立，则〃^濡<g(x)；

1HX21mx

⑶若当e[a，N，HX2e[c,(7],有〃③)<g&)成立，则/⑸1n<8(X)皿；

(4)若VNe[a,可，Hx2e[c,d],有〃因)=g(F)成立，则/(x)的值域是g(x)的值域的子集.

【变式7-1]已知函数〃x)=-：-lnx+l.

⑴求“X)的极值；

⑵设g(X)="X)+三-一1(«GR).

(i)当a>0时，求函数g(x)的单调区间；

(ii)若g(x)〈l-x-：在。,+8)上恒成立，求实数。的取值范围.

【变式7-2](2024•重庆・模拟预测)设aeR,已知函数/(x)=lnx+ax—片+2.

⑴当函数〃x)在点(2,/(2))处的切线机与直线/:3x-2y-l=0平行时，求切线机的方程;

(2)若函数的图象总是在x轴的下方，求。的取值范围.

[命题预测

士..............J

1.已知awR,函数/(x)=e*-依-1,gO)=x—ln(x+l)(e是自然对数的底数).

⑴讨论函数极值点的个数；

⑵若f(x)=e「办-120对任意的xeR恒成立，求实数。的值；

(3)在第(2)小题的条件下，若存在xe[0,+“)，使得/(X)<依⑶，求实数上的取值范围.

题型八：极值点偏移问题与拐点偏移问题

【典例8-1］已知函数/(x)=g+ln%g(x)=ox—lnx—2.

(1)若〃＞0,当/(%)与g(%)的极小值之和为。时，求正实数。的值;

112

(2)若/(玉)=/(入2)=2(%A%)，求证：一+—＞一.

元］工2a

【典例8-2】已知函数%)=。。2*+。、+%，acR.

⑴若在兀=0处取得极值，求。的值；

⑵设g(x)=/(x)-(a+3)ex,试讨论函数g(x)的单调性；

⑶当。=2时，若存在实数4，巧满足/&)+/(％)+3e、'M=0,求证：9+小＞；.

巧

1、极值点偏移的相关概念

所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称

性.若函数/'(x)在％=/处取得极值，且函数y=/(x)与直线y=b交于4(七,3,以出力)两点，则A5的

中点为河(七迤,6),而往往「工与迤.如下图所示.

图1极值点不偏移图2极值点偏移

极值点偏移的定义：对于函数y=/(x)在区间(区与内只有一个极值点％0,方程/'(X)的解分别为

%、9，且。〈X＜/＜》，(1)若红盛包片飞,则称函数y=/(x)在区间(为,电)上极值点％°偏移；(2)

若当三＞%,则函数y=/(%)在区间(为,巧)上极值点％。左偏，简称极值点%。左偏；(3)若当选＜%,

则函数y=Ax)在区间区,％)上极值点％。右偏，简称极值点/右偏.

【变式8-1］已知函数/(%)=2111%+:加-2(〃z+l)x-8,msR.

(1)讨论函数〃x)的单调性;

(2)对实数根=2,令g(x)=/(x)—3x,正实数X],々满足g(X)+g(%)+2%/=。,求)+々的最小值.

【变式8-2】已知函数/(耳=号尸，其中e为自然对数的底数.

(1)当。=1时，求/(元)的单调区间；

(2)若方程f(尤)—1有两个不同的根X1,%.

(i)求。的取值范围；

(ii)证明：无；+考＞2.

命题预测

1.已知函数/(x)=«x-xlnx,7'(x)为其导函数.

⑴若/(x)Vl恒成立，求。的取值范围；

(2)若存在两个不同的正数%,%，使得/(%)=〃动，证明：f'(斥)>0.

2.［新考法］已知函数/(x)=f-2ax+41nx.

(1)讨论/(x)的单调区间；

(2)已知ae［4,6］,设了。)的两个极值点为4，%(4<%),且存在力eR,使得>=/W的图象与y=。有三

个公共点可,尤2，演(芯</<$)；

①求证：%+尤2>24；

②求证：七-王<4，7.

题型九：利用导数解决一类整数问题

【典例9-1］已知函数/(x)=e'-x2-2x+a.

⑴证明：“X)有两个极值点，且分别在区间(-1,0)和(虚,6)内；

(2)若〃x)有3个零点，求整数。的值.

参考数据：e^«4.11，e如25.65，A/3-1.73,后士1.4L

【典例9.2】已知函数/(x)=lnx+办2+3(〃£R).

⑴当。=一;时，求函数“X)的极值；

(2)求函数〃尤)的单调区间；

(3)当a=0时，若犷(%)＞依-上+2在时恒成立，求整数上的最大值.

巧

分离参数、分离函数、半分离

【变式9-1】函数〃x)=(d+国e'(aeR).

⑴求〃x)的单调区间;

⑵若/(x)=x只有一个解，则当尤＞0时，求使誓〉(区-成立的最大整数左

【变式9-2](2024•福建厦门•模拟预测)已知函数〃x)=e'-依.

⑴讨论函数/⑺的单调性；

(2)设8(彳)=/(X)-b,若存在药＜%＜判,使得g(%)=g(苍)=g/).

①求。的取值范围；

②设机为整数，若当。＜3时，相应的与三总满足〃*%+电，求7〃的最小值.

命题预测

1.已知函数/(x)=x(lnx+l).

⑴若曲线y=〃x)在点&,八%))处的切线的斜率小于1,求与的取值范围.

(2)若整数人使得/(x)2A-)对Xe(0,内)恒成立，求整数女的最大值.

题型十：导数中的同构问题

【典例10-1】(2024•内蒙古・三模)已知函数=—冰+21nx.

(1)讨论〃元)的单调性;

⑵若，>0"(%)<e"恒成立，求。的取值范围.

【典例10-2】已知函数/(x)=》x+--------2([£氏).

x+1

(1)讨论函数/(%)的单调性；

(2)当a=2时，求证：/(x)>0在(l,+oo)上恒成立;

,V2

(3)求证：当x>0时，ln(x+1)>-------.

ex-I

Hl巧

1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式

2、同构式的应用：

⑴在方程中的应用：如果方程/（。）=0和/仅）=0呈现同构特征，则兄少可视为方程"4）=。

的两个根

（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而

和函数的单调性找到联系.可比较大小或解不等式.〈同构小套路〉

①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”：f（x）^x-ex,f（x）=ex±x；寻找"亲戚函数”是关键；

③信手拈来凑同构，凑常数、x、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围.

（3）在解析几何中的应用：如果A（西,3）,6（%,%）满足的方程为同构式，则AB为方程所表示曲线

上的两点.特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线A5的方程

（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于（4,〃）与（4-,〃-1）的同构

式，从而将同构式设为辅助数列便于求解

【变式10-1】（2024•高三・天津西青•期末）已知函数/（x）=e'—ax和g（无）=ox—lnx.

⑴若曲线数y=/（元）与'=8（尤）在x=I处切线的斜率相等，求。的值；

⑵若函数Ax）与g（x）有相同的最小值.

①求。的值；

②证明：存在直线＞=b,其与两条曲线y=/（x）与y=g（尤）共有三个不同的交点，并且从左到右三个交点

的横坐标成等差数列.

【变式10-2］对任意x＞0,若不等式。炉46*+依111》（。＞0）恒成立，求。的取值范围.

命题预测

1.2024.四川遂宁.模拟预测)已知函数/(x>=e",g(x)=ln(x+〃),直线/：y=x+机为曲线y=/(元)与

y=g。)的一条公切线.

⑴求机,〃；

(2)若直线l':y=s(O<s<1)与曲线y=/(%),直线I,曲线y=g(x)分别交于&国,％),B(x2,y2),C(x3,y3)三

点，其中且再，马，三成等差数列，证明：满足条件的,有且只有一个.

2.已知函数〃x)=ae*—x.

⑴讨论〃x)的单调性；

x

e-1

(2)若Q〉0,VXW(0,+8),/(X)>------,求〃的取值范围.

题型十一：洛必达法则

【典例11-13已知函数f(x)=a\nx+bx(a,be/?)*%=-处取得极值，且曲线y=/(%)在点(1,/(1))处的

2

切线与直线%-丁+1=0垂直.

(1)求实数。力的值；

(2)若X/x£[l,+8),不等式—2)%——恒成立，求实数加的取值范围.

x

Y

【典例11・2】设函数/(x)=l—"].当X20时，/(%)<-----，求。的取值范围.

ax+1

国国国

法则1、若函数/(X)和g(x)满足下列条件：

(1)lim/(x)=0及limg(x)=0；

(2)在点a的去心邻域(a—kj(a.a+£)内,/(%)与g(x)可导且g，(x)W0;

«)同34=/，那么同44=同34"

⑴Ig(x)Eg。)

法则2、若函数/(冗)和g(x)满足下列条件：⑴lim/(x)=0及limg(x)=0；

X-X»'/X->00\7

(2)3A>0»/(1)和g(%)在(―8,A)与(A+8)上可导，且g，(Ar)wO；

(3)lim--~~——I,

3°g”)

那么Iimg4=limg4=/.

法则3、若函数/⑴和g(x)满足下列条件：

(1)lim/(x)=oo^limg(x)=oo；

(2)在点a的去心邻域(a—e,a)kJ(a,a+£)内，/(%)与g(x)可导且g，(x)W0;

⑶hm—汰=1,

』g'(x)

那么同父=同可"

ig(力Ig[x)

注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：

(1)将上面公式中的1—〃，xf+oo,x—,尤_>々+,尤.洛必达法则也成立.

(2)洛必达法则可处理9,巴,0.OO，1”,,n°,oo-oo型.

0oo18U

(3)在着手求极限以前，首先要检查是否满足9,艺，0.8，r，g°,n°,00-00型定式，否则

00018U

滥用洛必达法则会出错.当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从

另外途径求极限.

(4)若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.

lim44=lim^4=lim^4,如满足条件，可继续使用洛必达法则.

sinY

【变式11-1】设函数/(x)=--------.如果对任何x'o,都有/(X)WGC,求。的取值范围.

2+cosx

【变式11-2】已知/(%)=(x+l)/nx.

(1)求/(%)的单调区间；

(2)若对任意工..1,不等式宜［㈣-以］+④。恒成立，求。的取值范围.

x+1

命题预测

1.已知函数/(%)二犬-mx-ex+1.

(1)若函数/(%)在点(1,f(1))处的切线/经过点(2,4),求实数相的值;

(2)若关于x的方程|/1(%)|=如有唯一的实数解，求实数用的取值范围.

题型十二：导数与三角函数结合问题

【典例12-1】(2024•内蒙古赤峰•二模)已知尤兀J.

(1)将sin龙，cosx,x,-gf+i按由小到大排列，并证明；

⑵令/(x)=xe'+A-COSX-2sinr-sin2x,求证：/(*)在兀)内无零点.

【典例12-2］已知函数〃x)=ln(l+x)+ax2-彳(。>0).

⑴讨论的单调区间;

1

⑵若函数g(x)=x-ln(l+x),证明：g(sina)+g(cosa)<-.

2

巧

分段分析法

【变式12・1】已知函数/O)=sinx,g(x)=ex-rrvc-cosx,(meR)

⑴求证：口隰

,/(%)<%；

(2)若g(x)在。+8)上单调递增，求的最大值;

、1715

(3)设〃=以光一,b=—,c=ln，试判断a,6,C的大小关系.

28

【变式12-2](2024•黑龙江佳木斯三模)已知函数/(力=皿1+力+依2—%.

⑴当。=0时，求"X)在彳=0处的切线方程：

(2)若〃x)在(0,+“)上单调递增，求。的取值范围；

⑶若g(x)=x-ln(l+x),证明：g(sina)